Serie convergente

En matemticas, una serie (suma de los trminos de unasecuencia de nmeros), resulta convergente si la sucesinde sumas parciales tiene un lmite en el espacio conside-rado. De otro modo, constituira lo que se denomina seriedivergente.

1 Denicin formalLas series consideradas son numricas (con trminosreales o complejos) o vectoriales (con valores en un es-pacio vectorial normado).La serie de trmino general an converge cuando lasucesin (An)n2N de sumas parciales converge, dondepara todo entero natural n,

An =nX

k=0

ak

En este caso la suma de la serie es el lmite de la sucesinde sumas parciales

+1Xk=0

ak = limn!+1An

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de unaserie no se altera si se modica una cantidad nita de tr-minos de la serie.

2 EjemplosResultan convergentes las series de las secuencias:

de los recprocos de los enteros impares, con signosalternados ( 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 111 ; ) , conocidacomo de Leibniz:1

1 1

3+

1

5 1

7+

1

9 1

11+ =

4

de los recprocos de los nmeros triangulares:1

1+

1

3+

1

6+

1

10+

1

15+

1

21+ = 2

de los recprocos de los sucesivos factoriales (n!):1

1+

1

1+

1

2+

1

6+

1

24+

1

120+ = e

de los recprocos de los sucesivos cuadrados perfec-tos (ver Problema de Basilea):

1

1+

1

4+

1

9+

1

16+

1

25+

1

36+ =

2

6

de los recprocos de las potencias de 2:1

1+

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+ = 2

de los recprocos de las potencias de 2 con signosalternados:1

1 1

2+

1

4 1

8+

1

16 1

32+ = 2

3

de los recprocos de los nmeros de Fibonacci (verConstante de los inversos de Fibonacci):1

1+

1

1+

1

2+

1

3+

1

5+

1

8+ =

de los de recprocos de los naturales con signosalternados (1;12 ; 13 ;14 ; 15 ;16 ; 17 ; ) :1Xk=1

(1)k+1k

= ln 2

Resultan divergentes las series de las secuencias:

de los de recprocos de los naturales(1; 12 ;

13 ;

14 ;

15 ;

16 ;

17 ; ) :

1

1+

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+ ! 1

(es la conocida como serie armnica);

de los recprocos de los nmeros primos (12 ;

13 ;

15 ;

17 ;

111 ;

113 ; ):

1

2+

1

3+

1

5+

1

7+

1

11+

1

13+ ! 1

3 Convergencia absolutaSiP an es una serie a valores en un espacio vectorial nor-mado completo, se dice que es absolutamente conver-gente si la serie de trmino general kank es convergente.En este caso, la serieP an converge.

1

2 7 CRITERIOS DE CONVERGENCIA COMPARATIVOS

4 Series numricasEn el caso de series numricas, o a valores en un espaciode Banach, es suciente con probar la convergencia ab-soluta de la serie para probar que es convergente, lo cualpermite restringir el estudio a las series de trminos po-sitivos; para ello existen numerosos mtodos, basados enel principio de comparacin.

5 Criterios de convergencia

5.1 Series de reales positivos Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Crite-

rio de la razn): seaP1k=1 ak una serie de trminosestrictamente positivos; si

limk!1

ak+1ak

= L 2 [0;+1[

entonces el Criterio de D'Alembert establece que siL < 1 , la serie converge, L > 1 , la serie no converge,L = 1 el criterio no establece nada respecto a su conver-gencia.

Criterio de la raz: si los trminos an son estricta-mente positivos y si existe una constante C < 1 talque limn!1(an) 1n C , entonces

Pan es con-

vergente.

Criterio de Raabe: sea una serieP1k=1 ak , tal queak > 0 (serie de trminos positivos). Si existe ellmite

limk!1 k1 ak+1ak

= L , siendo L 2

(1;+1)

entonces, si L > 1 la serie es convergente y si L < 1 laserie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe es reco-mendado slo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).

Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es unafuncin positiva y montonamente decreciente de-nida en el intervalo

[1, ) tal que f(n) = an para todo n, entoncesP an con-verge si y slo si

R11f(x) dx es nita.

Ms generalmente, y para el tipo de funcin denida an-tes, pero en un intervalo [N,), la serie

1Xn=N

f(n)

converge si y slo si la integral

Z 1N

f(x) dx

converge.

6 Otros mtodos

Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espa-cio vectorial normado completo es convergente si ysolo si la sucesin de sumas parciales es de Cauchy:

8" > 0; 9N 2 N; 8n N;8p 2 N; kun+1 + + un+pk < "

Criterio de condensacin de Cauchy: seaP an unaserie montona de nmeros positivos decrecientes.Entonces P1n=1 an converge si y slo si la serieP1

n=1 2na2n converge.

Criterio de Leibniz: una serie de la formaP1n=1(1)nan (con an > 0 ) se llama serie

alternada. Tal serie converge si se cumplen lassiguientes condiciones:

a) limn!1(1)nan = 0 para n par y n impar.b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, esdecir que: jakj jak+1j .Si esto se cumple, la serieP1n=1 an es condicionalmenteconvergente, de lo contrario la serie diverge.Nota: Se debe descartar primero la convergencia absolutade P1n=1 janj antes de aplicar este criterio, usando loscriterios para series positivas.

7 Criterios de convergencia com-parativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serieP(bn)tal que se conozca su condicin de convergencia o no-convergencia.

7.1 Criterio de comparacin directa

(de la mayorante o de Gauss)Si 0 < an bn;8n n0

SiP(bn) converge)P(an) converge SiP(an) diverge)P(bn) diverge

37.2 Criterio de comparacin por paso al l-mite del cociente

SeanP1n=1 an yP1n=1 bn series de trminos no negati-vos. Si existelimn!1

anbn

= L 2 [0;+1) , entonces:

Si L = 0 y la serie P(bn) converge entoncesP(an) converge.

Si L = +1 y P(bn) diverge entonces P(an)diverge.

Si 0 < L < +1 entonces las series P1n=1 anyP1n=1 bn comparten la misma condicin (ambasconvergen, o bien ambas son divergentes).

8 Teorema de AbelSea Pxn une serie compleja donde 8n 2 N; xn =nun tales que:

La sucesin (n)n2N es real, decreciente y tiende a0.

9M 2 R tal que 8n 2 N; jPnk=0 ukj M .EntoncesPxn es convergente.9 Vase tambin Serie matemtica Serie divergente Lmite de una sucesin

10 Referencias Weisstein, Eric W. ConvergentSeries. En Weiss-tein, Eric W. MathWorld (en ingls). Wolfram Re-search.

11 Enlaces externosWikilibros

Wikilibros alberga contenido sobre Series.

4 12 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

12 Text and image sources, contributors, and licenses12.1 Text

Serie convergente Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie%20convergente?oldid=79901503 Colaboradores: Riviera, BOT-Superzerocool, Marianov, PabloCastellano, Diego HC, Jkbw, Jerowiki, CentroBabbage, AvicBot, Darioslc, Addbot y Annimos:15

12.2 Images Archivo:Wikibooks-logo.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikibooks-logo.svg Licencia: CC BY-SA

3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Bastique, User:Ramac et al.

12.3 Content license Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Definicin formal Ejemplos Convergencia absoluta Series numricas Criterios de convergencia Series de reales positivos

Otros mtodos Criterios de convergencia comparativos Criterio de comparacin directa Criterio de comparacin por paso al lmite del cociente

Teorema de Abel Vase tambin Referencias Enlaces externos Text and image sources, contributors, and licensesTextImagesContent license