SEXTA PRÁCTICA: MARCOS

PROBLEMA.- Resolver el problema de la tercera práctica considerando el peso propio del material y calcular los esfuerzos y las reacciones en los apoyos (empotrados).MATERIAL: E=3.1x105N/mm2, =7.8 gr-f/cm3, 50mm

SOLUCIÓN

TABLA DE CONECTIVIDAD.

NODO X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 3000 04 1500 15005 0 1500

elemento NODOS GDL Le Ae Ee I

(1) (2) 1 2 3 4 5 6 (mm) (mm2) (N/mm2) (mm4)1 1 2 1 2 3 4 5 6 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

2 2 3 4 5 6 7 8 9 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

3 3 4 7 8 9 10 11 12 2121.32 1963.5 3.1x105 3.07x105

4 2 4 4 5 6 10 11 12 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

5 1 4 1 2 3 10 11 12 2121.32 1963.5 3.1x105 3.07x105

6 4 5 10 11 12 13 14 15 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

7 1 5 1 2 3 13 14 15 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO (realizado sólo para el primer elemento)

Matriz de transformación de coordenadas

DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA

INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1: #nodos

Leer posiciones (X,Y)

Para i=1: #elementos

Calcula longitud de cada elemento, cósenos directores, matriz de rotación “L”, matriz de rigidez y fuerzas.

Calcula desplazamientos, las reacciones en los apoyos y los momentos respectivos.

Para i=1: #elementos

Calcula esfuerzo normal, y esfuerzo debido a la flexión (para )

1 2

1 2

Si (SN+SE=1)> (SN-SE=1)

Esfuerzo igual a la suma

Esfuerzo igual a la resta

SI NO

Imprime reacciones, momentos y

esfuerzos

DIGITACIÓN DEL PROGRAMA EN MATLAB

%ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS: MARCOSformat long

nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS= ');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= ');E=input('INGRESE EL MODULO DE YOUNG=');d=input('INGRESE EL DIAMETRO=');pes=input('INGRESE EL PESO ESPECIFICO(gr-f/cm^3)=');disp('e===(1) (2)====');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)= ');n=[];for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');endle=[];lm=[];A=pi/4*d^2;I=pi*d^4/64;krs=zeros(3*nd);f=pes*9.81e-6*A;fp=zeros(3*nd,1);F=zeros(3*nd,1);Kij=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);kp=zeros(3*nd);le=[];l=[];m=[];for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3; L(ps1,ps1)=l(i);L(ps1,ps2)=m(i);L(ps2,ps1)=-m(i);L(ps2,ps2)=l(i);L(ps3,ps3)=1; L(ps4,ps4)=l(i);L(ps4,ps5)=m(i);L(ps5,ps4)=-m(i);L(ps5,ps5)=l(i);L(ps6,ps6)=1; kp(ps1,ps1)=E*A/le(i);kp(ps1,ps4)=-E*A/le(i); kp(ps2,ps2)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps3)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps2,ps5)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps6)=6*E*I/le(i)^2; kp(ps3,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps3)=4*E*I/le(i);kp(ps3,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps6)=2*E*I/le(i); kp(ps4,ps1)=-E*A/le(i);kp(ps4,ps4)=E*A/le(i); kp(ps5,ps2)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps3)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps5,ps5)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps6)=-6*E*I/le(i)^2; kp(ps6,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps3)=2*E*I/le(i);kp(ps6,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps6)=4*E*I/le(i); fp(ps1,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps2,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps3,1)=f*l(i)*le(i)^2/12; fp(ps4,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps5,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps6,1)=-f*l(i)*le(i)^2/12; F=F+L'*fp;Kij=Kij+L'*kp*L; kp=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);fp=zeros(3*nd,1);end%CONDICIONES DE FRONTERA (Q1,Q2,Q3,Q13,Q14,Q15)=[0]Fc=[];Kc=[];Q=zeros(3*nd,1);F(5,1)=F(5,1)+2000;F(7,1)=F(7,1)+5000;F(8,1)=F(8,1)+4000; %incluimos las fuerzas externasFc=F(4:12,1);Kc=Kij(4:12,4:12);Q(4:12,1)=Kc\Fc;%CALCULO DE REACCIONESR1=Kij(1,1:15)*Q-F(1,1);R2=Kij(2,1:15)*Q-F(2,1);M3=Kij(3,1:15)*Q-F(3,1);R13=Kij(13,1:15)*Q-F(13,1);R14=Kij(14,1:15)*Q-F(14,1);M15=Kij(15,1:15)*Q-F(15,1);for i=1:ne ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3;

ESN=E/le(i)*(-Q(ps1,1)*l(i)-Q(ps2,1)*m(i)+Q(ps4,1)*l(i)+Q(ps5,1)*m(i)); EM1=E/le(i)^2*d/2*(-6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))-4*le(i)*Q(ps3,1)+6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))-2*le(i)*Q(ps6,1)); EM2=E/le(i)^2*d/2*(6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))+2*le(i)*Q(ps3,1)-6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))+4*le(i)*Q(ps6,1)); if abs(ESN+EM1)<=abs(ESN+EM2) ES(i)=ESN+EM2; else ES(i)=ESN+EM1; endenddisp('===== RESULTADOS ==============');disp('REACCION EN PUNTO(1) X(N)=');disp(R1);disp('REACCION EN PUNTO(1) Y(N)=');disp(R2);disp('MOMENTO EN PUNTO(1)(Nxmm) =');disp(M3);disp('REACCION EN PUNTO(5) X(N)=');disp(R13);disp('REACCION EN PUNTO(5) Y(N)=');disp(R14);disp('MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) =');disp(M15);disp('ESFUERZOS(MPa)=');disp(ES);

EJECUCION DEL PROGRAMA

INGRESE EL NUMERO DE NODOS= 5INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= 7INGRESE EL MODULO DE YOUNG=3.1e5INGRESE EL DIAMETRO=50INGRESE EL PESO ESPECIFICO (gr-f/cm^3)=7.8e===(1) (2)====INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD (solo nodos)= [1 2;2 3;3 4;2 4;1 4;4 5;1 5]INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 1N(X)= 0N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 2N(X)= 1500N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 3N(X)= 3000N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 4N(X)= 1500N(Y)= 1500INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

5N(X)= 0N(Y)= 1500===== RESULTADOS ==============REACCION EN PUNTO (1) X(N)= -1.634047510750955e+004

REACCION EN PUNTO (1) Y(N)= -7.520571515552884e+003

MOMENTO EN PUNTO (1)(Nxmm) = -8.470004922040227e+004

REACCION EN PUNTO (5) X(N)= 1.134047510750954e+004

REACCION EN PUNTO (5) Y(N)= -2.436750156917257e+002

MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) = -4.388783325569534e+004

ESFUERZOS=5.5118 5.8687 -4.1628 -3.4516 5.2671 -7.0564 0

CONCLUSIONES

Conclusiones acerca de los resultados de la armadura

Al trabajar la armadura con nodos rígidos, y no con nodos articulados como se

hizo en la tercera práctica, los valores de las fuerzas de reacción en los apoyos

son más altos, esto se debe a que cada elemento no solo esta sometido a tracción

si no también a flexión.

El elemento numero “7” de la armadura no trabaja, es decir no esta sometido a

ninguna carga (tracción y flexión), por lo tanto no es necesario colocar el

elemento numero “7”, concluimos que este elemento tan solo esta presente para

hacer más fácil el montaje de la armadura.

Según los resultados de los esfuerzos el elemento número “6” es el más critico,

por lo cual es el elemento que fallará primero, y el elemento que determinará el

diámetro de cada elemento.

Conclusiones acerca del programa realizado

El número de elementos finitos para nuestro problema es el número de

elementos que forman la armadura, porque cada elemento tiene sección

constante y el material es el mismo.

Para resolver una armadura con nudos rígidos, tan solo sumamos los efectos de

tracción y de flexión, para nuestra matriz de rigidez, así logramos resolver dicha

armadura por los métodos ya conocidos.