series

Capítulo 1

Series de números reales

1.1 Series

De�nición 1.1. Una serie de números reales es una expresión de la forma

a1 + a2 + � � �+ an + � � � =1Xn=1

an

donde an 2 R es el n-ésimo termino de la serie1Pn=1

an, para todo n 2 N.

La expresión Sn =nPk=1

ak es llamada la n-ésima suma parcial de la serie1Pn=1

an, para todo

n 2 N. Si limn!1

Sn = S 2 R, entonces1Pn=1

an es llamada convergente y

limn!1

Sn =1Xn=1

an = S.

El número real S es llamada la suma de la serie1Pn=1

an. Si no existe S, entonces la serie es

llamada divergente.

Ejemplo 1.1. Un ejemplo de una serie in�nita es la serie geométrica

a+ ar + ar2 + � � �+ arn�1 + � � � =1Xn=1

arn�1 a 6= 0

La serie geométrica es convergente si jrj < 1 y su suma es1Xn=1

arn�1 =a

1� r jrj < 1

Si jrj � 1, la serie geométrica es divergente.

Ejemplo 1.2. La serie armónica1Xn=1

1

n= 1 +

1

2+1

3+ � � �

es divergente.

1

MATEMATICAS II MA123G

Teorema 1.1. Si la serie1Pn=1

an es convergente, entonces limn!1

an = 0.

Teorema 1.2 (Test de Divergencia). Si limn!1

an no existe o si limn!1

an 6= 0, entonces la serie1Pn=1

an es divergente.

Teorema 1.3. Si1Pn=1

an y1Pn=1

bn son series convergentes, entonces las series1Pn=1

can (donde

c es una constante),1Pn=1

(an + bn) y1Pn=1

(an � bn), también convergen, y

1.1Pn=1

can = c1Pn=1

an

2.1Pn=1

(an + bn) =1Pn=1

an +1Pn=1

bn

3.1Pn=1

(an � bn) =1Pn=1

an �1Pn=1

bn

1.2 Criterios de la Razón y la Raíz

Teorema 1.4 (Criterio de la Razón). Sea1Pn=1

an una serie de términos distintos de cero y

L = limn!1

��an+1an��

entonces:

1. Si L < 1, la serie1Pn=1

an es convergente.

2. Si L > 1 o L = +1, la serie1Pn=1

an es divergente.

Teorema 1.5 (Criterio de la Raíz). Sea1Pn=1

an una serie de términos distintos de cero y

L = limn!1

npjanj

entonces:

1. Si L < 1, la serie1Pn=1

an es convergente.

2. Si L > 1 o L = +1, la serie1Pn=1

an es divergente.

Ejemplo 1.3. Determine si la serie es convergente o divergente

(a)1Pn=1

5n

n!.

Elaborado por el Lic. Pablo J. Galarreta A. 2


(b)1Pn=1

1

n4n.

Solución:

(a) Por el Criterio de la Razón

L = limn!1

��an+1an��

= limn!1

�� 5n+1

(n+ 1)!� n!

5n

��= lim

n!1

5

(n+ 1)= 0 < 1

por lo tanto, la serie es convergente.

(b) Por el Criterio de la Raíz

L = limn!1

npjanj

= limn!1

n

s�� 1n4n��

= limn!1

1

n4= 0 < 1

por lo tanto, la serie es convergente.

Teorema 1.6 (Criterio de las series alternantes). Sea la serie alternante1Xn=1

(�1)n�1 an tal

que an > an+1 > 0 para todo n 2 N y limn!1

an = 0. Entonces:

1. La serie alternante1Xn=1

(�1)n�1 an es convergente a S 2 R.

2. Si Sn =nXk=1

(�1)k�1 ak, para n = 1; 2; : : :, entonces

jS � Snj < an+1

para todo n 2 N. Es decir, Sn aproxima a S con un error absoluto menor que an+1.

Ejemplo 1.4. Sea la serie alternante

1� 12+1

3� 14+ � � �+ (�1)

n�1

n+ � � � =

1Xn=1

(�1)n�1

n

En este caso an =1

npara todo n 2 N. Se tiene:

(i) 0 < n < n+ 1 =) 1

n>

1

n+ 1> 0 =) an > an+1 > 0 para todo n 2 N.



(ii) limn!1

an = limn!1

1

n= 0:

Por el criterio de las series alternantes,1Xn=1

(�1)n�1

nes convergente.

Observación 1.1. La serie p, de�nida por1Xn=1

1

npes convergente si p > 1, y divergente si

p � 1.

1.3 Series de potencias

De�nición 1.2. Sea a 2 R y x una variable. Una serie de potencias en x� a es una seriede la forma

1Xn=0

cn (x� a)n = c0 + c1 (x� a) + c2 (x� a)2 + : : :+ cn (x� a)n + : : :

donde cn 2 R, para todo n 2 N0.

Teorema 1.7. Si1Xn=0

cn (x� a)n es una serie de potencias, entonces se cumple una y sólo

una de las 3 a�rmaciones siguientes:

1. La serie converge sólo para x = a.

2. La serie converge para todo x 2 R.

3. Existe un número positivo r tal que la serie converge para jx� aj < r y diverge parajx� aj > r.

Observación 1.2. En el teorema anterior, el número r del caso 3 es llamado el radio deconvergencia de la serie de potencias. En el caso 1, el radio de convergencia es 0, y en elcaso 2 es 1. El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el conjunto de todoslos números reales para los que la serie converge. En el caso 1, el intervalo de convergenciaes fag. En el caso 2, el intervalo de convergencia es (�1;1) = R. En el caso 3, hay 4posibilidades para el intervalo de convergencia: (a� r; a+ r), (a� r; a+ r], [a� r; a+ r),[a� r; a+ r].

Ejemplo 1.5. Halle el intervalo de convergencia de la serie

1Xn=0

xn

n!= 1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+ : : :+

xn

n!+ : : :

Solución: Se presentan 2 casos:

(i) Si x = 0, la serie converge a 1.



(ii) Si x 6= 0, sea an =xn

n!para n = 0; 1; 2; : : :. Por el criterio de la razón

limn!1

��an+1an�� = lim

n!1

�� xn+1(n+ 1)!

n!

xn

�� = limn!1

jxjn+ 1

= 0 < 1

luego la serie converge para cualquier x 6= 0.

De (i) y (ii), la serie1Xn=0

xn

n!converge para todo x 2 R y R es el intervalo de conver-

gencia.

Ejemplo 1.6. Halle el intervalo de convergencia de la serie1Xn=1

(�1)nn6n

(2x� 1)n.

Solución: (Ejercicio)

Teorema 1.8. Sea1Pn=0

cn (x� a)n es una serie de potencias que tiene un radio de conver-gencia r 6= 0 y sea f la función de�nida por

f(x) =

1Xn=0

cn (x� a)n = c0 + c1 (x� a) + c2 (x� a)2 + : : :+ cn (x� a)n + : : :

para todo x en el intervalo de convergencia. Si a� r < x < a+ r, entonces

1. f 0(x) =1Xn=1

ncn (x� a)n�1 = c1 + 2c2 (x� a) + : : :+ ncn (x� a)n�1 + : : :

2.Z x

a

f(t)dt =1Xn=0

Z x

a

cn (t� a)n dt =1Xn=0

cnn+ 1

(x� a)n+1

Ejemplo 1.7. Halle una representación en series de potencias de x para1

(1 + x)2

Solución: Por series geométricas

1

1� x = 1 + x+ x2 + � � �+ xn + � � � =

1Xn=0

xn, jxj < 1

luego

1

1 + x= 1� x+ x2 � x3 + � � �+ (�1)n xn + � � � =

1Xn=0

(�1)n xn, jxj < 1

derivando respecto de x

�1(1 + x)2

= �1 + 2x� 3x2 + � � �+ (�1)n nxn�1 + � � � , jxj < 1

por lo tanto

1

(1 + x)2= 1� 2x+ 3x2 � � � �+ (�1)n+1 nxn�1 + � � � =

1Xn=1

(�1)n+1 nxn�1, jxj < 1



Teorema 1.9. Si f es una función tal que

f(x) =

1Xn=0

cn (x� a)n

para todo x 2 I, donde I es un intervalo abierto y a 2 I. Entonces f (n) (a) existe para

n = 0; 1; 2; : : : y cn =f (n) (a)

n!. Por lo tanto

f (x) =

1Xn=0

f (n) (a)

n!(x� a)n

= f (a) +f 0 (a)

1!(x� a) + f

00 (a)

2!(x� a)2 + : : :+ f

(n) (a)

n!(x� a)n + : : :

que es la serie de Taylor de f(x) en a. Si a = 0 se llama la serie de Maclaurin de f(x).

Ejemplo 1.8. Halle la serie de Maclaurin de f(x) = sen x.Solución: Derivando

f(x) = senx f(0) = 0f 0(x) = cos x f 0(0) = 1f 00(x) = � sen x f 00(0) = 0f 000(x) = � cosx f 000(0) = �1f (4)(x) = senx f (4)(0) = 0

......

Se obtiene la serie de Maclaurin

sen x =1Xn=0

(�1)n x2n+1

(2n+ 1)!= x� x

3

3!+x5

5!� x

7

7!+ : : :

Observación 1.3. Se cumplen:

1. sen x =1Xn=0

(�1)n x2n+1

(2n+ 1)!, para todo x 2 R.

2. cosx =1Xn=0

(�1)n x2n

(2n)!, para todo x 2 R.

3. ex =1Xn=0

xn

n!, para todo x 2 R.

4. (1 + x)k = 1 + kx +k (k � 1)2!

x2 + : : : +k (k � 1) � � � (k � n+ 1)

n!xn + : : :, para todo

x 2< �1; 1 > y k 2 R.

Ejemplo 1.9. Al usar series de Maclaurin para f (x) = x cos(x3), se obtiene que

I =

Z 5=4

0

x cos(x3)dx =

1Xn=1

(�1)n�1 an;

donde an 2 R, para n = 1; 2; 3; : : :. Halle



(a) an en función de n 2 N.

(b) El valor aproximado ~I de I, con��I � ~I�� < 10�3.

Solución:

(a) Usando la serie de Maclaurin para el coseno

I =

Z 5=4

0

x cos(x3)dx

=

Z 5=4

0

x

" 1Xn=0

(�1)n (x3)2n

(2n)!

#dx

=1Xn=0

(�1)n

(2n)!

Z 5=4

0

x6n+1dx =1Xn=0

(�1)n

(2n)!(6n+ 2)

�5

4

�6n+2=

1Xn=1

(�1)n�1

(2n� 2)!(6n� 4)

�5

4

�6n�4por lo tanto

an =1

(2n� 2)!(6n� 4)

�5

4

�6n�4.

(b) Se comprueba que an > an+1 > 0 para todo n 2 N y limn!1

an = 0, luego, por el criterio

de las series alternantesjI � Snj < an+1

donde Sn =nXk=1

(�1)k�1 ak. Ahora

a2 = 0:37253

a3 = 0:06767

a4 = 0:00602

a5 = 0:00032 < 10�3

por lo tanto piden S4, luego~I = S4 = 0:47037


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