Series de Fourier en varias variables. Garc a Hern andez ... · variables es necesario conocer...

Series de Fourier en varias variables.Garcıa Hernandez SamuelReporte de proyecto semestral.

Introduccion.

Esta pequena introduccion motivaremos un poco el estudio de las seriesde Fourier en varias variables.

Problemas de Sturm-Liouville.

Un problema de Sturm-Liouville consiste en encontrar solucion a laecuacion

(ph′)′ + qh− λh = g

sujeta a las condiciones de frontera

αh(a) + α1h′(a) = 0

βh(b) + β1h′(b) = 0

donde λ ∈ C, p, q ∈ C[a, b], p > 0, g ∈ L2[a, b], α, α1, β, β1 son reales talesque α2 + α2

1 > 0, β2 + β21 > 0. Se puede garantizar la solucion de este tipo

de probelmas con ayuda del teorema espectral para operadores compactoautoadjuntos, la prueba de este resultado se puede encontrar en [4].

El problema de la cuerda vibrante.

La situacion mas elemental en la que puede describirse este problema esla siguiente: Supongamos que una cuerda flexible se estira hasta quedar tensay que sus extremos se fijan, por conveniencia, en los puntos (0, 0) y (0, π).Entonces se tira de la cuerda hasta que esta adopte la forma de la curva dadapor la ecuacion y = f(x) y se suelta. La cuestion es: ¿Cual es el movimientodescrito por la cuerda? Si los desplazamientos de esta se hallan siempre enun mismo plano y el vector de desplazamiento es perpendicular, en cualquiermomento, al eje de las abscisas, dicho movimiento vendra descrito por unafuncion u(x, t), donde u(x, t) representara el desplazamiento vertical de lacuerda, en la coordenada x (0 ≤ x ≤ π) y el tiempo t (t ≥ 0). El problemaque se plantea es obtener u(x, t) a partir de f(x).

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El modelo matematico para esta situacion es el siguiente:

∂2u(x, t)∂t2

=∂2u(x, t)∂x2

, 0 < x < π, t > 0

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ π∂u(x, 0)∂t

= 0, 0 ≤ x ≤ π

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0.

Para resolver este problema se propone una solucion en variables separadas,es decir, una solucion de la forma

u(x, t) = X(x)T (t)

donde X es una funcion que depende solo de la variale x y T es una funciondepende solo de la variable t.

Con esta propuesta, se obtiene un problema de Sturm-Liouville para la fun-cion X, lo cual nos conduce a que la solucion u tiene una expresion de laforma

u(x, t) =∞∑n=1

an sen(nx) cos(nt)

donde los coeficientes an han de elegirse de forma que se cumplan todas lasecuaciones del modelo propuesto. Con esta ultima expresion obtenemos losiguiente

f(x) = u(x, 0) =∞∑n=1

an sen(nx).

Lo primero que nos preguntamos al observar lo obtenido, es si f admiteo no un desarrollo como el que se expresa. Si suponemos que f admitetal desarrollo concluimos que la expresion obtenida para u es solucion alproblema de la cuerda vibrabte.

El problema de la conduccion del calor.

En el problema de conduccion del calor, Fourier considero una varilladelgada de longitud dada, digamos π, cuyos extremos se mantienen a 0o

centıgrados y cuya superficie lateral esta aislada. Si la distribucion inicial detemperatura en la varilla viene dada por una funcion f(x) (se supone que

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la temperatura de la varilla en cada seccion transversal de la misma es con-stante), ¿Cual sera la temperatura de cualquier punto x de la varilla en eltiempo t ? Suponiendo que la varilla satisface condiciones fısicas apropiadas,Fourier demostro que si u(x, t) representa la temperatura en la seccion x yen el tiempo t, entonces la funcion u debe satisfacer:

∂2u(x, t)∂x2

=∂u(x, t)∂t

, 0 < x < π, 0 < t < T

u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ Tu(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ π.

Al igual que en el caso de la cuerda vibrante, se propone una solucion envariables separadas, y nuevamente ello nos conduce a un problema de Sturm-Liouville. Procediendo de manera analoga se obtienen las siguientes expre-siones

u(x, t) =∞∑n=1

an sen(nx)exp(−n2t)

f(x) =∞∑n=1

an sen(nx),

en donde nuevamente tenemos la interrogante de que si f admite tal expan-sion.

La aplicacion del teorema espectral de operadores compactos autoadjun-tos para dar solucion a problemas de Sturm-Liouville utiliza el espacio deHilbert L2[a, b] donde [a, b] es un intervalo de R. Si consideramos, por ejem-plo, el problema de la conduccion del calor en un cuerpo (abierto y acotado)Ω de R3, en lugar de una varilla unidimensional como el caso tratado porFourier. Con un modelo matematico apropiado, utilizando el metodo de sep-aracion de variables, y el espacio de Hilbert L2(Ω) nos preguntamos acercade desarrollos en series de Fourier de funciones de varias variables (no solode una).

Para iniciar un estudio formal de series de Fourier de funciones en variasvariables es necesario conocer algunos resultados acerca de funciones perıod-icas de varias variables. La primer seccion de este proyecto esta dedicadaa cubrir este requisito. Como se dara cuenta el lector, algunas demostra-ciones de esta seccion se han omitido, esto es para dar brevedad al reporte.

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Cualquier demostracion omitida o duda acerca del proyecto podra ser dis-cutida y aclarada con el autor.

Funciones perıodicas en Rn.

Para dar inicio a esta seccion cabe decir que se necesita conocer bastantebien el teorema de Fubini para funciones integrables y el criterio de integra-bilidad de Tonelli para la medida de Lebesgue en Rn. En adelante hacermosuso de algunos teoremas bastante conocidos y otros no tanto, los cuales nose demuestran para brevedad del reporte. La mayorıa de los resultados songeneralizaciones de proposiciones y teoremas en una sola variable, los cualesse encuentran demostrados en [5].

Teorema 1. Fubini y Tonelli

Fubini

Sea f : Rp+q → R una funcion integrable se cumple:

i) Para casi toda x ∈ Rp la funcion

fx : y 7→ f(x, y)

es integrable sobre Rq.

ii) Existe una funcion integrable g : Rq → R tal que

g(x) =∫Rq

f(x, y)dy

para casi toda x ∈ Rp

iii) Se cumple la identidad∫Rp+q

f(x, y)dxdy =∫Rp

∫Rq

f(x, y)dydx.

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Fubini para funciones medibles no negativas

Sea f : Rp+q → R una funcion medible no negativa, entonces:

i) Para casi toda x ∈ Rp la funcion

fx : y 7→ f(x, y)

es medible no negativa de Rq en R

ii) La funcion

x 7→∫Rq

f(x, y)dy

definida c.t.p. en Rp con valores en R tambien es medible no negativa.

iii) Se cumple la identidad∫Rp+q

f(x, y)dxdy =∫Rp

∫Rq

f(x, y)dydx.

Teorema de Tonelli

Sea f : Rp+q → R una funcion medible. Una condicion necesaria y sufi-ciente para que f sea integrable en Rp+q es que alguna de las dos integralessiguientes sea finita:∫

Rp

∫Rq

|f(x, y)|dydx o∫Rq

∫Rp

|f(x, y)|dxdy.

Definicion 1. Sea f : Rn → K una funcion. Decimos que la funcion f esT -perıodica, o de perıodo T > 0, si se cumple

f(x+ Tk) = f(x)

para toda k ∈ Zn y para toda x ∈ Rn.

Se tiene que si f : Rn → K es T -periodica, entonces f esta completamentedeterminada por sus valores en cualquier cubo de arista T

CTα =n∏j=1

[αj , αj + T [= [α1, α1 + T [× · · · × [αn, αn + T [

de Rn, donde α = (α1, . . . , αn) ∈ Rn es arbitrario.

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Proposicion 1. Sea f : Rn → K una funcion T -periodica. Entonces f esmedible si y solo si fχCTα es medible para algun α = (α1, . . . , αn) ∈ Rn.Ademas, si f es integrable en algun cubo CTα , entonces f es integrable encualquier otro cubo de arista T y las integrales de f en ambos cubos soniguales.

Los espacios LTp

Definicion 2. Para 1 ≤ p < +∞, denotamos por LTp el espacio vectorial de

todas las funciones f : Rn → K que son T -periodicas, medibles y tales que|f |p es integrable en

[−T

2 ,T2

[n. Si f ∈ LTp ponemos

Np(f) =

(∫[−T2 ,T2 [n

|f |p)1/p

.

Para p = +∞, denotamos por LT∞ el espacio vectorial de todas las fun-

ciones f : Rn → K que son T -periodicas, medibles y tales que f es es-encialmente acotada en Rn ,o equivalentemente, en

[−T

2 ,T2

[n. Si f ∈ LT∞ponemos

N∞(f) = supess[−T2 ,T2 [n

|f |.

Sea 1 ≤ p ≤ +∞. La aplicacion que a cada f ∈ LTp le asocia su restriccion

a [−T2 ,

T2 [n es un isomorfismo lineal de LTp sobre Lp

([−T

2 ,T2

[n,K).

Como consecuencia tenemos que LTp es un espacio seminormado con la semi-

norma inducida por Lp([−T

2 ,T2

[n,K)

sobre LTp la cual coincide con la fun-cion Np de la definicion anterior. Luego dicho isomorfismo es, de hecho, unaisometrıa lineal.

Sea LTp el espacio normado asociado a LTp . Designamos por Np la norma

correspondiente en LTp . La isometrıa anterior induce una isometrıa de LTpsobre Lp

([−T

2 ,T2

[n,K)

. Ası pues, LTp debe ser un espacio de Banach y LT2un espacio de Hilbert.

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Dado que la clase de equivalencia de una funcion f ∈ LTp depende solo desus valores en

]−T

2 ,T2

[n podemos identificar cada clase de LTp con una clase

de Lp(]−T

2 ,T2

[n,K)

.

Note que como]−T

2 ,T2

[n tiene medida finita, los espacios LTp estan anida-dos, es decir, si 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ entonces LTq ⊆ LTp , en particular LTp ⊆ LT1para toda p ∈ [1,+∞].

Definicion 3. Se define ET como el espacio vectorial de todas las fun-ciones escalonadas f : Rn → K cuya restriccion a

]−T

2 ,T2

[n sea una funcionescalonada en el abierto

]−T

2 ,T2

[n, es decir, si f ∈ ET , f es de la forma

r∑k=1

akχAk

donde Ak ⊆ Rn es un rectangulo acotado tal que Ak ⊆]−T

2 ,T2

[n y ak ∈ K,para k ∈ 1, . . . , r.

Se define CT como el espacio vectorial de todas las funciones f : Rn → Kque son continuas y T -periodicas. Note que la continuidad en Rn es equiva-lente a pedir continuidad en

[−T

2 ,T2

]n.

Proposicion 2. Si f ∈ CT entonces f es uniformemente continua en Rn.

Proposicion 3. Sea 1 ≤ p < +∞. Los subespacios ET y CT de LTp sondensos.

Convolucion.

Definicion 4. Sean f, g : Rn → K dos funciones medibles T -periodicas. Sedefine la convolucion de f y g como la funcion

f ∗ g(x) =∫

]−T2 ,T2 [nf(y)g(x− y)dy,

para toda x ∈ Rn tal que la integral exista.

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Proposicion 4. La operacion de convolucion es conmutativa y asociativaen el sentido siguiente:

i. Si existe f ∗ g(x) para algun x ∈ Rn, entonces tambien existe g ∗ f(x) yambos valores coinciden.

ii. Si existe (|f | ∗ |g|) ∗ |h|(x) para algun x ∈ Rn, entonces tambien existen(f ∗ g) ∗ h(x) y f ∗ (g ∗ h)(x) y son iguales.

Notacion. En lo sucesivo denotaremos por Tn el cubo]−T

2 ,T2

[n.

Teorema 2. Si f, g ∈ LT1 , entonces: f ∗ g existe c.t.p. en Rn, f ∗ g ∈ LT1 ,se cumplen las relaciones:∫

Tnf ∗ g =

(∫Tnf

)(∫Tng

)y N1(f ∗ g) ≤ N1(f)N1(g).

En particular, la convolucion es una operacion asociativa y conmutativasobre LT1 que es compatible con la estructura de espacio vectorial sobre elcampo K y que hace de LT1 una algebra de Banach conmutativa.

Demostracion. Considere la funcion H = Rn × Rn → K definida por

H(x, y) = f(y)g(x− y).

Se sabe que H es medible (por ser producto tensorial de funciones medibles).Ademas,∫

Tn

(∫Tn|H(x, y)|dx

)dy =

∫Tn

(∫Tn|f(y)||g(x− y)|dx

)dy

=∫Tn|f(y)|

(∫Tn|g(x− y)|dx

)dy

=∫Tn|f(y)|

(∫Tng(z)dz

)dy

=(∫

Tn|f |)(∫

Tn|g|)

= N1(f)N1(g) <∞

donde la tercera igualdad se obtiene por el cambio de variable x = z+y. Porel Teorema de Tonelli concluimos que la funcion H es integrable en Tn×Tn.

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Por Teorema de Fubini, la funcion x 7→∫Tn H(x, y)dy esta definida c.t.p. en

Tn y es integrable en Tn. Ya que∫TnH(x, y)dy =

∫Tnf(y)g(x− y)dy = f ∗ g(x),

entonces f ∗ g(x), definida c.t.p. en Tn, digamos ∀x ∈ Tn\A con A ⊂ Tn talque m(A) = 0, es integrable en Tn. Ademas∫

Tnf ∗ g(x)dx =

∫Tn

(∫Tnf(y)g(x− y)dy

)dx

=∫Tn×Tn

H(x, y)dxdy

=∫Tn

(∫Tnf(y)g(x− y)dx

)dy

=∫Tnf(y)

(∫Tng(x− y)dx

)dy

=∫Tnf(y)

(∫Tng(z)dz

)dy

=(∫

Tnf

)(∫Tng

)donde la quinta igualdad se obtiene por el cambio de variable x = z + y.Note que, de hecho, f ∗ g esta definida c.t.p. en Rn y satisface

f ∗ g(x+ kT ) =∫Tnf(y)g(x+ kT − y)dy

=∫Tnf(y)g(x− y)dy = f ∗ g(x),

por ser g periodica de periodo T , para toda k ∈ Zn y para toda x ∈ Rn talque f ∗ g(x) exista, es decir, salvo en un conjunto con medida cero de Tn.Note ademas que si x es tal que f ∗ g(x) no existe entonces tampoco existef ∗ g(x+ kT ) para ninguna k ∈ Zn. Ası pues, f ∗ g esta, de hecho, definidac.t.p. en Rn, mas precisamente f ∗ g(x) existe ∀x ∈ Rn\

⋃k∈Zn(A + kT )

donde

m

( ⋃k∈Zn

(A+ kT )

)= 0

por ser la medida de Lebesgue invariante bajo traslacion y subaditiva. Enlos puntos x ∈

⋃k∈Zn(A + kT ) se puede definir f ∗ g(x) como cero. Con

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esta convencion, f ∗ g queda definida en todo punto de Rn y es T -periodica.Ademas, por la Proposicion 8, como f ∗g es integrable en Tn y es T -periodicaentonces f ∗ g es integrable sobre cualquier cubo en Rn de longitud T ytodas las integrales son iguales. Finalmente, por el Teorema de Fubini parafunciones medibles no negativas, tenemos

N1(f ∗ g) =∫Tn|f ∗ g(x)|dx

=∫Tn

∣∣∣∣∫Tnf(y)g(x− y)dx

∣∣∣∣ dy≤∫Tn

(∫Tn|f(y)||g(x− y)|dx

)dy

=∫Tn|f(y)|

(∫Tn|g(z)|dz

)dy

=(∫

Tn|f |)(∫

Tn|g|)

= N1(f)N1(g)

donde la tercera igualdad se obtiene por el cambio de variable x = z + y.

Observacion 1. Debido a la identificacion natural que existe entre los espa-cios (LTp ,Np) y

(Lp([−T

2 ,T2

[n,K),Np

), para p ∈ [1,∞], las desigualdades

de Holder y Minkowski, validas para el segundo espacio, se heredan a(LTp ,Np) vıa dicha identificacion. Ası pues, tenemos que si f ∈ LTp y g ∈ LTp∗ ,entonces fg ∈ LT1 y

N1(fg) ≤ Np(f)Np∗(g)

para p ∈ [1,∞]. Mas generalmente, se demuestra por induccion que sip1, . . . , pr ≥ 1 son tales que

1p1

+ · · ·+ 1pr

= 1

y si fi ∈ LTpi , i = 1, . . . , n, entonces f1 · · · fr ∈ LT1 y

N1(f1 · · · fr) ≤ Np1(f1) · · · Npr(fr). /

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Observacion 2. Si H : Tn×Tn → K es una funcion medible, entonces porel Teorema de Fubini la funcion Hx : y 7→ H(x, y) es medible en Tn, paracasi toda x ∈ Tn. Ademas, si la funcion Hx es integrable en Tn, para casitoda x ∈ Tn, entonces la funcion x 7→

∫Tn Hx(y)dy definida c.t.p. en Tn es

tambien medible en Tn. /

Teorema 3 (Teorema de Young). Sean p, q ∈ [1,+∞[ tales que se cumple1/p+ 1/q > 1. Definimos r por la relacion

1r

=1p

+1q− 1.

Si f ∈ LTp y g ∈ LTq entonces: f ∗ g existe c.t.p. en Rn; f ∗ g ∈ LTr ; y

Nr(f ∗ g) ≤ Np(f)Nq(g).

En particular, si f ∈ LTp y g ∈ LT1 entonces f ∗ g ∈ LTp y

Np(f ∗ g) ≤ Np(f)N1(g).

Demostracion. Dadas las hipotesis sobre p, q y r, se tiene que: r ≥ 1;1/p− 1/r ≥ 0; y 1/q − 1/r ≥ 0. En efecto, se tiene

1r

=1p

+1q− 1 ≤ 1 + 1− 1 = 1 y

1p− 1r

= 1− 1q≥ 0,

la ultima desigualdad se prueba similarmente. Observe que

|f(y)||g(x− y)|

= (|f(y)|p|g(x− y)|q)1r (|f(y)|p)

1p− 1r (|g(x− y)|q)

1q− 1r (0.1)

Suponga que p > 1 y q > 1. Por lo demostrado arriba, resulta que1/p− 1/r > 0 y 1/q − 1/r > 0. Definimos α, β, γ por las relaciones

1α

=1r,

1β

=1p− 1r

y1γ

=1q− 1r.

Como f ∈ LTp entonces |f |p ∈ LT1 , luego∫Tn

(|f |pβ )β =

∫Tn|f |p < +∞,

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es decir |f |pβ ∈ LTβ , con lo cual, la funcion f1 : y 7→ (|f(y)p|

1β ) es un elemento

de LTβ . Por otro lado, para x ∈ Rn, g ∈ LTq implica que |g|q ∈ LT1 , ası∫Tn

(|g(x− y)|pγ )γdy =

∫Tn|g(x− y)|qdy =

∫Tn|g|q < +∞,

es decir, la funcion g1 : y 7→ (|g(x− y)|q)1γ es un elemento de LTγ , para toda

x ∈ Rn. Ahora, dado que |f |p ∈ LT1 y |g|q ∈ LT1 entonces |f |p ∗ |g|q(x) existepara casi toda x ∈ Rn. Luego, si x ∈ Rn es tal que |f |p ∗ |g|q(x) existe,entonces∫

Tn

(|f(y)|

pα |g(x− y)|

qα

)αdy

=∫Tn|f(y)|p|g(x− y)|qdy = |f |p ∗ |g|q(x) < +∞,

o sea, que la funcion h : y 7→ |f(y)|pα |g(x− y)|

qα es un elemento de LTα para

casi toda x ∈ Rn. Si x ∈ Rn es tal que h ∈ LTα , y como f1 ∈ LTβ , g ∈ LTγ y1/α+ 1/β + 1/γ = 1, entonces, por desigualdad de Holder, concluimos quela funcion y 7→ f1(y)g1(y)h(y) es un elemento de LT1 , es decir,∫

Tn|f(y)||g(x− y)|dy < +∞,

por (0.1), o sea, que f ∗ g(x) existe para casi toda x ∈ Rn.

Suponga ahora que q = 1 y p > 1. Entonces 1/r = 1/p+ 1− 1 = 1/p, dedonde r = p. En este caso, (0.1) se reduce a

|f(y)||g(x− y)| = (|f(y)|p|g(x− y)|)1p (|g(x− y)|)

p−1p . (0.2)

Ahora como g ∈ LT1 , entonces∫Tn

(|g(x− y)p−1p |)

pp−1dy =

∫Tn|g(x− y)|dy < +∞,

ası, la funcion g1 : y 7→ |g(x− y)|p−1p es un elemento de LTp

p−1. Por otro lado

|g| ∈ LT1 , |f |p ∈ LT1 implican que |f |p ∗ |g|(x) existe para casi toda x ∈ Rn,de donde∫

Tn

(|f(y)||g(x− y)|

1p

)p=∫Tn|f(y)|p|g(x− y)| = |f |p ∗ |g|(x)

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para toda x ∈ Rn tal que |f |p ∗ |g|(x) exista. De lo anterior concluimosque la funcion f1 : y 7→

(|f(y)||g(x− y)|

1p

)pes un elemento de LTp para

casi toda x ∈ Rn. Si x ∈ Rn es tal que f1 ∈ LTp y como g1 ∈ LTpp−1

con

(p − 1)/p + 1/p = 1, por desigualdad de Holder y por (0.2) se sigue quey 7→ |f(y)||g(x − y)| es integrable en Tn, es decir, f ∗ g(x) existe para casitoda x ∈ Rn.

Probaremos ahora que f ∗ g ∈ LTr . La funcion H : Rn×Rn → K definidapor H(x, y) = f(y)g(x−y) es medible. Hemos visto que f ∗g existe c.t.p. enRn, luego,

∫Tn Hx existe para casi toda x ∈ Rn. Por la observacion anterior

concluimos que la funcion x 7→∫Tn Hx = f ∗ g(x) es medible en Rn, y por

tanto en Tn.

Como antes, primero suponemos p > 1 y q > 1. Por (0.1) y la desigualdadde Holder tenemos

|f ∗ g(x)| ≤∫Tn|f(y)||g(x− y)|dy (0.3)

≤(∫

Tn|f(y)p||g(x− y)|qdy

) 1r(∫

Tn|f(y)|pdy

) 1p− 1r

×(∫

Tn|g(x− y)|qdy

) 1q− 1r

= (|f |p ∗ |g|q(x))1r Np(f)1− p

rNq(g)1− qr

Por el Teorema 2, |f |p ∗ |g|q es integrable en Tn y ademas

N(|f |p ∗ |g|q) ≤ N1(|f |p)N1(|g|q).

De (0.3) obtenemos

|f ∗ g(x)|r ≤ Np(f)r−pNq(g)r−q|f |p ∗ |g|q(x).

Integrando sobre Tn y aplicando otra vez el Teorema 2, conseguimos∫Tn|f ∗ g(x)|r ≤ Np(f)r−pNq(g)r−q

∫Tn|f |p ∗ |g|q(x)dx

≤ Np(f)r−pNq(g)r−qN1(|f |p ∗ |g|q)≤ Np(f)r−pNq(g)r−qN1(|f |p)N1(|g|q)= Np(f)r−pNq(g)r−qNp(f)pNq(g)q

= Np(f)rNq(g)r < +∞.

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Por lo tanto f ∗ g(x) ∈ LTr y ademas

Nr(f ∗ g) ≤ Np(f)Np(g).

En caso de que q = 1 y p > 1, por desigualdad de Holder y por (0.2)tenemos

|f ∗ g(x)| ≤∫Tn|f(y)||g(x− y)|dy

≤(∫

Tn|f(y)|p|g(x− y)|dy

) 1p(∫

Tn|g(x− y)|dy

)1− 1p

,

lo cual implica que

|f ∗ g(x)|p ≤(∫

Tn|f(y)|p|g(x− y)|dy

)(∫Tn|g(x− y)|

)p−1

= (|f |p ∗ |g|(x))N1(g)p−1. (0.4)

Nuevamente por el Teorema 2, |f |p ∗ |g| es integrable en Tn y

N1(|f |p ∗ |g|) = N1(|f |p)N1(g)

Integrando (0.4) obtenemos∫Tn|f ∗ g(x)|pdx ≤ N1(g)p−1

∫Tn|f |p ∗ |g|(x)dx

= N1(g)p−1N1(|f |p ∗ |g|)≤ N1(g)p−1N1(|f |p)N1(g)= N1(g)pN1(f)p.

Por lo tanto, f ∗ g ∈ LTr y

Nr(f ∗ g) ≤ Np(f)N1(g).

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Proposicion 5. Sea p ∈ [1,+∞[. Dada una funcion f : Rn → K y h ∈ Rn,definimos la funcion fh : Rn → K como

fh(x) = f(x+ h), ∀x ∈ Rn.

Si f ∈ LTp , entonces la aplicacion

h 7→ fh

de Rn en LTp es continua. Ademas se cumple

Np(fh) = Np(f).

Proposicion 6. Sea p ∈ [1,+∞]. Si f ∈ LTp y g ∈ LTp∗, entonces f ∗ g(x)existe para toda x ∈ Rn y f ∗ g ∈ CT . En particular, f ∗ g ∈ LT∞ y

N∞(f ∗ g) ≤ Np(f)Np∗(g).

Demostracion. Sea x ∈ Rn fijo. Afirmamos que gx ∈ LTp∗ donde

gx(y) = g(x− y) ∀y ∈ Rn.

En efecto, sean y ∈ Rn y k ∈ Zn. Se tiene

gx(y + kT ) = g(x− y − kT ) = g(x− y) = gx(y), ∀y ∈ Rn

por lo que gx es T -periodica. Como g es medible, entonces gx es mediblepor el Teorema de Cambio de Variable. Si p∗ < +∞, haciendo el cambio devariable y = x− z y aplicando la Proposicion 1, tenemos∫

Tn|gx|p

∗=∫Tn|g(x− y)|p∗dy

=∫x−Tn

|g(z)|p∗dz =∫Tn|g(z)|p∗dzNp∗(g)p

∗<∞.

Y si p∗ = +∞, se tiene, por ser g periodica de periodo T ,

supessTn

|gx| = supessy∈Tn

|g(x− y)| = supessz∈x−Tn

|g(z)| = supessy∈Tn

|g(y| <∞.

Por lo tanto, gx ∈ LTp∗ y ademas Np∗(gx) = Np∗(g), para toda p ∈ [1,+∞].Por la desigualdad de Holder, tenemos que fgx ∈ LT1 y ademas

N1(fgx) ≤ Np(f)Np∗(gx) = Np(f)Np∗(g) < +∞

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dondeN1(fgx) =

∫Tn|f(y)||g(x− y)|dy,

de donde, |f | ∗ |g|(x) existe para toda x ∈ Rn, luego f ∗g(x) existe para todax ∈ Rn. Ademas, es claro que f ∗ g es una funcion T -periodica.

Probemos ahora que f ∗ g ∈ CT . Sean pues x0 ∈ Rn fijo y ε > 0.

Si p∗ < +∞ tenemos

|f ∗ g(x0)− f ∗ g(x)| = |∫Tn

[f(y)g(x0 − y)− f(y)g(x− y)]dy|

≤∫Tn|f(y)||g(x0 − y)− g(x− y)|dy

=∫Tn|f(−z)||gx0(z)− gx(z)|dz

=∫Tn|f(−z)||(gx0 − gx)(z)|dz

donde la funcion z 7→ f(−z) pertenece a LTp con la misma norma que f yz 7→ (gx0 − gx)(z) pertenece a LTp∗ . Luego, por desigualdad de Holder,

|f ∗ g(x0)− f ∗ g(x)| ≤ Np(f)Np∗(gx0 − gx).

Por la Proposicion 5 la aplicacion x 7→ gx de Rn en LTp es continua en x0,luego existe δ > 0 tal que si |x0 − x| < δ entonces

Np∗(gx0 − gx) < ε.

Por lo tanto, |x0 − x| < δ implica

|f ∗ g(x0)− f ∗ g(x)| ≤ Np(f)ε,

es decir, f ∗ g es continua en x0. Ası pues f ∗ g es continua en Rn. Enparticular, f ∗ g es medible.

Si p∗ = +∞, se tiene de manera analoga que

|f ∗ g(x0)− f ∗ g(x)| = |g ∗ f(x0)− g ∗ f(x)|

≤∫Tn|g(y)||fx0(−y)− fx(−y)|dy ≤ N+∞(g)N1(fx0 − fx) < ε

16

para toda x ∈ Rn tal que |x0 − x| < δ1, para algun δ1 > 0 otra vez por laProposicion 5. Por lo tanto, f ∗ g es continua en x0. Luego f ∗ g es continuaen Rn. Ademas, por la Proposicion 5, se tiene

|f ∗ g(x)| ≤ N1(fgx) ≤ Np(f)Np∗(gx) = Np(f)Np∗(g), ∀x ∈ Rn,

de lo que se sigue que f ∗ g ∈ LT∞ y

N∞(f ∗ g) ≤ Np(f)Np∗(g).

Sucesiones de Dirac.

Definicion 5. Sea ρνν∈N una sucesion en LT1 . Se dice que ρνν∈N es unasucesion de Dirac T -periodica si se cumple:

i. ρν ≥ 0, ∀ν ∈ N.

ii.∫Tnρν = 1, ∀ν ∈ N.

iii. Para todo δ ∈]0, T2 [ se cumple

lımν→∞

∫]−δ,δ[n

ρν = 1,

o equivalentemente,

lımν→∞

∫δ≤‖x‖∞≤T2

ρν(x)dx = 0.

Diremos que ρνν∈N es una sucesion de Dirac fuerte T -periodica siρν ∈ LT∞ para todo ν ∈ N, se cumplen (i), (ii) y

iii′. Para todo δ > 0 se tiene

lımν→∞

supessδ≤‖x‖∞≤T2

ρν(x) = 0.

Note que la condicion (iii′) implica la condicion (iii), pues si ponemos

µν(δ) = supessδ≤‖x‖∞≤T2

ρν(x),

17

entonces

0 ≤∫

δ≤‖x‖∞≤T2

ρν ≤ µν(δ)m(Tn\]− δ, δ[n) = µν(δ)(Tn − δn)

donde la expresion de la derecha tiende a cero cuando ν tiende a ∞. Esdecir, toda sucesion de Dirac fuerte T -periodica es una sucesion de DiracT -periodica.

Teorema 4 (Desigualdad de Jensen). Sean E ⊆ Rn medible y unafuncion ρ : E → R no negativa e integrable con

∫E ρ = 1. Sean I un intervalo

en R, ϕ : I → R una funcion convexa y f : E → I una funcion. Si fρ y(ϕ f)ρ son integrables en E, entonces

∫E fρ ∈ I y ademas

ϕ(∫Efρ) ≤

∫E

(ϕ f)ρ.

Un resultado un poco mas general de este teorema se puede consultaren [7].

Corolario 1. Sea E ⊆ Rn medible y sea ρ : E → R no negativa e integrablecon

∫E ρ = 1. Sean I = [0,+∞[ y ϕ : I → R la funcion

ϕ(t) = tp, ∀t ≥ 0,

donde p ∈ [1,+∞[ es fijo. Si f : E → I es tal que fpρ y fρ son integrablesen E, entonces (∫

Efρ

)p≤∫Efpρ.

Se puede demostrar que si f y ρ son medibles no negativas y∫E fρ < +∞

entonces la conclusion del Corolario anterior sigue siendo valida, aunque∫E f

pρ ≤ +∞.

18

Teorema 5. Sea ρν∞ν=1 una sucesion de Dirac T -periodica. Se cumplenlas afirmaciones siguientes:

i. Si f ∈ LTp , con p ∈ [1,+∞[, entonces

lımν→∞

Np(f − f ∗ ρν) = 0.

ii. Si f ∈ LT∞ y es continua en un punto x ∈ Rn, entonces

lımν→∞

f ∗ ρν(x) = f(x).

iii. Si f es continua en un abierto Ω ⊂ Rn, entonces la sucesion de funcionesf ∗ ρν∞ν=1 converge a f uniformemente en todo compacto contenido en Ω.

iv. Si f ∈ CT , entonces la sucesion de funciones f ∗ ρν∞ν=1 converge a funiformemente en Rn.

Demostracion. (i) Como f ∈ LTp y ρν ∈ LT1 para toda ν ∈ N entonces porTeorema de Young f ∗ ρν ∈ LTp . Se tiene por el Corolario 1,

|f(x)− f ∗ ρν(x)|p =∣∣∣∣∫Tnρν(y)(f(x)− f(x− y))dy

∣∣∣∣p≤(∫

Tnρν(y)|f(x)− f(x− y)|dy

)p≤∫Tnρν(y)|f(x)− f(x− y)|pdy.

Ahora, por el Teorema de Fubini para funciones que son medibles no nega-tivas, tenemos∫

Tn|f(x)− f ∗ ρν (x)|pdx ≤

∫Tn

(∫Tnρν(y)|f(x)− f(x− y)|pdy

)dx

=∫Tn

(∫Tnρν(y)|f(x)− f(x− y)|pdx

)dy

=∫Tnρν(y)

(∫Tn|f(x)− f(x− y)|pdx

)dy

=∫Tnρν(y)

(∫Tn|f(x)− f−y(x)|pdx

)dy

=∫Tnρν(y)Np(f − f−y)dy,

19

donde f−y : Rn → K es, como antes, la funcion f−y(x) = f(x− y) para todax ∈ Rn. Recuerde que para f ∈ LTp la funcion h 7→ fh es uniformementecontinua de Rn en LTp , en particular, dicha funcion es continua en cero. Ası,para ε > 0 arbitrario existe δ > 0, con 0 < δ < T

2 , tal que

‖y‖∞ < δ ⇒ Np(f − f−y) < ε1p /2.

Ası pues, si ‖y‖∞ < δ entonces

Np(f − f ∗ ρν)p ≤∫Tnρν(y)Np(f − f−y)dy

=∫‖y‖∞<δ

ρν(y)Np(f − f−y)dy +∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)Np(f − f−y)dy

≤ ε1p /2 + 2Np(f)

∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)Np(f − f−y)dy.

Al ser ρν∞ν=1 de Dirac T -periodica y descartando el caso trivial Np(f) = 0,tenemos que existe ν0 ∈ N tal que

ν ≥ ν0 ⇒∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy <ε

1p

2 · 2Np(f).

Con lo cual, si ν ≥ ν0, entonces

Np(f − f ∗ ρν)p <ε

1p

2+ 2Np(f)

ε1p

2 · 2Np(f)= ε

1p .

Por lo tanto ν ≥ ν0 implica

Np(f − f ∗ ρν) < ε,

es decir,lımν→∞

Np(f − fρν) = 0.

(ii) Sea ε > 0. Como f es continua en x, existe δ > 0, con δ ∈]0, T2 [, talque

‖x− z‖∞ < δ ⇒ |f(x)− f(z)| < ε

2.

De igual manera existe ν0 ∈ N tal que

ν ≥ ν0 ⇒∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy <ε

4M,

20

donde M = supessTn

|f |. Descartando el caso trivial M = 0, se puede suponer

M > 0. Ası pues, para ν ≥ ν0, se tiene

|f(x)− f ∗ ρν(x)| ≤∫Tnρν(y)|f(y)− f(x− y)|dy

=∫‖y‖∞<δ

ρν(y)|f(x)− f(x− y)|dy

+∫δ<‖y‖∞<T

2


≤ ε

2+ 2M

∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy

< ε.

Por lo tantolımν→∞

f ∗ ρν(x) = f(x).

(iii) Sea K ⊂ Ω un compacto. Entonces α = d∞(K,Rn −Ω) > 0, donded∞ es la distancia en Rn inducida por la norma cubica ‖ · ‖∞. Definimos elcompacto

K ′ =x ∈ Rn|d∞(x,K) ≤ α

2

.

Se tiene K ⊂ K ′ ⊂ Ω. Como la funcion f es continua en Ω, entonces fes uniformemente continua en K ′. Ası pues, dado ε > 0, existe δ > 0, con0 < δ < mınα/2, T/2, tal que, ∀x1, x2 ∈ K ′, se tiene

‖x1 − x2‖∞ < δ ⇒ |f(x1)− f(x2)| < ε/2.

Tomemos x ∈ K arbitrario. Ya que f ∈ LT∞ y ρν ∈ LT1 , ∀ν ∈ N, entoncesexiste f ∗ ρν(x), ∀ν ∈ N. Se tiene

|f(x)− f ∗ ρν(x)| ≤∫Tnρν(y)|f(x)− f(x− y)|dy

=∫‖y‖∞<δ


+∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)|f(x)− f(x− y)|dy.

Como x ∈ K, si ‖y‖∞ < δ, entonces x− y ∈ K ′ pues

d∞(x− y,K) ≤ ‖x− (x− y)‖∞ = ‖y‖∞ < δ <α

2.

21

Ası pues,

|f(x)− f ∗ ρν(x)| ≤ ε

2+ 2M

∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy.

Pero existe ν0 ∈ N (independiente de x) tal que

ν ≥ ν0 ⇒∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy <ε

4M,

donde, descartando el caso trivial M = 0, podemos suponer que M > 0. Porlo tanto,

|f(x)− f ∗ ρν(x)| < ε

2+ε

2= ε, ∀ν ≥ ν0.

Se concluye entonces que f ∗ ρν converge a f uniformemente en K.(iv) Por la Proposicion 2, f es uniformemente continua en Rn. En par-

ticular, f es uniformemente continua en el compacto Tn, luego f es acotadaen Tn y ası f ∈ LT∞.

Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖x1 − x2‖∞ < δ <T

2⇒ |f(x1)− f(x2)| < ε.

Para toda x ∈ Rn, se tiene

|f(x)− fρν(x)| ≤∫Tnρν(y)|f(x)− f(x− y)|dy

=∫‖y‖∞<δ


+∫δ<‖y‖∞<T

2


≤ ε

2+ 2M

∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy.

Pero existe ν0 ∈ N (independiente de x) tal que

ν ≥ ν0 ⇒∫δ<‖y‖∞<T

2

ρν(y)dy <ε

4M,

donde, descartando el caso trivial M = 0, podemos suponer que M > 0. Porlo tanto, para toda x ∈ Rn, se tiene

|f(x)− f ∗ ρν(x)| < ε

2+ε

2= ε, ∀ν ≥ ν0.

22

Funciones 2π-periodicas

En lo sucesivo limitaremos nuestro estudio al caso de funciones de Rn enK que son 2π-periodicas.

Considere el conjunto de funciones de Rn en K dadas por

ϕk : x 7→ cos(k|x) y ψk : x 7→ sen(k|x)

donde k = (k1, . . . , kn) ∈ Zn y (·|·) denota el producto interno usual en Rn.

Por otro lado considere un subconjunto Zn de Zn que cumple que para todok ∈ Zn − 0, k ∈ Zn o −k ∈ Zn pero no ambos.

Dado que se cumple

cos(k|x) = cos(−k|x) y sen(k|x) = − sen(−k|x)

para toda k ∈ Zn y x ∈ Rn, entonces el conjunto

Linϕk, ψk|k ∈ Zn

de todas las combinaciones lineales con coeficientes en K de funciones enϕk, ψkk∈Zn coincide con el conjunto

Linϕk, ψk|k ∈ Zn ∪ 0

de todas las combinaciones lineales con coeficientes en K de funciones enϕk, ψkk∈Zn∪0.

Como ejemplo considere n = 3 y

P := (√

2− i)ϕ(−1,2,7) + (4 + 5i)ψ(3,4,10) + (3− i)ϕ(1,0,−3) + iψ(−1,1,−1)

elemento de Linϕk, ψk|k ∈ Zn en donde suponemos que

(1, 0,−3), (−1, 1,−1) /∈ Zn,

luego entonces

(−1, 0, 3), (1,−1, 1) ∈ Zn.

23

Para x ∈ Rn se tiene lo siguiente

P (x)

= (√

2− i) cos(−x1 + 2x2 + 7x3) + (4 + 5i) sen(3x1 + 4x2 + 10x3)+ (3− i) cos(x1 − 3x3) + i sen(−x1 + x2 − x3)

= (√

2− i) cos(−x1 + 2x2 + 7x3) + (4 + 5i) sen(3x1 + 4x2 + 10x3)+ (3− i) cos(−x1 + 3x3)− i sen(x1 − x2 + x3)

es decir P ∈ Linϕk, ψk|k ∈ Zn ∪ 0.

Un conjunto Zn que cumple la condicion anterior es, por ejemplo,

Zn = Fn1 ∪ Fn2 ∪ · · · ∪ Fnn ,

donde los conjuntos Fnj son productos cartesianos de n factores los cualesestan dados por

Fn1 = Z+ × Z× · · · × Z,Fnj = 0 × · · · × 0 × Z+ × Z× · · · × Z,Fnn = 0 × · · · × 0 × Z+,

para j = 2, . . . , n− 1, donde el j-esimo factor es Z+.

Notacion. Denotaremos por [2δ]n el cubo ]− δ, δ[n de Rn para δ > 0.

Definicion 6.1. Definimos el sistema trigonometrico real en Rn, denotado por TR,como el conjunto de funciones ϕ0, ϕk, ψk : Rn → R definidas por

ϕ0(x) = 1, ϕk(x) = cos(k|x), ψk(x) = sen(k|x), ∀x ∈ Rn,

para toda k ∈ Zn.

2. Definimos ahora el sistema trigonometrico complejo en Rn, deno-tado por TC, como el conjunto de funciones ξk : Rn → C

ξk(x) = ei(k|x), ∀x ∈ Rn,

para toda k ∈ Zn.

24

3. Las combinaciones lineales de funciones de TR con coeficiente reales sellaman polinomios trigonometricos reales.

4. Las combinaciones lineales de funciones de TR con coeficientes complejosson las mismas que las combinaciones lineales de funciones en TC con coefi-cientes complejos y se llaman polinomios trigonometricos complejos.

Recuerde que si f : Rn → K y g : Rm → K son dos funciones, se defineel producto tensorial de f y g, denotado por f ⊗ g, como

f ⊗ g(x, y) = f(x)g(y)

para toda (x, y) ∈ Rn × Rm = Rn+m con x ∈ Rn y y ∈ Rm.

Observacion 3. Si se tiene que ρν∞ν=1 y ϕν∞ν=1 son dos sucesiones deDirac T -periodicas en LT1 y ⊗ denota producto tensorial de funciones, en-tonces ρν ⊗ ϕν∞ν=1 es una sucesion de Dirac T -periodica de R2n en R.

En efecto, evidentemente se cumple: ρν ⊗ ϕν(x, y) ≥ 0 para todo elemento(x, y) ∈ R2n; ρν ⊗ ϕν es T -periodica e integrable sobre T 2n con∫

T 2n

ρν ⊗ ϕν = 1, ∀ν ∈ N, ;

y si δ ∈]0, T2 [, entonces

lımν→∞

∫[2δ]n×[2δ]n

ρν ⊗ ϕν = lımν→∞

(∫[2δ]n

ρν

)(∫[2δ]n

ϕν

)= 1.

Mas aun, si ρν∞ν=1 y ϕν∞ν=1 son sucesiones de Dirac fuertes, entoncesρν ⊗ ϕν∞ν=1 es una sucesion de Dirac fuerte. Ademas

supessT 2n

ρν ⊗ ϕν ≤(

supessTn

ρν

)(supessTn

ϕν

). /

Recuerde que la sucesion de funciones ϕν∞ν=0 de R en R definidas por

ϕν(x) =(1 + cosx)ν

cν, ∀x ∈ R, (∗)

ν = 0, 1, 2, . . ., es una sucesion de Dirac fuerte de periodo 2π de R en R,donde

cν =∫ π

−π(1 + cos t)νdt.

25

Por la observacion anterior, la sucesion de funciones ρν∞ν=1 de Rn en Rdefinida por

ρν(x) = ρν(x1, . . . , xn) = ϕν ⊗ · · · ⊗ ϕν(x1, . . . , xn)

=(1 + cosx1)ν · · · (1 + cosxn)ν

cnν, ∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

ν = 0, 1, 2, . . ., es una sucesion de Dirac fuerte 2π-periodica de Rn en R.

Definicion 7. Sea (E, ‖ · ‖) un espacio normado y sea S ⊂ E, denotamospor L(S) el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de S,decimos que S es completo si

L(S) = E.

Definicion 8. Sea p ∈ [1,+∞] y sea F una coleccion de funciones en LTp∗,se dice que la coleccion F es total en LTp si se cumple la implicacion

f ∈ LTp y∫Tn

fφ = 0 ∀φ ∈ F ⇒ f = 0 c.p.t. en Rn

Teorema 6.i. Si p ∈ [1,+∞[, entonces el sistema trigonometrico real TR es completo

en L2πp (R) y los sistemas trigonometricos complejos TR y TC son completos

en L2πp (C).

ii. El sistema trigonometrico real TR es completo en C2π(R), provisto dela norma uniforme, y los sitemas trigonometricos complejos TR y TC soncompletos en C2π(C), provisto de la norma uniforme.

Demostracion. Por el parrafo anterior, las funciones ρν∞ν=0 son una suce-sion de Dirac fuerte 2π-periodica. Por el Teorema 6, si f ∈ L2π

p , entonces

lımν→∞

Np(f − f ∗ ρν) = 0.

Por el mismo Teorema 5, si f ∈ C2π, entonces

lımν→∞

f ∗ ρν = f

26

uniformemente en Rn. Para concluir el teorema, basta entonces probar quef ∗ ρν es un polinomio trigonometrico real o complejo, segun sea f real ocompleja.

Procederemos por induccion sobre la dimension de Rn. Ya se sabe que elresultado es cierto para n = 1. Probaremos el caso n = 2 para ver algunosdetalles para el paso inductivo. Sea f ∈ L2π

p en R2 y sea ρν∞ν=0 la sucesiondada por

ρν(x1, x2) =(1 + cosx1)ν(1 + cosx2)ν

c2ν

, ∀(x1, x2) ∈ R2,

para ν = 0, 1, . . .. Por el Teorema de Fubini, tenemos

f ∗ ρν (x1, x2) (0.5)

=∫

[2π]2f(y1, y2)

(1 + cos(x1 − y1))ν(1 + cos(x2 − y2))ν

c2ν

d(y1, y2)

=∫ π

−π

(1 + cos(x2 − y2))ν

cν

×(∫ π

−πfy2(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1

)dy2.

Nuevamente por el Teorema de Fubini, f ∈ L2πp en R2 implica que fy2 ∈ L2π

p

en R para casi toda y2 ∈ [−π, π]. Observe que∫ π

−πfy2(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1 = fy2 ∗ ϕν(x1). (0.6)

En el caso n = 1 se demuestra que para la sucesion ϕν∞ν=0 de Dirac fuertede periodo 2π de R en R se debe tener

fy2 ∗ ϕν(x1) =r∑

k=0

[ak(y2) cos(kx1) + bk(y2) sen(kx1)]. (0.7)

Afirmamos que las funciones y2 7→ ak(y2), y2 7→ bk(y2) son elementos de L2πp

27

de R en K, segun sea f real o compleja. En efecto, se tiene

(1 + cos(x1 − y1))ν

=ν∑k=0

(νk

)cosk(x1 − y1)

=ν∑k=0

(νk

) k∑h=0

rh cosh(x1 − y1)

=ν∑k=0

(νk

) k∑h=0

rh[cos(hx1) cos(hy1) + sen(hx1) sen(hy1)],

con rh ∈ Q. Luego,∫ π

−πfy2(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1

=∫ π

−πfy2(y1)

ν∑k=0

(νk

) k∑h=0

rh[cos(hx1) cos(hy1) + sen(hx1) sen(hy1)].

Fijando h ∈ 0, . . . , ν, se cumple

ah(y2) = cos(hx1)∫ π

−πfy2(y1)S(y1)dy1,

donde S(y1) es una combinacion lineal de cosenos, de donde |S(y1)| ≤ M ,para alguna constante M > 0. Considerando y1 7→ |fy2(y1)| como funcionmedible no negativa, usando el hecho de que

∫ π−π

dy12π = 1 y aplicando la

desigualdad de Jensen, tenemos

|ah(y2)|p = | cos(hx1)|p|∫ π

−πfy2S(y1)dy1|p

≤ | cos(hx1)|p(∫ π

−π|fy2(y1)||S(y1)|dy1

)p≤ | cos(hx1)|pMp(2π)

1p

(∫ π

−π|fy2(y1)| 1

2πdy1

)p≤ | cos(hx1)|pMp(2π)

1p

∫ π

−π|fy2(y1)|p 1

2πdy1

= (M | cos(hx1)|)p(2π)p−1p

∫ π

−π|fy2(y1)|pdy1,

28

al integrar obtenemos∫ π

−π|ah(y2)|pdy2 ≤ (M | cos(hx1)|)p(2π)

p−1p

∫ π

−π

(∫ π

−π|fy2(y1)|pdy1

)dy2

= (M | cos(hx1)|)p(2π)p−1p

∫[2π]n|f(y1, y2)|pd(y1, y2) < +∞.

Ası pues, ah ∈ L2πp para h = 0, . . . , ν. De manera analoga se demuestra que

bh ∈ L2πp para h = 0, . . . , ν.

Sustituyendo (0.7) en (0.6) y (0.6) en (0.5), se obtiene

f ∗ ρν(x1, x2) (0.8)

=∫ π

−π

(r∑

k=0

ak(y2) cos(kx1) + bk(y2) sen(kx1)

)

× (1 + cos(x2 − y2))ν

cνdy2

=r∑

k=0

[cos(kx1)

(∫ π

−πak(y2)

(1 + cos(x2 − y2))ν

cνdy2

)

+ sen(kx1)(∫ π

−πbk(y2)

(1 + cos(x2 − y2))ν

cνdy2

)].

Ahora bien, fije k ∈ 0, . . . , r. Como ak, bk ∈ L2πp de R en K, por el caso

n = 1, tenemos que∫ π

−πak(y2)

(1 + cos(x2 − y2))ν

cνdy2 =

uk∑l=0

ak,l cos(lx2) + bk,l sen(lx2),

∫ π

−πbk(y2)

(1 + cos(x2 − y2))ν

cνdy2 =

tk∑l=0

ak,l cos(lx2) + bk,l sen(lx2).

Luego, por (0.8),

f ∗ ρν(x1, x2)

=r∑

k=0

[uk∑l=0

ak,l(cos(kx1) cos(lx2) + bk,l cos(kx1) sen(lx2))

+tk∑l=0

(ak,l sen(kx1) cos(lx2) + bk,l sen(kx1) sen(lx2))

].

29

Para concluir este caso, note que

cos(kx1) cos(lx2) =12

(cos(kx1 + lx2) + cos(kx1 − lx2))

cos(kx1) sen(lx2) =12

(sen(kx1 + lx2)− sen(kx1 − lx2))

sen(kx1) cos(lx2) =12

(sen(kx1 + lx2) + sen(kx1 − lx2))

sen(kx1) sen(lx2) = −12

(cos(kx1 + lx2)− cos(kx1 − lx2))

y redefiniendo apropiadamente los coeficientes ak,l y bk,l, podemos reescribirf ∗ ρν(x1, x2) en la forma

f ∗ ρν(x1, x2) =∑

(k,l)∈Z2∪0

[ak,l cos((k, l)|(x1, x2)) + bk,l sen((k, l)|(x1, x2))].

Por lo tanto f ∗ ρν(x1, x2) es un polinomio trigonometrico real o complejo,segun sea f. Note que la suma anterior es una suma finita.

Nuestra hipotesis inductiva sera pues la siguiente. Si g ∈ L2πp de Rn−1

en K entonces g ∗ϕν es un polinomio trigonometrico real o complejo, segunsea g, de la forma

∑(k2,...,kn)∈Zn−1∪0

a(k2,...,kn) cos

(n∑j=2

kjxj

)+ b(k2,...,kn) sen

(n∑j=2

kjxj

) ,donde, como en el caso n = 2, la suma anterior es finita. Denotaremos porϕν∞ν=0 la sucesion de Dirac fuerte definida en (??) para el caso Rn−1.

Sea ahora f ∈ L2πp de Rn en K. Aplicando el Teorema de Fubini, tenemos

f ∗ ρν(x1, . . . , xn) (0.9)

=∫

[2π]nf(y1, . . . , yn)

1cnν

n∏j=1

(1 + cos(xj − yj))νd(y1, . . . , yn)

=∫ π

−π

1cν

(1 + cos(x1 − y1))ν(∫

[2π]n−1

fy1(y2, . . . , yn)

× 1cn−1ν

n∏j=2

(1 + cos(xj − yj))νd(y2, . . . , yn)

)dy1

30

Nuevamente por el Teorema de Fubini, f ∈ L2πp en Rn implica que fy1 ∈ L2π

p

en Rn−1, para casi toda y2 ∈ [−π, π]. Entonces, por la hipotesis inductiva

∫[2π]n−1

fy1(y2, . . . , yn)1

cn−1ν

n∏j=2

(1 + cos(xj − yj))νd(y2, . . . , yn)

=∑

(k2,...,kn)∈Zn−1∪0

a(k2,...,kn)(y1) cos

(n∑j=2

kjxj

)

+ b(k2,...,kn)(y1) sen

(n∑j=2

kjxj

).

Sustituyendo en (0.9) y dado que la suma es finita, obtenemos

f ∗ ρν(x1, . . . , xn) =∑

(k2,...,kn)∈Zn−1

cos

(n∑j=2

kjxj

)(0.10)

×(∫ π

−πa(k2,...,kn)(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1

)+ sen

(n∑j=2

kjxj

)(∫ π

−πb(k2,...,kn)(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1

)Por un argumento analogo al que se realizo en el caso n = 2, concluimos quea(k2,...,kn), b(k2,...,kn) ∈ L2π

p de R en K; luego por el caso n = 1,∫ π

−πa(k2,...,kn)(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1

=u(k2,...,kn)∑k1=0

(a(k1,...,kn) cos(k1x1) + b(k1,...,kn) sen(k1x1)

)∫ π

−πb(k2,...,kn)(y1)

(1 + cos(x1 − y1))ν

cνdy1

=t(k2,...,kn)∑k1=0

(a(k1,...,kn) cos(k1x1) + b(k1,...,kn) sen(k1x1)

)

31

Sustituyendo en (0.9), obtenemos

f ∗ ρν (x1, . . . , xn)

=∑

(k2,...,kn)∈Zn−1

u(k2,...,kn)∑k1=0

a(k1,...,kn) cos

(n∑j=2

kjxj

)cos(k1x1)

+b(k1,...,kn) cos

(n∑j=2

kjxj

)sen(k1x1)

+t(k2,...,kn)∑k1=0

a(k1,...,kn) sen

(n∑j=2

kjxj

)cos(k1x1)

+b(k1,...,kn) sen

(n∑j=2

kjxj

)sen(k1x1)

.

Finalmente, Utilizando algunas identidades trigonometricas y redefiniendoapropiadamente los coeficientes a(k1,...,kn) y b(k1,...,kn) (como en el caso n = 2),se concluye que f ∗ ρν es un polinomio real o complejo, segun f sea real ocompleja.

Teorema 7. Si p ∈ [1,+∞], entonces el sistema trigonometrico real TR estotal en L2π

p (R) y los sistemas trigonometricos complejos TR, TC son totalesen L2π

p (C).

Demostracion. Suponga que TR es total en L2π1 (R). Con esta suposicion

probaremos que TR es total en L2πp (R) y que TR y TC son totales en L2π

p (C).Sea f ∈ L2π

p (R) tal que∫Tn

f =∫Tn

fϕk =∫Tn

fψk = 0 ∀ k ∈ Zn,

como L2πp (R) ⊂ L2π

1 (R) entonces f = 0 c.t.p. en Tn, luego f = 0 c.t.p. enRn.

Suponga ahora que f ∈ L2πp (C) ⊂ L2π

1 (C) es tal que∫Tn

f =∫Tn

fϕk =∫Tn

fψk = 0 ∀ k ∈ Zn.

32

Dado que f tiene valores complejos, podemos escribir f = Ref + iImf .Como f ∈ L2π

1 (C) entonces Ref, Imf ∈ L2π1 (R). Por otro lado para k ∈ Zn

se tiene que∫Tnfϕk = 0 de lo que se sigue que

0 =∫Tn

fϕk =∫Tn

fϕk =∫Tn

fϕk

mas precisamente

0 =∫Tn

f =∫Tn

fϕk =∫Tn

fψk ∀ k ∈ Zn.

Con esta ultima igualdad conseguimos lo siguiente

0 =∫Tn

f +∫Tn

f =∫Tn

f + f = 2∫Tn

Ref

de lo que se sigue que∫TnRef = 0. De manera completamente analoga se

obtiene

∫Tn

Refϕk =∫Tn

Refψk =∫Tn

Imfϕk =∫Tn

Imfψk = 0 ∀ k ∈ Zn

de lo que se sigue que Ref y Imf son cero c.t.p. en Rn, y por lo tanto f escero c.t.p. en Rn. Por ultimo suponga que f ∈ L2π

p (C) ⊂ L2π1 (C) cumple∫

Tn

fξk = 0 ∀ k ∈ Zn.

Dado k ∈ Zn se tiene la siguiente igualdad

ξk = ϕk − iψk = ϕ−k + iψ−k = ξ−k

luego entonces

0 =∫Tn

fξ−k =∫Tn

fξk

de lo que se sigue que

0 =∫Tn

fξk +∫Tn

fξk =∫Tn

f(ξk + ξk) =∫Tn

fϕk ∀ k ∈ Zn

33

Por un razonamiento analogo se obtiene∫Tn

fψk = 0 ∀ k ∈ Zn

k = 0 implica∫Tnf = 0, de lo que se concluye que f es cero c.t.p. en Rn.

Por las observaciones anteriores, es suficiente probar que TR es total enL2π

1 (R).

Procederemos por induccion sobre la dimension n de Rn. Para el cason = 1, usando la sucesion de Dirac fuerte dada por (∗) y notando que(1 + cos(x − y))ν es combinacion lineal de las funciones y 7→ cos(hy) yy 7→ sen(hy) para h ∈ Z con coeficientes que dependen de x, se concluye deinmediato que f ∗ ρν(x) = 0 para toda x ∈ R y para toda ν ∈ N. Luego,Np(f) = 0, por el Teorema 5, lo cual implica que f = 0 c.t.p en R.

Supongamos ahora que TR es total en L2πp de Rn−1 en R. Utilizando las

identidades trigonometricas

cos(k|x) = cos

(k1x1 +

n∑j=2

kjxj

)

= cos(k1x1) cos

(n∑j=2

kjxj

)− sen(k1x1) sen

(n∑j=2

kjxj

),

sen(k|x) = sen

(k1x1 +

n∑j=2

kjxj

)

= sen(k1x1) cos

(n∑j=2

kjxj

)+ cos(k1x1) sen

(n∑j=2

kjxj

),

cos

(k1x1 −

n∑j=2

kjxj

)= cos(k1x1) cos

(n∑j=2

kjxj

)

+ sen(k1x1) sen

(n∑j=2

kjxj

),

sen

(k1x1 −

n∑j=2

kjxj

)= sen(k1x1) cos

(n∑j=2

kjxj

)

− cos(k1x1) sen

(n∑j=2

kjxj

),

34

y el teorema de Fubini, podemos concluir que

0 =∫ π

−πcos(k1x1)

×

∫[2π]n−1

fx1(x2, . . . , xn) cos

(n∑j=2

kjxj

)d(x2, . . . , xn)

dx1,

0 =∫ π

−πsen(k1x1)

×

∫[2π]n−1

fx1(x2, . . . , xn) cos

(n∑j=2

kjxj

)d(x2, . . . , xn)

dx1,

0 =∫ π

−πcos(k1x1)

×

∫[2π]n−1

fx1(x2, . . . , xn) sen

(n∑j=2

kjxj

)d(x2, . . . , xn)

dx1,

0 =∫ π

−πsen(k1x1)

×

∫[2π]n−1

fx1(x2, . . . , xn) sen

(n∑j=2

kjxj

)d(x2, . . . , xn)

dx1.

Por el caso n = 1, las funciones

x1 7→∫

[2π]n−1

fx1(x2, . . . , xn) cos

(n∑j=2

kjxj

)d(x2, . . . , xn),

x1 7→∫

[2π]n−1

fx1(x2, . . . , xn) sen

(n∑j=2

kjxj

)d(x2, . . . , xn)

de R en R, son cero para casi toda x1 ∈] − π, π[. Fijemos x ∈]π, π[ tal quelas integrales anteriores sean cero. Utilizando la hipotesis de induccion, seconcluye que fx1 : Rn → R es cero para casi toda (x2, . . . , xn) ∈ [2π]n−1, esdecir, la funcion fx1 es cero c.t.p. en [2π]n−1. Mas precisamente, si

A = x1 ∈ [2π]1|fx1 = 0 c.t.p. en [2π]n−1,

35

entonces m(]− π, π[\A) = 0. Por el Teorema de Fubini, tenemos∫[2π]n|f(x1, . . . , xn)|d(x1, . . . , xn)

=∫ π

−π

(∫[2π]n−1

|fx1(x2, . . . , xn)|d(x1, . . . , xn)

)dx1

=∫A

(∫[2π]n−1

|fx1(x2, . . . , xn)|

)dx1

+∫

[2π]1\A

(∫[2π]n−1

|fx1(x2, . . . , xn)|d(x2, . . . , xn)

)dx1

= 0,

pues el integrando de la primera integral es cero c.t.p. en [2π]n−1 y el con-junto [2π]1\A en la segunda integral tiene medida cero. Por lo tanto, f = 0c.t.p. en [2π]n.

Proposicion 7. Se cumplen las afirmaciones siguientes:

i.∫

[2π]ncos(k|x)dx =

0 si k ∈ Zn − 0,(2π)n si k = 0,∫

[2π]nsen(k|x)dx = 0, ∀k ∈ Zn.

ii. N2(ϕk) = N2(ψk) = 2n−1

2 πn2 , ∀k ∈ Zn − 0, y N2(ϕ0) = (2π)n.

iii. N2(ξk) = (2π)n2 , ∀k ∈ Zn.

36

Teorema 8. Sea T R el sistema de funciones siguiente:

i. La funcion constante x 7→ 1(2π)

n2

,

ii. Las funciones x 7→ cos(k|x)

2n−1

2 πn2

, k ∈ Zn,

iii. Las funciones x 7→ sen(k|x)

2n−1

2 πn2

, k ∈ Zn.

Sea tambien T C el sistema de funciones

x 7→ ei(k|x)

(2π)n2

, ∀k ∈ Zn.

Entonces T R es un sistema ortonormal maximal en L2π2 (R) y los sistemas

T R y T C son ortonormales maximales en L2π2 (C).

Demostracion. Veamos que si k, l ∈ Zn son tales que k 6= l, entonces∫[2π]n

cos(k|x) cos(l|x)dx = 0 y∫

[2π]nsen(k|x) cos(l|x)dx = 0.

Se tiene,∫[2π]n

cos(k|x) cos(l|x) =12

∫[2π]n

[cos(k + l|x) + cos(k − l|x)]dx

=12

∫[2π]n

cos(k + l|x)dx+12

∫[2π]n

cos(k − l|x)dx.

Ahora bien, como k 6= l entonces k − l 6= 0, ası, la segunda integral es ceropor la Proposicion 7. Para que la primera integral no sea cero, se debe tener,por la Proposicion 7, que k + l = 0, lo cual implica que −l = k ∈ Zn, peroesto es imposible ya que l ∈ Zn, por lo tanto k + l 6= 0, de lo que se sigueque la primera integral tambien es cero.

Por otro lado, por la Proposicion 7 se tiene∫[2π]n

sen(k|x) cos(l|x)dx =12

∫[2π]n

[sen(k − l|x) + sen(k + l|x)]dx

=12

∫[2π]n

sen(k − l|x)dx+12

∫[2π]n

sen(k + l|x)dx = 0.

37

Como en el penultimo caso, tenemos∫[2π]n

sen(k|x) sen(l|x)dx =12

∫[2π]n

[cos(k − l|x)− cos(k + l|x)]dx

12

∫[2π]n

cos(k − l|x)dx− 12

∫[2π]n

cos(k + l|x)dx = 0.

Finalmente si k, l ∈ Zn son distintos entonces∫[2π]n

ei(k|x)ei(−l|x)dx =∫

[2π]nei(k−l|x)dx

=∫

[2π]ncos(k − l|x)dx+ i

∫[2π]n

sen(k − l)dx = 0.

De lo anterior concluimos que T R es ortonormal en L2π2 (R) y que T R y

T C son ortonormales en L2π2 (C). La maximalidad en ambos casos se obtiene

del Teorema 7.

Series de Fourier

En esta seccion se daran las definiciones de los coeficientes de Fourier yla serie de Fourier de una funcion f en L2π

1 y se realizara un breve estudioacerca de estos conceptos.

Coeficientes y series de Fourier

Definicion 9. A una serie de funciones de Rn en C de la forma∑k∈Zn

ckei(k|x)

donde ck ∈ C son constantes, le llamaremos serie trigonometrica.

Recuerde que en el caso de series trigonometricas en R, es decir, parauna serie de la forma ∑

k∈Zcke

ikx

la m-esima suma parcial de la serie en el punto x esta dada por

sm(x) =m∑

k=−mcke

ikx.

38

Note que esta suma se puede expresar como

sm(x) =∑|k|≤m

ckeikx.

Tomando en cuenta ahora, que para q ∈ [1,+∞] se tiene definida una normaen Rn dada por

‖x‖q =

( n∑j=1|xj |q

) 1q si q ∈ [1,+∞[

max1≤j≤n

|xj | si q =∞

podemos establecer la siguiente definicion.

Definicion 10. Dada una serie trigonometrica∑k∈Zn

ckei(k|x), definimos para

cada q ∈ [1,+∞] y para cada m ∈ N la m-esima suma parcial de orden q enel punto x ∈ Rn de la serie, como

spm(x) =∑‖k‖p≤m

ckei(k|x).

Decimos que la serie trigonometrica converge a una suma s(x) en el sentidoq, si se cumple

s(x) = lımm→∞

spm(x)

es decir, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que si m ≥ N entonces

|sqm(x)− s(x)| < ε.

Considere la serie trigonometrica∑k∈Zn

ckei(k|x), utilizando el hecho de

que ei(k|x) = cos(k|x) + i sen(k|x) obtenemos

sqm(x) =∑‖k‖q≤m

ckei(k|x) = c0 +

∑‖k‖≤m

ckei(k|x)

= c0 +∑‖k‖≤m

(ck + c−k) cos(k|x) + i(ck − c−k) sen(k|x).

39

Para k ∈ Zn definimos ak, bk ∈ C por las relaciones

ak = ck + c−k bk = i(ck − c−k)

note que

a−k = c−k + c−(−k) = ck + c−k = ak

b−k = i(c−k − c−(−k)) = −i(ck − c−k) = −bken particular

a0 = 2c0.

Con estos coeficientes ası definidos, obtenemos la siguiente expresion

sqm(x) =a0

2+

∑‖k‖≤m,k∈Zn

ak cos(k|x) + bk sen(k|x).

Es facil observar que para conocer los valores de los coeficientes ak y bk conk ∈ Zn es suficiente conocer los valores de ak y bk con k ∈ Zn ∪ 0. Enadelante tomaremos T = 2π y Tn = [2π]n.

Proposicion 8. Suponga que la serie trigonometrica∑k∈Zn

ckei(k|x) converge

de manera uniforme en el sentido q a una funcion f : Rn → C, entonces setiene que la serie numerica ∑

k∈Zn

∫Tncke

i(k|x)dx

converge en el sentido q a∫Tnf(x)dx.

Demostracion. Dado ε > 0 arbitrario, existe N ∈ N tal que

m ≥ N ⇒ |sqm(x)− f(x)| < ε

(2π)n∀x ∈ Tn.

Tomando m ≥ N tenemos

|∑‖k‖q≤m

∫Tncke

i(k|x)dx−∫Tn

f(x)dx| ≤∫Tn

|∑‖k‖q≤m

ckei(k|x) − f(x)|dx

=∫Tn

|sqm(x)− f(x)|dx ≤ ε

(2π)n(2π)n = ε.

40

es decir ∫Tn

f(x)dx =∑k∈Zn

ck

∫Tn

ei(k|x)dx.

Teorema 9. Si∑k∈Zn

ckei(k|x) converge a una funcion f : Rn → C de manera

uniforme en el sentido q, entonces f ∈ C2π, ademas

ck =1

(2π)n

∫Tn

f(x)e−i(k|x)dx.

Demostracion. De la convergencia uniforme de la sucesion de sumas par-ciales de la serie, concluimos que f es una funcion continua.

Para l ∈ Zn se tiene

f(x+ 2πl) =∑k∈Zn

ckei(k|x+2πl) =

∑k∈Zn

ckei(k|x)e2πi(k|l) =

∑k∈Zn

ckei(k|x) = f(x)

es decir, f ∈ C2π.Por otro lado, como la funcion x 7→ e−i(l|x), donde l ∈ Zn es una funcion

acotada, entonces∑k∈Zn

ckei(k−l|x) converge de manera uniforme a f(x)e−i(l|x),

luego por la proposicion anterior, podemos integrar termino a termino, esdecir, se cumple∫

Tn

f(x)e−i(l|x)dx =∑k∈Zn

ck

∫Tn

ei(k|x)e−i(l|x)dx = cl(2π)n.

Tomando en cuenta la formula obtenida para los coeficientes de la serie,establecemos la siguiente definicion.

Definicion 11. Sea f ∈ L2π1 (C), para k ∈ Zn definimos el k-esimo coefi-

ciente de Fourier de f como

f(k) =1

(2π)n

∫Tn

f(x)e−i(k|x)dx.

Definimos la serie de Fourier de f en el punto x ∈ Rn como la serie trigonometri-ca siguiente ∑

k∈Znf(k)ei(k|x).

41

Los respectivos coeficientes ak y bk, que denotaremos por a(k) y b(k) estandados por

a0 = a(0) = 2c0 =2

(2π)n

∫Tn

f(x)dx

ak = a(k) = f(k) + f(−k) =1

(2π)n

∫Tn

f(x)(e−i(k|x) + ei(k|x))dx

=2

(2π)n

∫Tn

f(x) cos(k|x)dx

bk = b(k) = i(f(k)− f(−k)) =i

(2π)n

∫Tn

f(x)(e−i(k|x) − ei(k|x))dx

=2

(2π)n

∫Tn

f(x) sen(k|x)dx

en donde podemos considerar unicamente aquellos k de Zn.

Dado que Zn es un conjunto numerable, es decir, equipotente al conjuntode numeros naturales, podemos tratar al conjunto

ckk∈Zn |ck ∈ C ∀ k ∈ Zn

como el espacio vectorial de sucesiones complejas. De hecho estos dos con-juntos son el mismo salvo la manera de indicar los terminos de las sucesiones.Por un argumento totalmente analogo, podemos tratar al conjunto

a0, ak, bkk∈Zn |a0, ak, bk ∈ C ∀ k ∈ Zn

como el espacio vectorial siguiente

a0, ak, bkk∈N|a0, ak, bk ∈ C ∀ k ∈ N.

Proposicion 9. La aplicacion f 7→ f(k)k∈Zn es una aplicacion linealinyectiva de L2π

1 (C) en el espacio vectorial suceciones complejas.

Demostracion. De la linealidad de la integral se sigue la linealidad de dichaaplicacion. Ahora, por linealidad de esta aplicacion solo basta probar que sukernel se reduce a cero.

42

Suponga que f es tal que f(k) = 0 para toda k ∈ Zn, es decir,∫Tn

f(x)e−i(k|x)dx = 0 ∀ k ∈ Zn

de lo que se sigue que f = 0 c.t.p. en Tn dado que TC es total en L2π1 .

Con ligeras modificaciones en la demostracion anterior, podemos concluirque la aplicacion f 7→ a0, a(k), b(k)k∈Zn es una aplicacion lineal inyectiva.

Proposicion 10. Sean f, g ∈ L2π1 (C) y f(k)k∈Zn, g(k)k∈Zn los respec-

tivos coeficientes de Fourier de f y g. Entonces los coeficientes de Fourierde f ∗ g estan dados por la sucesion (2π)nf(k)g(k)kZn.

Demostracion. Dado que f, g ∈ L2π1 (C) entonces f ∗ g existe c.t.p. en Tn,

ademas f ∗ g ∈ L2π1 , luego, los coeficientes de Fourier de f ∗ g estan bien

definidos.Aplicando el teorema de Fubini y con un cambio de variable tenemos

f ∗ g(k) =1

(2π)n

∫Tn

f ∗ g (x)e−i(k|x)dx

=1

(2π)n

∫Tn

∫Tn

f(y)g(x− y)e−i(k|x)dy

dx

=1

(2π)n

∫Tn

f(y)

∫Tn

g(x− y)e−i(k|x)dx

dy

=1

(2π)n

∫Tn

f(y)

∫Tn

g(z)e−i(k|z)e−i(k|y)dz

dy

=1

(2π)n

∫Tn

f(y)e−i(k|y)dy

∫Tn

g(z)e−i(k|z)dz

= (2π)nf(k)g(k) .

43

Observacion 4. Sea P un polinomio trigonometrico complejo, o sea

P (x) =∑l∈I

alei(l|x) ∀ x ∈ Tn,

en donde I es un subconjunto finito de Zn y al ∈ C para todo l ∈ I. Entoncesse tiene

i) Los coeficientes de Fourier de P estan dados por

P (k) =

0 si k /∈ Iak si k ∈ I .

ii) Para toda x ∈ Tn, P (x) =∑k∈Zn

P (k)ei(k|x).

iii) Para todo q ∈ [1,+∞] y para toda x ∈ Tn se cumple

lımm→∞

sqm(x) = P (x).

En efecto, calculando directamente

P (k) =1

(2π)n

∫Tn

P (x)e−i(k|x)dx =1

(2π)n

∫Tn

∑l∈I

alei(l|x)e−i(k|x)dx

=1

(2π)n∑l∈I

al

∫Tn

ei(l|x)e−i(k|x)dx =∑l∈I

al

∫Tn

ei(l|x)

(2π)n2

e−i(k|x)

(2π)n2

dx

=∑l∈I

al(ξl|ξk).

De esta ultima expresion es evidente que se tiene (i) por la ortogonalidaddel sistema ξkk∈Zn en L2π

2 (C).

Para (ii), tomando x ∈ Tn y la serie de Fourier de P en x resulta∑k∈Zn

P (k)ei(k|x) =∑k∈I


akei(k|x) = P (x).

En cuanto a (iii), elegimos arbitrariamente q ∈ [1,+∞] y x ∈ Tn. Dadoque I es un subconjunto finito de Rn, existe N ∈ N tal que

k ∈ Bq(0,m) ∀ k ∈ I y ∀ m ≥ N.

44

Para m ≥ N se tiene

sqm(x) =∑‖k‖q≤m


P (k)ei(k|x) = P (x)

o sealımm→∞

sqm(x) = P (x) ∀ q ∈ [1,+∞] y ∀ x ∈ Tn.

Series de Fourier en L2π2

En esta seccion y en adelante utilizaremos la siguiente notacion

ϕ0 :=1

(2π)n2

ϕk :=√

2 cos(k|·)(2π)

n2

∀ k ∈ Zn

ϕk :=√

2 sen(k|·)(2π)

n2

∀ k ∈ Zn

ξk :=ei(k|·)

(2π)n2

∀ k ∈ Zn

Recordando que L2π2 (C) es un espacio de Hilbert y ξkk∈Zn un sistema

ortonormal maximal, entonces cada f ∈ L2π2 (C) tiene definidos sus coefi-

cientes de Fourier en el sentido hilbertiano, a saber, fH(k) = (f |ξk) paratodo k ∈ Zn, o sea

fH(k) = (f |ξk) =∫Tn

f(x)e−i(k|x)

(2π)n2

dx =1

(2π)n2

∫Tn

f(x)e−i(k|x)dx

=(2π)

n2

(2π)n

∫Tn

f(x)ei(k|x)dx = (2π)n2 f(k)

Teniendo presente que la serie de Fourier en el sentido hilbertiano de fes ∑

k∈ZnfH(k)ξk,

45

para x ∈ Rn se obtiene∑k∈Zn

f(k)ei(k|x) =∑k∈Zn

1(2π)

n2

fH(k)ei(k|x) =∑k∈Zn

fH(k)ξk(x)

es decir, la serie de Fourier en el sentido hilbertiano es la misma que la seriede Fourier que se ha definido para f con anterioridad.

De igual manera, como ϕ0, ϕk, ψkk∈Zn es ortonormal maximal en L2π2 (C),

cada f en L2π2 (C) tiene definidos sus coeficientes de Fourier en el sentino

hilbertiano, los cuales tienen las siguientes relaciones con los coeficientes deFourier definidos con anterioridad

aH(0) =(2π)

n2

2aH(0)

aH(k) =(2π)

n2

√2a(k) ∀ k ∈ Zn

bH(k) =(2π)

n2

√2b(k) ∀ k ∈ Zn

Tambien se preserba el hecho de que la serie de Fourier en el sentido deHilbert asignada a f es la misma que la serie de Fourier expresada en termi-nos de los coeficientes a0, a(k) y b(k), es decir,

ϕ0aH(0) +∑k∈Zn

ϕkaH(k) + ψk bH(k)

=a0

2+∑k∈Zn

a(k) cos(k|x) + b(k) sen(k|x).

Haremos uso de los siguientes dos teoremas acerca de espacios de Hilbert.Denotaremos por `2(Ω,K) el conjunto de funciones ϕ : Ω→ K tales que∑

α∈Ω

|ϕ(α)|2 < +∞

y por `2(Zn) el conjunto de sucesiones indicadas por Zn de cuadrado sum-able.

46

Teorema 10. (de Riesz-Fischer) Sea H un espacio prehilbertiano, y seaµαα∈Ω una familia ortonormal en H. Suponemos que el espacio cerradoM = L(µαα∈Ω) es completo. Entonces la aplicacion x 7→ x de H en`2(Ω,K) es una aplicacion suprayectiva.

Teorema 11. (identidades de Parseval) Sea H un espacio hilbertiano yµαα∈Ω una familia ortonormal en H. Los siguientes enunciados son equiv-alentes:

i) µαα∈Ω es maximal en H.

ii) L(µαα∈Ω) = H.

iii) Para todo x ∈ H se cumple que ‖x‖2 =∑α∈Ω

|x(α)|2.

iv) Para todo x, y ∈ H (x|y) = (x|y) =∑α∈Ω

x(α)y(α).

Teorema 12. La aplicacion f 7→ (2π)n2 f(k)k∈Zn es una isometrıa lineal

de L2π2 (C) sobre `2(Zn). Ademas se cumplen las identidades de Parseval

siguientes

i) Para toda f ∈ L2π2 (C) se cumple 1

(2π)n

∫Tn|f |2 =

∑k∈Zn

|f(k)|2.

ii) Para toda f, g ∈ L2π2 (C) se tiene 1

(2π)n

∫Tnfg =

∑k∈Zn

f(k)g(k).

Ademas, la aplicacion

f 7→(2π)

n2

2a0,

(2π)n2

√2a(k),

(2π)n2

√2b(k)

k∈Zn

es una isometrıa lineal de L2π2 (C) sobre `2(Zn ∪ 0) y se cumplen las iden-

tidades de Parseval siguientes

iii) Para toda f ∈ L2π2 (C) se cumple

2(2π)n

∫Tn

|f |2 =|a(0)|

2+∑k∈Zn

|a(k)|2 + |b(k)|2

47

iv) Para toda f, g ∈ L2π2 (C) se cumple

2(2π)n

∫Tn

|f |2 =a(0)α(0)

2+∑k∈Zn

a(k)α(k) + b(k)β(k)

en donde (2π)n2

2α0,

(2π)n2

√2α(k),

(2π)n2

√2β(k)

k∈Zn

son los coeficientes de Fourier de g.

Demostracion. Por el Teorema 10, el Teorema 11 (ii), (iii) y dado queξkk∈Zn es maximal en L2π

2 (C), la aplicacion

f 7→ fH(k)k∈Zn

es una isometrıa, pero como hemos visto fH(k) = (2π)n2 f(k), luego, la apli-

cacionf 7→ (2π)

n2 f(k)k∈Zn

es una isometrıa de L2π2 (C) sobre `2(Zn).

Para probar (i) y (ii) solo basta interpretar las respectivas normas yproductos internos.

i) Se tiene que∫Tn

|f |2 = N2(f)2 =∑k∈Zn

|fH(k)|2 = (2π)n∑k∈Zn

|f(k)|2.

ii) En este caso∫Tn

fg = (f |g) = (f |g) =∑k∈Zn

fH(k)gH(k) = (2π)n∑k∈Zn

f(k)g(k).

Los argumentos que prueban las afirmaciones restantes son completa-mente analogos.

48

Teorema 13. Sea f ∈ L2πp (C) con p ∈ [2,+∞], entonces se cumple

lımm→∞

N2(sqm − f) = 0 ∀ q ∈ [1,+∞].

Demostracion. Dado que L2πp (C) ⊂ L2π

2 (C) para todo p ∈ [2,+∞], bastaprobar el teorema solo para las funciones de L2π

2 (C).Sean f ∈ L2π

2 (C) y ε > 0, por el Teorema 13 (del capitulo anterior) existeun polinomio trigonometrico complejo P tal que

N2(f − P ) <ε

2.

Utilizaremos la siguiente notacion, omitiendo el punto x ∈ Rn, I unsubconjunto finito de Zn y ak ∈ C para toda k ∈ I.

sqm,f :=∑‖k‖q≤m

f(k)ei(k|x)

sqm,P :=∑‖k‖q≤m

P (k)ei(k|x)

P (x) =∑k∈I

akei(k|x).

Sea m ∈ N, estimamos

N2(sqm,f − f) ≤ N2(sqm,f − sqm,P ) +N2(sqm,P − P ) +N2(f − P )...(1)

Por la observacion 4 existe N ∈ N tal que si m ≥ N entonces sqm,P = Pen Tn.

Notese que sqm,f − sqm,P = sqm,f−P y sqm,f−P ∈ L

2π2 (C), luego por teorema

1.4N2(sqm,f − s

qm,P )2 = N2(sqm,f−P )2 = (2π)n

∑k∈Zn

|sqm,f−P (k)|2

pero

sqm,f−P (k) =

0 si k /∈ Bq(0,m)f(k)− P (k) sik ∈ Bq(0,m)

49

pues

sqm,f−P (k) =1

(2π)n

∫Tn

sqm,f−P (x)e−i(k|x)dx

=1

(2π)n∑‖l‖q≤m

(f(l)− P (l))∫Tn

ei(l|x)e−i(k|x)dx

=∑‖l‖q≤m

(f(l)− P (l))∫Tn

ei(l|x)

(2π)n2

e−i(k|x)

(2π)n2

dx

=∑‖l‖q≤m

(f(k)− P (k))(ξl|ξk)

de donde se sigue lo afirmado.Se tiene entonces

N2(sqm,f − sqm,P )2 = (2π)n

∑‖k‖q≤m

|f(k)− P (k)|2

≤ (2π)n∑k∈Zn

|f(k)− P (k)|2 = N2(f − p)2

de lo que se sigueN2(sqm,f − s

qm,P ) ≤ N2(f − p).

Tomando ahora m ≥ N de la ecuacion (1) obtenemos

N2(sqm,f − f) ≤ 2N2(f − P ) < 2ε

2= ε

es decirlımm→∞

N2(sqm,f − f) = 0.

Funciones en LT2 (C)

En esta seccion generalizaremos a LT2 (C) los resultados obtenidos paraL2π

2 (C), en donde tomamos a T > 0 no necesariamente 2π y por tanto Tn

no necesariamente [2π]n.

Considere una funcion f en LT2 (C), definimos g : Rn → C como

g(y) = f(T

2πy) ∀ y ∈ Rn.

50

La funcion g ası definida cumple lo siguiente

g(y + 2πk) = f(T

2π(y + 2π)) = f(

T

2πy + Tk) = f(

T

2πy) = g(y),

es decir, g es una funcion 2π-perıodica.

Ademas g ∈ L2π1 (C) pues, por Teorema de cambio de variable se cumple

∫[2π]n

|g(y)|dy =∫

[2π]n

|f(T

2πy)|dy =

∫Tn

|f(x)|(2πT

)ndx

= (2πT

)n∫Tn

|f | < +∞

en donde se ocupo el cambio de variable y = 2πT x de jacobiano (2π

T )n.

Los coeficientes de Fourier de f son, por definicion, los coeficientes de g,o sea

f(k) = g(k) =1

(2π)n

∫[2π]n

g(y)e−i(k|y)dy

=1

(2π)n

∫[2π]n

f(T

2πy)e−i(k|y)dy

=1

(2π)n

∫Tn

f(x)e−i(k|2πTx)(

2πT

)ndx

=1Tn

∫Tn

f(x)e−i2πT

(k|x)dx ∀ k ∈ Zn

De igual manera, los coeficientes a0, a(k) y b(k) de f estan definidospor los respectivos coeficientes de g, con ayuda del Teorema de cambio devariable obtenemos

51

a(0) =2Tn

∫Tn

f(x)dx

a(k) =2Tn

∫Tn

f(x) cos(k|2πTx)dx ∀ k ∈ Zn

b(k) =2Tn

∫Tn

f(x) sen(k|2πTx)dx ∀ k ∈ Zn.

Trabajando con las funciones

x 7→ ei(k|x) ∀ k ∈ Zn

x 7→ 1Tn2

x 7→ cos(k|x) ∀ k ∈ Zn

x 7→ sen(k|x) ∀ k ∈ Zn

mediante un proceso de periodizacion y normalizacion respecto a la normade LT2 (C) para obtener funciones T -perıodicas de norma uno, obtenemos lasfunciones

ξTk (x) = (2πT

)n2 ξk(

2πTx) =

ei(k|2πTx)

Tn2

∀ k ∈ Zn

ϕTk (x) = (2πT

)n2 ϕk(

2πTx) =

√2 cos(k|2πT x)

Tn2

∀ k ∈ Zn

ψTk (x) = (2πT

)n2 ψk(

2πTx) =

√2 sen(k|2πT x)

Tn2

∀ k ∈ Zn

de las cuales obtenemos las familias ortonormales maximales en LT2 (C), sigu-ientes

ξTk k∈Zn

ϕT0 , ϕTk , ψTk Zn .

52

Observacion 5. Sea x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn de modo que x se encuentre enel primer octante de Rn, es decir, xi ≥ 0 para toda i ∈ 1, . . . , n. Definimosel conjunto [x] de la siguiente manera

[x] := [0, x1]× · · · × [0, xn].

Entonces, para todo δ > 0 existe η > 0 tal que si y se encuentra en el primeroctante (yi ≥ 0 ∀i) y ‖x− y‖∞ < η entonces

m([x]4[y]) < δ

Demostracion. Definimos los puntos z y z como

z := (maxx1, y1, . . . ,maxxn, yn) z := (mınx1, y1, . . . ,mınxn, yn)

en donde y se encuentra en el primer octante de Rn.

Es facil notar lo siguiente

i) [z] y [z] se encuentran en el primer octante de Rn.

ii) [x], [y] ⊂ [z].

iii) [z] = [x] ∩ [y].

iv) m([x]) =n∏i=1

xi para toda x ∈ Rn.

Teniendo estos hechos en cuenta, obtenemos lo siguiente

m([x]4[y]) = m([x] ∪ [y]− [x] ∩ [y])= m([x]− [x] ∩ [y]) +m([y]− [x] ∩ [y]) ≤ 2m([z]− [z]).

Por otro lado, definiendo Mi = maxxi, yi y mi = mınxi, yi para toda1 ≤ i ≤ n, y como [z] ⊂ [z], entonces

m([z]− [z]) = m([z])−m([z])

=n∏i=1

maxxi, yi −n∏i=1

mınxi, yi

= M1M2 . . .Mn −m1m2 . . .mn

= M1M2 . . .Mn −m1M2 . . .Mn +m1M2 . . .Mn −m1m2 . . .mn

= (M1 −m1)M2 . . .Mn +m1(M2 . . .Mn −m2 . . .mn)

54

Si tomamos a y de modo que ‖x− y‖∞ < 1, entonces

‖y‖∞ < 1 + ‖x‖∞ ⇒ |yi| < 1 + ‖x‖∞ ∀ 1 ≤ i ≤ n

Obtenemos entonces

m([z]− [z]) ≤ |x1 − y1|‖x‖a1∞(1 + ‖x‖∞)b1 +m1(M2 . . .Mn −m2 . . .mn)

= |x1 − y1|‖x‖a1∞(1 + ‖x‖∞)b1

+m1((M2 −m2)M3 . . .Mn +m2(M3 . . .Mn −m3 . . .mn))

≤ |x1 − y1|‖x‖a1∞(1 + ‖x‖∞)b1 + |x1 − y1|‖x‖a2

∞(1 + ‖x‖∞)b2

+m1m2(M3 . . .Mn −m3 . . .mn).

.

.

≤n−1∑i=1

|xi − yi|‖x‖ai∞(1 + ‖x‖bi∞) +m1 . . .mn(Mn −mn)

≤n∑i=1

|xi − yi|‖x‖ai∞(1 + ‖x‖bi∞) ≤ Hn‖x− y‖∞.

Para algunos exponentes ai, bi y H := max1≤i≤n

‖x‖ai∞(1 + ‖x‖bi∞).

Sea ahora δ > 0, tomando y en el primer octante de Rn tal que ‖x−y‖∞ <η := mın1, δ

2Hn > 0 entonces obtenemos

m([x]4[y]) ≤ 2m([z]− [z]) ≤ 2Hn‖x− y‖∞ < 2Hnδ

2Hn= δ./

Corolario 2. Dado x ∈ Rn y δ > 0, existe η > 0 tal que

‖x− y‖∞ < η ⇒ m([x]4[y]) < δ.

Demostracion. El caso en que x se encuentre en el primer octante deRn es la observacion 5, notando que la eleccion de η se puede elegir talque ‖x − y‖∞ implique que y se encuentra en el primer octante de Rn.Modificando la demostracion de la observacion 5 se concluye el corolario.

55

La continuidad absoluta de la integral de Lebesgue garantiza que si ten-emos una funcion f integrable en Rn, entonces para todo ε > 0 existe δ > 0tal que si A es un subconjunto medible de Rn con m(A) < δ entonces∫A

|f | < ε. Con ayuda de este resultado, podemos garantizar lo siguiente

Si f es una funcion integrable en un compacto K, entonces para todoε > 0 existe δ > 0 tal que si A es un subconjunto medible de K con m(A) < δentonces

∫A

|f | < ε.

Observacion 6. Dada f ∈ L2π1 , f es localmente integrable en Rn.

Demostracion. Sea K un compacto de Rn, al ser acotado, existe l ∈ Ztal que K ⊂ B∞(0, 2πl). El conjunto B∞(0, 2πl) contiene exactamente y sinintersecciones (2l)n cubos de arista 2π, ası

|∫K

f | ≤∫K

|f | ≤∫

B∞(0,2πl)

|f | = (2l)n∫

[2π]

|f | <∞./

Proposicion 11. Sea f ∈ L2π1 , definimos F : Rn → K como

F (x) = F (x1, . . . xn) =

x1∫0

· · ·xn∫0

f(y1, . . . , yn)dyn . . . dy1 =∫[x]

f

para toda x ∈ Rn. Si suponemos que2π∫0

f(y1, . . . , yn)dyi = 0 para toda i ∈

1, . . . , n, entonces F ∈ C2π, luego F es uniformemente continua en Rn.

Demostracion. Sea x ∈ Rn y ε > 0, probaremos que F es continua en x.Sea l ∈ Z suficientemente grande tal que x ∈ B(0, 2πl), cabe destacar que

lo que nos interesa de B(0, 2πl) es que para y suficientemente cerca de x, elconjunto [x]4[y] esta completamente contenido en B(0, 2πl) y que B(0, 2πl)es un conjunto compacto.

Dado que B(0, 2πl) es un conjunto compacto, f es localmente integrabley por el corolario 2, existe η > 0 tal que si y cumple que ‖x − y‖∞ < ηentonces

∫[x]4[y]

|f | < ε.

56

Por otro lado tenemos

|F (x)− F (y)| = |∫[x]

f −∫[y]

f | = |∫

[x]4[y]

f | ≤∫

[x]4[y]

|f | < ε.

Para toda esta ultima linea cabe destacar que hemos utilizado el hecho de

que para ε > 0 existe δ > 0 tal que si A es un subconjunto medible deB(0, 2πl) con m(A) < δ entoces

∫A

|f | < ε y que para δ > 0 existe η > 0 tal

que si y cumple ‖x−y‖∞ < η entonces [x]4[y] ⊂ B(0, 2πl) y m([x]4[y]) < δ.

Resta probar que F es una funcion 2π-perıodica, para ello procedere-mos por induccion sobre n, es decir, nuestra hipotesis de induccion sera lasiguiente:

Si g ∈ L2π1 con g : Rn−1 → K, G : Rn−1 → K esta definida por

G(x2, . . . , xn) =

x2∫0

· · ·xn∫0

g(y2, . . . , yn)dyn . . . dy2

para todo (x2, . . . , xn) ∈ Rn−1 y ademas se cumple que2π∫0

g(y2, . . . , yn)dyi =

0 para i ∈ 2, . . . , n entonces G es una funcion 2π-perıodica (ademas de sercontinua).

Sea k = (k1, . . . , kn) ∈ Zn estimamos

F (x+ 2πk)− F (x) =

x1+2πk1∫0

x2+2πk2∫0

· · ·xn+2πkn∫

0

f(y1, . . . , yn)dyn . . . dy1

−x1∫

0

· · ·xn∫0

f(y1, . . . , yn)dyn . . . dy1

57

=

x1∫0

x2+2πk2∫0

· · ·xn+2πkn∫

0

f(y1, . . . , yn)dyn . . . dy1

+

x1+2πk1∫x1

x2+2πk2∫0

· · ·xn+2πkn∫

0

f(y1, . . . , yn)dyn . . . dy1

−x1∫

0

· · ·xn∫0

f(y1, . . . , yn)dyn . . . dy1

Considerando las funciones

fy1 : (y2, . . . , yn) 7→ f(y1, . . . , yn)

Fy1 : (x2, . . . , xn) 7→x2∫

0

· · ·xn∫0

fy1(y2, . . . , yn)dyn . . . dy2

las cuales cumplen nuestra hipotesis de induccion, obtenemos

F (x+ 2πk)− F (x) =

x1∫0

Fy1(x2 + 2πk2, . . . , xn + 2πkn)− Fy1(x2, . . . , xn)dy1

+

x2+2πk2∫0

· · ·xn+2πkn∫

0

x1+2πk1∫x1

f(y1, . . . , yn)dy1dyn . . . dy2

= 0 + k1

x2+2πk2∫0

· · ·xn+2πkn∫

0

2π∫0

f(y1, . . . , yn)dy1dyn . . . dy2

= 0 + 0 = 0.

Con lo que F ∈ C2π, por proposicion 9 del capıtulo anterior, F es una funcionuniformemente continua en Rn.

58

Teorema 14. Sea f ∈ L2π2 tal que

2π∫0

f(y1, . . . , yn)dyi = 0 para toda i ∈

1, . . . , n. Sea F : Rn → K la funcion definida por

F (x) =∫[x]

f

para toda x ∈ Rn. Entonces F ∈ C2π y la serie de fourier de F convergeuniformemente a F en el sentido q para toda q en [1,+∞] en Rn.

Demostracion. Por la proposicion anterior F ∈ C2π. Sea k ∈ Zn −0 conk = (k1, ..., kn) y suponga que ki1 = ... = kim = 0 con m ≤ n, definimos

k′ :=∏

i 6=il1≤l≤mkj .

Por teorema de Fubini, sin perdida de generalidad, podemos suponer quei1 = 1, ..., im = m, ası k = (0, ..., 0, km+1, ..., kn) y

k′ :=n∏

j=m+1

kj .

Calculando directamente los coeficientes de Fourier de F tenemos

F (k) =1

(2π)n

2π∫0

· · ·2π∫0

(∫ x1

0· · ·∫ xn

0f(y1, .., yn)dy1..dyn

)e−i(k|x)dx1..dxn

Al integrar por partes, para m < j obtenemos

2π∫0

xj∫0

f(y1, .., yj , .., yn)dyje−ikjxjdxj =1−ikj

2π∫0

f(y1, .., xj , .., yn)e−ikjxjdxj

por lo que

F (k) =1

(2π)nk′(−i)n−m

2π∫0

· · ·2π∫0

g(x1, ..., xn)e−i(k|x)dxn...dx1

en donde hemos definido g : Rn → K como

59

g(x1, ..., xn) :=

x1∫0

· · ·xm∫0

f(y1, ..., ym, xm+1, ..., xn)dym...dy1

Con ayuda de la desigualdad de Jensen se puede probar que g es unafuncion en L2π

2 y por tanto en L2π1 , por lo que sus coeficientes de Fourier

estan bien definidos y ademas g(k)2k∈Zn es una familia sumable por serL2π

2 un espacio de Hilbert.Se ha conseguido lo siguiente

|F (k)| = | 1k′(2π)n

2π∫0

· · ·2π∫0

g(x1, ..., xn)e−i(k|x)dxn...dx1|

=|g(k)|k′

.

de donde obtenemos

|F (k)| = |g(k)|k′≤ 1

2

(|g(k)|2 +

1|k′|2

)Notemos que g depende de la cantidad de ceros de k ∈ Zn. Consideremos

ahora los siguientes conjuntos

A0 := k ∈ Zn| ninguna entrada es ceroA1 := k ∈ Zn|una entrada es cero· · ·An := k ∈ Zn|n entradas son cero

Los conjuntos Al0≤l≤n forman una particion de Zn y a su vez cada Alse puede particionar en n!

(n−l)!l! conjuntos, segun la distribucion de los l cerosen las n entradas de k, ası,

Al =

n!(n−l)!l!⋃j=1

Ajl

luego Ajl es una particion de Zn.Hemos probado que si k ∈ Zn tiene l ceros entonces F (k)

k∈Ajles

sumable para cada 1 ≤ j ≤ n!(n−l)!l! y teniendo en cuenta que el caracter de

60

sumablilidad es el mismo en cada Ajl (variando j) concluimos que F (k)k∈Ales una familia sumable.

Por un resultado de familias sumables de numeros no negativos con-cluimos que F (k)k∈Zn es una familia sumable, ası

lımm→∞

σqm =∑k∈Zn

|F (k)|

donde

σqm =∑‖k‖q≤m

|F (k)|

luego

|sqm(x)| ≤ σqm ≤∑k∈Zn

|F (k)| ∀ x ∈ Rn

ası, la serie de Fourier de F converge absoluta y uniformemente en todosentido.

Resta ver que dicha serie converge a F , para ello definimos

G(x) :=∑k∈Zn

F (k)ei(k|x)

para toda x en Rn. Dado que la convergencia es uniforme (en cualquiersentido), los coeficientes de Fourier de G deben ser F (k)k∈Zn luego F esigual a G c.t.p en Rn, pero como F y G son funciones continuas, concluimosque F = G en todo Rn. Finalmente conluimos que la serie de Fourier de Fconverge uniformemente en cualquier sentido a F .

Teorema 15. Sea F : Rn → R tal que F puede expresarse como

F = F1 ⊗ ...⊗ Fndonde Fi : R → R es de clase C1 en R y 2π-perıodica para 1 ≤ i ≤ n. En-tonces la serie de Fouerier de F converge de manera uniforme en cualquiersentido a F .

Demostracion Para i fijo, como Fi es de clase C1 entonces Fi se expresacomo

61

Fi(xi) =

xi∫0

F ′i (yi)dyi + ci

luego F se expresa de la siguiente manera

F (x1, .., xn) =n∏i=1

xi∫0

F ′i (yi)dyi + ci

esta ultima expresion nos arroja una combinacion lineal de funciones de laforma

xi1∫0

· · ·xim∫0

f(yi1 , ..., yim)dyim ...dyi1

= C

xi1∫0

· · ·xim∫0

F ′i1 ⊗ ...⊗ F′im(yi1 , ..., yim)dyim ...dyi1 .

de las cuales, sabemos que su serie de Fourier converge de manera uniformeen cualquier sentido ya que

(yi1 , ..., yim) 7→ F ′i1 ⊗ ...⊗ F′im(yi1 , ..., yim)

es una funcion 2π-perıodica y continua en Rn, luego es una funcion en L2π2 .

Ası, la serie de Fourier de F converge de manera uniforme en cualquiersentido a F .

62

BIBLIOGRAFIA.

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Series de Fourier en varias variables. Garc a Hern andez ... · variables es necesario conocer...

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