UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SERIE 2

2

1

1

−

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Obtener el dominio,el recorrido y dibujar la gráfica

de la función :

xg( x ) ln

e

{ }1= ≠ − =g gSolución : D x x ; R

4 3 24

2

2

6 8 6 9 11 3

. Comprobar que :

x x x x eln ln

x x

−

+ + − −+ =

− +

2

3

2

x x

x x

. Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes funciones :

a) f ( x ) e c ) h( x ) e

b) g( x ) e d) F( x ) e

−

−

= =

= − =

2 22 2

2 2 2 2

4

2 1x x

x x x x

. Comprobar que :

e ee e e e

−

− −

−

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

51 b

. Simplificar la expresión :

a ln ln ee

−

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

Solución :

ba⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )

2 3

22

30

6

2

−=

−

⎡ ⎤= ⎣ ⎦=

=

ln x

cosh xxx

. Obtener lo que se pide en cada caso :

a) y sen x , obtener y' .

b) g( x ) log x , calcular g'( ).

dyc) y e , calcular

dx

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 32 3 2 3

0

3

2 122 2

3

ln x

ln x

x

Soluciones :

ln sen x sen xa) y' x ln x cot x sen x

x

b) g'( x ) ; g'( )x ln ln

dyc)

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= =

= −

( )7 − =xx

. Obtener la derivada de la función : f ( x ) x

2xx

x x x

Solución :

xf '( x ) x x ln x x ln x

x

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

8 −

= x

. Determinar el polinomio de tercer grado que representa a la función

f ( x ) e por medio de la serie de Maclaurin.

2 341 2 23

Solución :

f ( x ) x x x= + + +

( )

4

2 3

1

9

1 2 1 2 12 8 11 2

1

−

⎡ ⎤⎛ ⎞++ =⎢ ⎥⎜ ⎟

−−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎣ ⎦∫

cosh x

. Comprobar que

d tanh xa) tanh x ln

dx senh xtanh x

db) t dt senh x

dx

101 12 1

. Deducir la expresión :

xang cot h x ln

x

−

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )

( )( )( )

( ) ( )

2

22

2 3

2

23

11

5 1

39 1 3

2 6

x x

x

. Efectuar :

a) x dx

ln angtan xb) dx

x angtan x

c) x x dx

+ +

−

−

+

+

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫∫∫

( )

( )

2

2 2

1

2

2

4

25 52 5

32

66

+

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

+

( x )

( x )

Soluciones :

a) Cln

ln angtan xb) C

c) Cln

( )( )

( )

11

0

0

2

12

1 1

−

→

→

−→∞

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎣ ⎦

cosh x

x

x

xx

. Calcular, si existen :

a) lim cosh x

b) limx senx

c) lim e ln x

1

00

Soluciones :

a)e

b)

c )

0

13

4 1

14

∞

−

− ∈

=

=

∫ x

. Determinar el valor de k para que se cumpla la igualdad :

ke dx

Solución : k

3

2

1

20

2

1 0

0

2

2

1

14

1 41

10

∞

−∞

∞ ∞

−

∞

−

− −∞

−

+−∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

x

x

x x

ln

e

. Determinar si las siguientes int egrales convergen o no.

dx dxa) e)

xx

xb) x e dx f ) dx

e

c) e dx g) dx

dxd)

x ln x

12 210

13 2

122

π

Soluciones :

a) d) g)ln( )

b) e)e

c ) f )