Qumica Cuntica IFacultad de Qumica - UNAM

Jorge R. Martnez Penichempeniche@unam.mx

Horas y Crditos5 horas de clase a la semanaTotal de horas: 808 crditos6 crditos de teora: 48 horas2 crditos de prctica: 32 horasA partir de tomo de Helio ~ sesin 14.ClculosProyecto

Sitio Web del cursohttp://cea.quimicae.unam.mx/Estru/Enlace: Qumica Cuntica I

Programa(Ver liga en la pgina)Fundamentos de la mecnica cunticaProblemas bsicos de la mecnica cunticatomo de HidrgenoMomento angular y espnMtodos aproximadosDos electrones: Helio

Programa (2)Sistemas de muchos electronesHartree-FockMas all de Hartree-Fock: la correlacin electrnicaTeora de funcionales de la densidadEspectroscopia molecular

BibliografaLevine, Ira N., Quantum Chemistry, 6a ed, New Jersey, Prentice Hall, 2008.Atkins, P. W. y Friedman, R. S., Molecular Quantum Mechanics, 5a. ed, Oxford University press, 2010McQuarrie, Donald A. y Simon, John D., Physical Chemistry: A Molecular Approach, University Science Books, 1997.

Bibliografa (2)Hanna, Melvin W. Mecnica cuntica para qumicos, Fondo Educativo Interamericano,1985.Lowe, John P., Quantum Chemistry, 3ra. ed, Academic Press, 2005.Pilar, Frank L. Elementary Quantum Chemistry, Second Edition Dover Publications, 2011

Bibliografa (3)MacQuarrie, Donald. Quantum Chemistry. University Science Books; 2 edition, 2007

EvaluacinExmenes parcialesExamen departamentalPrcticasProyecto (Gaussian u otros)Tareas

Exentos con seis de promedio

IntroduccinQu es la Qumica Cuntica?

Qu es la Qumica Cuntica?Es la teora actual de la Qumica

Qumica CunticaEst basada en una teora ms general que es la Mecnica Cuntica.Es la teora fundamental de los fenmenos atmicos y moleculares.

Repaso de matemticas(Basado en el Hanna)Sistemas de coordenadasDeterminantesNotacin de sumatoria y productoVectoresNmeros complejosOperadores

Repaso de matemticas (2)Ecuaciones de valores propiosPropiedades de simetra de funciones y sus integralesProbabilidad

Sistemas de coordenadasCoordenadas cartesianas (o rectangulares)Coordenadas esfricas polares (polares para los cuates)Coordenadas cilndricasCoordenadas elipsoidales confocales (elpticas para los cuates)

Coordenadas cartesianasUn punto P(x,y,z) queda definido por tres distancias a lo largo de tres ejes perpendiculares

Coordenadas cartesianas (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio?

Coordenadas cartesianas (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio

Coordenadas esfricas polaresUn punto P(r,,) queda definido por una distancia y tres ngulos

Coordenadas esfricas polares (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio?

Coordenadas esfricas polares (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio

Tarea 1Usando las ecuaciones:x = r sen cosy = r sen senz = r cosdemuestre que (x2+y2+z2)=r2

Coordenadas cilndricasUn punto P(,,z) queda definido por dos distancias y un ngulo

Coordenadas cilndricas (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio

Coordenadas elipsoidales confocales P(,,)rArB00ABFocosUn punto P(,,) queda definido por las distanciasRy el ngulo zxy

Coordenadas elipsoidales confocales (2)

Coordenadas elipsoidales confocales (3) Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio

Determinantes?

DeterminantesArreglos cuadrados de N columnas y N renglonesN es el orden del determinante

Evaluacin de determinantesTodo determinante tiene un valor numricoCmo se evala un determinante?

Evaluacin de determinantesTodo determinante tiene un valor numricoPara evaluar un determinante se utiliza el mtodo de cofactores

Menores y cofactoresEl menor del elemento aij es el determinante de orden (N-1) que queda al quitar el i-simo rengln y la j-sima columna del determinante original. Este determinante se designa como AijPara formar el cofactor se la asigna un signo de acuerdo a la posicin que tena aij: (-1)i+j

Evaluacin del determinanteSe escoge un rengln o una columna y se forma el producto de cada elemento del rengln (o columna) por su cofactor y se suman todos los productos

Tarea 2Evale por el mtodo de cofactores el determinante:

Propiedades de los determinantesEl valor de un determinante cambia de signo cuando se intercambian dos renglones o dos columnasSi dos renglones son idnticos o dos columnas son idnticas, el determinante es cero

Notacin de sumatoria y producto

Tarea 3Sea ai la serie de los enteros pares empezando con ai = 2. Evale:

VectoresMagnitud y direccin, v.g. fuerza, aceleracin, campo elctrico; etc.La magnitud es un escalarVectores unitarios: i, j, kRadio vectorr = xi + yj + zk

Suma y resta de vectoresSiA = Axi + Ayj + AzkyB = Bxi + Byj + Bzkentonces:C = A + B = (Ax+Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k, yD = A - B = (Ax-Bx)i + (Ay-By)j + (Az-Bz)k

MagnitudDel radio vector:r = (x2 + y2 + z2)De cualquier vector, siA = Axi + Ayj + AzkA = (Ax + Ay + Az )

Producto de vectores?

Producto puntoProducto puntoA B ABcosA B = AxBx + AyBy + AzBz Si A B = 0, se dice que los vectores son ortogonales.

Producto cruzProducto cruzA B n ABsenA B = -(B A)Regla de la mano derechaInterpretacin geomtrica del producto cruz

Producto cruz (2)

Tarea 4Sean:A = 4i + j + 3k y B = i - 3j - k EvaleA + BA BA BA BB A

Derivacin de vectoresUn vector se deriva derivando sus componentes:

Ecuaciones vectorialesSon en realidad un compendio de 3 ecuaciones escalares:Momento angularL = r p

Tarea 5Escriba la ecuacin para cada una de las componentes del momento angular Lx, Ly y Lz en trminos de x, y y z, y de las componentes de momento lineal px, py y pz.

Nmero complejos

Nmero complejosEl valor absoluto o magnitud de un nmero complejo siempre es un real.Dos complejos son iguales son iguales sus partes reales y sus partes imaginariasLa suma de complejos es como la de vectores

Frmula de EulerLeonhard Paul Euler (1707-1783)

OperadoresTransformaciones

Regla de asociacin entre A y BAB

OperadoresTransformaciones

Regla de asociacin entre A y BSi A nmeros y B nmeros: Funcin.AB

OperadoresTransformaciones

Regla de asociacin entre A y BSi A nmeros y B nmeros: Funcin.Si A funciones y B nmeros: Funcional.AB

OperadoresTransformaciones

Regla de asociacin entre A y BSi A nmeros y B nmeros: Funcin.Si A funciones y B nmeros: Funcional.Si A funciones y B funciones: Operador.AB

Operadores: EjemplosA los operadores se les pone sombrero

lgebra de operadoresSi

entonces

lgebra de operadores (2)En general:

Tarea 6Considere la funcin f(x,y) = x2 + y2 + 2xy y seanopere sobre f(x,y) primero conNote que el resultado es el mismo. Cul ser el resultado al operar sobre f(x,y) con el operador

Tarea 7Sea y f(x) = x2 + 2x + 1. Demuestre que

El conmutadorSi los operadores conmutan, el conmutador vale cero y a la inversa, si el conmutador es cero, los operadores conmutan.

Operador Nabla

Gradiente de fLa cantidad f, donde f es una funcin escalar, se conoce como el gradiente de fPor ejemplo, si f = x2 + y2 + z2, entonces:f = 2xi + 2yj + 2zk

Complejo conjugado de un operadorSi un operador es complejo, su complejo conjugado se construye reemplazando i por i en todos los lugares donde aparezca i.

Operadores linealesUn operador es lineal si

Operador de Laplace o LaplacianoPierre-Simon Laplace (1749-1827)

Laplaciano en esfricas

Ecuaciones de valores propios(eigenvalores)Una ecuacin de la forma:(x) = a(x)Es una ecuacin de valores propios o eigenvalores. Donde: es un operador, es una funcin y a es un nmero (una constante).Cuando se cumple una ecuacin de este tipo, se dice que es funcin propia del operador y a a se le denomina valor propio.

Ecuaciones de valores propios (2)El principal problema matemtico de la Mecnica Cuntica es encontrar la solucin y los valores a de estas ecuaciones de valores propios.En Mecnica Cuntica el operador casi siempre es un operador diferencial, por lo tanto, las ecuaciones que hay que resolver son ecuaciones diferenciales de valores propios.

Un ejemplo

Ecuaciones de valores propios (3)Lo bueno es que las soluciones matemticas de este tipo de ecuaciones ya se conocan mucho tiempo antes de que se desarrollara la Mecnica Cuntica.

Tarea 8Demuestre que la funcin Ae-x es funcin propia del operador d2/dx2. Cul es el valor propio?

FuncionesFuncin realy = x3 + 2x + 5Funcin complejaz = 3 sen x + 4i cos x

Propiedades de simetra de algunas funcionesUna funcin es par:f(x) = f(-x)Una funcin es impar:f(x) = -f(-x)Ejemplos:y = x es un funcin impary = x2 es una funcin par

y = x

y = x2

Tarea 9Diga cules de las siguientes funciones de x son pares y cuales impares: x3, x4, sen x, cos x, x sen x, x cos x.

Unas reglitasPar x par = parPar x impar = imparImpar x par = imparImpar x impar = par

Tarea 10Establezca la simetra de las siguientes funciones:tan xcos2 xcos x sen xf(x) sen x cuando f(x) es parf(x) sen x cuando f(x) es impar

Integrales de funciones simtricasTodas las integrales entre lmites simtricos de funciones impares se anulan por simetra. Por ejemplo, la funcin seno:

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