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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
Antonio Alaminos
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2. Series temporales
Una de las estrategias para estudiar el cambio o la evolución de los fenómenos sociales
consiste en evaluar la huella que dejan con el paso del tiempo, en búsqueda del patrón o
estructura que muestre el fenómeno social. Ciertamente, el estudio longitudinal de los
fenómenos sociales es una oportunidad importante para apreciar las cicatrices que la historia
deja en la sociedad. Esto es apreciable en la mayor parte de las actividades de la sociedad,
tanto económicas como políticas o cívicas. Así, en el gráfico siguiente, donde se indican el
número de corridas de toros en España desde 1901, es posible apreciar varias anomalías.
En una actividad social de carácter lúdico existen dos cicatrices evidentes. La primera
de ellas entre 1936 y 1939, la segunda entre 1976 y 1981. Más tarde, cuando empleemos
métodos de suavización para revelar con mayor nitidez la estructura de la serie, estas dos
cicatrices se harán incluso más visibles. La serie de corridas de toros por temporada nos
“cuenta” la siguiente historia: un periodo relativamente estable (estacionario) entre 1901 y
1936. Existe una caída súbita, indicando algún hecho atípico (una posible “intervención”), y
posteriormente inicia una recuperación hasta un nivel equivalente al anterior a la intervención.
Desde principios de la década de los 50 se inicia una tendencia al alza que se hará
especialmente acelerada en la década de los 60. En 1975 se produce una inflexión decreciente
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I. Huellas en el tiempo
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que tocaría fondo en el 1981 (cae de 678 corridas en 1974 a 390 en 1981). A partir de 1982
se produce una recuperación que alcanzaría niveles equivalentes a 1974 en el año 1993. Este
comentario de la serie es una historia sin personajes ni acontecimientos. Un indicador de algo.
Para un sociólogo español se encuentran las cicatrices de la guerra civil, los planes de
desarrollo, la incertidumbre de la transición política y la crisis económica, la normalización de
la vida social y política tras el gobierno socialista de 1982. Como podemos apreciar, las series
temporales, es decir, observar el desarrollo en el tiempo de los fenómenos sociales, son de
gran utilidad para estudiar los cambios que han acaecido en la sociedad. Incluso con
indicadores que en principio no parecen importantes para el análisis sociológico.
Otro aspecto importante de las series temporales es su capacidad para revelar la
regularidad en el comportamiento social. Esta regularidad se hace especialmente evidente en
el caso de las series temporales. Así, consideremos la audiencia media de televisión según
hora y día de la semana.
La regularidad diaria es evidente, y si bien en fines de semana se aprecia una caída de
nivel, la distribución de la audiencia entre horas parece modificarse poco. Gran parte de la
vida cotidiana esta compuesta de acciones repetidas, reguladas socialmente. En ese sentido, la
regularidad que muestran algunas variables, como la audiencia media de televisión por horas
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del día, es un indicador de estructuras comunes más profundas. Esta regularidad no es de tipo
“normativo”, impuesta por unas “normas sociales”.
Es importante, no obstante, diferenciar entre diferentes fuentes de regularidad
social, señalando los matices internos de la regularidad que puede ser objeto de laactividad sociológica. Como señala E. Lamo “Ahora bien, es sab ido que sobre el
concepto científico-newtoniano de ley se superpuso otro más antiguo: el que establece
una conexión de tipo normativo entre fenómeno antecedente o fenómeno consecuente,
especialmente en la obra de Talcott Parsons, ha tratado de encontrar en dicha
normatividad la causa de las regularidades sociales. Ello supondría reducir el concepto
de la ley social al de norma. Creo, pues, conveniente, antes de nada, rechazar esta
posibilidad teórica para devolverle al concepto de ley su autonomía científica en
sociología”1. El problema radica en que el sistema normativo puede hacer
comprensibles las regularidades del comportamiento individual, pero no explicar tales
comportamientos ni tampoco las regularidades del agregado y ambos fenómenos son
sustancialmente diferentes. Así, Von Hayek ha propuesto distinguir tajantemente entre
“el sistema de reglas de conducta que gobierna el comportamiento de los miembros
individuales del grupo […] por un lado, y por otro, el orden o pauta de acciones que
resulta de aquel para el grupo como totalidad”2. De este modo, la norma interpretada
individualmente no responde de los comportamientos agregados. Es decir, la
regularidad normativa (o ética) permite comprender acontecimientos singulares, i.e.,
acciones, pero no explicar regularidades típicas del agregado3, pues éstas no dependen
sólo de las acciones. Del análisis, concluye E. Lamo4, se debe distinguir radicalmente
el orden normativo del social, y ello por varias razones. Primero, porque para que la
norma efectivamente cause regularidades en la conducta social, esto es, que genere
orden social es preciso que exista único sistema normativo, que haya consenso
cognitivo, de forma que los actores interpreten las normas del mismo modo. Estos tres
1 Ibíd., p. 87.2 Von Hayek, “Notes on the Evolution of the Systems of Rules of Conduct”, Studies in
Philosophy, Politics and Economics, Citado en E. Lamo de Espinosa, op., cit ., p. 8.3 K. Popper, Rationality and the Status of the Rationality Principle (1967), citado por
J.C. Zapatero en “K. Popper y la metodología de las ciencias sociales”, en Cuadernos Económicos de ICE , 3-4 (1977), p. 103.4 E. Lamo de Espinosa, La sociedad reflexiva, op. cit ., pp. 88-91.
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principios son de dudosos cumplimiento, dado que la noción de que existe un único
sistema normativo es muy restrictiva, además las situaciones no son nunca definidas
individualmente por cada actor sino negociadas entre los diferentes participantes, y por último, suponiendo que hay consenso cognitivo, las normas son interpretadas por los
actores de modos diferentes.
La segunda razón porque no toda regularidad resulta del “seguir una regla”. Así
pues, si tanto la conducta normativa como la desviada son regulares y previsibles
tendremos que concluir que la base de dicho orden reside fuera del sistema normativo
y que, por el contrario, lo incluye a él. Tercero, porque las regularidades normativas
pueden, a su vez, ser explicadas en sí mismas. Y por último, dado que las normas nos
permiten explicar las regularidades de la conducta individual, pero no permiten ni
explicar ni comprender las regularidades del agregado y ambos tipos de fenómenos
son, esencialmente, diferentes. Con ello se puede concluir que analíticamente es
separable el tema de la acción del orden social, o dicho de otro modo, la norma social
de la ley social. Las normas se predican de conductas concretas y pueden ser violadas
por actores aislados; la ley social, por el contrario, se predica del agregado y
precisamente por ello no puede ser violada por actores aislados, aunque sí puede ser
alterada (que no violada) por la colectividad al menos de dos modos: alterando las
acciones individuales y/o alterando su “suma”. No cabe en todo caso señalar una
situación determinista, en la medida que existen posibilidades de cambio en los dos
niveles individual y agregado. Es importante la distinción entre la acción normativa
(basada en el debe hacer/debe ser) y la de tipo probabilístico que se postula para la
regularidad no normativa. Las regularidades sociales, en términos probabilísticos es lo
que se denominaría “ley sociológica”. Como advierte E. Lamo, “(la sociología)
Necesita que haya hechos sociales; pero si además quiere ser ciencia nomotética
necesita que haya leyes sociales”5. No debe en todo caso, confundirse la noción de ley
con la de teoría. El rasgo diferencial entre leyes y teorías se encuentra en que las leyes
hacen referencia a las características “empíricas” de los fenómenos, o sea, a aspectos
observables y no a “conceptos teóricos” o abstractos. Tal y como señala M. Navarro,
5 Ibíd.,. p. 95.
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la aproximación desde el constructivismo afirma la naturaleza no determinista en la
constitución de cualquier regularidad social al mismo tiempo que destaca el papel
contingente e histórico de las construcciones sociales. “El construccionismo social que
inicia la sociología weberiana parte, pues, de acciones sociales individuales
entrelazadas, más o menos permanentes o transitorias. Cualquier relación social puede
quebrarse en todo momento y por ello, sólo podemos afirmar la regularidad en
términos de probabilidad de conducta y no de normas: “la relación social consiste sólo
y exclusivamente –aunque se trate de formaciones sociales como “Estado, “iglesia”,
“corporación”, “matrimonio”, etc.- en la probabilidad de que una forma determinada
de conducta social, de carácter recíproco por su sentido, haya existido, existe o pueda
existir‟6”.
Las regularidades que estamos considerando serían en todo caso, agregadas y
probabilísticas. Wilfredo Pareto, ilustre antecedente de la sociología matemática
destacaba los problemas en la detección de regularidades: Las distorsiones que se
aprecian en las diferentes regularidades son producto de los errores y limitaciones
propias del ser humano. En ese sentido, afirmaba que “7. Hablando propiamente no
puede haber excepciones a las leyes económicas y sociológicas, en la misma formaque las otras leyes científicas. Una uniformidad no uniforme no tiene sentido. Pero las
leyes científicas no tienen una existencia objetiva. La imperfección de nuestro espíritu
no nos permite considerar los fenómenos en su conjunto y estamos obligados a
estudiarlos separadamente. En consecuencia, en lugar de uniformidades generales que
están y que quedarán siempre ignoradas, estamos obligados a considerar un número
infinito de uniformidades parciales, que crecen, se superponen y se oponen de mil
maneras. Cuando consideramos una de esas uniformidades, y que sus efectos son
modificados u ocultos por los efectos de otras uniformidades, que no tenemos la
intención de considerar, decimos de ordinario, pero la expresión es impropia, que la
uniformidad o la ley considerada sufre de excepciones. Si es admitida esta forma de
6 Max Weber, Economía y sociedad ̧ México, Fondo de Cultura Económica, 1969,
p.22, citado por M. Navarro, "Apuntes para una teoría de la cultura económica", en VV. AA. Escritos de Teoría Sociológica en homenaje a Luis Rodríguez Zúñiga, Madrid, CIS, 1992,
p.792
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hablar, las leyes físicas, y aun las matemáticas, comportan excepciones, lo mismo que
las leyes económicas. (...)
(8).Una ley o una uniformidad no es verdadera sino bajo ciertas condiciones, que nossirven precisamente para indicar cuáles son los fenómenos que queremos destacar
del conjunto. Por ejemplo, las leyes químicas que dependen de la afinidad son
diferentes, según que la temperatura se mantenga en ciertos límites, o los sobrepase.
Hasta una cierta temperatura los cuerpos no se combinan; más allá de esa
temperatura se combinan, pero si aumenta todavía más allá de cierto límite se
disocian.
(9)Esas condiciones son unas implícitas y otras explícitas. No se debe hacer entrar
entre las primeras más que las que son entendidas fácilmente por todos y sin el
menor equívoco; si no eso sería un jeroglífico y no un teorema científico. No hay
proposición que no se pueda certificar como verdadera bajo ciertas condiciones a
determinar. Las condiciones de un fenómeno son parte integrante de ese fenómeno,
y no pueden ser separadas.
(10).No conocemos, ni podremos jamás conocer, un fenómeno concreto en todos sus
detalles; siempre hay un residuo. (...).
(11) Puesto que no conocemos enteramente ningún fenómeno concreto, nuestras
teorías de esos fenómenos no son más que aproximadas. (...)”7.
Destaca en la noción de Pareto que el fenómeno es indisociable de sus
condiciones de realización pero también que un mismo proceso puede generar
regularidades distintas, incluso contradictorias. En ese sentido, M. Navarro destaca
como la progresión de los esquemas de decisión instrumental adquieren una mayor
complejidad conformen se difunden como culturalmente adecuados para la toma de
decisiones.“El hecho sociológico básico que hay que resaltar y que guía toda la
concatenación de fenómenos que se han expuesto hasta este momento, es la aparición
en nuestras sociedades de conductas económicas definidas, que han tenido, a su vez,
influencia en la aparición de un complejo de conductas no económicas, todas ellas con
un carácter masivo y que se hacen más centrales, en la vida de los hombres, que tienen
7 W. Pareto, Manual de economía política, Genève, Librairie Droz, 1964
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un carácter abstracto y complejo, que requieren un mayor número de conocimientos y
que ofrecen una previsible perspectiva de aumentar el número de complejidad y de
generalizarse socialmente”8.
Para M. Navarro, la difusión de un esquema de actuación como es el
desarrollado dentro de la cultura económica adquiere una generalización y
complejidad cada vez mayor, lo que puede conducir a fenómenos sociales
contradictorios. “La vida social es tan compleja que las mismas fuerzas que llevan la
Mercado y a la democracia desarrollan otras, en alguna medida contrarias, como la
burocracia. El desarrollo del mercado y la competencia, genera, monopolio y
burocracia, regulaciones, controles y salvaguardias. La aparición y la evolución del
capitalismo han propiciado estos fenómenos. Pueden no ser necesarios, pero se han
manifestado de ese modo”9. Esta complejidad por la que una dinámica social puede
asociar y provocar de algún modo el desarrollo de otras contrarias es lo que contribuye
a hacer borrosas determinadas regularidades sociales.
La noción misma de “regularidad” puede aparecer denominada como “ley
social” en un sentido “blando”. Otros autores como J. Elster prefieren matizar
sustituyendo la palabra “ley” por “mecanismo” “(…) debilidad de la teoría más famosade la explicación científica, la propuesta por Carl Hempel. El sostiene que la
explicación equivale a la deducción lógica del acontecimiento a explicar, con leyes
generales y declaraciones de las condiciones iniciales como las premisas. Una objeción
es que las leyes generales pueden expresar correlación pero no causa. Otra es que las
leyes, aunque sean genuinamente causales pueden ser anticipadas por otros
mecanismos. Es por eso que aquí he puesto el acento en los mecanismos y no en las
leyes. Esto no es un profundo desacuerdo filosófico. Un mecanismo causal tiene un
número finito de eslabones. Cada eslabón se debe describir mediante una ley general y
en ese sentido por una „caja negra‟ acerca de cuyos engranajes internos permanecemos
en la ignorancia. Pero para los fines prácticos- los fines del científico social en acción -
es importante el lugar del acento dinámico de la explicación científica: el impulso a
8
M. Navarro, "Apuntes para una teoría de la cultura económica", en VV. AA. Escritosde Teoría Sociológica en homenaje a Luis Rodríguez Zúñiga, Madrid, CIS, 1992, p. 786.9 Ibíd. p.793
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producir explicaciones cada vez más finas”10
. Esta matización se corresponde en un
sentido global con los planteamientos de Pareto y responde a la dinámica entre
generalización y detalle en la explicación para alcanzar una mejor determinación de lasregularidades.
Otro aspecto interesante procede desde el ámbito de la generalización y lo local.
En este contexto reaparece el debate sobre la utilidad local de las generalizaciones.
Nuevamente la dicotomía entre sociología como ciencia o tecnología. P. von
Morpurgo, reflexiona como11
“El carácter de las ciencias sociales está íntimamente
vinculado a su reivindicación de universalidad. Si se puede determinar la regularidad
de algunos fenómenos, y por consiguiente establecer leyes que tengan un alcance casi
universal, esa reivindicación se puede aceptar. No obstante, con una vasta aplicación
de este principio se corre el riesgo de ignorar la diversidad local. En efecto, en estos
últimos cincuenta años, las ciencias sociales y sus repercusiones han cobrado mayor
fuerza gracias a la mejora de sus métodos e instrumentos de investigación aplicables a
escala reducida. Es evidente que, en materia de elaboración de políticas, los resultados
y recomendaciones adecuadamente detallados y relacionados con un entorno
específico son más pertinentes que las vastas generalizaciones”. No parece, sin
embargo, que ambas tareas sean excluyentes, sino más bien complementarias.
La característica distintiva en la sociología aplicada es el empleo de métodos formales
para la construcción de modelos en el análisis de los fenómenos sociales. Así, T. Fararo en la
introducción de su manual afirma como12 “este libro pretende ser una contribución a acelerar
la formalización de las teorías así como a restituir la capacidad explicativa de la teoría
mediante el empleo de modelos”. Los dos conceptos clave son formalización y representación
mediante modelos. La actividad de la sociología matemática no se dirige a una labor de
formalización per se de la teoría sociológica, sino que contribuye a ello mediante el desarrollo
de modelos formalizados, generalmente de carácter matemático. La observación es
importante, dado que la función del análisis lógico se circunscribe a la elaboración de los
modelos. Es evidente que el empleo y desarrollo de modelos dentro de una teoría ayuda a su
10 J. Elster, Tuercas y tornillos Barcelona, Gedisa. 1996 p. 1611 P. von Morpurgo, op. cit.,
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formalización y potencia la consistencia interna. Esta tarea constituye una aproximación
metodológica bastante definida a la realidad social.
En ese sentido, cabe recordar como una de las características del método científico es,
según Hanson, la búsqueda de un modelo en el que insertar los datos: “En una disciplina de búsqueda en crecimiento, la investigación se dirige, no a reordenar viejos hechos y
explicaciones en modelos formales más elegantes, sino más bien al descubrimiento de nuevos
esquemas de explicación”13. A este respecto, la misma opinión sostiene Allais “Cuando se
analizan los fenómenos sociales sobre todo los económicos, se revela la existencia de
regularidades tan sorprendentes como las que encontramos en las ciencias físicas (…). Toda
ciencia se basa en modelos, ya sean descriptivos o explicativos o estén destinados a hacer
pronóstico o a tomar decisiones”14. En ese sentido, la noción de representación es uno de los
núcleos importantes en la actividad de la sociología aplicada.
2.1. Descripción de una serie temporal
Los datos, con los que se genera una serie temporal, poseen una característica especial.
Son datos que aparecen ordenados en el tiempo, donde no solamente son importante los
valores que alcanza la variable, sino también en que orden temporal aparecen esos valores. Es
muy importante que ese orden temporal este equiespaciado
15
. Así, por ejemplo, un conjuntode datos Yt (t= 1,2,3, ... n) donde el intervalo entre Yt e Yt+1 es fijo y constante. A partir de
esto podemos definir una serie temporal como un conjunto de observaciones obtenidas
mediante la medición de una sola variable, de un modo regular, en el trascurso de un período
de tiempo. Para que este tipo de datos en forma de serie temporal puedan ser modelados con
una cierta garantía es importante que cumplan varios requisitos.
a) en primer lugar, que exista una serie de datos con el suficiente recorrido histórico.
Situándonos en un escenario óptimo, 40 observaciones o más. Cuanto mayor sea la trayectoria
de los datos más posibilidades de modelado ofrece, pudiéndose testar un mayor número de
interpretaciones acerca del comportamiento de la serie. No obstante, existe un aforismo
12 T. Fararo, Mathematical Sociology: an introduction to fundamentals. New York,
Wiley, 1973. p.1513 Citado en T.A. Sebeok “One, Two, Three…Uberty” en U. Eco y T.A. Sebeok (eds.)
El signo de los tres. Dupin, Holmes, Peirce. Barcelona, Lumen. 1989. p.7414 M. Allais, “La pasión por la investigación” en M. Szenberg (ed) Grandes
economistas de Hoy,
Madrid, Debate, 199415 Este criterio pone en primer plano la importancia del tratamiento de los casos
perdidos en estos métodos de modelado.
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informal que afirma "una observación en el tiempo constituye una medición, dos
observaciones definen una tendencia y tres observaciones constituyen una serie temporal". En
términos de análisis técnico es una definición muy grosera; sin embargo, conceptualmente
recoge uno de los aspectos más definitorios de una serie temporal: la importancia de que un
fenómeno social disponga del suficiente recorrido temporal para poder expresar libremente la
variabilidad que pueda haber experimentado.
b) en segundo lugar, es necesario que existan pautas de variación y regularidades en
esos datos. Si no existe regularidad es imposible modelar. En ese sentido un componente
elevado de aleatoriedad en los datos dificultará detectar alguna regularidad en ellos.
Los dos aspectos anteriores constituyen requisitos tanto del análisis de series
temporales como de otros muchos análisis. En términos generales, el análisis de series
temporales tiene una doble utilidad. En primer lugar permite diagnosticar la trayectoria de un
fenómeno social. En segundo, orientar sobre el futuro de ese fenómeno. Tal y como afirma
Nelson (1973) "primero, debe informarnos sobre el mecanismo particular que genera el
cambio en el trascurso del tiempo, y segundo, debe de permitirnos emplear ese mecanismo
para predecir el futuro". Desde este punto de vista, el conocimiento de las reglas que rigen el
cambio permite determinar aproximadamente el comportamiento en el futuro de la variable;
es decir, del fenómeno social en estudio.
El estudio de series temporales lleva asociado habitualmente el penetrar en el futuro,
ya sea a efectos de control metodológico (como parte de un diagnostico del ajuste), o como
finalidad del modelado. Por ello, el modelar series temporales implica el descubrir pautas
regulares y sistemáticas en los datos, de modo que nos permitan construir un modelo
matemático que explique el comportamiento pasado de la serie. A partir de ello, se intentará
predecir el comportamiento futuro más probable en el fenómeno social que define la serie
temporal.
No obstante, en este escenario de modelado, para que el futuro sea predecible debe de
ser semejante al pasado en lo que se refiere a los factores que generan el comportamiento de
la serie. Es decir, las reglas que rigen el cambio deben mantenerse estables en el futuro, dado
que el "mecanismo" modelado se pone a funcionar para generar los valores futuros de la
variable. Por lo tanto, cualquier cambio brusco en el medio donde se desenvuelve el
"mecanismo", o en los elementos que componen el "mecanismo" podrán inducir a error.
Podemos pensar que la eficacia del modelo dependerá, por lo tanto, de la "profundidad" en
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que estén operando sus reglas en el sistema social, por un lado, y del contexto “evolucionario”
o “revolucionario” en el que se desarrolla el fenómeno social en estudio.
Un modelado elaborado sobre una realidad social epidérmica (epifenomenica),
determinara un "mecanismo" con predicciones excesivamente contingentes. La eficacia delmodelado de una serie temporal dependerá más de la reflexión sociológica que le concede un
ámbito de existencia, determinando los "mecanismos" a revelar, que de las técnicas
instrumentadas para acceder a ellos. En otro sentido, el proceso o fenómeno social en estudio
puede desenvolverse en un entorno social en equilibrio dinámico o en profunda y rapida
trasformación. La posible existencia de discontinuidades (una guerra civil, una revolución, un
golpe de estado, etc.) matiza las probabilidades futuras de realización de la serie. De este
modo, una serie temporal se modela según sus propias características, pero su futuro se evalúa
por sus circunstancias o contexto.
Precisamente, el estudio de series temporales puede plantearse desde estrategias
diferentes. A efectos prácticos aquí distinguiremos entre las que operan modelando de forma
mecánica la evolución de la variable y aquellas que incorporan teoría, a modo explicativo de
la evolución de la serie. Esto no implica que el estudio de la serie no facilite una explicación
del fenómeno social en la primera de las estrategias. Muy probablemente su análisis muestre o
sugiera relaciones importantes con otras variables y factores. La distinción que aquí
introducimos esta en relación con la participación de variables distintas a la serie en el ajuste
matemático de un modelo. En otras palabras, en la relación del fenómeno social que estamos
estudiando con su contexto. Habitualmente la distinción se refleja tanto en el método de
modelado empleado como en las variables que en él participan.
Por lo general, un modelado "cerrado" sobre la variable producirá un ajuste mecánico
(con una participación limitada de la teoría). Serán modelos univariables o con variables
instrumentales para apoyar el modelo (como una variable numérica para expresar el paso del
tiempo). Por el contrario, un análisis temporal con teoría implicará el empleo de la serie como
variable dependiente de otras variables que la explican. Entre los primeros métodos
exploratorios univariantes consideraremos los de suavizado (para revelar el patrón externo de
variación tiempo dependiente) y los que destacan la descomposición analítica de la serie en
diferentes patrones de variabilidad interna.
Si apreciamos la variación de la serie que se recoge en el gráfico siguiente la pregunta
es evidente, ¿cómo podemos analizar una trayectoria tan zigzagueante como la que registra
esa variable?
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Para ello, en primer lugar, necesitamos un tratamiento analítico, un conjunto de
conceptos para poder “mirar” la serie. En general, podemos considerar que esa variación
comprende cuatro componentes que pueden identificarse por separado: tendencia, ciclo,
estacionalidad y residuales. Esta descomposición analítica de la serie permite un modelado
más eficaz en la medida que los conceptos se ligan obviamente con propiedades de esta.
Tendencia. La tendencia en una serie indica si la trayectoria se mantiene en un nivel
concreto o muestra una progresión creciente o decreciente. Una serie temporal puede
interpretarse en todo su recorrido temporal o por etapas. Así, si bien es cierto que para algunas
series existe una tendencia común en todo su recorrido temporal (creciente o decreciente), en
otras se hace evidente la existencia de diferentes etapas. Por ejemplo, en el gráfico anterior de
las corridas de toros, puede apreciarse que existen dos etapas diferenciadas, la primera entre
1901 y 1950 donde la tónica es eminentemente estacionaria (es decir, que se modifica
puntualmente al alza y a la baja pero respetando un cierto nivel medio), mientras que desdelos 50 en adelante la serie muestra una tendencia global creciente (con el "bache" de 1975 a
1981 que no puede interpretarse como declive real dado que la recuperación de la serie es
inmediata).
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En otros casos si que es posible determinar una tendencia común a toda la serie
temporal. El gráfico siguiente, donde se recoge el número de hijos nacidos fuera del
matrimonio en España entre 1975 y 1997, muestra una tendencia creciente.
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Una tendencia decreciente si consideramos el número de nacimientos dentro del
matrimonio para el mismo periodo.
No obstante, es evidente que la noción de tendencia es con frecuencia una cuestión de
recorrido temporal. Un recorrido corto es probable que ofrezca una imagen de la serie distinto
a un recorrido más prolongado.
Ciclo. La noción de ciclo se refiere a variaciones superiores al año. No son
estrictamente periódicas, por lo que no existe una previsión del momento de su inicio,
recorrido o fin. Dependiendo del tipo de datos puede o no aparecer en las series, mostrando un
ciclo o varios. Es importante destacar que la noción de ciclo define una estructura previsible e
implica una pauta de recesión-depresión-recuperación. Un descenso en una serie que sea
atribuible a factores coyunturales o intervenciones, seguido de una recuperación no debería
considerarse ciclo. En economía se consideran diferentes tipos de ciclo, desde ciclos cortos
con una duración aproximada de 28 a 36 meses, a ciclos largos que se reflejen en períodos de
50 o más años. El empleo de estos ciclos no es frecuente en sociología, si bien aparecen con
frecuencia en el análisis histórico.
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Estacionalidad. Supone una regularidad que se repite cada doce meses y constituye,
especialmente para determinados fenómenos socioeconómicos, una pauta esencial a
identificar, sobre todo en predicciones a corto plazo.
Los movimientos estacionales se caracterizan por tener una periodicidad fija, auncuando su amplitud puede ser variable. La estacionalidad es muy importante en sociología en
la medida que muchos de los fenómenos sociales se rigen por la estacionalidad. Esto es
evidente para los ritos de cohesión (normalmente asociados a fiestas regladas por las
estaciones del año), pero también para otros muchos fenómenos. Veamos seguidamente varios
ejemplos de estacionalidad.
En primer lugar, uno evidente, como es la temperatura media mensual. Las
temperaturas medias tienen una relación importante con las estaciones del año. En esta seriese aprecia el patrón de regularidad que se repite mes tras mes, año tras año.
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Este patrón tan regular no solo se produce en fenómenos naturales. Debemos
considerar como muchas de las actividades de la sociedad se desarrollan relacionadas con la
estacionalidad, como son las vacaciones por ejemplo. En ese sentido, otra serie que reproduce
un patrón muy estable es el de turistas que visitan España, cuando lo consideramos
mensualmente. Esto es interesante, en la medida que muestra como covarian temporalmente
el factor climático y el factor turístico. El siguiente gráfico muestra la llegada de extranjeros
que se declaran turistas en cada mes.
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Son muchos los fenómenos sociales de carácter estacional, en la medida que expresan
dependencia de tradiciones vinculadas al calendario. Algunas son evidentes, como la venta de
helados o la compra de juguetes en navidad; en estos patrones, la libertad es menor, al
asociarse uno al calor y el otro a la tradición. Sin embargo, en fenómenos sociales donde la
libertad individual puede ser mayor, al poder elegirse cualquier momento del año, la elección
se muestra con una regularidad importante cuando se considera de modo agregado. Este es el
caso de las bodas.
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I. Huellas en el tiempo
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Este tipo de regularidad se vincula a factores tradicionales asociados a la
estacionalidad agraria y ritos religiosos. En otros fenómenos sociales la estacionalidad tiende
a atenuarse, como es el caso de los nacimientos, debido a múltiples factores (especialmente
laborales). No obstante, la estacionalidad continúa siendo visible, evidentemente, reduciendo
su perfil conforme disminuye el número de nacimientos.
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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Un caso distinto es el de los fallecimientos, donde la elección del individuo se reduce
bastante y, no obstante, el componente estacionalidad permanece debido a su asociación con
factores climáticos.
Como podemos apreciar, la estacionalidad aparece en multitud de fenómenos sociales,
en la medida que muchos de estos ritos se vinculan con la métrica temporal del año y sus
estaciones (ya sea por ritos sociales, factores climáticos, incidencias de patologías, etc.).
Es importante recordar que la estacionalidad aparecerá solo en el caso de que los datos
estén expresados mensualmente. Esta no puede aparecer cuando los datos recogen cantidades
expresadas anualmente, dado que por definición, en esa cantidad anual se encuentra resumida
la estacionalidad mensual. Así, si consideramos la serie siguiente, ha desaparecido la
posibilidad de estacionalidad al aparecer expresadas anualmente. La serie recoge el número
diagnosticado de casos de sida entre 1981 y 1996.
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I. Huellas en el tiempo
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Residual. Es improbable que los elementos anteriores consigan resumir cada uno de
los factores que dan forma a la serie temporal. Cuando ya han sido identificadas la presencia y
forma de la tendencia, la estacionalidad o los ciclos, aun queda variación por explicar. Cuanto
más aleatorio sea dicho "resto" mejor recogidas estarán las regularidades en el modelo. En ese
sentido, la bondad del ajuste que la descomposición de la serie ha conseguido se expresa en
los residuales que produce.
Esencialmente, una explicación correcta de cómo varía la serie producirá residuales
sin estructura, es decir, que varían al azar (sin ciclo o estacionalidad) con una variabilidad
homogenea en torno a un valor estable (normalmente cero, es decir, sin tendencia). Si al
graficar una serie residual mostrara tendencia implicaría que la serie contenía cambios de
nivel que no fueron considerados al modelar. El gráfico siguiente muestra una serie residual
sin tendencia, ciclo o estacionalidad, variando aleatoriamente en torno a su media, con un
nivel estable.
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
Antonio Alaminos
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Número secuencial
21019918817716615514413312211110089786756453423121
800
600
400
200
0
-200
-400
-600
Sobre la base de lo anterior, podemos concluir que una serie temporal y t, puede
expresarse como resultado de la relación entre sus componentes. Siendo Y t la serie temporal
observada, Tt la tendencia, Ct el factor cíclico, Et la estacionalidad y R t el residual del ajuste.
Estos cuatro son los componentes más generales de una serie temporal y cada uno de ellos
adquirirá más o menos importancia según el fenómeno modelado o la técnica empleada.
Como ya sabemos, la relación entre los factores explicativos puede ser aditiva o
multiplicativa.
Aditiva Yt = Tt + Ct + Et + R t
Multiplicativa Yt = Tt * Ct * Et * R t
En la especificación aditiva presuponemos que cada uno de los elementos influye
independientemente en la forma final de la serie. Así, la magnitud de la estacionalidad sería
independiente de su posición dentro de una tendencia. Por el contrario, en el caso de la
especificación multiplicativa se produce un efecto de interacción. Por ejemplo, la intensidad
de la estacionalidad es más elevada cuando más fuerte es la tendencia.
En ese sentido, modelar la serie implica ir retirando los diferentes elementos que la
definen hasta que solo quede el residual sin estructura.
Retirar tendencia
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I. Huellas en el tiempo
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Aditiva Multiplicativa
Yt - Tt = Ct + Et + R t Yt / Tt = Ct * Et * R t
Desestacionalizar
Aditiva Multiplicativa
Yt - Et = Tt + Ct + R t Yt / Et = Tt * Ct * R t
Retirar tendencia y desestacionalizar
Aditiva Multiplicativa
Yt - Tt - Et = Ct + R t Yt / Tt *Et = Ct * R t
Por ultimo retirando el componente cíclico
Residual
Aditiva Multiplicativa
Yt - Tt - Et - Ct = R t Yt / Tt * Et * Ct = R t
Donde el residual es, evidentemente, el resto que queda tras retirar la tendencia, el
ciclo o la estacionalidad. Si bien el método general de descomposición considera los cuatro
elementos, no siempre estos están presentes. Este el caso de una serie expresada anualmente,
donde evidentemente el factor estacional difícilmente puede estar presente. Un caso parecido
lo encontraremos en series con trayectorias relativamente cortas, donde la presencia de ciclos
sea difícil de determinar. En estos casos, no corresponde descomponer dichos elementos.
El proceso formal de modelado considera la descomposición de la serie en sus
elementos, siempre es importante evaluar y diagnosticar la serie temporal desde un punto de
vista descriptivo. A modo orientativo, el primer paso para analizar una serie temporal es
graficarla y considerar varios aspectos.
1º ¿Contiene una tendencia clara, es decir, una persistencia en el tiempo a crecer o
decrecer?
2º ¿Es estacional, es decir, una pauta cíclica que se repite de modo continuado cada
año?
3º ¿Su variación es suave o con cambios bruscos, de un período al siguiente?
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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4º ¿Se aprecian cambios bruscos, o rupturas en el comportamiento de la serie, o es
muy parecida desde el principio hasta el fin?
5º ¿La variación a corto plazo es semejante en toda la serie? ¿Esta variación crece o
decrece con el paso del tiempo, es decir, su variabilidad entre dos puntos es cada vez mayor omenor? ¿Y el nivel general que presente la serie, muestra saltos de nivel o permanece estable?
6º ¿Existen valores atípicos, que aparecen lejos del resto de la serie? Es conveniente
evaluar que esos valores pueden corresponder a sucesos especiales, que deben de controlarse
si deseamos desvelar el proceso que subyace a la serie.
Los aspectos mencionados actúan como orientaciones con respecto a los
procedimientos de modelado que se utilicen. Podemos considerar, (y advirtiendo la existencia
de excepciones) que las técnicas más importantes para el modelado de series temporales
pueden clasificarse en dos tipos:
a) aquellos que con una elaboración teórica importante plantean un modelado apoyado
sobre una especificación; normalmente identificados mediante una ecuación estructural; para
ello postulan la existencia de relaciones entre la serie que pretende explicar y otras variables
significativas. Posteriormente se testara el modelo empleando datos en forma de serie
temporal. Es un modelo generalmente de tipo confirmatorio que postula un conocimiento del
sistema de relaciones en que se desenvuelve la variable a modelar o predecir.
b) modelos elaborados empíricamente, generalmente de modo exploratorio dado que
el modelo esta basado en aquel ajuste matemático que mejor refleja la evolución de los datos.
Se efectúan diferentes chequeos de la serie temporal y se descubre finalmente el modelo
ecuacional que mejor se ajusta a su variación. El modelo se determina mediante una dinámica
de identificación - estimación - diagnostico / identificación - estimación - diagnostico, y así
sucesivamente hasta conseguir la mejor identificación. Uno de los métodos más extendidos es
el conocido como ARIMA desarrollado por Box y Jenkins. Otros, quizás de los más
elementales, actúan suavizando la serie de modo que ofrezca con claridad al proceso que le da
forma.
Los modelos sin teoría son de tipo exploratorio, donde se intenta conocer la evolución
en el tiempo del fenómeno social en estudio. En ese sentido, no existe explícitamente, ninguna
orientación teórica que deba ser confirmada sino más bien aproximaciones matemáticas que
faciliten un buen ajuste. Este tipo de métodos intentan conocer la estructura real de la serie
temporal, evitando que la variabilidad puntual que se produce en el cambio de un momento
temporal al siguiente no obscurezca la presencia de una regularidad profunda (en el caso que
esta exista). Es interesante emplear estos métodos de forma exploratoria para conocer en que
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I. Huellas en el tiempo
35
condiciones de variabilidad se encuentran las variables que muestran la evolución en el
tiempo de distintos fenómenos sociales.
2.2. Métodos exploratorios
En primer lugar consideraremos las técnicas que se basan en la suavización de la serie.
Puede considerarse, pues, estas técnicas de modelado como exploratorias y de apoyo para el
diagnostico de la estructura profunda de cambio. Vamos a considerar a efectos meramente
clasificatorios dos actuaciones de suavización; en primer lugar aquellas que mediante
ponderaciones (coeficientes sinteticos como son la media o la mediana) buscan la reducción
de la variabilidad y en, segundo lugars, otras que optan por el ajuste óptimo de una línea sobre
la base del empleo de una función matemática16.
La operación que realiza el modelo sobre los datos o valores de la serie en ambas
estrategias de modelado son complementarios. La aplicación de funciones que expresen la
variación se ajustan sobre los valores, operando desde fuera, aproximándose a los datos y su
trayectoria. Por el contrario, el modelado mediante coeficientes sintéticos permite que el
posible modelo emerja desde los mismos datos. El modelo no se aproxima a los datos, si no
que los datos se aproximan al modelo, mediante una acción exploratoria. En esta lógica un
concepto importante es el de resuavización. Se denomina resuavización cuando se suaviza
varias veces una serie temporal, tomando como base de suavización los resultados de la
suavización anterior. En ese sentido, cada resuavización aleja al modelo de la serie original, al
operar sobre los coeficientes sintéticos procedentes de modelarla.
En general, la suavización mediante coeficientes sintéticos prescinde de la historia de
la serie y suaviza sustituyendo cada valor por aquellos que le están próximos, es decir,
localmente próximos. En definitiva, basándose en la autocorrelación que pueda estar presente
en la serie. Por ello, cada valor tiende a estar correlacionado positivamente con el que le
precede y el que le sucede. Se modeliza suavizando en longitudes cortas y prediciendo en
función a los valores más recientes en la serie.
La aplicación de funciones matemáticas tiende a apoyarse sobre la historia de la serie.
Esto es interesante cuando el período de tiempo empleado en la serie tiende a eliminar la
16 Incluidas las estrategias alternativas, de tipo analítico, que se apoyan sobre la noción de
realización estocástica, a diagnosticar mediante medias móviles, autoregresión y diferencias. Es decir,emplea las nociones de suavización y ajuste matemático conjuntamente.
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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autocorrelación (es decir, bastante espaciada en el tiempo), al distanciarse un valor del que le
sigue, y por lo tanto no existiendo una contigüidad importante entre los procesos que generan
los valores observados. En esa situación las últimas observaciones no son más útiles que las
anteriores así que recurrimos a la estructura que revela la historia de la serie y sus posibilidades de proyección.
2.2.1. La suavización mediante ponderaciones
Siguiendo a Tukey (1977) la finalidad de suavizar una serie es obtener una visión clara
de lo general, una vez que se han descartado los detalles. Al suavizar se eliminan los
movimientos bruscos de la serie que no forman parte de la tendencia que le subyace. Hemos
de considerar que las variaciones bruscas y puntuales en la serie pueden suceder por causas
muy diversas. Por ejemplo, parte de esa variación pueden deberse a errores, procedentes de
muestreo o de medición. En esas situaciones, suavizar la serie ayuda a revelar la estructura
que contiene.
No obstante, en muchas situaciones la serie varia abruptamente reflejando de forma
correcta el fenómeno que expresa. Por ello, siempre es útil graficar los datos brutos junto a la
serie suavizada para evaluar que variabilidad se desprecia. Los procedimientos de suavizado
de la serie no imponen ninguna estructura apriorística sobre la forma que adopte el ajuste. La
técnica de suavización que se emplee puede estar predeterminada, pero la forma que adopte la
serie suavizada viene dada por los mismos datos. Por ello, un mismo procedimiento de
suavización aplicado a diferentes series produce diferentes formas en las series suavizadas,
expresando la estructura propia de cada una de ellas. Esto no es así para el caso, por ejemplo,
de ajustes funcionales. Esta es una cuestión importante, dado que la estrategia de suavización
mantiene la estructura (personalidad) propia de cada serie.
Existen diferentes procedimientos de suavizado. En general, para suavizar una serie
temporal se reemplaza cada valor por otro suavizado, que viene dado por el valor original y
por el de sus vecinos en la serie. El valor suavizado debería estar próximo de aquellos otros
valores a los que representa, excepto los que se puedan considerar como atípicos. En
definitiva, buscamos un número que nos resuma de forma más o menos robusta la
variabilidad. Básicamente, se trata de dos decisiones: qué puntos vecinos a los que va a ser
suavizado pueden ser considerados como locales y qué cambios serían atípicos. Los
procedimientos que vamos a considerar seguidamente responden a las dos cuestiones
anteriores con el siguiente planteamiento: consideramos los valores contiguos a los que estásiendo suavizado como vecinos de este, y pensaremos como reales aquellos cambios de
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I. Huellas en el tiempo
37
dirección que vienen apoyados sobre al menos dos puntos sucesivos. Como ya sabemos,
podemos emplear estadísticos clásicos (media), como robustos (mediana) expresadas en
formas distintas de ponderaciones. En esta intención de revelar la posible estructura interna de
una serie, es decir, del cambio que muestra un fenómeno social en el trascurso del tiempo,
vamos a considerar la serie de suicidios en España.
1981-1998 Número mensual de suicidios
21019918817716615514413312211110089786756453423121
400
300
200
100
0
Una forma inmediata de suavizar de modo robusto es seleccionar un conjunto
de puntos, habitualmente tres, y sustituir el valor central17 por un coeficiente sintético
que reduzca y exprese la variabilidad de los tres puntos temporales. Por ejemplo, la
mediana. Este procedimiento se sigue correlativamente para toda la serie. Este
procedimiento expresa una suavización muy local, excepto en el caso de emplear un
número mayor de puntos. El rango de puntos temporales es una decisión del
investigador, si bien lo habitual es emplear tres valores. Como ejemplo, para suavizar
la serie del número de suicidios por mes, tomaremos un rango temporal de tres meses
y como valor representativo de la variabilidad en esos tres meses la mediana. 17
La posición que ocupe el valor suavizado en relación con su correlato la serie original puede ser centrada, es decir, en la misma posición temporal o descentrada, donde el valor
suavizado se desplaza una o más posiciones temporales hacia el futuro.
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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Ene 108
Feb 109 109
Mar 123
para el siguiente mes su valor promedio
Feb 109
Mar 123 109
Abr 107
y para abril
Mar 123
Abr 107 123May 153
Creando una nueva serie a partir de las medianas de cada grupo de tres valores en la
serie original. El resultado global de aplicar este procedimiento de suavización es el siguiente.
Suicidios: suavización medianas móviles
Suicidios MedianasEne 108 0
Feb 109 109
Mar 123 109
Abr 107 123
May 153 129
(…/…) (…/…)
Sep 120 120
Oct 100 100
Nov 97 100
Dic 111 0
Este procedimiento se seguiría hasta acabar con la serie. En los extremos de la serie
suavizada no encontraremos una mediana por defecto, dado que el procedimiento emplea
medianas centradas y no esta definido para operar con los valores de los extremos en la serie
que será suavizada. El empleo de medianas descentradas o la interpolación se emplean para
estimar dichos valores perdidos. Como interpolación, un procedimiento inmediato consiste en
emplear directamente los valores en los extremos de la serie original.
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I. Huellas en el tiempo
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1981-1998 número mensual de suicidios
21019918817716615514413312211110089786756453423121
300
200
100
0
Como procedimiento habitual, es interesante comparar la serie suavizada con la
original para evaluar los residuales que genera el ajuste. En la evaluación del ajuste anterior
con medianas móviles, simplemente substraemos a los valores suavizados (las medianas) el
número de suicidios real (Yt). De este modo, los números negativos indicaran una
infraestimación y los positivos una sobreestimación.
Meses Suicidios Mediana
Móvil
Residual
Ene 108 - -
Feb 109 109 0
Mar 123 109 -14
Abr 107 123 16
May 153 129 -24(...) (…) (…) (…)
Abr 120 147 27
May 147 138 -9
Jun 138 140 2
Jul 140 138 -2
Ago 133 133 0
Sep 120 120 0
Oct 100 100 0
Nov 97 100 3
Dic 111 - -
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1981-1998 error de ajuste (suicidios)
21019918817716615514413312211110089786756453423121
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
Puede apreciarse mediante la evaluación de los residuales que existen valores atípicos
en primavera y verano, tanto sobreestimación como infraestimación.
Al igual que se emplea la mediana es factible emplear otros coeficientes sintéticos,
como es la media. Considerada una media móvil centrada de cinco (es decir correspondiendo
al valor central de los valores empleados) para un tiempo t vendría expresada por
MMt = 1/5 (At-2 + At-1 + At + At+1 + At+2)
Y para el tiempo t+1
MMt+1 = 1/5 (At-1 + At + At+1 + At+2 + At+3)
Continuando con el rango temporal de la suavización con medianas, una media móvil
de tres meses se determina, de igual modo, sumando los valores de tres meses consecutivos y
dividiendo el resultado por 3. Repitiendo este procedimiento cada tres meses obtenemos una
nueva serie de valores suavizados. Consideremos, por ejemplo, la serie que indica el número
de presos en las cárceles españolas.
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I. Huellas en el tiempo
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1982-1999 total población reclusa mensual
21019918817716615514413312211110089786756453423121
50000
40000
30000
20000
10000
Meses Presos Medias móviles
Ene 22405
Feb 23290 23044= (22405+23290+23438)/3
Mar 23438 23463 = (23290+23438+23662)/3
Abr 23662 23607
1982-1999 total población reclusa mensual
21019918817716615514413312211110089786756453423121
50000
40000
30000
20000
10000
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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Al igual que con la suavización con medianas es posible evaluar los residuales
Meses Presos Medias Residual
Ene 22405 - -
Feb 23290 23044 -246
Mar 23438 23463 25
Abr 23662 23607 -55
May 23721 23705 -16
Jun 23731 23513 -218
Jul 23086 23311 225
Nuevamente, empleamos los residuales para evaluar el ajuste tal y como hicimos para
las medianas. Destacan especialmente como aquellos meses que en la serie original mostraban
un contraste importante, aparecen con diferencias mucho más atenuadas en la serie suavizada.
El motivo de esa suavización especial en los meses con mayor variabilidad es que la media, al
ser un promedio poco robusto, distribuye el valor de los valores atípicos entre los meses que
le son adyacentes. Esto puede constituir un problema importante si los casos atípicos
corresponden con un error de algún tipo o con información relevante al fenómeno social en
estudio.
Residual ajuste 3mediamovil
21019918817716615514413312211110089786756453423121
3000
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
La suavización de la serie tambien depende del número de puntos temporales que
empleemos para suavizar. Las series anteriores han sido suavizadas a tres puntos (MM3). Sin
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I. Huellas en el tiempo
43
embargo, el empleo de más puntos temporales para suavizar puede mostrar con mayor
claridad la estructura subyacente a la serie. Como ejemplo consideremos el número de
encuestas realizadas mensualmente por el Centro de Investigaciones Sociológicas entre 1962
y 1994. Vamos a mostrar la serie en sus valores mensuales, para después efectuar una
suavizacion con medias moviles a tres (MM3), a siete (MM7) y a doce meses (MM12).
FECHA
, ,
0 1 - M A
R - 1 9 9 4
0 1 - J U N - 1 9 9 2
0 1 - S E
P - 1 9 9 0
0 1 - D E C
- 1 9 8 8
0 1 - M A
R - 1 9 8 7
0 1 - J U N - 1 9 8 5
0 1 - S E
P - 1 9 8 3
0 1 - D E C
- 1 9 8 1
0 1 - M A
R - 1 9 8 0
0 1 - J U N - 1 9 7 8
0 1 - S E
P - 1 9 7 6
0 1 - D E
C - 1 9 7 4
0 1 - M A
R - 1 9 7 3
0 1 - J U N - 1 9 7 1
0 1 - S E
P - 1 9 6 9
0 1 - D E C
- 1 9 6 7
0 1 - M A
R - 1 9 6 6
0 1 - J U N - 1 9 6 4
100000
80000
60000
40000
20000
0
Podemos apreciar como la serie expresada en su valor original, donde se recoge el
número de entrevistas realizadas por mes, muestra una estructura bastante irregular. Cuando
se procede a la suavización, la estructura que contiene emergerá, expresando el mecanismo o
“razón” que explica la variabilidad global de esta. Vamos a proceder efectuando sucesivas
suavizaciones, a tres, siete y doce meses, de modo que sea posible contrastar los diferentes
efectos que produce en la expresión de la serie.
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FECHA
, ,
0 1 - M A R
- 1 9 9 4
0 1 - J U N - 1 9 9 2
0 1 - S E P - 1 9 9 0
0 1 - D E C
- 1 9 8 8
0 1 - M A R
- 1 9 8 7
0 1 - J U N - 1 9 8 5
0 1 - S E P - 1 9 8 3
0 1 - D E C
- 1 9 8 1
0 1 - M A R
- 1 9 8 0
0 1 - J U N - 1 9 7 8
0 1 - S E P - 1 9 7 6
0 1 - D E C
- 1 9 7 4
0 1 - M A R
- 1 9 7 3
0 1 - J U N - 1 9 7 1
0 1 - S E P - 1 9 6 9
0 1 - D E C
- 1 9 6 7
0 1 - M A R
- 1 9 6 6
0 1 - J U N - 1 9 6 4
M M 3
50000
40000
30000
20000
10000
0
FECHA
, ,
0
1 - M A R - 1 9 9 4
0 1 - J U
N - 1 9 9 2
0 1 - S E
P - 1 9 9 0
0
1 - D E C - 1 9 8 8
0
1 - M A R - 1 9 8 7
0 1 - J U
N - 1 9 8 5
0 1 - S E
P - 1 9 8 3
0
1 - D E C - 1 9 8 1
0
1 - M A R - 1 9 8 0
0 1 - J U
N - 1 9 7 8
0 1 - S E
P - 1 9 7 6
0 1 - D E C
- 1 9 7 4
0
1 - M A R - 1 9 7 3
0 1 - J U
N - 1 9 7 1
0 1 - S E
P - 1 9 6 9
0
1 - D E C - 1 9 6 7
0
1 - M A R - 1 9 6 6
0 1 - J U
N - 1 9 6 4
M
M 7
40000
30000
20000
10000
0
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I. Huellas en el tiempo
45
FECHA
, ,
0 1 - M A R
- 1 9 9 4
0 1 - J U
N - 1 9 9 2
0 1 - S E
P - 1 9 9 0
0 1 - D E C
- 1 9 8 8
0 1 - M A R
- 1 9 8 7
0 1 - J U
N - 1 9 8 5
0 1 - S E
P - 1 9 8 3
0 1 - D E C
- 1 9 8 1
0 1 - M A R
- 1 9 8 0
0 1 - J U
N - 1 9 7 8
0 1 - S E
P - 1 9 7 6
0 1 - D E C
- 1 9 7 4
0 1 - M A R
- 1 9 7 3
0 1 - J U
N - 1 9 7 1
0 1 - S E
P - 1 9 6 9
0 1 - D E C
- 1 9 6 7
0 1 - M A R
- 1 9 6 6
0 1 - J U
N - 1 9 6 4
30000
20000
10000
0
Finalmente la estructura se revela con una gran claridad al incrementar el intervalo
suavizado. Cada uno de los cambios de nivel coincide aproximadamente con los cambios en
la dirección del Centro de Investigaciones Sociológicas. Tal y como advertimos estos cambios
de nivel no eran apreciables en el análisis de los datos en bruto,
Como advertiámos, tanto en el caso de medianas como de medias, es factible
resuavizar una serie ya suavizada, simplemente operando nuevamente sobre ella. Esta
suavización progresiva se repite hasta que no se producen más cambios. Cada resuavización,
es decir, suavización sobre la serie ya suavizada se denomina interacción. Normalmente dos o
tres resuavizaciones sobre los datos (interacciones) son suficientes para que no se produzcan
más cambios. No obstante, cuando se trata de medianas, el proceder sobre una serie suavizadacambia en poco los datos.
Los valores promediados para suavizar o resuavizar pueden cubrir períodos de
cualquier longitud. Cuanto mayor sea la longitud del período, más suavizada será la serie que
trace la media móvil, si bien tendrá como desventaja que detectará peor los cambios de
dirección en la serie de datos original.
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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Meses Presos 3Medias 3MediasR2 3MediasR3
Ene 22405 - - -
Feb 23290 23044 - -
Mar 23438 23463 23372 -
Abr 23662 23607 23592 23524
May 23721 23705 23608 23570
Jun 23731 23513 23509 23477
Jul 23086 23311 23312 23340
1982-1999 total población reclusa mensual
21019918817716615514413312211110089786756453423121
50000
40000
30000
20000
10000
También cabe la posibilidad de resuavizar mediante medias una serie suavizada
mediante medianas. No obstante, hacer eso implica que se concede el mismo peso a todas las
observaciones promediadas. En otras palabras, que se le concede el mismo peso (1/3) a lastres observaciones. Sin embargo, dado que los datos en este caso ya han sido suavizados
previamente, podría ser más sensato conceder más peso al valor central.
Sistemas de ponderación.
Es interesante considerar una aproximación alternativa al concepto de media y
mediana. En cierto modo, ambos coeficientes representan sistemas de ponderación de los
datos. Así, por ejemplo, podemos considerar que la mediana de un conjunto de números
impar consiste en ponderar por 1 el valor central (después de ordenar los datos) y por cero
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I. Huellas en el tiempo
47
todos los demás. De este modo, para un archivo de datos compuesto por siete casos, por
ejemplo con valores {4,3,1,5,6,1,6}, la mediana se define como ((1 X 0) + (1 X 0) + (3 X 0) +
(4 X 1) + (5 X 0) + (6 X 0) + (6 X 0)). Para el caso de valores en número par, uno de los
procedimientos indica que deben promediarse aritméticamente los dos valores centrales de la
distribución ordenada. Esto consiste evidentemente en sumar los dos valores centrales y
dividirlos por 2. La misma operación, resulta de multiplicar cada uno de los dos valores
centrales por 0,5 (es decir ponderar por 0,5)18. Así, en el caso de {4,3,3,1,5,6,1,6}, la mediana
se define como ((1 X 0) + (1 X 0) + (3 X 0) + (3 X 0,5) +(4 X 0,5) + (5 X 0) + (6 X 0) + (6 X
0)).
Resulta evidente que una mediana es simplemente la ponderación por coeficientes
distintos de cero de aquellos que ocupan la posición central en la distribución ordenada, y por
cero todos los demás. La media es el resultado de un procedimiento equivalente, tal y como se
puede deducir de lo ya expuesto. La media aritmética consiste en sumar los valores de la
distribución y dividirla por el número de valores. Así, la media de cuatro valores (n = 4), por
ejemplo, {4,10,4,6} es igual a ((4 + 10 + 4 + 6) / 4) = 6. El mismo resultado obtendremos si
ponderamos por (1 / n) = .25. De este modo, ((4 X .25) + (10 X .25) + (4 X .25) + (6 X .25) =
6.
En ese sentido, la media responde a la lógica de administrar un sistema de ponderación
previo a la suma de todos los valores, al igual que en el caso de la mediana. Es interesante
destacar varios aspectos de esta aproximación. En primer lugar, el carácter “democrático” de
la media. La media aritmética es un coeficiente democrático que concede el mismo peso a
todos los valores. No hay casos que tengan mayor importancia que otros o que sean especiales
(en un sentido u otro). A todos los valores se les concede el mismo peso o importancia.
Esto no sucede en el caso de la mediana, donde toda la representación del conjunto de
valores recae en uno o dos valores. Como hemos apreciado, estos valores privilegiados en la
posición central se ponderan por 1 o reparten entre dos. Todos los demás valores se reducen a
cero. Desaparecen del coeficiente de representación que supone la mediana.
En el caso del análisis de series temporales, podemos considerar que todos los valores
tienen la misma importancia y por lo tanto ponderar por medias aritméticas móviles (según el
subconjunto de valores que se definan para determinar la media) o privilegiar el valor central
del tramo elegido para suavizar (medianas móviles).
18 (A+B) / 2 = (A / 2) + (B / 2) = (A X 0,5) + (B X 0,5)
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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48
Consideremos el caso de una media móvil de tres. A modo ilustrativo podemos pensar
que para cada subconjunto de tres valores temporalmente ordenados, tendremos el “pasado”,
el “presente” y el “futuro” (este futuro esta realizado y conocemos su valor, para el momento
temporal que define el segundo valor, este valor es futuro, se produce después de él; delmismo modo que el presente es el futuro del pasado). Desde esta perspectiva, al ponderar para
suavizar mediante medias aplicamos un criterio democrático concediendo el mismo peso al
pasado, al presente y al futuro. No obstante, podemos conjugar diferentes pesos o
importancias para cada valor, en cada subconjunto de valores, según lo que represente. De
este modo, podemos privilegiar el pasado, el presente o el futuro según conveniencia. Así, en
el caso de una serie temporal que cambia con brusquedad conservando poca “memoria” del
pasado, puede ser conveniente “suavizar” dando mayor peso al futuro y menor al pasado, en
la idea de que cuando se producen cambios importantes, lo último que pasó es lo más
próximo a lo que pueda pasar.
De este modo, desde la ponderación igualitaria que supone las medias móviles, es
factible articular diferentes sistemas de ponderación que otorguen una importancia desigual al
pasado, el presente y el futuro. Estos sistemas de ponderación suponen una estrategia de
suavización importante. De hecho, algunos de estos sistemas tienen nombre propio, como es
el caso de Hanning. Vamos a considerar dos procedimientos de ponderación a efectos de
ilustrar su función y eficacia sobre series temporales, tanto descriptiva como predictivamente:
hanning y suavizado (alisado) exponencial.
Hanning . Un procedimiento de suavización basado en ponderaciones es el definido
por el meteorólogo austriaco del siglo XIX Julio Von Hann. Consiste en, dados tres valores
consecutivos, a los dos valores adyacentes al que va a ser suavizado se le concede una
importancia de 1/4 a cada uno de ellos y al valor central un peso de 1/2. El modo operativo de
conseguir esto es calcular la media de los dos valores adyacentes (la “skip mean”) y después
promediar con ella el valor que va a ser suavizado.
Así, (22405 + 23438)/2 = 22921,5
después (22921,5 + 23290)/2 = 23106
22405
23290 22921,5 23106
23438
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I. Huellas en el tiempo
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O lo que es lo mismo, [(22405)(.25)]+[(23290)(.5)]+[(23438)(.25)], empleando directamente
ponderaciones.
Meses Presos Hanning
Ene 22405 -
Feb 23290 23106
Mar 23438 23457
Abr 23662 23621
May 23721 23709
(…/…)
1982-1999 total población reclusa mensual
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
50000
40000
30000
20000
10000
Precisamente, si aplicamos este criterio para suavizar la serie ya suavizada mediante
medianas, normalmente se genera una serie completamente suavizada que revela con claridad
la estructura que contiene. Como ya sabemos, es perfectamente factible el resuavizar
mediante distintas combinaciones de ponderaciones.
Suavización exponencial . Esta técnica de ponderación (hanning) sobre la serie
temporal, puede extenderse hacia otras fórmulas, en función de los objetivos del investigador.
De este modo, si el investigador esta interesado en describir, parecería lo más sensatoconceder más peso a los valores centrales, mientras que si el interés es predictivo puede
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Antonio Alaminos
50
resultar interesante conceder más peso a los valores recientes en la serie. Así, a efectos
descriptivos, la ponderación concederá más peso al valor central; si el interés es predictivo, el
peso será mayor o menor según la posición temporal del valor en la serie. Para predecir,
puede ser útil dar un peso mayor al último valor en la serie. Por ejemplo, un 70% al últimovalor, el 20% al penúltimo y el 10% al antepenúltimo. Consideremos este sistema de
ponderación para la serie de presos.
Meses Presos Suavización ponderada
Ene 22405
Feb 23290
Mar 23438 23305=(23438x0,7)+(23290x0,2)+(22405x0,1)
Abr 23662 23580= (23662x0,7)+(23438x0,2)+(23290x0,1)May 23721 23681= (23721x0,7)+(23662X0,2)+(23438x0,1)
(…/…)
1982-1999 total población reclusa mensual
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
50000
40000
30000
20000
10000
No hay necesidad de más operaciones dado que los pesos suman 1. En todo caso, un
problema importante surge cuando existe una estructura estacional contenida en la serie, dado
que se produciría una amplificación del efecto de las influencias estacionales. En general, al
igual que en las medias móviles simples, las medias móviles ponderadas funcionan mejor en
series libres de estacionalidad.
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I. Huellas en el tiempo
51
Es evidente que los coeficientes de ponderación así como el número de datos que van
a intervenir en la suavización es una decisión del investigador. Partiendo de la noción de
suavización ponderada se desarrolla el procedimiento denominado suavización exponencial
(también conocido como alisado exponencial).
El procedimiento de alisado exponencial se apoya sobre la predicción del valor de la
serie en un momento del tiempo y la diferencia entre esta predicción y su valor real en ese
momento. Para ello se toman los dos primeros valores de la serie (por ejemplo, enero y
febrero) y se promedian. El resultado de dicho promedio se considera la predicción para
febrero. Para estimar el valor de marzo tomaremos el valor estimado para febrero y le
sumaremos el resultado de multiplicar por un coeficiente de ponderación (entre 0 y 1) la
diferencia entre el valor predecido para febrero y el valor real que alcanzo la serie en ese mes.
En ese sentido, la suavización exponencial se basa en la dinámica entre predicción y
corrección (sobre la base de la diferencia entre predicción y realidad = error) mediante un
sistema de ponderación.
Meses Presos Suavización exponencial
Ene 22405 -
Feb 23290 22848 = (22405+23290)/2
Mar 23438 23035 = 22848+ (.4*(23290-22848))Abr 23662 23190 = 23035 + (.4*(23438-23035))
Meses Presos Exponencial
Ene 22405 -
Feb 23290 22848
Mar 23438 23025
Abr 23662 23190
May 23721 23379
Jun 23731 23516
Jul 23086 23602(…/…)
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Huellas en el tiempo y el tiempo en sus huellas (2011-2012). 2. Series temporales
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1982-1999 total población reclusa mensual
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
50000
40000
30000
20000
10000
El coeficiente de ponderación que se aplica sobre la diferencia entre la predicción y el
valor observando, es decidido por el investigador y produce suavizaciones de la serie
diferentes según el que se elija; también influye evidentemente en la predicción para el valor
siguiente en la serie.Este procedimiento de suavización exponencial es, en definitiva, una forma
simplificada de una progresión geométrica. El peso estará entre 0 y 1. Cuando esta próximo a
0.1, toma en cuenta alrededor de 20 períodos previos en el nuevo valor predecido. Para
coeficientes de 0.5 sólo emplea los últimos tres valores. En general, los valores entre 0.1 y 0.3
funcionan bastante bien para suavizar y modelar un gran número de series. Cuando los valores
se aproximan a 1 implica que la serie presenta cambios muy abruptos (que aconsejaría otras
técnicas) o la presencia de estacionalidad. El procedimiento para determinar la ponderación
más efectiva es simplemente, prueba y error; actualmente existen paquetes estadísticos que
efectúan un rastreo o búsqueda en rejilla que permite determinar los valores óptimos de
ponderación.
Ajuste
En lo que se refiere al método de evaluación de la bondad del ajuste, uno de los
procedimientos más extendidos divide la serie en dos periodos: histórico y de validación, con
la finalidad de determinar la mejor ponderación para el período histórico y comprobar
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I. Huellas en el tiempo
53
posteriormente su ajuste con los datos del período de validación. Emplear este tipo de
diagnóstico requiere el separar aproximadamente un tercio de los datos, usualmente los más
recientes, que serán utilizados posteriormente para valorar el ajuste. El modelo o modelos
propuestos se estiman y ajustan sobre los dos tercios restantes. Será de la comparación entre
las predicciones que efectúan los diferentes modelos y los datos reales de donde surgirá la
decisión sobre el mejor modelo. Este grupo de datos que se excluyen del ajuste para poder
contrastar las predicciones de los diferentes modelos se denomina período de validación,
mientras que las observaciones que se emplean para ajustar los diferentes modelos son
llamados período histórico.
En resumen, el procedimiento más utilizado para evaluar los diferentes ajustes
desarrollados sobre los datos del periodo histórico se basa en el análisis del error (serie
residual) producto de la comparación entre la predicción y los datos del periodo de validación
Recordemos que de la comparación entre predicción y valor real se obtiene una serie. Si el
modelo es apropiado, las estadísticas que se estimaron a partir del error de ajuste para el
período histórico tenderán a parecerse a los correspondientes al error de ajuste de las
estimaciones en el período de validación. De hecho, teóricamente los residuales podrían ser
menores en el período de validación, lo que indicarían un modelado óptimo.