Sesión 1: Sistemas y transformación deunidades.Área de Física

Resultado de aprendizaje• Describir cantidades físicas con su respectiva unidad de medida en el SI.• Realizar transformaciones entre: diferentes sistemas de unidades, prefijos SI, uni-dades derivadas de la multiplicación, división y potencias.Contenidos1) Introducción: Cantidades físicas, unidades básicas y derivadas en el SI, prefijosSI, otras unidades de medida.2) Ejemplos de transformación de unidades.

1. Introducción

La palabra física proviene del griego y significa conocimiento del mundo natural,adjetivo que fue dado antiguamente a todas las actividades que tributaran con estadefinición, abarcando desde es movimiento, la energía, el cielo hasta el estudio deanimales, el cuerpo humano etcétera [1].

Los primeros estudios en el área se remontan al movimiento de los astros. Ya enel año 3500 A.C,los sumerios estudiaron las estrellas con el con el fin de predecirlos ciclos climáticos y contar de alguna forma el paso del tiempo, creando para elloun calendario que permitía optimizar el proceso de cosecha.

Si bien esta área de la física se desarrolló por necesidad en la mayoría de los an-tiguos pobladores, los griegos lograron imponer un estilo de estudio de la naturalezadiferente, basado principalmente en el uso de la lógica más que en la observación,

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por ejemplo Aristóteles (384–322 A.C.), pensaba que cada substancia poseía un “lu-gar natural” en el universo y que el movimiento de un cuerpo era el resultado de queesta substancia intentara ir hasta su lugar natural, obviando las verdaderas causasdel movimiento [1].

Fue recién en la edad moderna cuando grandes científicos como Leonardo DaVinci (1452-1519), Copérnico (1473-1543), Kepler (1571-1630) y Galileo Galilei (1564-1642) entre otros comenzaron a sentar las bases de la ciencia como la conocemosahora mediante la observación rigurosa de los hechos y luego la medición que co-rroborara estas observaciones, más que por suposiciones.Fue finalmente Descartes en su obra el discurso del método define por primera vezlas reglas del método científico “para dirigir bien la razón y buscar la verdad en lasciencias” [?]. Este breve paso por la historia de la física se resume en la línea detiempo de la Figura (1).

Figura 1: Línea de tiempo, donde se muestra la evolución del pensamiento y la formade hacer ciencia.

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1.1. Cantidades Físicas

El método científico se estableció rápidamente como la forma çorrecta"de hacerciencia, haciendo necesaria la experimentación y junto con ella, la medición de cier-tas cantidades.Las cantidades físicas corresponden a cualquier fenómeno que pueda medirse yse clasifican en:

cantidades básicas, que son aquellas que pueden medirse directamente (tiem-po que tardaste en leer este párrafo, tu altura cuando vas a un control médico,la temperatura que hay en el día de hoy, etcétera) y

cantidades derivadas, aquellas que se obtienen por operatorias entre las can-tidades físicas básicas (la rapidez que posee un auto, la cual se mide en fun-ción de la distancia que recorre en determinado intervalo de tiempo).

Medición de una cantidad física. La medición de una cantidad física, siempreinvolucra la comparación con un patrón estándar, al que llamamos unidad física y elvalor que obtenemos tras esta comparación es lo que conocemos como magnitud,que corresponde a cuantas veces la cantidad física está contenida dentro del patrón(este valor siempre es un número).Los patrones de medición, es decir las unidades asignadas a cantidades físicas co-mo el tiempo, la longitud y la masa, depende del sistema de unidades que se use.

Los sistemas de unidades son “acuerdos” entre grupos de científicos para com-parar las cantidades físicas siempre con un mismo patrón. Por convención se utilizadesde el año 1960 el llamado sistema internacional de unidades (SI), aunquetambién existen otros, como el sistema cegesimal (cgs) o el sistema anglo-sajón deunidades.

Para expresar correctamente una cantidad física, siempre es necesario escri-bir su magnitud seguida por su respectiva unidad de medida entre paréntesis,quien nos dirá con respecto a que patrón se determinó tal magnitud. Por ejem-plo al medir tu estatura esta debe representarse como 1,67(m), no sólo como1,67.

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Figura 2: Al medir siempre comparamos la cantidad física, en este caso la longituddel lápiz, con un patrón, en este caso el que está tabulado en la regla.

1.1.1. Como expresar la magnitud de una cantidad física: Cifras significativas

Al ser la magnitud de una cantidad física básica determinada por medio de lacomparación directa con un patrón, su resultado siempre está asociado a cierta in-certidumbre. El valor de esta última dependerá de cómo medidos o comparamos, loque será influenciado por la habilidad del experimentador tanto como de los instru-mentos utilizados.La incertidumbre está asociada a la menor cantidad que puede medir el instrumen-to [3], en este caso, la balanza 1 sería 0.1 (g) y la balanza 2 sería 0.01 (g), por lotanto la segunda balanza entregaría una magnitud con menor incertidumbre que laprimera.Una indicación aproximada de la incertidumbre es el número de dígitos con el quese expresa una cantidad física.

Figura 3: A la izquierda se muestra la balanza 1 posee incertidumbre de 0.1 (g) y ala derecha balanza 2 con incertidumbre de 0.01 (g). Por ejemplo, si quieres conocerla masa de una manzana usando las dos balanzas, en la primera el resultado sería82.2 (g), mientras que en la segunda el valor es 82.23 (g).

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Cifras Significativas. El número de dígitos con que expresamos la magnitud esconocido como cifras significativas y está estrechamente relacionado con la preci-sión con que se determinó la magnitud de la cantidad física.

Por ejemplo, al determinar la masa de nuestra manzana en ambas balanzas, elprimer resultado 82.2 (g), posee tres cifras significativas, mientras que el segundode 82.23 (g) posee cuatro.

Para determinar correctamente las cifras significativas hay que seguir algunasconvenciones:

1. Las cifras significativas NO incluyen los ceros a la izquierda de un valor.Si por ejemplo la masa hubiese sido de unos cuantos granos de sal conun valor 0.2 (g) en la balanza 1 y 0.22 (g) en la balanza 2, el primer valorsolo posee una cifra significativa y dos cifras en el segundo.

2. Si la magnitud llegase a estar expresada en notación científica, elnúmero de cifras significativas no considera la potencia de 10, porejemplo, si se expresa el radio de la tierra como 6,37 · 103(m), el númerode cifras significativas es tres.

Cuando es necesario determinar la magnitud de una cantidad física derivada,siempre involucra realizar operaciones entre magnitudes física básicas. Para expre-sar estos resultados correctamente se debe considerar lo siguiente:

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Cifras significativa en operaciones básicas.Cuando las cantidades físicas operan entre sí, por medio de:

1. la multiplicación o división, el número de cifras significativas delresultado final no puede ser mayor que la menor cantidad de cifrassignificativas entre las cantidades involucradas.

Por ejemplo, si se mide la distancia que recorre un corredor co-mo 123.2 (m) y el tiempo que tardó en recorrerla como 12.9 (s),podemos estimar la rapidez, la cual sería sería 123,2/12,9 =9,5504 (m/s). Sin embargo, la forma correcta de expresar el re-sultado debería a lo más tener tres cifras significativas (que co-rresponden al número de cifras del tiempo), por lo que la formacorrecta de expresar el resultado sería 9,55 (m/s).

2. la suma o la resta, debemos fijarnos en el número con mayorincertidumbre, o en su defecto el menor número de dígitos a la derechadel punto decimal. El resultado de la operación debe ser expresado conla mayor incertidumbre entre las cantidades involucradas.

Por ejemplo, si queremos sumar la masa de ambas manzanas82,2+82,23 = 164,43 (g). Respetando la mayor incertidumbre entreambas, el resultado correcto es 164,4 (g).

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1.1.2. Como expresar la unidad de una cantidad física: Sistema Internacionalde Unidades

Unidades básicas. Como se dijo anteriormente las unidades básicas son los pa-trones con los que comparamos las cantidades básicas, estas son independientesentre si y cada una posee una definición construida de común acuerdo. Por conven-ción los patrones utilizados son los del SI, a menos que en el problema se pida locontrario. El SI posee siete unidades básicas o fundamentales, las que se muestranjunto con su respectiva definición en la Tabla (1).

Cantidad Unidad Base Abreviación Definición del patrónLongitud metro m Distancia que recorre la luz en el vacío en 1/299.792.458 segundos.

Masa Kilogramo kg Masa del Kilogramo Patrón, un cilindro compuesto de unaaleación de platino-iridio, que se guarda en la OficinaInternacional de Pesas y Medidas en Sèvres.

Tiempo segundo s Es el tiempo requerido por 9.192.631.770 ciclos de laradiación correspondiente a la transición entre los dos niveleshiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Temperatura Kelvin K Se define como la fracción 1/273,16 de la temperaturatermodinámica del punto triple del agua.

Intensidad de Ampere A Es la corriente que debe circular en dos conductoresrectos, paralelos y de sección despreciable separados por un metro,que se encuentran en el vacío, para que entre ellos se origineuna fuerza de 2 · 10−7(N)

Cantidad de mol mol Es la cantidad de sustancia de un sistema que contienetantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 (kg)de carbono 12, aproximadamente 6, 02214129 · 1023.

Intensidad Candela cd Es la intensidad luminosa emitida por una fuentede radiación monocromática con frecuencia de 540 · 1012 (Hz)de forma que potencia de radiación emitida es de 1/683 (W)por estereorradián.

Cuadro 1: Unidades básicas o fundamentales del SI.

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Unidades derivadas. Las unidades derivadas, son las unidades correspondien-tes a cantidades físicas derivadas, y se relacionan de la misma forma que lo hace lacantidad física, es decir, si la rapidez puede determinarse por medio de una divisiónentre la distancia recorrida y tiempo como

v =d

t

Entonces la unidad derivada para la velocidad en SI será la división entre launidad de distancia, que es el metro, con la unidad de tiempo que es el segundo,por lo que la unidad de velocidad será(m

s

)Para conocer la unidad de una cantidad física, por muy compleja o ajena que nos

parezca, solo debemos reemplazar las unidades en la expresión algebraica que lasrelaciona y luego realizar las operaciones correspondientes.

IMPORTANTE.Las Unidades operan entre si al igual que cantidades algebraicas, es decir lamultiplicación o división de unidades de igual base, implica la suma o restade los exponentes respectivamente, como por ejemplo

m ·m2 = m3

Kg3

Kg2= Kg

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Dos unidades básicas diferentes NO pueden operar entre si, ya que sonindependientes, es decir, los metros se multiplican o dividen con metros, lossegundos con segundos y los kilogramos con kilogramos.

m3 · s3

m · s= m2 · s2

En algunos casos estas unidades derivadas reciben nombres propios, aunquesiguen siendo parte del SI. Un ejemplo de estas se observan en la siguiente tabla.

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Cantidad Unidad Derivada Abreviación Unidad base SIFuerza Newton N Kg·m

s2

Presión Pascal Pa Kgs2·m

Energía Joule J Kg·m2

s2

Frecuencia Hertz Hz 1s

Potencia Watts W Kg·m2

s3

Cuadro 2: Algunas unidades derivadas del SI que poseen un nombre propio.

Prefijos SI. Cuando la magnitud de la cantidad física, es muy pequeña o muygrande comparada con la unidad de medida (patrón), se tienden a usar subdivisio-nes de estos mismo, llamados prefijos SI. Un prefijo SI es una letra que se anteponea la unidad patrón, y que representa a una potencia de 10, la cual multiplica o divideal patrón original.

Por ejemplo, si una distancia es expresada como 1 (km), significa que el patrónutilizado es el metro, pero que se multiplicó por el prefijo kilo, cuya abreviación es ky que se encuentra a la izquierda del patrón. El prefijo kilo representa una potenciade 103, es decir que 1 (km) = 1 (103m) = 1000 (m).

Estas potencias, junto con otras que quizás no conozcas, se muestran en la si-guiente cuadro.

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Potencia Prefijo Abreviación Número de veces la unidad1018 exa E 1 000 000 000 000 000 0001015 peta P 1 000 000 000 000 0001012 tera T 1 000 000 000 000109 giga G 1 000 000 000106 mega M 1 000 000103 kilo K 1 000102 hecto h 1 00101 deca da 1 010−1 deci d 0. 110−2 centi c 0. 0110−3 mili m 0. 00110−6 micro µ 0. 000 00110−9 nano n 0. 000 000 00110−12 pico p 0. 000 000 000 00110−15 femto f 0. 000 000 000 000 00110−18 atto a 0. 000 000 000 000 000 001

Cuadro 3: Prefijos físicos de las unidades SI

Otras unidades de medida. Existen algunos patrones que no corresponden aunidades derivadas SI ni tampoco a sus prefijos, sin embargo, son habitualmenteutilizadas. Algunas de ellas pertenecen a otros sistemas de unidades o solo sonutilizadas por costumbre, en el siguiente recuadro se indican algunas de ellas

Cantidad Unidad Unidad SI Conversión a SIDistancia Pulgada (in) metro (m) 1(in) = 0, 0254(m)Volumen Litro (l) metro cúbico (m3) 1(l) = 10−3(m3)Tiempo Minuto (min) segundo (s) 1(min) = 60(s)

Hora (Hr) segundo (s) 1(Hr) = 3600(s)Masa gramo (g) Kilogramo (Kg) 1(g) = 0, 001(Kg)

Libra (lb) Kilogramo (Kg) 1(lb) = 0, 45359(Kg)Fuerza Kilopondio (kp) Newton (N ) 1(kp) = 9, 8(N)

Cuadro 4: Otras unidades comunmente utilizadas

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2. Transformación de unidades: modelo de resolu-ción de problemas

Muchas veces es útil o necesario transformar unidades de un sistema de unida-des a otro, o en su defecto buscar equivalencias entre diferentes prefijos SI. Parallevar a cabo estas transformaciones se pueden ejecutar diversos procedimientos,pero en este apunte se expondrá solo uno de ellos, el que consiste en la ponderaciónpor un factor de conversión equivalente a 1.2.1. Transformación entre unidades de diferentes sistemas.

Para transformar unidades entre un sistema y otro, es necesario hacer una pon-deración por un factor uno, que nos permita eliminar la unidad de medida actual ydejar la unidad de medida deseada. Los pasos necesarios se demuestran con elsiguiente ejemplo:

¿A cuantos Kg equivalen 4,50 (lb)?

1. Leer detalladamente el problema, iden-tificando los datos que nos entrega y cuales la pregunta que nos piden responder.

Este paso es crucial para resolver cual-quier problema de física. Si bien este ti-po de problema es sencillo y explícito, deigual forma es provechoso plantearse lassiguientes preguntas, ¿ Qué datos conoz-co?, ¿ Qué quiero determinar?.En este caso los datos entregado es el va-lor de una masa en libras, y la preguntanos pide explícitamente transformar estamasa a kg.

2. Encontrar la conversión de 1 unidaden uno de los sistemas con su respecti-va equivalencia en el otro, la cual siemprees conocida. En este caso la conversiónentre kilogramos y libras se puede extraerdesde la Tabla (4).

1 (lb) = 0, 45359 (kg)

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3. Una vez que se determina la conver-sión, se encuentra el factor por el cualmultiplicaremos para cambiar la unidad demedida. Para que la unidad de medida ac-tual se anule, en nuestro factor, la unidadde medida actual se debe encontrar en eldenominador.

1(lb) = 0, 45359(Kg)

1 =0, 45359(Kg)

1 (lb)

4. Multiplicar la cantidad actual por el fac-tor y luego reducir los términos

4, 50(lb) = 4, 50(lb) · 1

4, 50(lb) = 4, 50(lb) · 0, 45359(Kg)1 (lb)

4, 50(lb) = 4, 50��(lb) · 0, 45359(Kg)

1��(lb)

4, 50(lb) = 2, 04 (kg)

5. Revisar el resultado y responder formal-mente.

Después de una revisión del procedimien-to se debe expresar el resultado, escri-biendo con el correcto uso de cifras signi-ficativas dependiendo de las operacionesrealizadas y con la respectiva unidad demedida.La masa en libras corresponde a 2,04 (kg).

2.2. Transformación entre dos prefijos SI

En este caso el procedimiento es similar al anterior, con la diferencia de queprimero debemos llegar a conocer la conversión entre ambos prefijos, la cual nosiempre es evidente.Los pasos necesarios se demuestran con el siguiente ejemplo:

¿A cuantos atómetros (am) equivalen 25(pm) ?

1. Leer detalladamente el problema, iden-tificando los datos que nos entrega y cuales la pregunta que nos piden responder.

En este caso los datos entregado es el va-lor de una distancia usando la unidad me-tro, y el prefijo pico (p) , el cual debe sertransformado a atto (a).

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2. Para encontrar la conversión entre am-bos prefijos escribiremos en el numeradorla igualdad de uno de los prefijos y en eldenominador la otra, para luego despejarun prefijo en función del otro

1(am)

1(pm)=

10−18(m)

10−12(m)

1(am)

1(pm)=

10−6���(m)

���(m)

1(am) = 10−6(pm)3. Una vez que se determina la conver-sión, se encuentra el factor por el cualmultiplicaremos para cambiar la unidad demedida. Para que la unidad de medida ac-tual se anule, en nuestro factor, la unidadde medida actual se debe encontrar en eldenominador.

1(am) = 10−6(pm)

1(am)

10−6(pm)= 1

106(am)

1 (pm)= 1

4. Multiplicar la cantidad actual por el fac-tor y luego reducir los términos

25 (pm) = 25(pm) · 1

25 (pm) = 25(pm) · 106(am)

1 (pm)

25 (pm) = 25���(pm) · 106(am)

1���(pm)

25 (pm) = 25 · 106 (am)

5. Revisar el resultado y responder formal-mente.

La distancia en picómetros corresponde a25 · 106 (am).

2.3. Transformación entre potencias de prefijos SI

En este caso el procedimiento es similar al anterior, con la diferencia de queprimero debemos llegar a conocer la conversión entre ambos prefijos, y luego laconversión entre las potencias de esos prefijos.

¿A cuantos (mm3) equivalen 20(cm3)?

1. Leer detalladamente el problema, iden-tificando los datos que nos entrega y cuales la pregunta que nos piden responder.

En este caso los datos entregados son elvalor de un volumen en cm3 y las poten-cias asociadas a centi y mili. Estos dosprefijos aparecen elevados al cubo. Lapregunta hace referencia al valor del vo-lumen en mm3.

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2. escribimos en el numerador la igualdadde uno de los prefijos y en el denomina-dor la otra, para luego despejar un prefijoen función del otro y por último elevar a lapotencia correspondiente

1(mm)

1(cm)=

10−3(m)

10−2(m)

1(mm)

1(cm)=

10−3�

��(m)

10−2�

��(m)

1(mm) = 10−1(cm)

Luego para obtenerla conversión de la po-tencia indicada elevamos ambos lados dela igual al factor correspondiente. Este pa-so es crucial, y es importante recalcar quese elevan tantos los números como lasunidades.

[1(mm)]3 = [10−1(cm)]3

13(mm3) = (10−1)3(cm3)

1(mm3) = 10−3(cm3)3. Una vez que se determina la conver-sión, se encuentra el factor por el cualmultiplicaremos para cambiar la unidad demedida. Para que la unidad de medida ac-tual se anule, en nuestro factor, la unidadde medida actual se debe encontrar en eldenominador. En nuestro ejemplo,

1(mm3) = 10−3(cm3)

1(mm3)

10−3(cm3)= 1

4. Multiplicar la cantidad actual por el fac-tor y luego reducir los términos

20(cm3) = 20(cm3) · 1

20(cm3) = 20(cm3) · 1(mm3)

10−3(cm3)

20(cm3) = 20����(cm3) · 1(mm3)

10−3�

���(cm3)

20(cm3) = 20 · 1(mm3)

10−3

20(cm3) = 20 · 103(mm3)

5. Revisar el resultado y responder formal-mente.

El volumen en centímetros cúbicos co-rresponde a La distancia en picómetroscorresponde a 20 · 103(mm3).

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2.4. Transformación entre unidades derivadas

Una de las transformaciones más engorrosas corresponde a la transformaciónde unidades derivadas, que impliquen operaciones entre dos o más unidades base.La diferencia con los casos expuestos anteriormente es que en este caso se debeencontrar un factor por cada unidad involucrada.

2.4.1. Multiplicación de unidades

¿A cuantos (N ·m) equivalen 460(kp · cm)?

1. Leer detalladamente el problema, iden-tificando los datos que nos entrega y cuales la pregunta que nos piden responder.

En este caso los datos entregado es lamagnitud de un torque el cual está expre-sado en la unidad derivada kp · cm, dondela fuerza está expresada en kilopondios(kp) y la distancia en centímetros (cm). Lanueva unidad implica realizar dos transfor-maciones llevando la fuerza a newton (N)y la distancia a metros (m).

2. Escribimos la conversión para cadacantidad.

Primero para la fuerza, la conversión pue-de ser extraída desde la Tabla (4)

1,0 (kp) = 9,8 (N)

Luego hacemos lo mismo con la unidadde distancia

1 (cm) = 10−2 (m)

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3. Una vez que se determinan ambas con-versiones, se encuentra los factores por elcual multiplicaremos para cambiar las uni-dades de medida. En este caso como am-bas unidades están multiplicándose, enambos casos para que la unidad de me-dida actual se anule, la unidad de medidaactual se debe encontrar en el denomina-dor.

1 (kp) = 9,8(N)

1 =9,8 (N)

1 (kp)

en el caso del factor de conversión para ladistancia

1 (cm) = 10−2 (m)

1 =10−2 (m)

1 (cm)

4. Multiplicar la cantidad actual por ambosfactores y luego reducir los términos

460(kp · cm) = 460 (kp · cm) · 1 · 1

460(kp · cm) = 460 (kp · cm) · 9,8 (N)

1 (kp)· 10

−2 (m)

1 (cm)

460(kp · cm) = 460 (��kp ·��cm) · 9,8 (N)

1���(kp)· 10

−2 (m)

1���(cm)

460(kp · cm) = 4508 · 10−2 (N ·m)

(2)5. Revisar el resultado y responder formal-mente.

La magnitud del torque en kilopondios porcentímetros corresponde a 45,1(N ·m).

2.4.2. División de unidades

¿A cuantos (ms

) equivalen 20(kmh)?

1. Leer detalladamente el problema, iden-tificando los datos que nos entrega y cuales la pregunta que nos piden responder.

En este caso los datos entregados sonuna rapidez expresada en la unidad deri-vada km/h, donde la distancia está expre-sada en kilometros (km) y el tiempo en ho-ras (h). También se conocen ambas con-versiones. La nueva unidad implica reali-zar dos transformaciones llevando la dis-tancia a metros (m) y el tiempo a segun-dos (s).

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2. Escribimos ambas conversiones

1(km) = 103(m)

Luego hacemos lo mismo con la conver-sión para el tiempo

3600(s) = 1(h)

3. Una vez que se determinan ambas con-versiones, se encuentra los factores por elcual multiplicaremos para cambiar las uni-dades de medida.

Para que la unidad de medida actual dedistancia se anule, en nuestro factor, launidad de medida actual se debe encon-trar en el denominador,

1(km) = 103(m)

1 =103(m)

1(km)

Por otra parte, para que la unidad de tiem-po se anule, como actualmente se en-cuentra en el denominador, en nuestrofactor debe aparecer en el numerador

3600(s) = 1(h)

1 =1(h)

3600(s)

4. Multiplicar la cantidad actual por ambosfactores y luego reducir los términos

20(km

h) = 20(

km

h) · 1 · 1

20(km

h) = 20(

km

h) · 10

3(m)

1(km)· 1(h)

3600(s)

20(km

h) = 20(

��km

��h) · 10

3(m)

1���(km)· 1��(h)

3600(s)

20(km

h) = 5,5556(

m

s)

5. Revisar el resultado y responder formal-mente.

La rapidez en kilómetros por hora corres-ponde a 5,6(m/s).

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Referencias

[1] Tipler, P. A., & Mosca, G. (2007). Physics for scientists and engineers. Macmillan.

[2] Serway, R. A., Jewett, J. W., Hernández, A. E. G., & López, E. F. (2005). Físicapara ciencias e ingeniería (Vol. 6). Thomson.

[3] Sears, F. W., Zemansky, M. W., & Young, H. D. (1987). University physics.Addison-Wesley.

[4] Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2010). Fundamentals of physics extended.John Wiley & Sons.

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