Series Sumables

Ejercicios de Anlisis MatemticoAlgunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta

Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergencia de una serie y otra es calcular susuma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de forma exacta.Aqu vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar frmulas para sumar series, sinoen comprender y en aplicar los mtodos que permiten calcularlas.

Series geomtricas. Las series de la formaXn>0

xn donde 2R y jxj < 1, cuya suma viene dada por

1XnD0

xn D

1 x.

Series aritmtico - geomtricas. Son series de la formaXn>0

p.n/xn donde p es una funcin polinmica

de grad0 m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fcilmente que estas series convergenabsolutamente si jxj < 1. Es claro que no convergen si jxj> 1 pues entonces fp.n/xng es una sucesinno acotada y, por tanto, no converge a 0. Supongamos que jxj < 1 y pongamos:

S D

1XkD0

p.k/xk D lKmn!1

nXkD0

p.k/xk

Definamos las diferencias de primer orden de p, que notaremos, 1p, como el polinomio dado paratodo k 2N por

1p

.k/ D p.k C 1/ p.k/. Observa que 1p es un polinomio de grado m 1.

Tenemos:

S xS D .1 x/S D lKmn!1

nX

kD0

p.k/xk

nXkD0

p.k/xkC1

!D

D lKmn!1

n1XkD0

p.k C 1/ p.k/

xkC1 C p.0/ p.n/xnC1

!D p.0/C x

1XkD0

1p

.k/xk :

Pongamos S1 DP1

kD0

1p

.k/xk . La igualdad anterior nos dice que .1 x/S D p.0/C xS1. Este

procedimiento puede volver a aplicarse a la serieXk>0

1p/.k/x

k. De la misma forma obtenemos

ahora .1 x/S1 D1p/.0/C xS2, donde S2 D

P1kD0

2p

.k/xk y

2p

son las diferencias de

segundo orden de p definidas para todo k2N por:2p

.k/D

1p

.k C 1/

1p

.k/:

Observa que2p

es un polinomio de grado m 2.

Repitiendo este proceso m veces llegaremos a obtener finalmente

Sm D

1XkD0

mp

.k/xk D

1 x

porque las diferencias de orden m, .mp, de un polinomio de grado m son constantes, .mp

.k/D

para todo k2N . Conocido Sm calculamos Sm1 a partir de la igualdad .1x/Sm1Dm1p

.0/C

xSm. A partir de Sm1 podemos calcular Sm2, etctera, hasta llegar a obtener finalmente el valor deS .

Series hipergeomtricas. Consideremos una serieP

an de trminos positivos tal que para todo n2Nes:

anC1

anD

nC

nC ; . > 0; ; 2R/:

Dpto. de Anlisis Matemtico Universidad de Granada

Ejercicios de Anlisis Matemtico 2

Escribiendo esta igualdad para nD k en la forma:

kakC1 C akC1 D kak C ak

y sumando desde k D 1 hasta k D n se obtiene:

nanC1 C .anC1 C Sn a1/D Sn C Sn: (1)

Donde Sn DnX

kD1

ak . Supuesto que la serie sea convergente y que su suma es S D lKmfSng, se deduce

de la igualdad anterior que la sucesin fnanC1g tambin converge y necesariamente su lmite debe sercero (si fuera nanC1 ! > 0 se tendra que an n lo que implicara que la serie diverge).

Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fcilmente que la serie converge si > C y divergesi < C . Tambin diverge si D C porque en tal caso se deduce de la igualdad 1 que:

nanC1 C anC1 a1 D 0 anC1 D

a1

nC

y, por comparacin con la serie armnica, se sigue que la serie diverge.Supuesto que, > C , y tomando lmites en la igualdad 1 deducimos que:

S a1 D S C S S D

a1

:

Series cuyo trmino general es una funcin racional. Se trata de series de la formaX P .n/

Q.n/don-

de P y Q son funciones polinmicas. A partir de un cierto trmino en adelante, dichas series tie-nen todos sus trminos positivos o todos negativos (segn que lKmx!C1P .x/Q.x/ D C1 o quelKmx!C1P .x/Q.x/ D 1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado del denomina-dor es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador. Cuando esta condicin se cumple y,adems, las races del polinomio Q son todas reales y simples es posible calcular la suma de la serie

descomponiendo la funcin racionalP .x/

Q.x/en fracciones simples, Se tendr una descomposicin de la

forma:P .x/

Q.x/D

A1

x 1C

A2

x 2C C

Am

x m

donde 1; 2; : : : ; m son las races de Q. Sustituyendo en la igualdad anterior xDk y sumando desdek D 1 hasta k D n resulta:

nXkD1

P .k/

Q.k/D

nXkD1

A1

k 1C

A2

k 2C C

Am

k m

Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta que finalmente nos quede una sucesinque sea convergente. Observa que las series de la forma

X An

son divergentes (por comparacincon la serie armnica) pero la suma de todas las que hay en el parntesis anterior tiene que ser, enlas hiptesis hechas, una serie convergente. Lo usual es que los coeficientes Ak sean unos positivos yotros negativos y que las races k sean nmeros enteros, de manera que se produzcan cancelacionesque finalmente permitan calcular la suma de la serie. Es frecuente que en los clculos aparezca la seriearmnica alternada.

Series de diferencias o telescpicas. Se llaman as las seriesP

an cuyo trmino general puede escri-birse en la forma an D bnC1 bn. Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad

nXkD1

ak D bnC1 b1;



la serie converge si, y slo si, la sucesin fbng converge, en cuyo caso1X

nD1

an D lKmfbng b1.

Series relacionadas con la exponencial. Sea x2R un nmero real distinto de 0, fijo en lo que sigue ysea n2N . Aplicando el teorema de Taylor a la funcin exponencial con aD 0, tenemos que hay algnpunto c comprendido entre 0 y x tal que:

ex D1C

nXkD1

1

k!xk C

ec

.nC 1/!xnC1:

La serieXn>0

xn

n!es absolutamente convergente porque, poniendo an D jxj

n

n!, tenemos:

anC1

anD

jxj

nC 1! 0:

En particular, se verifica que lKmn!1

jxjn

n!

D 0. Como 0 < jcj < jxj, tenemos que:

ex nX

kD0

1

k!xk

D

ec.nC 1/!xnC1

6 ejxj jxjnC1.nC 1/! ;

de donde deducimos que:

lKmn!1

ex nX

kD0

1

k!xk

D 0 ex D 1X

nD0

xn

n!:

Como x0 es un nmero real cualquiera y la igualdad anterior es trivialmente cierta para xD0, hemosprobado que para todo nmero real x se verifica la igualdad:

ex D

1XnD0

xn

n!D lKm

n!1

1C

x

1!C

x2

2!C

x3

3!C C

xn

n!

(2)

En particular, para x D 1, resulta que:

eD

1XnD0

1

n!D lKm

n!1

1C

1

1!C

1

2!C

1

3!C C

1

n!

: (3)

Con ayuda de esta serie podemos calcular la suma de series de la formaXn>0

p.n/

n!donde p es una

funcin polinmica de grado m>1. Dichas series son (absolutamente) convergentes como se compruebafcilmente con el criterio del cociente. Para calcular su suma expresamos el polinomio p.x/ en la forma:

p.x/D a0 C a1x C a2x.x 1/C a3x.x 1/.x 2/C C amx.x 1/.x 2/ .x mC 1/:

Los nmeros ak pueden calcularse fcilmente:

a0 D p.0/; a1 D p.1/ a0; 2a2 D p.2/ a0 2a1; : : :



Con ello tenemos que:

1XnD0

p.n/

n!D

1XnD0

0@a0

n!C

mXjD1

ajn.n 1/ .n j C 1/

n!

1AD

D a0 eC

mXjD1

1X

nD0

aj n.n 1/ .n j C 1/

n!

!D

D a0 eC

mXjD1

0@ 1X

nDj

aj n.n 1/ .n j C 1/

n!

1AD

D a0 eC

mXjD1

0@ 1X

nDj

aj

.n j /!

1AD a0 eC mX

jD1

1X

nD0

aj

n!

!D

D .a0 C a1 C a2 C C am/ e :

Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desde nD 0 hay que hacer los ajustes necesarios.El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipo

Xn>0

p.n/

n!xn.

De la igualdad (3) se deduce fcilmente que el nmero e es irracional. En efecto, para todo n2Ntenemos que:

0 < e

nXkD1

1

k!D

1XkDnC1

1

k!D

1

n!

1XkD1

1

.nC 1/.nC 2/ .nC k/

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