SERIES DE FOURIER

Sistema Nacional de Educacion Superior Tecnologica

DIRECCION GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS

INSTITUTO TECNOLOGICO DE GUAYMAS

Series de Tiempo

Dr. Pedro Rosales Grano

Catedratico

Guaymas, Sonora, 5 de junio de 2006

ITG Pedro Rosales Grano i

Contenido

1. Funciones Periodicas 11.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Series de Fourier 52.1. Propiedades de las Funciones Seno y Coseno: Funciones Or-

togonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Evaluacion de los Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Forma Compleja de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Aplicacion de las Series de Fourier a la solucion de ecuaciones

diferenciales parciales con valores en la frontera . . . . . . . . 392.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3. Aproximacion Mediante una Serie Finita de Fourier 55

Indice de figuras

1. Grafica que representa la funcion 6 . . . . . . . . . . . . . . . 32. Grafica que representa la funcion 9 . . . . . . . . . . . . . . . 43. Grafica que representa la funcion 11 . . . . . . . . . . . . . . . 54. Grafica que representa la funcion 35 . . . . . . . . . . . . . . . 95. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termino

para la funcion parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-

nos para la funcion parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-

nos para la funcion parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148. Grafica que representa la funcion 46 . . . . . . . . . . . . . . . 149. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termino

para la funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-

nos para la funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-

nos para la funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812. Grafica que representa la funcion 50 . . . . . . . . . . . . . . . 18

ITG Pedro Rosales Grano ii

13. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termi-no para la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

14. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-nos para la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

15. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-nos para la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

16. Grafica que representa la funcion 78 . . . . . . . . . . . . . . . 3017. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termi-

no para la funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . 3418. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-

nos para la funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . 3519. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-

nos para la funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . 3520. Grafica del Espectro de Amplitud con 1 termino para la fun-

cion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621. Grafica del Espectro de Amplitud con 5 terminos para la fun-

cion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622. Grafica del Espectro de Amplitud con 20 terminos para la

funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723. Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la

cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324. Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la

cuerda en una serie de tiempo de forma tridimensional . . . . 4325. Grafica de la propagacion del calor a traves de la placa de

acero en una forma bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 4826. Grafica del gradiente de calor en forma tridimensional a lo

largo de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827. Grafica de la condicion inicial de la membrana vibrante . . . . 55

ITG Pedro Rosales Grano 1

1. Funciones Periodicas

Una funcion periodica se puede definir como una funcion para la cual

f(t) = f(t + T ) (1)

para todo valor de t. La constante mınima T que satisface la relacion 1 se

llama el perıodo de la funcion. Mediante repeticion de 1, se obtiene,

f(t) = f(t + nT ), n = 0 , ± 1, ± 2, . . . (2)

En general si la funcion

f(t) = cosω1t + cosω2t

es periodica con periodo T , entonces es posible encontrar dos enteros m y n

tales que

ω1T = 2 π m, (3)

ω2T = 2 π n (4)

El cociente de 3 y 4 es

ω1

ω2

=m

n; (5)

es decir, la relacion ω1/ω2 debe ser un numero racional.

1.1. Ejercicios

1.- Encontrar el periodo de la funcion

f(t) = cost

3+ cos

t

4(6)


Solucion:

sabiendo que los valores de ω1 y ω2, son

ω1 =2π

Tm ;

1

3(7)

ω2 =2π

Tn ;

1

4(8)

donde la relacionm

n=

1314

la relacion anterior define los parametros m y n

m = 4 ; n = 3

despejando T respectivamente de las ecuaciones 7 y 8, queda de la siguiente

manera:

ω1T = 2πm ; T = 2πω1

m y ω2T = 2πn ; T = 2πω2

n

sustituyendo valores en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, queda

T =2π13

4 = 24π

El periodo de la funcion que indica la ecuacion 6 es de 24π

La Figura 1 muestra el periodo de la funcion representada por la ecuacion

6.


0 6 12 18 24 30 36 42 48−3

−2

−1

0

1

2

3Gráfica de la función f(t)=cos(t/3)+ cos(t/4)

f(t)

π

Periodo T = 24π

Figura 1: Grafica que representa la funcion 6

2.- Es periodica la funcion?

f(t) = cos 10t + cos(10 + π)t (9)

Dado que es costumbre empezar encontrando los valores de ω1 y ω2, la

relacion entre estos dos factores ω1ω2

, no es un numero racional, por lo tanto

esta funcion no es peridica. La comprobacion a esta afirmacion es la siguiente:

ω1 = 10 ;

ω2 = (10 + π)

donde:ω1

ω2

=10

(10 + π)(10)

ya que 10(10+π)

no es un numero racional, la funcion que representa la ecuacion

9 tiende a comportarse de manera irregular, como lo muestra la Figura 2.


0 6 12 18 24 30 36 42 48−3

−2

−1

0

1

2

3Gráfica de la función f(t)=cos 10t+ cos (10+π)

f(t)

π

"No Es Periodica, la relación ω1/ω

2 no es un numero racional"


3.-Encontrar el periodo de la funcion

f(t) = (10 cos t)2 (11)

simplificando la ecuacion queda:

f(t) = 102 cos2 t

Usando la identidad trigonometrica

cos2θ =1

2

(1 + cos (2θ)

)

y sustituyendola en la ecuacion 11 nos da:

f(t) = 100(1

2+

1

2cos 2t

)(12)

f(t) = 50 + 50 cos 2t (13)

Puesto que una constante es una funcion periodica de periodo T para

cualquier valor de T , y el periodo de cos 2t es π, se concluye que el periodo

de f(t) es π.


La Figura 3 explica el periodo de la funcion representada por la ecuacion

11.

0 1 2 3 4 50

25

50

75

100Gráfica de la función f(t)=(10 cos t)2

f(t)

π

Periodo T = π


2. Series de Fourier

Sea la funcion f(t) una funcion periodica de periodo T , la cual se puede

representar por la serie trigonometrica

f(t) =1

2a0 + a1 cos ω0t + a2 cos ω0t + · · · + b1 sin ω0t + b2 sin 2 ω0t + . . .

=1

2a0 +

∞∑n=1

(an cos n ω0t + bn sin n ω0t), (14)

donde

ω0 = 2π/T

Una serie como la representada por 14 se llama serie trigonometrica de

Fourier. Esta serie tambien se puede representar ası:

f(t) = C0 +∞∑

n=1

Cn cos (n ω0t − θn). (15)


2.1. Propiedades de las Funciones Seno y Coseno: Fun-ciones Ortogonales

Un conjunto de funciones φk(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b

si para dos funciones cualesquiera φm(t) y φn(t) pertenecientes al conjunto

φk(t), cumple:

∫ b

a

φm(t)φn(t)dt = { 0 para m 6= n ; rn para m = n} (16)

Considerese, por ejemplo, un conjunto de funciones senusoidales; medi-

ante el calculo elemental se puede demostrar que

∫ T/2

−T/2

cos (m ω0t)dt = 0 para m 6= 0 (17)

∫ T/2

−T/2

sin (m ω0t)dt = 0 para todo valor de m, (18)

∫ T/2

−T/2

cos (m ω0t) cos (n ω0t)dt = {0, m 6= n; T/2,m = n 6= 0} (19)

∫ T/2

−T/2

sin (m ω0t) sin (n ω0t)dt = {0,m 6= n; T/2,m = n 6= 0} (20)

∫ T/2

−T/2

sin (m ω0t) cos (n ω0t) dt = 0 para todo valor de m y n. (21)

donde ω0 = 2π/T

Estas relaciones demuestran que las funciones 1, cos ω0t, cos 2ω0t, · · · ,

cos n ω0t, · · · , sin ω0t, sin 2ω0t, · · · , sin n ω0t, · · · forman un conjunto

de funciones ortogonales en el intervalo −T/2 < t < T/2.


2.2. Evaluacion de los Coeficientes de Fourier

Utilizando las relaciones de ortogonalidad 17, 18, 19, 20, 21 se pueden

evaluar ahora los coeficientes an y bn de la serie de Fourier

f(t) =1

2a0 +

∞∑n=1

(an cos n ω0t + bn sin n ω0t). (22)

Multiplicando ambos lados por cos m ω0t e integrando entre [−T/2 y T/2],

se obtiene

∫ T/2

−T/2

f(t) (m ω0(t))dt =1

2a0

∫ T/2

−T/2

cos (m ω0t)dt · · ·

+

∫ T/2

−T/2

[ ∞∑n=1

an cos (n ω0t)]cos (m ω0t)dt · · ·

+

∫ T/2

−T/2

[ ∞∑n=1

bn sin (n ω0t)]cos (m ω0t)dt (23)

Intercambiando el orden de los signos de integracion y sumatoria se ob-

tiene

∫ T/2

−T/2

f(t) cos (m ω0(t))dt =1

2a0

∫ T/2

−T/2

cos (m ω0t) dt · · ·

+∞∑

n=1

an

∫ T/2

−T/2

cos (n ω0t) cos (m ω0t)dt · · ·

+∞∑

n=1

bn

∫ T/2

−T/2

sin (n ω0t) cos (m ω0t)dt (24)

Si se aplican las relaciones de ortogonalidad 17, se tiene

∫ T/2

−T/2

f(t) cos (m ω0t)dt =T

2am (25)

de donde

am =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos (m ω0t)dt (26)

Si se integra 14 entre [−T/2 y T/2] y se usa 18, se obtiene


∫ T/2

−T/2

f(t) dt =1

2a0

∫ T/2

−T/2

dt · · ·

+

∫ T/2

−T/2

[ ∞∑n=1

(an cos n ω0t + bn sin n ω0t)]dt · · ·

=1

2a0T +

∞∑n=1

an

∫ T/2

−T/2

cos (n ω0t) dt · · ·

+∞∑

n=1

bn

∫ T/2

−T/2

sin (n ω0t)dt =1

2a0T (27)

de donde

1

2a0 =

1

T

∫ T/2

−T/2

f(t) dt (28)

o

a0 =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) dt (29)

Se debe notar que a0/2 es el valor promedio de f(t) durante un periodo.

Analogamente, si la ecuacion 14 se multiplica por sin m ω0t y se integra

termino por termino entre los lımites [−T/2 y T/2], se obtiene

∫ T/2

−T/2

f(t) sin (m ω0t)dt =1

2a0

∫ T/2

−T/2

sin (m ω0t)dt · · ·

+∞∑

n=1

an

∫ T/2

−T/2

cos (n ω0t) sin (n ω0t)dt · · ·

+∞∑

n=1

bn

∫ T/2

−T/2

sen (n ω0t) sin (n ω0t)dt (30)

El uso de las relaciones de ortogonalidad 17 conduce a

∫ T/2

−T/2

f(t) sin (m ω0t)dt =T

2bm. (31)

De donde

bm =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) sin (n ω0t)dt (32)


Sustituyendo m por n las ecuaciones 26 y 32 se pueden expresar como

an =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos (n ω0t)dt, n = 0, 1, 2, . . . , (33)

bn =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) sin (n ω0t)dt, n = 1, 2, . . . , (34)

2.2.1. Ejercicios

1.- Encontrar la serie de Fourier para la funcion f(t) = t2 en el intervalo

[−π , π]; donde f(t) = f(t + 2π). Graficar la funcion original ademas su

aproximacion.

La funcion:

f(t) = t2 (35)

la funcion anterior es una funcion par f(t) = f(−t), como lo muestra la

Figura 4; por lo tanto, los coeficientes impares tienden a ser cero.

−1 0 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Función Parábola

Periodo (π)

t2


A partir de la ecuacion 22, se puede determinar la serie de Fourier de una


funcion, no sin antes determinar los coeficietes a0, an y bn.

Estos coeficientes se determinan con las ecuaciones 29, 33, 34, respecti-

vamente.

Para cualquier valor de t, la funcion se va a repetir a cada 2π. Como no se

tiene discontinuidad, la funcion se va a evaluar de −π a π. Por lo tanto se

procede a evaluar los coefcientes de la serie de Fourier.

De la ecuacion 29, se deriva la ecuacion:

a0 =2

T

∫ π

−π

t2 dt (36)

Integrando y evaluando la ecuacion anterior nos queda:

a0 =2

2π

[(π)3

3− (−π)3

3

]

a0 =1

π

[2π3

3

]

que finalmente simplificando la ecuacion:

a0 =2

3π2 (37)

Ahora queda evaluar solamente el coeficiente an. De la ecuacion 33, se

deriva la ecuacion siguiente:

an =2

T

∫ π

−π

t2 cos(n ω0 t) dt (38)

donde:

T = 2π ;

ω0 = 2πT

= 1

Entonces conforme a las anteriores estipulaciones, la ecuacion queda de

la siguiente forma:

an =1

π

∫ π

−π

t2 cos(n t) dt


integrando la funcion con la formula

∫xn cos a x dx =

xn

asin ax − n

a

∫xn−1 sin a x dx

queda de la siguiente forma:

an =1

π

[π

−π

t2

nsin(n t) − 2

n

∫ π

−π

t sin (n t) dt]

(39)

evidentemente la integral de la ecuacion 39 debe resolverse por el metodo de

la integracion por partes:

∫u ¦ dv = u ¦ v −

∫v du (40)

donde:

u = t ; du = dt

v = −1n

cos (n t) ; dv = sin(n t)

sustituyendolo en la ecuacion 40, queda:

−t

ncos (n t) − −1

n

∫cos (n t)

haciendo las operaciones integrales queda:

−t

ncos (n t) +

1

n2sin (n t)

la cual se sustituye en la ecuacion 39

an =1

π

[π

−π

t2

nsin(n t) − 2

n

[π

−π

−t

ncos (n t) +

1

n2sin (n t)

]](41)

evaluando la ecuacion 41, se supone que n = cualquier numero entero, y

t = π, todas las funciones senoidales son igual a cero, y queda:


an =1

πn2

[[π cos(n t)] − [−π cos(n t)]

](42)

simplificando terminos:

an =2

n2

[cos(n π) + cos(n π)

]

an =2

n2(2 cos(n π))

an =4

n2cos(n π)

ya que el coseno de cualquier numero entero n en el periodo f(t) = f(t + 2π),

es el mismo valor de −1, quedando como resultado la siguiente expresion

an =4

n2(−1)n (43)

donde el resultado de la serie es:

f(t) =1

2(2

3π2) + 4

∞∑n=1

−1n

n2cos(n t) + 0 (44)

simplificando terminos:

f(t) =1

3π2 + 4

∞∑n=1

−1n

n2cos(n t) + 0 (45)

Nota: esta ecuacion solo sera valida para valores pares de n; n = 2, 4, 6,

8, 10, . . . , ∞. Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para

la funcion t2, se graficara entonces la ecuacion 45, para n = 1, 5, 20 terminos,

que corresponden a las Figuras 5, 6, 7 respectivamente.


−1 0 1−2

0

2

4

6

8

10Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Parábola

(π)

f(t)

con n = 1 término

Aproximación de la seriefunción parábola

Figura 5: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion parabola

−1 0 1−2

0

2

4

6

8


(π)

f(t)

con n = 5 términos


Figura 6: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion parabola


−1 0 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9


(π)

f(t) con n = 20 términos


Figura 7: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion parabola

2.- Representar la funcion escalon, por medio de la Serie de Fourier, en el

intervalo −T2

< t < 0, y 0 < t < T2

:

f(t) =[−1

1

](46)

La funcion escalon es una funcion impar f(t) = − f(−t), como se

muestra en la Figura 8

−1 0 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Función Escalón

Periodo (π)

f(t)


Otra observacion es que la funcion tiene discontinuidad al pasar por el


origen del eje x, por eso se evalua de −π a 0 y despues de 0 a π.

De las ecuaciones 29, 33, 34, se pretende obtener los coeficientes que

puedan resolver la ecuacion 22. De la ecuacion 29, se obtiene el siguiente

resultado:

a0 =2

T

[−

∫ 0

−T/2

1 dt +

∫ T/2

0

1 dt]

integrando y evaluando la ecuacion se obtiene

a0 =2

T

[− [ 0 − ( − T/2 ) ] + [ (T/2) − 0 ]

]

a0 =2

T[(−T/2) + T/2] = 0

a0 = 0 (47)

como es una funcion impar el coeficiente an = 0; se procede a calcular

entonces el coeficiente bn, regido por la ecuacion 34.

bn =2

T

[ ∫ 0

−T/2

− 1 sin(n ω0 t) dt +

∫ T/2

0

1 sin(n ω0 t) dt]

(48)

integrando la ecuacion 48, se obtiene

bn =−2

T

[0

−T/2

−1

n ω0

cos(n ω0 t)]

+[T/2

0

−1

n ω0

cos(n ω0 t)]

bn =2

T

[0

−T/2cos(n ω0 t)

]−

[T/2

0cos(n ω0 t)

]

evaluando los lımites;

bn =2

n T ω0

[1 − cos(n ω0 (−T/2)) − cos(n ω0 (T/2)) + 1

]

simplificando terminos, aclarando que T = 2π, y ω0 = 2π / T = 1


bn =1

n π[ 2 − 2 cos(n π)]

bn =2

n π[ 1 − cos(n π)]

donde la ecuacion que representa la serie a la funcion 46, es:

f(t) =∞∑

n=1

4

nπsin(n t) (49)

en donde n es cualquier numero entero impar; n = 1, 3, 5, 7, · · · , ∞Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para la funcion

escalon, se graficara entonces la ecuacion 46, para n = 1, 5, 20 terminos, que

corresponden a las figuras 9, 10, 11, respectivamente.


−1 0 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Escalón

π

f(t)

con n = 1 término

Aproximación de la seriefunción escalón

Figura 9: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion escalon

−1 0 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


π

f(t)

con n = 5 términos


Figura 10: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion escalon


−1 0 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


π

f(t)

con n = 20 términos


Figura 11: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion escalon

3.- Encontrar la serie de Fourier de la Funcion f(t) = et, en el intervalo

[−π, π], donde el periodo de la funcion es de f(t) = f(t + 2π)

f(t) = et (50)

La funcion exponencial no es precisamente par o impar como lo muestra

la Figura 12 , ası de esa manera se tendran que calcular los coeficientes pares

an e impares bn.

−1 0 10

5

10

15

20

25Función Exponencial

Periodo (π)

et



de la ecuacion 29, se obtiene el coeficiente a0, para la funcion representada

por la ecuacion 50

a0 =2

T

∫ π

−π

etdt

si T = 2π y ω0 = 1; entonces queda

a0 =2

2π

∫ π

−π

etdt

integrando

a0 =1

π

[π

−π

et

1

]

evaluando

a0 =1

π[eπ − e−π]

para simplificar la ecuacion se sustituye la identidad trigonometrica 2 sinh(x) =

eπ − e−π, siendo x = π, quedando como resultado

a0 =2

πsinh π (51)

Ahora sigue obtener el coeficiente an, de la ecuacion 33, para la funcion

representada por la ecuacion 50

an =2

T

∫ π

−π

et cos(n ω0 t)dt

consultando el manual de formulas y tablas matematicas de la Serie Shaum,

se encuentra la siguiente integral, que ajusta a la solucion de la anterior

ecuacion

∫eax cos(bx) dx =

eax [a cos(bx) + b sin(bx)]

a2 + b2(52)

se supone que: a = 1; x = t; b = n, y si T = 2π y ω0 = 1; entonces queda


an =2

2π

∫ π

−π

et cos(n t)dt

an =1

π

∫ π

−π

et cos(n t)dt

Integrando

an =1

π

[π

−π

et [cos(n t) + n sin(n t)]

1 + n2

]

Evaluando

an =1

π

[eπ [cos(n π) + n sin(n π)]

1 + n2− e−π [cos(−n π) + n sin(−n π)]

1 + n2

]

ya que para todo ± cos(nπ) = (−1)n, y para ± sin(nπ) = 0. Considerando

estas observaciones la ecuacion queda de la siguiente manera:

an =1

π

[eπ (−1)n

1 + n2− e−π (−1)n

1 + n2

]

agrupando los terminos comunes en la ecuacion se obtiene

an =(−1)n

π(1 + n2)

[eπ − e−π

]

para simplificar la ecuacion se sustituye la identidad trigonometrica 2 sinh(x) =

eπ − e−π, siendo x = π

an =(−1)n

π(1 + n2)[2 sinh π]

terminando, como resultado queda

an =2(−1)n

π(1 + n2)[sinh π] (53)

Ahora se procede para encontrar el coeficiente bn, que se obtiene de la

ecuacion 34, para la funcion representada por la ecuacion 50

bn =2

T

∫ π

−π

et sin(n ω0 t)dt


Analogamente con la solucion anterior, se consulta el manual de formulas

y tablas matematicas de la Serie Shaum, y se encuentra la integral que da la

solucion a la integral en proceso de resolver.

∫eax sin(bx) dx =

eax [a sin(bx) − b cos(bx)]

a2 + b2(54)

se supone que: a = 1; x = t; b = n, y si T = 2π y ω0 = 1; entonces:

bn =2

2π

∫ π

−π

et sin(n t)dt

bn =1

π

∫ π

−π

et sin(n t)dt

Integrando

bn =1

π

[π

−π

et [sin(n t) − n cos(n t)]

1 + n2

]

Evaluando

bn =1

π

[eπ [sin(n π) − n cos(n π)]

1 + n2− e−π [sin(−n π) − n cos(−n π)]

1 + n2

]

de igual manera anteriormente visto, ya que para todo ± cos(nπ) = (−1)n,

y para ± sin(nπ) = 0. Considerando estas condiciones la ecuacion queda de

la siguiente manera:

bn =1

π

[eπ [− n(−1)n]

1 + n2− e−π [− n(−1)n]

1 + n2

]

agrupando terminos semejantes se obtiene

bn =(−1)nn

π(1 + n2)

[− eπ + e−π

]

para simplificar la ecuacion se sustituye la identidad trigonometrica−2 sinh(x) =

−eπ + e−π, siendo x = π

quedando finalmente

bn =−2 n(−1)n

π(1 + n2)[sinh π] (55)


Agrupando terminos de los coeficiente de la Serie de Fourier, la aproxi-

macion queda:

f(t) =2 sinh π

π

[1

2+

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2cos(n t) −

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2n sin(n t)

]

donde la ecuacion anterior se puede simplificar aun mas quedando finalmente

como

f(t) =2 sinh π

π

[1

2+

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2[cos(n t) − n sin(n t)]

](56)

Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para la funcion

exponencial, se graficara entonces la ecuacion 56, para n = 1, 5, 20 terminos,

que corresponden a las figuras 13, 14, 15, respectivamente.


−1 0 1−5

0

5

10

15

20

25Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Exponencial

π

f(t)

con n = 1 término

Aproximación de la seriefunción exponencial

Figura 13: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion exponencial

−1 0 1−5

0

5

10

15

20


(π)

f(t)

con n = 5 términos


Figura 14: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion exponencial


−1 0 1−5

0

5

10

15

20


(π)

f(t)

con n = 20 términos


Figura 15: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion exponencial

2.3. Forma Compleja de Fourier

La representacion de una funcion periodica como una serie de Fourier,

implica que la especificacion de los coeficientes determina inıvocamente la

funcion. Se profundizara en el uso de los coeficientes de Fourier en el estudio

de funciones periodicas y se introducira el concepto de espectros de frecuencia

de senales periodicas.

En muchas aplicaciones es conveniente expresar las series de Fourier en

terminos de exponenciales complejos e±imω0t. Considerese la ecuacion 22, para

este caso.

Las funciones seno y coseno se pueden expresar en terminos de los expo-

nenciales como:

cos nω0t =1

2(einω0t + e−inω0t) (57)

sin nω0t =1

2i(einω0t − e−inω0t) (58)

sustituyendo 57 y 58, en la ecuacion 22, queda de la siguiente manera:


f(t) =1

2a0 +

∞∑n=1

an1

2(einω0t + e−inω0t) + bn

1

2i(einω0t − e−inω0t) (59)

como 1/i = −i, entonces

f(t) =1

2a0 +

∞∑n=1

[1

2(an − ibn)einω0t +

1

2i(an + ibn)e−inω0t

]

si se hace

C0 = 12a0; Cn = 1

2(an − ibn); C−n = 1

2(an + ibn)

la ecuacion anterior queda

f(t) = C0 +∞∑

n=1

(Cneinω0t + C−ne

−inω0t)

f(t) = C0 +∞∑

n=1

Cneinω0t +−∞∑

n=−1

C−ne−inω0t (60)

con lo que finalmente

f(t) =∞∑−∞

Cneinω0t (61)

La ecuacion 61 es la forma compleja de la serie de Fourier de f(t). Los

coeficientes Cn se evaluan de los terminos an y bn

C0 =1

2a0 =

1

T

∫ T/2

−T/2

f(t) dt (62)

Cn =1

2(an − ibn)

=1

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos(nω0t)dt − i

∫ T/2

−T/2

f(t) sin(nω0t)dt

=1

T

[ ∫ T/2

−T/2

f(t)[cos(nω0t) − i sin(nω0t)]]dt


Cn =1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−inω0t dt (63)

C−n =1

2(an + ibn) =

1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)einω0t dt (64)

si f(t) es real entonces

C−n = C∗n (65)

Las ecuaciones 62, 63 y 64, se combinan en una sola.

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−inω0t dt n = 0, ± 1, ± 2, · · · (66)

Como f(t)e−inω0t es periodica con periodo T , Cn se puede calcular de

Cn =1

T

∫ T

0

f(t)e−inω0t dt (67)

Definimos

Cn = |Cn|ejφn ; C−n = C∗n = |Cn|e−iφn

entonces, encontramos el espectro de amplitud y el espectro de fase de la

funcion, respectivamente

|Cn| = 1

2

√a2

n + b2n (68)

φn = tan−1(− bn

an

)(69)

2.3.1. Ejercicios

Ejercicio 1.- Encontrar el coeficiente Cn de la forma compleja de Fourier,

para la funcion f(t) = et, en el intervalo [−π π], sabiendo que el periodo es

f(t) = f(t + 2π), considerando que an = 2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}Como se habıa resuelto antes la funcion et de la manera real, ahora se

resolvera de la forma compleja, quedando el mismo resultado, para ambas

formas de solucion.


De la ecuacion 66, se obtiene la siguiente ecuacion

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2

et e−inω0t dt (70)

si se sustituye en la ecuacion T = 2π y ω0 = 1, se obtiene

Cn =1

2π

∫ π

−π

et e−int dt

Factorizando exponentes

Cn =1

2π

∫ π

−π

et−int dt

Cn =1

2π

∫ π

−π

et(1−in) dt

consultando el manual de formulas y tablas matematicas de la Serie Shaum,

se encuentra la siguiente integral que da solucion a la anterior

∫ekx dt =

ekx

k(71)

Integrando

Cn =1

2π

et(1−in)

(1− in)

∣∣∣π

−π

Evaluando

Cn =1

2π(1− in)

∣∣∣eπ(1−in) − e−π(1−in)∣∣∣

Separando partes en los exponentes

Cn =1

2π(1− in)

∣∣∣eπ · e−inπ − e−π · einπ∣∣∣

La ecuacion queda a modo para aplicar la relacion de Euler que es

e±iα = cos α ± i sin α (72)

que es igual a

e±inπ = cos nπ ± i sin nπ


Analogamente con lo anterior se obtiene

Cn =1

2π(1− in)

[eπ ·[cos(nπ) − i sin(nπ)] − e−π ·[cos(−nπ) ± i sin(−nπ)]

]

como se ha mencionado anteriormente

cos(±nπ) = (−1)n ; sin(±nπ) = 0

aplicando esta condicion la ecuacion se expresa

Cn =1

2π(1− in)

[eπ(−1)n − e−π(−1)n

]

factorizando terminos en la ecuacion

Cn =(−1)n

2π(1− in)

[eπ − e−π

]

con lo que se aplica la identidad trigonometrica 2 sinh(π) = eπ − e−π,

quedando de la siguiente manera

Cn =(−1)n

2π(1− in)[2 sinh π] (73)

Aparentemente la ecuacion satisface la serie compleja de Fourier, solo que

no cumple para la obtencion de los coeficientes an y bn. Algo que puede ser la

solucion para obtener estos coeficientes es separar de la ecuacion 73 la parte

real de la imaginaria.

Un metodo para separar la parte real de la imaginaria en la ecuacion 73,

es multiplicando tanto al nominador como al denominador por su complejo

conjugado (1+in), como sigue

Cn =2(−1)n

2π(1− in)[sinh π]

[1 + in

1 + in

]

haciendo la multiplicacion queda

Cn =2(−1)n sinh π(1 + in)

2π(1− i2n2)


sabiendo que i2 = −1

Cn =2(−1)n sinh π(1 + in)

2π(1 + n2)

Cn =(−1)n sinh π(1 + in)

π(1 + n2)

se separa la parte real de la imaginaria, y se aplican los criterios de an =

2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}

an =2(−1)n sinh π

π(1 + n2)(74)

bn =−2n(−1)n sinh π

π(1 + n2)(75)

El coeficiente a0 se puede obtener de la siguiente forma

a0 =2(−1)(0) sinh π

π(1 + (0)2)=

sin π

π(76)

de esta manera los coeficientes quedaron determinados por la forma compleja

de la serie de Fourier.

La aproximacion de la serie compleja de Fourier para la funcion et queda

de la siguiente manera:

f(t) =2 sinh π

π

[1

2+

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2cos(n t) −

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2n sin(n t)

]

simplificando

f(t) =2 sinh π

π

[1

2+

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2[cos(n t) − n sin(n t)]

](77)


Ejercicio 2.- Encontrar la aproximacion en Series de Fourier para la fun-

cion diente de sierra, en el intervalo [0 < t < T ], sabiendo que el periodo

es f(t) = f(t + T ), y ω0 = 2πT

, ademas considerando que an = 2 <{Cn}, y

bn = −2 ={Cn}La funcion diente de sierra se representa de la siguiente manera:

f(t) =A

Tt (78)

La representacion grafica de la funcion, muestra que es una funcion impar,

como se muestra en el grafico

−1 0 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Función Diente de Sierra

(π)

f(t)


partiendo de la ecuacion 61, ademas de los coeficientes Cn de la ecuacion 67,

y C0 de la ecuacion 62, se comienza a abordar el problema.

Cn =1

T

∫ T

0

A

Tt e−inω0tdt

=A

T 2

∫ T

0

A

Tt e−inω0tdt

lo anterior se resuelve con el metodo de la integracion por partes, consultando

el manual de formulas y tablas matematicas de la Serie Shaum.

∫u ¦ dv = u ¦ v −

∫v du


donde:

u = t ; du = dt

v = 1−inω0t

e−inω0t ; dv = e−inω0t

sustituyendolo en la integral por partes, queda:

Cn =A

T 2

[ t

−inω0

e−inω0t|T0 −∫ T

0

1

−inω0

e−inω0tdt]

Integrando

Cn =A

T 2

[Te−inω0T

−inω0

+1

inω0

1

−inω0

]

sustituyendo ω0 = 2πT

y la identidad 1i

= −i la ecuacion queda

Cn =A

T 2

[Te−in 2πT

T

−inω0

− 1

(inω0)2

[e−inω0T − 1

]]

Utilizando la relacion de Euler de la ecuacion 72

e−in2π = cos n2π − i sin n2π

donde:

cos n2π = 1;

−i sin n2π = 0

con lo que da

Cn =A

T 2

[ Ti

nω0

− 0]

simplificando terminos

Cn =A

T

[ i

nω0

− 0]

Aplicando de nuevo la relacion de Euler de la ecuacion 72 para la identidad

eiπ2 = i, y sustituyendo ω0 = 2π

T, queda

Cn =Ae

iπ2

2πn(79)

Se procede entonces a calcular el valor de C0

C0 =1

T

∫ T

0

A

Tt dt


Integrando

C0 =A

2T 2t2|T0

Evaluando

C0 =A

2T 2[T 2 − 0]

Finalmente

C0 =A

2(80)

Se procede a calcular a0

donde

a0 = 2C0

a0 = 2A

2

a0 = A (81)

Ahora se calculan los coeficientes an = 2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}, con

lo que se separa la parte real de la parte imaginaria. Para separarla se usa la

relacion de Euler de la ecuacion 72.

La parte real de Cn, es:

<{Cn} =A

2πn

{cos

π

2+ i sin

π

2

}

donde

cos π2

= 0;

i sin π2

= 1, pero pertenece a la parte imaginaria; por lo que no interviene en

la parte real, por consiguiente

an = 2<{Cn} =A

2πn

{0}

= 0

an = 0 (82)


La parte imaginaria de Cn, es:

={Cn} =A

2πn

{cos

π

2+ i sin

π

2

}

donde

cos π2

= 0;

i sin π2

= 1

simplificando

bn = −2={Cn} =A

2πn

{1}

bn = −2A

2πn

bn = − A

nπ(83)

Integrando los coeficientes a la Serie de Fourier, queda

f(t) =A

2+

∞∑n=1

− A

nπsin nω0t

factorizando y simplificando queda

f(t) =A

2− A

π

∞∑n=1

− 1

nsin nω0t

Finalmente la aproximacion de la serie queda

f(t) = A[1

2− 1

π

∞∑n=1

− 1

nsin nω0t

](84)

Para encontrar el espectro de amplitud de la funcion diente de sierra, se

obtiene lo siguiente.

El valor absoluto de Cn, es:

|Cn| = 1

2

√a2

n + b2n

como an = 0, para este ejemplo, entonces

|Cn| = 1

2

√b2n


sustituyendo

|Cn| = 1

2

√(− A

nπ

)2

|Cn| = 1

2

√A2

n2π2

Finalmente, el valor absoluto de Cn queda

|Cn| = A

2nπ(85)

Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para la funcion

diente de sierra, se graficara entonces la ecuacion 84, para n = 1, 5, 20

terminos, que corresponden a las figuras 17, 18, 19, respectivamente.

−1 0 1

1

1.5

2

2.5

3

Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Diente de Sierra

(π)

f(t)

Figura 17: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion diente de sierra


−1 0 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Diente de Sierra

(π)

f(t)

Figura 18: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion diente de sierra

−1 0 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Diente de Sierra

(π)

f(t)

Figura 19: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion diente de sierra

Para esquematizar el espectro de frecuencia de amplitud, se graficara en-

tonces la ecuacion 85, para n = 1, 5, 20 terminos, que corresponden a las

figuras 20, 21, 22, respectivamente.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 25

5.5

6

6.5

7

7.5Espectro de Amplitud para n = 1 de la Función Diente de Sierra

n ω0

|Cn|

Figura 20: Grafica del Espectro de Amplitud con 1 termino para la funciondiente de sierra

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51

2

3

4

5

6

7Espectro de Amplitud para n = 5 de la Función Diente de Sierra

n ω0

|Cn|

Figura 21: Grafica del Espectro de Amplitud con 5 terminos para la funciondiente de sierra


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7Espectro de Amplitud para n = 20 de la Función Diente de Sierra

n ω0

|Cn|

Figura 22: Grafica del Espectro de Amplitud con 20 terminos para la funciondiente de sierra

Ejercicio 3.- Encontrar la aproximacion en Series de Fourier para la fun-

cion pulsos, para un intervalo A de [−d2

< t < d2], y un intervalo 0 de

[−T2

< t < −d2]; y [d

2< t < T

2], sabiendo que ω0 = 2π

T, ademas

considerando que an = 2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}Partiendo nuevamente de la ecuacion 61, que es la forma compleja de

Fourier, se procede a solucionar el problema.

Cn =1

T

∫ d/2

−d/2

A e−inω0tdt

Integrando

Cn =A

T

[− 1

inω0

e−inω0t]d/2

−d/2

Factorizando y evaluando

Cn = −A

T

1

inω0

[e−inω0

d2 − einω0

d2

]

Multiplicando por −1 a toda la ecuacion por conveniencia tenemos

Cn =A

T

1

inω0

[einω0

d2 − e−inω0

d2

]

Multiplicando la ecuacion por 2

Cn =A

T

2

nω0

1

2i

[einω0

d2 − e−inω0

d2

]


Utilizando sin α = (eα − e−α)/2i, ya que α = inω0d2

Cn =A

T

2

nω0

sin(inω0

d

2

)

Multiplicando la ecuacion por d2

Cn =Ad

2

T

2

nω0d2

sin(inω0

d

2

)

Simplificando, queda finalmente

Cn =Ad

T

sin(nω0d2)

nω0d2

(86)

Se procede entonces a encontrar los coeficientes an y bn y C0. Dado que

el coeficiente Cn para la funcion pulsos no tiene parte imaginaria

bn = −2={Cn} = 0 (87)

Corresponde entonces

an = 2<{Cn}

an = 2Ad

T

sin(nω0d2)

nω0d2

(88)

Para C0

C0 =1

T

∫ T/2

−T/2

A dt

Integrando

C0 =A

T

[t]d/2

−d/2

Evaluando

C0 =A

T

(d

2+

d

2

)

Finalmente

C0 =A

T(d) (89)


2.4. Aplicacion de las Series de Fourier a la solucionde ecuaciones diferenciales parciales con valoresen la frontera

2.4.1. Ejercicios

Ejercicio 1.- Resolver con la ecuacion de onda unidimensional, la oscilacion

vertical de una cuerda dada una perturbacion, considerando que la cuerda

queda fija en sus extremos.

Abordando el problema se presenta la ecuacion de onda unidimensional

uxx(x, t) = − 1

c2utt(x, t) (90)

donde:

uxx = es el desplazamiento vertical de la cuerda

c = es la constante que depende de la tension y la masa de la cuerda

Las condiciones iniciales son las siguientes

u(x, 0) = f(x) (91)

ut(x, 0) = g(x) (92)

Lo que indican las condiciones iniciales, es que la cuerda esta en pleno

reposo antes de la perturbacion, y que despues de un tiempo t dada la per-

turbacion, la cuerda empieza a oscilar verticalmente.

Las condiciones en la frontera son las siguientes

u(0, t) = 0 (93)

u(l, t) = 0 (94)

Lo que indican las condiciones en la frontera, es que la cuerda esta fija en

sus dos extremos.


Contando con las condiciones iniciales y de frontera, se propone una

ecuacion diferencial que posiblemente sea la solucion al problema.

u(x, t) = X(x) T (t) (95)

Se procede entonces a sustituir la ecuacion 95, en la ecuacion 90, quedando

X ′′ T =1

c2X T ′′

Usando el metodo de separacion de variables, donde divide X T a toda

la ecuacionX ′′ T

X T=

1

c2

X T ′′

X T

donde se eliminan los terminos comunes, quedando separadas las variables

X ′′

X=

1

c2

T ′′

T

el termino 1c2

T ′′T

puede considerarse una constante −k2, por lo tanto

X ′′

X= − k2

Igualando a cero la ecuacion queda

X ′′ + k2X = 0 (96)

Despejando de igual manera que en la ecuacion 96, para T quedarıa

T ′′ + c2k2T = 0 (97)

Las soluciones a las ecuaciones 96 y 97, respectivamente son

X = A cos kx + B sin kx (98)

T = C cos kct + D sin kct (99)

Para determinar las constantes A,B,C, D, se utilizaran las condiciones

iniciales y de la frontera


Aplicando la primera condicion en la frontera

u(0, t) = A cos k(0) + B sin k(0) = 0

por lo tanto la primer constante es

A = 0

Aplicando la segunda condicion en la frontera

u(l, t) = X(l) T (t) = 0

como A = 0

X(l) = B sin k(l) = 0

para que se cumpla esta condicion sin(kl), debe ser 0, por lo que se propone

kl = nπ; k = nπl, ya que cualquier valor entero de n satisface que sin(nπ) = 0.

Por lo tanto, como la ecuacion de onda unidimensional es linear, cualquier

sumatoria es tambien solucion a la ecuacion diferencial, y dado que An = 0,

las ecuaciones quedan

X(x) = Xn(x) = Bn sin(nπ

lx)

T (t) = Tn(t) = Cn cos(nπ

l)ct + Dn sin(

nπ

l)ct

Se deduce que para la solucion 99, tambien una sumatoria es solucion,

quedando expresada la ecuacion 95, de la siguiente manera

u(x, t) = Bn sin(nπ

lx)

[Cn cos(

nπ

l)ct + Dn sin(

nπ

l)ct

]

ya que la multiplicacion del coeficiente Bn con Cn y Dn, sera un nuevo coe-

ficiente, la ecuacion se simplificaa

un(x, t) = sin(nπ

lx)

[En cos(

nπ

l)ct + Fn sin(

nπ

l)ct

]

donde

En = Bn ∗ Cn

Fn = Bn ∗Dn


Finalmente en forma de sumatoria, la ecuacion queda

u(x, t) =∞∑

n=1

sin(nπ

lx)

[En cos(

nπ

l)ct + Fn sin(

nπ

l)ct

](100)

Se procede entonces a encontrar las constantes En y Fn, para ello se deriva

parcialmente la ecuacion 100, como se muestra a continuacion

u(x, t) =∞∑

n=1

sin(nπ

lx)

∂[En cos(nπ

l)ct + Fn sin(nπ

l)ct

]

∂t

al derivarse parcialmente la ecuacion anterior, los coeficientes se separan,

ajustandose a Series de Fourier

u(x, 0) =∞∑

n=1

= En sin(nπ

lx) = f(x)

ut(x, 0) =∞∑

n=1

=cnπ

lFn sin(

nπ

lx) = g(x)

Finalmente aplicando la Serie de Fourier a los coeficientes, queda de la

siguiente manera

En =2

l

∫ l

0

f(x) sinnπx

ldx (101)

Fn =2

cnπ

∫ l

0

g(x) sinnπx

ldx (102)

las ecuaciones son validas para cualquier valor entero de n

La solucion de En es

En =8

n2π2sin

nπ

2(103)

Aplicandolo a la solucion de la cuerda queda

u(x, t) =∞∑

n=1

sin(nπ

lx) En cos(

cnπ

lt) (104)

Las graficas 23 y 24, muestran la propagacion de la perturbacion de la

cuerda en una serie de tiempo.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Longitud de la cuerda

Osc

ilaci

on

Propagación de la cuerda en el tiempo

Figura 23: Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la cuerda

Figura 24: Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la cuerdaen una serie de tiempo de forma tridimensional

Ejercicio 2.- Resolver con la ecuacion de Laplace, la propagacion del calor

en una placa de acero, considerando que el flujo de calor es estacionario.


T (0, y) = 0 ; 0 < x < a (105)

T (x, 0) = 0 ; 0 < x < a (106)

T (0, b) = 0 ; 0 < y < b (107)

T (a, y) = T0 ; 0 < y < a (108)


donde

T=calor.

T0=calor generado por la fuente.

La ecuacion de Laplace es la siguiente

∇2 T = 0 (109)

ya que esta ecuacion es de segundo orden se puede representar de la siguiente

manera

∂(Txx + Tyy) = 0

Para ello se propone primeramente una ecuacion solucion, que es la sigu-

iente

T (x, y) = X(x) Y (y) (110)

Dado que la solucion propuesta es una ecuacion lineal, cualquier sumato-

ria es tambien una solucion.

X ′′ Y + X Y ′′ = 0

Aplicando el metodo de separacion de variables se obtiene

X ′′YXY

= −XY ′′

XY

QuedandoX ′′

X= −Y ′′

Y

El termino −Y ′′Y

, puede expresarse como una constante k2, ası como tam-

bien para el termino −X′′X

, quedando

X ′′

X= k2

−Y ′′

Y= k2


Despejando

X ′′ = k2X

Y ′′ = k2Y

Igualando las ecuaciones a cero, quedarian

X ′′(x) − k2X(x) = 0 (111)

Y ′′(y) + k2Y (y) = 0 (112)

Las soluciones a las ecuaciones 111 y 112, respectivamente son

X = Aekx + Be−kx (113)

Y = C cos ky + D sin ky (114)

De nueva cuenta que en el ejercicio anterior, se procedera a encontrar las

constantes aplicando las condiciones en la frontera.

La primer condicion condicion en la frontera es

X(0) = Aek(0) + Be−k(0) = 0

ya que todo numero elevado a la cero es igual a 1, queda

X(0) = A(1) + B(1) = 0

X(0) = A + B = 0

por lo que las constantes A y B son

A = −B

B = − A


Y (0) = C cos k(0) + D sin k(0) = 0


ya que el cos(0) es igual a uno, y que el sin(0) es igual a cero, se tiene

Y (0) = C(1) + D(0) = 0

Y (0) = C = 0

por lo que

C = 0

Aplicando la tercer condicion en la frontera

Y (b) = C cos k(b) + D sin k(b) = 0

como C = 0, entonces

Y (b) = D sin k(b) = 0

para que se cumpla la ecuacion, sin k(b) = 0, para que esto ocurra igualamos

kb = nπ, ya que sin(nπ) = 0, y entonces k = nπb

, quedando la ecuacion

Y (b) = D sin(nπ) = 0

ya que Cn = 0, las ecuaciones para Xn(x) y Yn(y), quedan

Xn(x) = An ekx − An e−kx

Yn(y) = Dn sin(nπ

b)y

factorizando Xn(x)

Xn(x) = An(ekx − e−kx)

utilizando la identidad trigonometrica 2 sinh = ekx − e−kx, la ecuacion

queda

Xn(x) = 2An sinh(kx)

como k = nπb

, entonces

Xn(x) = 2An sinh(nπ

b)x


Sustituyendo los resultados de Xn(x) y Yn(y) en la ecuacion solucion 110

Tn(x, y) = 2An sinh(nπ

b)x Dn sin(

nπ

b)y

Ya que la multiplicacion de las constantes 2An y Dn da como resultado

una nueva constante, entonces

Tn(x, y) = En sinh(nπ

b)x sin(

nπ

b)y

A manera de sumatoria, queda

T (x, y) =∞∑

n=1

Tn(x, y) =∞∑

n=1

En sinh(nπ

b)x sin(

nπ

b)y (115)

Aplicando la cuarta condicion de la frontera a la ecuacion 115, queda

T (a, y) = T0 =∞∑

n=1

En sinh(nπ

b)a sin(

nπ

b)y

ya que En sinh(nπb

)a, es una constante, entonces Fn = En sinh(nπb

)a , quedan-

do

T (a, y) =∞∑

n=1

T0 =∞∑

n=1

Fn sin(nπ

b)y

Aplicando las Series de Fourier a este resultado, queda

Fn =2

b

∫ b

0

T0 sin(nπ

b)y dy (116)

Integrando

Fn =2T0

nπ(1 − cos nπ) =

{4T0

nπ; n = 1, 2, 3, ..., impar

0 ; n = 2, 4, 6, ..., par,

Gn = sinhnπa

b=

{4T0

nπ; n = 1, 2, 3, ..., impar

0 ; n = 2, 4, 6, ..., par,

Gn =4T0

nπ sinh nπab

; para n = impar

Aplicandolo a la solucion, queda

T (x, y) =4T0

π

∞∑n=impar

1

n

sinh(nπxb

)

sinh(nπab

)sin

nπy

b(117)

Las graficas 25 y 26, muestran la propagacion del calor en la placa, en

base a las ecuaciones que se acaban de resolver


Figura 25: Grafica de la propagacion del calor a traves de la placa de aceroen una forma bidimensional

Figura 26: Grafica del gradiente de calor en forma tridimensional a lo largode la placa

Ejercicio 3.- Resolver con la ecuacion de onda bidimensional, la vibracion

de una membrana. Considerando que las fronteras de la membrana estan

totalmente rıgidas.

Para abordar el problema, de nueva cuenta se dispone de las condiciones

iniciales y de frontera.

Las condiciones iniciales son

u(x, y, 0) = f(x, y) (118)

u(x, y, t)|t=0 = g(x, y) (119)

las condiciones iniciales, indican que la membrana esta en reposo antes de la


perturbacion.


u(0, y) = 0 ; 0 < x < a (120)

u(a, y) = 0 ; 0 < x < a (121)

u(x, 0) = 0 ; 0 < y < b (122)

u(x, b) = 0 ; 0 < y < b (123)

las anteriores condiciones de frontera, indican que los lımites de la membrana

estan totalmente rıgidos.

La ecuacion de onda bidimensional es la siguiente

∇2 u(x, y, t) =1

c2utt(x, y, t) (124)

donde

u=desplazamiento de la vibracion en la membrana

c = Tρ=constante, que depende de la tension y la densidad del material

T=Tension de la membrana

ρ=densidad del material de la membrana

Se propone una ecuacion solucion, que es la siguiente

u(x, y, t) = X(x) Y (y) T (t) (125)

Aplicando el metodo de separacion de variables a la ecuacion 125, se

obtieneX ′′Y T

XY T+

XY ′′TXY T

− 1

c2

XY T ′′

XY T= 0

X ′′

X+

Y ′′

Y=

1

c2

T ′′

T


El termino X′′X

+ Y ′′Y

, puede considerarse como una constante, por lo que

se puede sustituir como −k2, quedando

1

c2

T ′′

T= −k2

Igualando a cero la ecuacion la ecuacion, queda

T ′′ + k2c2T = 0 (126)

Desde otro punto de vista, el termino 1c2

T ′′T

, tambien puede expresarse

como la constante −k2, quedando

X ′′

X+

Y ′′

Y= −k2

Pasando el termino Y ′′Y

, al otro lado de la ecuacion, quedarıa

X ′′

X= − k2 − Y ′′

Y

El termino −k2 − Y ′′Y

, puede expresarse como una nueva constante −k2x,

quedandoX ′′

X= − k2

x

Igualando a cero la ecuacion, queda

X ′′ + k2xX = 0 (127)

Igualmente para la variable dependiente de y, queda

Y ′′ + k2yY = 0 (128)

Las soluciones a las ecuaciones anteriores, respectivamente son

X = A cos kxX + B sin kxX (129)

X = C cos kyY + B sin kyY (130)


T = E cos kct + F sin kct (131)

Se procede a encontrar las constantes, aplicando las condiciones iniciales

y de frontera

Aplicando la primer condicion en la frontera

X(0) = A cos(kx0) + B sin(kx0) = 0

X(0) = A cos(0) + B sin(0) = 0

X(0) = A(1) + B(0) = 0

por lo tanto la constante A, es

X(0) = A = 0


X(a) = A cos(kxa) + B sin(kxa) = 0

sustituyendo A = 0 en la ecuacion tenemos

X(a) = (0) cos(kxa) + B sin(kxa) = 0

X(a) = B sin(kxa) = 0

para que se cumpla este criterio sin kx(a) = 0, para que esto ocurra se iguala

kxa = mπ, ya que sin(mπ) = 0, y entonces kx = mπa

, quedando la ecuacion.

Xm(x) = Bm sinmπ

ax

Aplicando la tercera condicion en la frontera

Y (0) = C cos(ky0) + D sin(ky0) = 0

Y (0) = C cos(0) + D sin(0) = 0

Y (0) = C(1) + D(0) = 0


Y (0) = C = 0

por lo tanto la constante C

C = 0

Aplicando la cuarta condicion en la frontera

Y (b) = C cos(kyb) + D sin(kyb) = 0

Sustituyendo C = 0 en la ecuacion, queda

Y (b) = 0 cos(kyb) + D sin(kyb) = 0

Y (b) = 0 + D sin(kyb) = 0

Y (b) = D sin(kyb) = 0

para que se cumpla este criterio sin ky(b) = 0, para que esto ocurra se iguala

kyb = nπ, ya que sin(nπ) = 0, y entonces ky = nπb

, donde la ecuacion

queda.

Yn(y) = D sinnπ

by = 0

Elevando al cuadrado y haciendo la sumatoria de las constantes, se con-

cluye

k2 = k2x + k2

y =m2π2

a2+

n2π2

b2= k2

mn

entonces

Tmn(t) = Emn cos kmnct + Fmn sin kmnct

sustituyendo en los terminos Xm(x), Yn(y), Tmn(t), en la ecuacion 125, queda

umn(x, y, t) = Bm sinmπ

ax D sin

nπ

by(Emn cos kmnct + Fmn sin kmnct)

Multiplicando las constantes en la ecuacion anterior , se tienen 2 nuevas

constantes que son

umn(x, y, t) = Gmn cos kmnct + Hmn sin kmnct (sinmπ

ax sin

nπ

by)


A modo de sumatoria, queda

∞∑m=1

∞∑n=1

Gmn cos kmnct + Hmn sin kmnct (sinmπ

ax sin

nπ

by) (132)

Aplicando a la ecuacion 132 la primer condicion inicial, queda una doble

Serie de Fourier como se aprecia en la siguiente ecuacion

umn(x, y, 0) =∞∑

m=1

∞∑n=1

Gmn(sinmπ

ax sin

nπ

by) = f(x, y)

Para determinar el coeficiente Gmn, se deduce que es compatible con los

de Series de Fourier, por lo tanto, se define

Jm(y) =∞∑

n=1

Gmn sinnπ

by

f(x, y) =∞∑

n=1

Jm(y) sinmπ

ax

donde las Series de Fourier, se aplican a

Gmn =2

b

∫ b

0

Jm(y) sinnπ

by dy

Jm(y) =2

a

∫ a

0

f(x, y) sinmπ

ax dx

por lo que Gmn, es

Gmn =4

ab

∫ b

0

∫ a

0

f(x, y) sinmπ

ax sin

nπ

by dxdy (133)

donde f(x, y), es cualquier funcion asociada al fenomeno en estudio.

Aplicamos la segunda condicion inicial, para encontrar la constante Hmn

donde se deriva la ecuacion 132, y se tiene

ut(x, y, t)|0 =∞∑

m=1

∞∑n=1

Hmnkmnc sinmπ

ax sin

nπ

by

donde haciendo analogıas

Lm(y) =∞∑

n=1

kmnc Hmn sinnπ

by


queda entonces Hmn, como

Hmn =4

abckmn

∫ b

0

∫ a

0

g(x, y) sinmπ

ax sin

nπ

by dxdy (134)

proponiendo un caso particualar para adecuar las funciones al problema,

se utiliza la funcion matematica que describe a un domo, ademas que se

considera que la membrana esta rigida en todas las fronteras (u(x, y, t) = 0),

es para f(x, y) la siguiente

u(x, y, t) = xy(x− a)(y − b) = f(x, y) (135)

para g(x, y) = 0, es

ut(x, y, t)|t=0 = 0 ∴ g(x, y) = 0 ⇒ Hmn = 0

quedando solamente

Gmn =4

ab

∫ b

0

∫ a

0

xy(x− a)(y − b) sinmπx

asin

nπy

bdxdy (136)

integrando y evaluando la integral de la ecuacion 136, el resultado es

Gmn =64a2b2

π2m3n2

}para valores de n y m impares (137)

Gmn = 0}

para otros casos (138)

con lo que sustituyendo los valores de los coeficientes en la ecuacion 132,

finalmente queda resuelto el ejercicio

u(x, y, t) =64a2b2

π6

∞∑m=impar

∞∑n=impar

1

m3n3cos kmn ct sin

mπx

asin

nπy

b(139)

donde

k2mn = (

mπ

a)2 + (

nπ

b)2 (140)

La Figura 27, muestra la condicion inicial de la membrana a un t = 0


Figura 27: Grafica de la condicion inicial de la membrana vibrante

3. Aproximacion Mediante una Serie Finita

de Fourier

Sea

Sk(t) =a0

2+

k∑n=1

(an cos n ω0t + bn sin n ω0t) (141)

la suma de los primeros (2k + 1) terminos de una serie de Fourier que repre-

senta f(t) en el intervalo −T/2 < t < T/2.

Si f(t) se aproxima por Sk(t), es decir,

f(t) =a0

2+

k∑n=1

(an cos n ω0t + bn sin n ω0t) + εk(t), (142)

εk(t) = f(t) − Sk(t), (143)

Referencias

[1] Hwei P. Hsu, 1987. Analisis de Fourier. Addison Wesley Iberoamericana.Estados Unidos de America

[2] Spiegel Murray R., 1970. Manual de Formulas y Tablas Matematicas.Serie Shaum. Mc Graw Hill. Mexico D.F.

[3] Oetiker Tobias, 1999, et.al.. The Not So Short Introduction to LaTex.

SERIES DE FOURIER

Documents

Transcript of SERIES DE FOURIER