Separata n1 Matrices
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CAPITULO 1
ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se llama ecuacin lineal sobre un campo K, a una expresin de la forma:
bxaxaxa nn =+++ K2211 (1) donde los K, bai y los ix son indeterminadas, incgnitas o variables. Los escalares ia se denominan coeficientes y b es llamado trmino constante o
independiente de la ecuacin. Un conjunto de valores de las incgnitas, por ejemplo:
nn kxkxkx === ,,, 2211 K se dice que es una solucin de la ecuacin (1) si:
bkakaka nn =+++ K2211 generalmente si no hay ambigedad acerca de la posicin de las incgnitas, se
denotar esta solucin como la n-upla ),,,( 21 nkkkS K= NOTA.- En lo que sigue del curso el campo K que se considerar, ser el campo de
los nmeros reales (R) o el campo de los nmeros complejos (C).
Ejemplo.1.- Sea la ecuacin
22 = yx una solucin para la ecuacin es 1=x e 0=y ; pues reemplazando estos valores en la ecuacin, sta se verifica
20)1(2 =x Ntese que no son los nicos valores para x e y que satisfacen la ecuacin. Tambin si
se considera 0=x e 2=y se verifica la ecuacin. El conjunto de todas las soluciones de la ecuacin es llamado conjunto solucin de la
ecuacin lineal y se obtiene asignando a una de sus variables un valor arbitrario
llamado parmetro y luego despejando la otra variable en trminos del parmetro.
As dando el valor de ax = se tiene ay 22 = .
-
3
Interpretacin geomtrica.- La ecuacin 22 = yx representa una recta en el plano que se denotar por L. En consecuencia, cualquier punto que pertenece a la recta L es
una solucin de la ecuacin 22 = yx .
Ejemplo.2.- Si se considera la ecuacin
1=++ zyx una solucin para la ecuacin es 1=x , 0== zy . Otra sera 1=y , 0== zx . El conjunto solucin de la ecuacin se obtiene asignando dos parmetros diferentes a
dos de las variables y despejando la tercera en trminos de los parmetros asignados.
Es decir haciendo ax = e by = se tiene baz = 1 , donde a y b pueden tomar el valor de cualquier nmero real.
Interpretacin geomtrica.- La ecuacin 1=++ zyx representa un plano en el espacio que se denotar por P. Luego, cualquier punto del plano P es solucin de la
ecuacin.
A continuacin se definir un sistema de ecuaciones lineales como una coleccin
finita de ecuaciones lineales.
O 1
-2
22: = yxL
X
Y
Z
Y
X
1: =++ zyxP
O 1
1
1
-
4
Se llamar un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas nxxx ,,, 21 K sobre
el campo K, a una expresin de la forma
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
KMMMM
KK
2211
22222121
11212111
(2)
donde los Kiji ba , . Una forma fcil de resolver un sistema de ecuaciones lineales es haciendo uso del
conocido mtodo de eliminacin gaussiana; ste mtodo consiste en reducir un
sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente ms simple que tiene el mismo
conjunto solucin. Para aplicar el mtodo de eliminacin hay que tener en cuenta que
el conjunto solucin del sistema no se altera si se realizan cuantas veces sean
necesarias las siguientes operaciones:
1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuacin por una constante distinta de cero.
3. Sumar el mltiplo de una ecuacin a otra.
Ejemplo 3.- Sea el sistema
422
=+=
yxyx
(3)
Solucin
Multiplicando la segunda ecuacin por 2
82222
=+=
yxyx
multiplicando la primera ecuacin por 1 y luego sumando a la segunda
6322
==
yyx
despejando la variable de la segunda ecuacin se tiene
2=y reemplazando el valor de 2=y en la primera ecuacin se obtiene el valor de
2=x Luego, 2=x e 2=y es la solucin del sistema (3). El sistema (3) geomtricamente representa dos rectas en el plano, y resolver simultneamente el sistema significa
hallar los puntos de interseccin de las rectas. Si denotamos por 1L la recta
-
5
determinada por la ecuacin 22 = yx y por 2L la recta determinada por la ecuacin 4=+ yx , entonces })2,2({21 =LL como se puede ver en el siguiente grfico.
Ejemplo 4..- Sea el sistema
42422=+
=yx
yx (4)
Solucin
Multiplicando la segunda ecuacin por 21
2222
==
yxyx
ntese que las dos ecuaciones son iguales, por consiguiente resolver el sistema se
reduce solamente a resolver una de las ecuaciones. As dando el valor de ax = se tiene ay 22 = lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones. Geomtricamente el sistema (4) representa dos rectas paralelas coincidentes en el
plano como se puede apreciar en el grfico siguiente.
Y
X
22:1 = yxL4:2 =+ yxL
O
(2 ; 2)
Y
X O
424:2 =+ yxL 22:1 = yxL
-
6
Ejemplo 5.- Sea el sistema
82422=+
=yx
yx (5)
Solucin
Multiplicando la segunda ecuacin por 21
4222
==
yxyx
en ste ejemplo ntese que la expresiones de la izquierda en ambas ecuaciones son
iguales, en consecuencia se tendra que 42 = , lo cual es un absurdo. El sistema (5) no tiene solucin. Los sistemas que no tienen solucin se denominan incompatibles o
inconsistentes. Geomtricamente el sistema (5) representa dos rectas paralelas. Si
denotamos por 1L la recta determinada por la ecuacin 22 = yx y por 2L la recta determinada por la ecuacin 824 =+ yx , entonces = 21 LL , como se puede ver en el siguiente grfico.
Ejemplo 6.- Un club social tiene un comedor con 56 mesas de tres tipos diferentes, x
mesas con 4 asientos cada una, y mesas con 8 asientos cada una, y z mesas con 10
asientos cada una. La capacidad de asientos del comedor es de 468. Durante un
almuerzo se ocuparon la mitad de las x mesas, un cuarto de las y mesas y un dcimo
de las z mesas, haciendo un total de 12 mesas. Cuntas mesas de cada tipo se usaron
en el almuerzo?.
Solucin
El enunciado del problema, se puede expresar mediante el siguiente sistema
Y
X
22:1 = yxL
42:2 = yxL
O
-
7
12101
41
21
468108456
=++=++=++
zyx
zyxzyx
(6)
multiplicando la primera ecuacin por 4 y sumando a la segunda; luego multiplicando la primera ecuacin por
21 y sumando a la tercera se tiene
1652
41
2446456
==++=++
zy
zyzyx
multiplicando la tercera ecuacin por 16
2565
324
2446456
=+=++=++
zy
zyzyx
multiplicando a la segunda ecuacin por 1 y sumando a la tercera
1252
2446456
=+=++=++
z
zyzyx
en este ltimo sistema, de la tercera ecuacin se obtiene el valor de
30=z y sustituyendo el valor de z en la segunda ecuacin se tiene
16=y y as sucesivamente por retroceso, sustituyendo los valores de z e y en la primera
ecuacin se tiene
10=x Luego, la solucin para el sistema (6) es 10=x , 16=y y 30=z .
EJERCICIOS
1. Resuelva el sistema lineal dado mediante el mtodo de eliminacin
a) 44382
==+
yxyx
b) 10335
=+=+
yxyx
c) 1335
2642=
=+yxyx
d) 1596532=+
=yxyx
-
8
e) 941114
26523438
==+
=
yxyxyx
f) 12332
12432
=++=+=+
zyxzyxzyx
g) 48224223
=+=++=++
zyxzyx
zyx h)
85431543212642
=++=
=++
zyxzyxzyx
i) 632
=+=+
zyxzyx
j) 3266123
=++=+
zyxzyx
2. Dado el sistema lineal
tyxyx
==
2452
a) Determine el valor de t de modo que el sistema tenga una solucin.
b) Determine un valor de t de modo que el sistema no tenga solucin.
c) Cuntos valores distintos de t se pueden elegir en la parte (b)?
3. Dado le sistema lineal
054032
=+=+
zyxzyx
a) Verifique que 1,1,1 111 === zyx ; es una solucin. b) Verifique que 2,2,2 222 === zyx ; es una solucin. c) Es 1,1 2121 =+==+= yyyxxx y 121 =+= zzz una solucin del sistema
lineal?
d) Es zyx 3,3,3 , donde yx, y z son como en la parte (c) solucin del sistema
lineal?
4. Sin utilizar el mtodo de eliminacin, resuelva los siguientes sistemas:
a) 473522
==+
=
zzyzyx
b) 12253
13284
=+==
zyxyx
x
5. Hay un valor de r tal que 1=x , 2=y , rz = sea una soluciona del siguiente sistema lineal? En tal caso, determnelo.
1224
721132
=+=+
=+
zyxzyx
zyx
-
9
6 Hay un valor de r tal que 1,2, === zyrx sea una solucin del siguiente sistema lineal? En tal caso determnelo.
923254
423
=++=+
=
zyxzyxzx
7. La suma de dos nmeros es 15. El quntuplo del primer nmero ms el triple del
segundo es 61. Encuentre los dos nmeros. 8. Una refinera produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre
requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinacin. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinacin. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinacin 2, cuntas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al mximo?
9. Un industrial produce dos tipos de plstico: regular y especial. Cada tonelada de
plstico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plstico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al da y la planta B 15, cuntas toneladas de cada tipo de plstico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?
10. Un nutricionista est preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada
onza del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de protena. 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de protena. 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, cuntas onzas de cada comida se necesitan?
11. Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25
unidades de vitamina D por un total de $17.50; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $45.00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por $64.00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D.
12. Un fabricante produce reveladores de pelculas de 2, 6 y 9 minutos. Cada tonelada de
revelador de 2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 en la planta B. Cada tonelada de revelador de 6 minutos requiere 12 minutos en la planta A y 12 en la planta B. cada tonelada de revelador de 9 minutos requiere 12.
-
10
1.2. MATRICES
Al resolver el sistema
12101
41
21
468108456
=++=++=++
zyx
zyxzyx
(1)
por el mtodo de eliminacin, se ha trabajado bsicamente con los coeficientes del
sistema, sin tener que preocuparse por las variables. En la prctica, despus de
establecer un orden en la disposicin de las variables, el sistema se puede expresar
mediante un arreglo rectangular de la siguiente manera
12101
41
21
468108456111
(2)
el arreglo rectangular (2) descrito anteriormente recibe el nombre de matriz
aumentada o matriz ampliada asociada al sistema (1). El concepto de matriz que es
de suma importancia en el lgebra lineal se formaliza en la siguiente definicin.
DEFINICIN.- Sea K un campo (R o C) y sean m, n nmeros enteros mayores o
iguales a uno. Se llama matriz en K a todo arreglo A de escalares en K de la forma:
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
que de manera abreviada se escribir miaA ji ,,1],[ K== y nj ,,1 K= . Si la matriz A tiene m filas y n columnas, se dir que A es una matriz de orden m por n, lo
que se escribe como )( nm . Ejemplo 1
= 103412
A ,
= 4321
B ,
=
102
C ,
=
231102011
D ,
[ ]3=E , [ ]5021 =F y
+
=
iiii
iiG
213132201
-
11
son matrices. La matriz A es de orden 32 , B es una matriz de orden 22 , C es una matriz de orden 13 , D es una matriz de orden 33 , E en una matriz de orden 11 , F es una matriz de orden 41 y G es una matriz de orden 33 . Las matrices A, B, C, D, y E tienen como entradas nmeros reales; mientras que las entradas de la matriz G
son nmeros complejos.
NOTA.- Las matrices que tienen una sola fila como la matriz F del ejemplo 1 se
denominan matrices fila o vectores fila y las matrices que tienen una sola columna
como la matriz C del ejemplo 1 son llamadas matrices columna o vectores columna.
Ejemplo 2.- Una empresa tiene cuatro plantas, en cada una de ellas se fabrican tres
productos. Si ija denota el nmero de unidades del producto i elaborado por la planta
j durante una semana. La siguiente matriz
3800
80
200480390
370400350
210240420
3Pr2Pr1Pr
4321
oductooductooducto
PlantaPlantaPlantaPlanta
da la produccin de la empresa en una semana.
42011 =a , es el nmero de unidades del producto 1 que produce la empresa en la planta 1
37032 =a , es el nmero de unidades del producto 3 que produce la empresa en la planta 2
Ntese que la empresa no produce el producto 2 en la planta 4.
Ejemplo 3.- La siguiente matriz da las distancias (en kilmetros) entre las ciudades
de Lima, Tumbes, Tacna y Huaraz.
01787897452
17870
26841335
8972684
01349
45213351349
0
HuarazTacna
TumbesLima
HuarazTacnaTumbesLima
-
12
El conjunto formado por todas las matrices de orden nm con elementos en el campo K se denota por
AAnm /{=K es una matriz de orden )( nm con elementos en el campo K }
Igualdad de matrices.- Dos matrices de orden nm nmjiaA = ][ y nmjibB = ][ se dice que son iguales si ijij ba = para todo njmi 1,1 . Ejemplo 4.-Si
=
++
21064
yxtztzyx
hallar los valores de x, y, z y t.
Solucin
De la definicin de igualdad de matrices se tiene
21064
===+=+
yxtztz
yx
sumando la primera y cuarta ecuacin se obtiene
362 == xx y sustituyendo el valor de x en la primera ecuacin se obtiene el valor de 1=y . Anlogamente, sumando la segunda y tercera ecuacin se tiene
8162 == zz y reemplazando el valor de z en las segunda ecuacin resulta 2=t . Luego, 8,1,3 === zyx y 2=t .
TIPOS DE MATRICES
1. Matriz nula.- Dada la matriz nmjiaA = ][ , se dice que A es una matriz nula y denota por 0=A si y solo si 0=jia para todo mi ,,1 K= y nj ,,1 K= . Explcitamente, se escribe como
nm
=
000
000000
0
KMKMM
KK
-
13
2. Matriz cuadrada.- Una matriz nmjiaA = ][ se dice que es cuadrada si y solo si nm = .
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
es decir una matriz es cuadrada si el nmero de sus filas es igual al nmero de sus
columnas. En una matriz cuadrada de orden n se llama diagonal principal a los
escalares nnaaa ,,, 2211 L y a la suma de los elementos de la diagonal principal
se denomina traza de A lo que se denota por )(ATr ; es decir
nnn
iii aaaaATr +++==
=L2211
1)(
Ejemplo 5.- Dadas las siguientes matrices
=4132
A y
=
243531021
B
se tiene que:
642)( =+=ATr 2231)( =+=BTr
3. Vector fila y vector columna de una matriz.
Dada la matriz
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
La primera fila de A se denotar por: ][)( 112111 naaaAF K= y a la i-sima fila por: ][)( 21 niiii aaaAF K= , de manera anloga,
-
14
la primera columna por:
=
1
21
11
1 )(
ma
aa
AC M y a la j-sima columna por:
=
jm
j
j
j
a
aa
AC M2
1
)(
Luego la matriz A se puede escribir como
=
)(
)()(
2
1
AF
AFAF
A
m
M en trmino de sus filas y
como [ ])()()( 21 ACACACA nK= en trmino de sus columnas. a) )(,),(),( 21 AFAFAF mK se denominan vectores filas de la matriz A.
b) )(,),(),( 21 ACACAC nK se denominan vectores columnas de la matriz A.
Ejemplo 6.- Dada la matriz
=
627450
312A
Los vectores fila de la matriz A son: [ ]312)(1 =AF , [ ]450)(2 =AF y [ ]627)(3 =AF .
Los vectores columna de A son:
=
702
)(1 AC ,
=
251
)(2 AC ,
=64
3)(3 AC
4. Matriz diagonal.- Se dice que una matriz cuadrada nnijaA = ][ de orden n es diagonal si y solo si 0=ija para todo ji ; nji ,1
Ejemplo 7.- Las siguientes matrices son diagonales
=
500030002
A ,
=
100010001
B y
=
3000030000300003
C
-
15
5. Matriz escalar.- Se llama matriz escalar a una matriz diagonal donde todos los
elementos de la diagonal principal son iguales a una constante k diferente de 0 y
de 1.
Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son escalares
=
200020002
A ,
=
500050005
B ,
=
3000030000300003
C
6. Matriz identidad.- Una matriz cuadrada ][ ijaA = de orden n tal que
==
jisijisi
aij 01
.
para i, j variando de 1 hasta n es llamada matriz identidad de orden n y se
denota por nI .
Ejemplo 9.- Las siguientes matrices son matrices identidades
[ ]11 =I ,
=1001
2I ,
=
100010001
3I ,
=
100
010001
KMKMM
KK
nI
1. Matriz triangular superior y matriz triangular inferior.- Una matriz cuadrada
][ ijaA = de orden n se dice que es a) Triangular superior si 0=ija para ji > . Es decir, explcitamente
=
nn
n
n
n
a
aaaaaaaa
A
0000
000
a
333
22322
1131211
OMMMLLL
b) Triangular inferior si 0=ija para ji < . Es decir, explcitamente
=
nnnnn aaaa
aaa
A
0
0a00a000a
321
333231
2221
11
OMMMLLL
-
16
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA DE MATRICES.- Dadas dos matrices nmjiaA = ][ y nmjibB = ][ del mismo orden. La suma de A y B es una matriz del mismo orden que se define
como
( )nmjiji
baBA +=+ njmi 1,1 Explcitamente si
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
y
=
nmmm
n
n
bbb
bbbbbb
B
KMKMM
KK
21
22221
11211
se tiene que
+++
++++++
=+mnnmmmmm
nn
nn
bababa
babababababa
BA
KMKMM
KK
2211
2222222121
1112121111
Dos matrices del mismo orden se dice que son conformables respecto a la adicin
de matrices.
Ejemplo 10.- Dadas las matrices
= 401
132A y
=142321
B
calcular BA+ . Solucin
+
=+ 142
321401132
BA
++++++=
1440)2(131)2(312
= 543
413
Ejemplo 11.- Una empresa metalmecnica fabrica tres modelos A, B y C de un
producto. Partes de cada uno se elaboran en la fbrica 1F ubicada en Arequipa, y
despus se terminan en la fbrica 2F ubicada en Lima. El costo total de cada
-
17
producto consta de los costos de manufactura y de embarque. Entonces los costos
en cada fbrica (en dlares) se pueden describir mediante las matrices 1F y 2F
CModeloBModeloAModelo
F
embarquedeCosto
amanufacturdeCosto
=
353020
804035
1
CModeloBModeloAModelo
F
embarquedeCosto
amanufacturdeCosto
=
302030
1406050
2
La matriz
CModeloBModeloAModelo
FF
embarquedeCosto
amanufacturdeCosto
=+
655050
22010085
21
proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cada producto. As,
los costos totales del modelo B por manufactura y embarque son 100 y 50 dlares
respectivamente.
2. Multiplicacin de una matriz por un escalar.- Dada la matriz
K= kaA nmji ,][ . La multiplicacin de la matriz A por el escalar k denotado por kA se define como
nmjiakkA = ][ Explcitamente si
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
y Kk
=
nmmm
n
n
kakaka
kakakakakaka
kA
KMKMM
KK
21
22221
11211
-
18
Ejemplo 12.- Dada las matrices
= 401
132A
calcular A3
SOLUCIN
=
= 1203
396401132
33A
Ejemplo 13.- Dadas las matrices
= 401
132A y
=142321
B
calcular BA 25 SOLUCIN
= 142
3212
401132
525 BA
= 284
642200551510
=1881
1198
3. Transpuesta de una matriz.- Dada una matriz nmjiaA = ][ se llama transpuesta de A a la matriz denotada por TA que se define como
mnijT aA = ][
Escrito en forma explicita,
si
nmnmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
=
KMKMM
KK
21
22221
11211
, entonces
mnnmnn
m
m
T
aaa
aaaaaa
A
=
KMKMM
KK
21
22212
12111
Ejemplo 14.- Sean las matrices
=2413
A ,
=034751
B ,
=043
5
C y [ ]7421 =D
entonces, sus transpuestas son:
-
19
= 21
43TA ,
=
073541
TB , [ ]0435 =TC y
=
7421
TD
EJERCICIOS
1. Calcular la matriz BA 335 . Sabiendo que:
=3122/102
A y
=3/203/1
012B
2. Determinar la matriz:
=uzyx
X , sabiendo que IX =
+
2210
3. Si
=
++
3424
2222
dcdcbaba
determinar los valores de a, b, c y d.
4. Encuentre todos los valores de x para los cuales
=
+
xxx
exxxx
x 199319941994
)ln(1993
2
22
5. Sean las matrices:
=412321
A ,
=
231201
B ,
=
312514313
C ,
=4223
D ,
=
123410542
E y
=3254
F
en caso de ser posible calcular:
a) EC 52 b) )(3 FD + c) TEC )32( + d) TT AB )23( e) TFD )23( f) TTFEC )( ++
6. Sean
=
423331352
A y
=
100010001
I
-
20
Si es un nmero real, calcule AI . 7. Escribir en forma explcita las siguientes matrices:
a) 43][ = ijaA , si jij ia )1(2 +=
b) 33][ = ijbB , si
-
21
1.3. PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIN DE MATRICES
Producto punto o producto interior .- El producto punto o producto interior o
producto escalar de los n-vectores [ ]naaa L21=a y
=
nb
bb
M2
1
b se define como
[ ] =
+++==
= n
innii
n
n babababa
b
bb
aaa1
22112
1
21 LMLba
Ejemplo 1.- Dados los 4-vectores [ ]4312 =u y
=5
23
1
v se tiene
[ ] 9)5)(4()2)(3()3)(1()1)(2(5
23
1
4312 =+++=
= vu
Ejemplo 2.- Sean los 3-vectores [ ]x23=a y
=
x23
b
Si 17=ba hallar x. Solucin
[ ] 24174923
23 22 ===++=
= xxx
xxba
Producto de matrices.- Sean las matrices pmjiaA = ][ y npjibB = ][ el producto de A por B denotado por AB se define como:
nmjicCAB == ][ donde =
=p
kjkkiji bac
1 ; para todo njmi ,,1,,,1 KK ==
la componente ijc es el producto punto o producto interior de la i-sima fila de A y
la j-sima columna de B. Es decir, si )(,),(),( 21 AFAFAF mK denotan los vectores
-
22
filas de la matriz A y )(),(),( 21 BCBCBC nK denotan los vectores columnas de la
matriz B, entonces
)()( BCAFc jiji = donde mi ,,1 K= y nj ,,1 K= . Escrito de manera explcita
=
)()()()()()(
)()()()()()()()()()()()(
21
22212
12111
BCAFBCAFBCAF
BCAFBCAFBCAFBCAFBCAFBCAF
AB
nmmm
n
n
LMKMM
KK
Observaciones
1) El producto AB est definido si y solo si el nmero de columnas de la matriz A es
igual al nmero de filas de la matriz B.
2) Si el producto AB est definido, se dice que A es conformable con B respecto a la
multiplicacin.
3) Si AB est definido, no necesariamente BA est definido.
Ejemplo 3. Dadas las matrices
4214322103
=A y
34214203110121
=B se tiene
=
=1269814
214203110121
14322103
AB
Ntese que BA no est definido; pues el nmero de columnas de B es 3 y es diferente
al nmero de filas de A que es 2.
Ejemplo 4.- Sean las matrices
= 21321 x
A y
=
1xy
B .
Si
=26
AB , hallar los valores de x, y.
Solucin
-
23
=
++
+=
= 2
623
3
1213
21yxyx
xy
xAB
22363
=++=+
yxyx
0363
=+=+
yxyx
multiplicando la primera ecuacin por 3
03
1839=+=+
yxyx
y restando la segunda ecuacin de la primera
59
1810 == xx y finalmente reemplazando el valor de x en la segunda ecuacin se obtiene
53
59
3 == yy Ejemplo 5.- Dadas las matrices
=
304132
A y
=421313
B
calcular las siguientes entradas del producto AB .
a) La entrada )2,1(
b) La entrada )3,2(
c) La entrada )1,3(
d) La entrada )3,3(
Solucin
a) La entrada )2,1( se halla multiplicando la primera fila de la matriz A por la
segunda columna de la matriz B.
[ ] 4)2)(3()1)(2(21
32)()( 21 =+=
= BCAF
b) La entrada )3,2( se calcula multiplicando la segunda fila de la matriz A por la
tercera columna de la matriz B.
[ ] 13)4)(4()3)(1(43
41)()( 32 =+=
= BCAF
-
24
c) La entrada )1,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la
primera columna de la matriz B.
[ ] 3)1)(3()3)(0(13
30)()( 13 =+=
= BCAF
d) La entrada )3,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la tercera
columna de la matriz B.
[ ] 12)4)(3()3)(0(43
30)()( 33 =+=
= BCAF
Ejemplo 6. Un proyecto de investigacin nutricional comprende adultos y nios de
ambos sexos. La composicin de los participantes est dada por la matriz:
MujeresHombres
A
niosadultos
=200120
10080
El nmero de gramos diarios de protenas, grasa y carbohidratos que consume cada
nio y cada adulto est dada por la matriz
NioAdulto
B
tosCarbohidraGrasaotenas
=3020
2020
1020
Pr
a) Cuntos gramos de protenas ingieren diariamente todos los hombres del
proyecto?.
b) Cuntos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?.
Solucin
Calculando el producto de las matrices A y B se obtiene
=
=800060004000520040002800
302010202020
20010012080
AB
a) Al multiplicar la primera fila de la matriz A (hombres) por la primera columna de
la matriz B (protenas) se obtiene 2800 gramos de protenas que es lo que
consumen todos los hombres del proyecto.
b) Al multiplicar la segunda fila de la matriz A (mujeres) por la segunda columna de
la matriz B (grasa) se obtiene 6000 gramos de grasa que es lo que consumen todas
las mujeres del proyecto.
-
25
Ejemplo 7.- Dadas las matrices
=532141
A y
=
142332
B
al efectuar el producto de la matriz A por B se obtiene
=1725106
AB
Por otra parte ntese que:
a) al multiplicar la matriz A por la primera columna de la matriz B se obtiene
=
=256
432
532141
)(1 BAC
b) anlogamente al multiplicar la matriz A por la segunda columna de la matriz B se
tiene
=
=1710
123
532141
)(2 BAC
Luego, de a) se puede observar que multiplicando la matriz A por la primera columna
de B se obtiene la primera columna de la matriz AB; es decir )()( 11 ABCBAC = . De igual manera, multiplicando la matriz A por la segunda columna de B se obtiene la
segunda columna de la matriz AB; es decir )()( 22 ABCBAC = . NOTA.- El resultado del ejemplo anterior se puede generalizar del siguiente modo. Si
A es una matriz de orden pm y B es una matriz de orden np , entonces la columna j-sima del producto de AB se calcula multiplicando la matriz A por la
columna j-sima de la matriz B. Es decir, )()( BACABC jj = . Observacin.- Sean u y v dos n-vectores que representan matrices columna de orden
1n , el producto punto de u por v denotado por vu se define por vuvu T = . Escribiendo explcitamente se tiene
Si
=
nu
uu
M2
1
u ,
=
nv
vv
M2
1
v , entonces [ ]
==
n
n
v
vv
uuu ML2
1
21vuvuT
nnvuvuvu +++= L2211
-
26
Ejemplo 8.- Si
=31
2u y
=
241
v , entonces
[ ]
==
241
312vuvu T
)2)(3()4)(1()1)(2( ++= 2=
Producto de matriz-vector escrito en trminos de columna.
Sea
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
una matriz de orden nm
=
nb
bb
M2
1
b un n-vector o
matriz columna de n componentes. El producto bA es una matriz de orden 1n .
+++
++++++
=
nmnmm
nn
nn
nnmmm
n
n
bababa
babababababa
b
bb
aaa
aaaaaa
LM
LL
MK
MKMMKK
2211
2222121
1212111
2
1
21
22221
11211
++
+
=
nmn
nn
nn
mm ba
baba
ba
baba
ba
baba
MLMM2
1
22
222
212
11
121
111
++
+
=
mn
n
n
n
mm a
aa
b
a
aa
b
a
aa
b MLMM2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
)()()( 2211 ACbACbACb nn+++= L Luego se tiene
)()()( 2211 ACbACbACbA nn+++= Lb (1) La expresin (1) es llamada combinacin lineal de las columnas de A.
-
27
Ejemplo 9
Dada la matriz
=514123
A y el vector columna
=
231
b ; expresar el
producto bA como una combinacin lineal de las columnas de A.
Solucin
Efectuando el producto bA se tiene
=
=35
231
514123
bA
Luego usando el resultado obtenido en (1)
+
=
51
212
343
135
Matrices y sistemas de ecuaciones
Sea el sistema de m ecuaciones con n incgnitas
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
KMMMM
KK
2211
22222121
11212111
(2)
donde los Kiij ba , . Haciendo uso del producto de matrices el sistema (2) se puede escribir como:
=
mnmnmm
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
MMK
MKMMKK
2
1
2
1
21
212221
11211
(3)
denotando por
=
mnmm
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
212221
11211
,
=
nx
xx
M2
1
x ,
=
mb
bb
M2
1
b
luego el sistema (2) se puede escribir como
bx =A (4)
-
28
donde la matriz nmA K es llamada matriz de coeficientes del sistema, 1 nKx es el vector de incgnitas y 1 mKb es el vector de trminos independientes. La matriz que se obtiene agregando o aumentando a la matriz de coeficientes la
columna del vector de trminos independientes es una matriz de orden )1( + nm y es llamada matriz ampliada o aumentada asociada al sistema (2) y se denota por
[ ]
=
mmnmm
n
b
bb
aaa
aaaaaa
A MK
MKMMKK
2
1
21
212221
11211
b
Nota.- El vector de trminos independientes del sistema (2) se puede expresar
como una combinacin lineal de los vectores columna de su matriz
asociada. Es decir
=
++
+
mmn
n
n
n
mm b
bb
a
aa
x
a
aa
x
a
aa
x MMLMM2
1
2
1
2
22
12
2
1
22
11
1
Ejemplo 10.- Dado el sistema
56162121521562
=+==+
zyxyx
zyx (5)
expresar como un producto de matrices y determinar su matriz aumentada.
Solucin
Denotando la matriz de coeficientes por
=
11620152621
A , el vector de incgnitas
por
=
zyx
x y el vector de trminos independientes por
=
561215
b el sistema (5) se
puede escribir como
-
29
=
561215
11620152621
zyx
La matriz ampliada asociada al sistema es [ ]
=
561215
11620152621
bA .
Ejemplo 11.- Escriba el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es
1532
7201201245033022
Solucin
El sistema correspondiente a la matriz ampliada es
17252234532322
431
421
431
421
=++=++=+++=++
xxxxxxxxxxxx
EJERCICIOS
1. En los siguientes ejercicios calcular el producto punto ba .
a) [ ]13 =a ,
=52
b b) [ ]24 =a ,
=32
b
c) [ ]432 =a ,
=
126
b d) [ ]121 =a ,
=
126
b
2. Sean [ ]13 = xa ,
=
1
2xb . Si 15=ba , hallar el valor de x.
-
30
3. Sean
=y
A13
121 y
=
2yx
B . Si
=36
AB , hallar x e y.
4. Dada las matrices
=
304221
A ,
=
531241
B ,
=
212133541
C ,
= 2132
D
=
343502213
E y
=2431
F
en caso de ser posible calcule
a) AB b) BA c) DCB + d) DFAB + e) )(BDA f) DAB)( g) AEAC + h) AFD )( +
5. Dadas A una matriz de 33 , B una matriz de 33 , C una matriz de orden 43 , D una matriz de 34 y E una matriz de 24 . Determine cules de las siguientes expresiones matriciales existe, en caso que existan indicar el orden de
la matriz resultante.
a) AB b) CB )( 2 c) )(53 CDA + d) ABDB 2+ e) )(3 DBDA + f) DC 2 g) DACBCDAB ))(3())((2 +
6. Sean las matrices:
=
112010122/1
A ,
=
213011
B y
=
22
C
Hallar: 2A , ABC y TT AB .
e) Dada las matrices
=
201530
223A ,
=
176122053
B , ABC = y
BAD = . Sin calcular en cada caso, toda la matriz, calcule los siguientes elementos:
a) 31c y 32c de C b) 12d y 33d de D
-
31
8. Mediante un ejemplo muestre que la multiplicacin de matrices no es
conmutativa.
9. Dadas las matrices
=
512130431231
A y
=
224154301331
B . Usando el
mtodo descrito en el ejemplo 9 calcule:
a) La segunda y cuarta columnas de AB.
b) La primera y tercera columnas de BA.
10. Sean
=
321242513
A y
=
312
b . Exprese bA como una combinacin
lineal de las columnas de A.
11. Dadas las matrices
=213412
A y
=
212343101
B , exprese las columnas
del producto AB como una combinacin lineal de las columnas de A.
12. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3235549532222
=++=+=+=++
uzyxuzyxuzyxuzyx
a) Determine la matriz de coeficientes asociada al sistema..
c) Escriba el sistema lineal en forma matricial.
d) Determine la matriz aumentada asociada al sistema
13. Escriba cada una de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en forma de
una ecuacin matricial bx =A .
a) 374
1252328
321
321
321
=+==+
xxxxxxxxx
b) 234
93625
21
21
21
==+=+
xxxxxx
-
32
c) 957
263
321
321
=++=+
xxxxxx
d) 44352
125925833
4321
431
4321
=++=+++
=+
xxxxxxxxxxx
14. En los siguientes ejercicios se da la matriz ampliada a sistema de ecuaciones
lineales. Se pide escribir el sistema correspondiente.
a)
223
401110
121 b)
1632
720120121203
3012
15. Cul es la relacin entre los sistemas lineales cuyas matrices aumentadas son las
siguientes:
12
622331
y
01
2
000622331
16. Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el valor de a tal que 0=TAB donde:
a) [ ]13 = aA y [ ]412=B b) [ ]12= aA y [ ]aB 13= 17. Un empresario fabrica sillas y mesas, que deben de pasar por un proceso de
armado y acabado. Los tiempos que se requieren para estos procesos estn dados
(en horas) por la matriz
SillaMesa
A
acabadodeoceso
armadodeoceso
=42
32
PrPr
El empresario tiene una planta en Pucallpa y otra en Lima. Los costos por hora
de cada proceso estn dadas (en dlares) por la matriz
acabadodeocesoarmadodeoceso
B
LimaPucallpa
PrPr
1210
109
=
-
33
Cmo debe interpretar el empresario las entradas del producto de las matrices
AB ?.
18. Un fabricante elabora dos tipos de productos P y Q, en dos plantas, X e Y. En el
proceso de fabricacin, se producen los contaminantes bixido de azufre, xido
ntrico y partculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante estn dadas
(en kilogramos) por la matriz
QoductoPoducto
A
Partculasntricoxido
AzufredeBixido
PrPr
400150
250100
200300
=
Existen normas de proteccin del medio ambiente que exigen la eliminacin de
estos contaminantes. El costo diario por eliminar cada kilogramo de contaminante
esta dado (en dlares) por la matriz.
ssuspendidaPartculasntricoxido
azufredeBixidoB
YPlantaXPlanta
=
109
12
1578
Cmo debe interpretar el empresario las entradas del producto de matrices AB ?.
19. Una empresa paga a sus ejecutivos un salario, adems les da acciones de la compaa a manera de gratificacin anual. El ao pasado el presidente de la compaa recibi $80 000 y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibi $45 000 y 20 acciones y al tesorero se le dieron $40 000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos hechos en dinero y en acciones mediante una matriz de
32 . b) Exprese el nmero de ejecutivos de cada rango por medio de un vector
columna. c) Utilice la multiplicacin matricial a fin de calcular la cantidad total de dinero
y el nmero total de acciones que la compaa pag a estos ejecutivos el ao pasado
-
34
1.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES
A continuacin se enunciar a modo de teoremas las propiedades ms importantes del
lgebra de matrices.
Teorema 1 [Propiedades de la suma de matrices]
Sean A, B y C matrices de orden nm , entonces se verifican las siguientes propiedades:
a) BA + es una matriz de orden nm . b) ABBA +=+ c) CBACBA ++=++ )()( d) Existe una nica matriz de orden nm denotada por 0 tal que AA =+ 0 la matriz 0 es llamada matriz nula o elemento neutro aditivo.
e) Para toda matriz A existe una nica matriz denotada por A tal que 0)( =+ AA la matriz A es llamada opuesto o inverso aditivo de A. PRUEBA
Se verificarn algunas propiedades y de las otras, se dar un ejemplo para ilustrar la
aplicacin de la propiedad.
a) Esta propiedad lo que nos dice es si se suman dos matrices de orden nm , entonces el resultado es una matriz tambin de orden nm . Es decir la operacin de adicin en las matrices es cerrada o cumple con la propiedad de cerradura.
b) Sean ][ ijaA = , ][ ijbB = matrices de orden nm ][][ ijij baBA +=+ sustitucin njmiba ijij += 1,1;][ por definicin de adicin ][ ijij ab += , por ser Kijij ba ,
-
35
njmiab ijij += 1,1;][][ por definicin de adicin AB += sustitucin
Luego queda demostrado que ABBA +=+ , es decir que la operacin de adicin definida en las matrices es conmutativa.
d) Sean ][ ijaA = y ][ ijxX = matrices de orden nm . Si se verifica que AXA =+ para toda matriz A de orden nm se tiene
][][][ ijijij axa =+ sustitucin njmiaxa ijijij =+ 1,1;][][ por definicin de adicin de matrices. njmiaxa ijijij =+ 1,1; por definicin de igualdad de matrices njmixij = 1,1;0 Luego 0=X es la matriz nula de orden nm . Las propiedades anteriores se ilustran mediante los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.- Dadas las siguientes matrices
=210312
A ,
=311121
B y
=103
241C
Verificando b) la propiedad conmutativa de la suma ABBA +=+
+
=+311121
210312
BA
++++++=32)1(110
)1(32112
=501213
Por otra parte calculando,
+
=+210312
311121
AB
++++++=231)1(0131)1(221
=501213
Luego se verifica que ABBA +=+
-
36
Verificando c) la propiedad asociativa de la suma CBACBA ++=++ )()(
+
+
=++103
241311121
210312
)( CBA
+
=
214122
210312
=404434
Por otra parte
+
+
=++103
241311121
210312
)( CBA
+
=103
241501213
=404434
Luego se verifica que CBACBA ++=++ )()( . Verificando d) la existencia del elemento neutro aditivo.
Existe la matriz
=000000
0 de orden 32 .
Si se considera la matriz
=210312
A , se tiene que
+
=+000000
210312
0A sustitucin
++++++=
020100030102
por definicin de adicin
=210312
propiedad de la adicin en K.
A= sustitucin Luego se verifica que AA =+ 0
Verificando e) la existencia del inverso aditivo.
Para
=210312
A existe
=
210312
A tal que
-
37
+
=+
210312
210312
)( AA
=000000
0= Teorema 2 [Propiedades de la multiplicacin de matrices]
Sean A, B y C matrices conformables respecto a la suma y producto, entonces se
verifican las siguientes propiedades:
a) CABBCA )()( = b) ACABCBA +=+ )( c) BCACCBA +=+ )( d) Si A es una matriz de orden nm y mI y nI son matrices identidad de
ordenes m y n respectivamente, entonces se verifica
AAIAI nm == Con los siguientes ejemplos se ilustran las propiedades antes enunciadas.
Ejemplo 2.- Dadas las matrices
=
110312
A ,
=110211
B y
=
131201
C
Verificando a) la propiedad asociativa de la multiplicacin
=
131201
110211
110312
)(BCA
=
2119
110312
=
18327017
Por otra parte
-
38
=
131201
110211
110312
)( CAB
=131201
121633332
)( CAB
=
18327017
Luego se verifica la propiedad asociativa del producto de matrices.
Ejemplo 3.- Sean las matrices
=
110312
A ,
=110211
B y
=113121
C
Verificando c) la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma
+
=+
113121
110211
110312
)( CBA
=
223132
110312
=151396081
Por otro lado, calculando
+
=+
113121
110312
110211
110312
ACAB
+
=232363351
121633332
=151396081
-
39
Luego se verifica ACABCBA +=+ )( . Ejemplo 4.- Para ilustrar la propiedad d) .
Dada la matriz
=
110312
A
considerando
=
100010001
3I se tiene AAI =3
y considerando
=1001
2I se tiene AAI =2
Observacin.
El producto de matrices no es conmutativo. En efecto, para las matrices
=101312
A y
=
113121
011B se tiene que
=113121
011
101312
AB
=1044110
Sin embargo el producto BA no es posible efectuar pues el nmero de columnas
de B es 3 que es diferente al nmero de filas de A que es 2.
Cuando existen matrices A, B tales que su producto sea conmutativo se dice que
las matrices son permutables.
Potenciacin de matrices.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define
nIA =0 AAA =2 AAA 23 = M AAA kk 1= donde 2, kk Z
-
40
Teorema 3.- [Propiedades de la potenciacin de matrices]
Dada una matriz A cuadrada de orden n, para todo +Zqp, se cumplen las siguientes propiedades.
a) qpqp AAA += b) pqqp AA =)( Observacin.- En general ppp BAAB )( . Solo se cumple la igualdad si y solo si
BAAB = . Ejemplo 5.-
Si
=
100110111
A , calcular nA .
Solucin
+=
=
=
1002102
)12(221
100210321
100110111
100110111
2A
+=
=
==
1003102
)13(331
100310631
100110111
100210321
23 AAA
Luego, se puede conjeturar que
+=
10010
2)1(1
n
nnn
An
lo cual se puede verificar usando induccin matemtica.
Teorema 4.- [Propiedades de la multiplicacin por escalares]
Si A y B son matrices conformables respecto a la adicin y multiplicacin de matrices
y r y s escalares, entonces se verifican las siguientes propiedades:
a) ArssAr )()( = b) sArAAsr +=+ )( c) rBrABAr +=+ )(
-
41
d) )()()( ABrBrArBA == Ejemplo 6. Ilustrando la propiedad d).
Sea 3=r ,
=203112
A y
=
120131
B se tiene
=
=3331515
360393
203112
)3( BA
Ahora calculando,
=
=21211515
120131
609336
)3( BA
Ahora calculando,
=
=
21211515
7755
3)(3 AB
Lugo se tiene que se verifica )()()( ABrBrArBA == .
Teorema 5.- [Propiedades de la transpuesta]
Sea r un escalar, A y B matrices conformables respecto a la adicin y multiplicacin
de matrices, respectivamente. Se verifican las siguientes propiedades:
a) AA TT =)( b) TTT BABA +=+ )( c) TTT ABAB =)( d) TT rArA =)( PRUEBA
Se probar a modo de ejemplo la propiedad c)
c) Sean pmijaA = ][ , npijbB = ][ . Denotando nmijcCAB == ][ se tiene que )()( BCAFcc ijji
Tij ==
-
42
[ ]
=
pi
i
i
jpjj
b
bb
aaa ML2
1
21
pijpijij bababa +++= L2211 Tip
Tpj
Ti
Tj
Ti
Tj bababa +++= L2211
TpjTip
Tj
Ti
Tj
Ti ababab +++= L2211
)()(2T
jT ACBF=
Luego, se puede ver que Tijc es la ),( ji entrada de la matriz TT AB .
Ejemplo 7.- Para ilustrar la propiedad c) del teorema 5 consideremos las matrices
=213121
A y
=
112311201
B
=
=
11313
21)(
1112331 TABAB
Por otra parte,
=
=
11313
21
211231
132110
211TT AB
Luego se verifica la propiedad c) TTT ABAB =)( . Matrices simtricas y antisimtricas
Dada una matriz A cuadrada de orden n se dice que es:
a) Simtrica si y solo si TAA = . Las matrices simtricas tienen la propiedad de que sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales.
b) Antisimtrica si y solo si TAA = . Las matrices antisimtricas tienen la propiedad de que todas las entradas correspondientes a la diagonal principal son
iguales a cero y sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales
en valor absoluto pero de signos opuestos.
-
43
Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son simtricas
= 3221
A ,
=
423201312
B y
=
017872974521787026841335297268401349452133513490
C
Ejemplo 9.-Las siguientes matrices son antisimtricas
= 02
20D ,
=
023201
310E y
=
017872974521787026841335297268401349452133513490
F
Observacin .- Toda matriz cuadrada A de orden n se puede expresar como la suma de una matriz simtrica y una matriz antisimtrica. En efecto, toda matriz se puede escribir como
)(21
)(21 TT AAAAA ++=
Se deja como al lector, a modo de ejercicio verificar que TAA + es una matriz simtrica y TAA es una matriz antisimtica.
EJERCICIOS
1. Calcular la matriz X, si se cumple que ( ) ( )TTTT BABXXBA =+ , donde
= 21
11A y
= 31
12B
2. Calcular la matriz X, si satisface la ecuacin matricial ICBABX TTT = 2)( .
Sabiendo que
==3241
2CBA TT y
=3/103/13/1
B .
3. Hallar la matriz X, si satisface la ecuacin matricial ( ) TTTT XBBACX = , donde
=
4321
A ;
=
5322
B y
=
2102
C .
4. Hallar la matriz triangular superior B, si
=
6403683B .
5. Sabiendo que la matriz
+++
=
1120
211
2 wxxyw
xA , donde 0>x es simtrica.
Demostrar que 3A es simtrica.
-
44
6. Una matriz cuadrada nnA K , se dice que es idempotente si y solo si AA =2 . Averige si las siguientes matrices son idempotentes:
a)
=
2163
A b)
=100100
221B
7. Demostrar que si A y B son matrices idempotentes y permutables en nnK ,
entonces AB es idempotente.
8. Una matriz cuadrada nnA K , se dice que es involutiva si y solo si nIA =2 . Averige si las siguientes matrices son involutivas:
a)
= 1001
A b)
=441331
340B
9. Demostrar que una matriz nnA K es involutiva si y solo si 0))(( =+ AIAI nn .
10. Dadas las matrices
=
110010011
A y
=
444222111
B
a) Verificar que la matriz A es involutiva y B es una matriz idempotente.
b) Calcular: ( ) 7563 BABA + 11. Dada la matriz
=
100111001
A , resolver la siguiente ecuacin matricial:
=
412
18 XA .
12. Una matriz cuadrada nnA K se dice que es peridica si existe un entero positivo k tal que AAk =+1 . El menor k positivo que cumple dicha condicin es llamado periodo de A.
Averige si las siguientes matrices son peridicas. En caso que sea peridica,
indicar su periodo.
a)
=
1110
A b)
=010111010
B
-
45
13. Resuelva la siguiente ecuacin matricial: [ ]6232
21 =
X y use este
resultado para calcular el producto:
62
X .
14. Una matriz cuadrada nnA K se dice que es nilpotente o nulipotente si existe un entero positivo k tal que 0=kA . El menor k positivo que cumple dicha condicin es llamado ndice de nilpotencia de A.
Averige si las siguientes matrices son nilpotentes. En caso sea nilpotente indicar
su ndice de nilpotencia.
a)
=
1111
A b)
=
312625311
B
15. Sea la matriz
= 11
01A . Demostrar que IAA = 22 y calcular nA .
16. Hallar la matriz X, si se cumple que CABX =+ 101)( , donde
=110010011
A ; [ ]312=B ; y T
C
=
102
17. Sean las matrices
=
100010101
A y
=010010011
B
Calcular: )2)(( 202055 BABAE ++= 18. Una matriz cuadrada nnA K se dice que es ortogonal si y solo si
nTT IAAAA == .
Averige si las siguientes matrices son ortogonales.
a)
= 01
10A b)
=
100001010
B
19. Determinar las matrices 22RX tales que 02 =X , donde 0 es la matriz nula. 20. Demostrar que si 0=TAA , entonces 0=A . 21. Demostrar que si A y B son matrices diagonales en 22R , entonces AB es diagonal
y AB=BA.
-
46
22. Demostrar que si una matriz es simtrica, idempotente y con algn elemento nulo
en la diagonal, entonces la fila y la columna de dicho elemento son el vector nulo.
23. Demostrar:
a) 022 ====+= BAABBBIBAAA n b) TT BABABBAAAB ,,,== son idempotentes. c) AABIBA n ==+ 0 y B son idempotentes.
24. Resolver la ecuacin 222 IXA =+ , donde A, X, 2I son matrices cuadradas de
orden 22 y
= i
iA
11
.
25. Una multiplicacin diferente de la usual es importante en muchas reas de la
ciencia y de la ingeniera; se define entre dos matrices cualesquiera. Si A es una
matriz de orden qp y B una matriz de orden sr , entonces el producto de Kronecker ( o producto tensorial) denotado por BA se define como la matriz de orden qspr que contiene todos los productos de un elemento de A con un elemento de B, dispuestos de un modo especial: denotando por qpijaA = ][ , las primeras r filas de BA se definen escribiendo Ba11 seguido por Ba12 a su derecha, seguido por Ba13 a su derecha y as sucesivamente hasta Ba q1 a su
derecha; las segundas r filas se generan de manera similar escribiendo Ba21 ,
Ba22 , y as sucesivamente; y esto continua a lo largo del p-simo conjunto de r
filas.
De acuerdo a la definicin dada anteriormente, calcular
1098765
4321
-
47
1.5 OPERACIONES ELEMENTALES Y SOLUCIONES DE SISTEMAS DE
ECUACIONES.
Matriz escalonada reducida por filas
Sea A una matriz de orden nm cuyas filas son los n-vectores )(,),(),( 21 AFAFAF mL y cuyas columnas son los m-vectores
)(,),(),( 21 ACACAC nL . Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas
si satisface las siguientes condiciones:
a) Las primeras r filas ( mr ) son vectores no nulos y las restantes todos nulos. b) La primera componente de cada fila no nula es 1 y es llamada entrada principal de
su fila.
c) Dadas dos filas sucesivas i y 1+i no nulas, la entrada principal de la fila 1+i est a la derecha de la entrada principal de la fila i. Las entradas principales estn
dispuestos en forma de escalera.
d) Si una columna contiene una entrada principal de alguna fila entonces el resto de
las entradas de esta columna son todos iguales a cero.
Es decir una matriz escalonada reducida por filas tiene la forma:
nm
A
=
0000000
0000000**10000
**01000**00100
KKMKMMKMMMM
KKKK
MKMMKMMMMKKKK
Ejemplo 1.- Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas
a)
=
0000000021001010
A b)
=
000000000063100
54021
B
r filas no nulas
m-r filas nulas
-
48
c)
00001000010000100001
d)
=
000000000000000051000000
2010000010023100
D
Observacin.- Una matriz que cumple las condiciones a), b) y c) pero no la
condicin d) se dice simplemente que es una matriz escalonada por filas.
Ejemplo 2.- Las siguientes matrices son escalonadas por filas pero no escalonadas
reducida por filas.
a)
=
0000210043105201
A b)
=
0000210012105321
B
Operaciones elementales por filas
Sea ][ ijaA = una matriz de orden nm . Se llama operacin elemental sobre las filas de A a una de las siguientes tres operaciones:
a) Intercambiar dos filas de A. La operacin de intercambiar las posiciones relativas
de las filas i y j de la matriz A se denota por ji FF . b) Multiplicar una fila de A por un escalar diferente de cero. La operacin de
multiplicar la fila i de la matriz A por el escalar k se denota por ikF .
c) Sumar a una fila el mltiplo escalar de otra. La operacin de sumar a la fila i de A
la fila j de A multiplicada por el escalar 0k se denota por ji kFF + . Ejemplo 3.- Dada la matriz
=131144571
3063A
efectuar las siguientes operaciones elementales sobre las filas de A en forma
consecutiva:
a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2.
b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3 . c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4 . d) Multiplicar la segunda fila por
151 .
-
49
e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7 . f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17.
Solucin
a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2. La operacin denotamos
por 21 FF y se tiene
=
1311430634571
131144571
306321 FFA
b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3 . La operacin denotamos por )3( 12 FF + y se tiene
+
131141515150
4571)3(
1311430634571
12 FF
c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4 . La operacin denotamos por )4( 13 FF + y se tiene
+
17171701515150
4571)4(
131141515150
457113 FF
d) Multiplicar la segunda fila por 151 . La operacin la denotamos por 215
1 F y se tiene
171717011104571
151
17171701515150
45712F
e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7 . La operacin la denotamos por )7( 21 FF + y se tiene
+
17171701110
3201)7(
171717011104571
21 FF
f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17. La operacin la
denotamos por 23 17FF +
-
50
+
00001110
320117
171717011104571
23 FF
Matrices equivalentes.
Dada dos matrices A y B del mismo orden. Se dice que la matriz A es equivalente por
filas a la matriz B si existe un nmero finito de operaciones elementales que aplicadas
sucesivamente a las filas de A nos permite obtener la matriz B. Este hecho se denota
por BAF~ .
Ejemplo 4.- Las matrices
=131144571
3063A y
=
00001110
3201B
son equivalentes por filas; pues existe un nmero finito de operaciones elementales
que aplicadas sucesivamente a las filas de A nos permite obtener B. Del ejemplo 3 se
puede observar que las operaciones elementales aplicadas a las filas de A para obtener
B son: 21 FF , )3( 12 FF + , )4( 13 FF + , 2151 F , )7( 21 FF + y 23 17FF + .
Teorema 1.- Toda matriz A de orden nm no nula es equivalente a una matriz escalonada reducida por filas del mismo orden.
Prueba
Sea
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
KMKMM
KK
21
22221
11211
y sea
=
mj
j
j
j
a
aa
AC M2
1
)( la primera columna no nula, sin
prdida de generalidad podemos suponer que 01 ja . La matriz A tiene la forma:
=
mnmj
nj
nj
aa
aaaa
A
KKMKMMKM
KKKK
00
0000
22
11
-
51
Aplicando la operacin elemental del segundo tipo a la primera fila de A se tiene:
1
1,
21,22
11,1
1,
21,22
11,11
00
00100
1
00
0000
1 A
aaa
aaabb
Fija
aaa
aaaaaa
A
mnjmmj
njj
nj
mnjmmj
njj
njj
=
=
+
+
+
+
+
+
LLMOMMMLM
LLLL
LLMOMMMLM
LLLL
Luego aplicando las operaciones elementales del tercer tipo a las filas de 1A para
tener debajo de la entrada principal todos los elementos igual a cero se tiene
=++
+
+
+
mnjm
nj
nj
mjnmjn
bb
bbbb
AFaFFaF
LLMOMMMLM
LLLL
L
1,
21,2
11,1
111
000
000100
)]([)]([
Ahora tomando la primera columna de )( que tenga un 0lkb ;donde 1>l y jk > y repitiendo el proceso anterior las veces que sea necesario se tiene que:
as sucesivamente tenemos que:
=
00000
*1000*0*10
~
00
0000
22
11
KKKMKMKMMKM
KKKKKK
KKMKMMKM
KKKK
F
mnmj
nj
nj
aa
aaaa
A
Ejemplo 5.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz
=
14320213105423032100
A
Solucin
Paso 1.- Determinamos la primera columna no nula. La primera columna no nula es la
columna 2, sta es la columna pivote.
=
14320213105423032100
A
columna pivote
)(
-
52
Paso 2.- Como en la columna pivote hay un 1 en la tercera fila y 0 en la primera fila
realizamos la siguiente operacin elemental 31 FF sobre las filas de A obteniendo
=
14320321005423021310
14320213105423032100
31 FFA
Ahora 1 es el elemento pivote en la columna pivote.
Paso 3.- El objetivo siguiente es que todos los dems elementos donde aparece el 1 de
la columna pivote se transformen en ceros. Para ello, efectuamos las
operaciones elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida
en el paso 2.
+ +
=
363003210017700
21310
)2(
)3(
14320321005423021310
14
12
FF
FFA
)3( 12 FF + significa que a la segunda fila se le ha sumado la primera fila multiplicada por 3 y )2( 14 FF + significa que a la cuarta fila se le ha sumado la primera fila multiplicada por 2 .
Paso 4.- El objetivo es haciendo operaciones elementales sobre las filas de la ltima
matriz del paso 3; el 7 de la segunda fila y tercera columna transformarlo en 1; para ello multiplicamos la segunda fila por
71 obteniendo
3630032100
110021310
71
363003210017700
21310
712F
Paso 5.- Ahora se debe transformar todos los dems elementos donde aparece el 1 de
la columna pivote 2 en ceros. Para ello, efectuamos las operaciones
elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida en el paso 4
-
53
+ +
+
718
722
71
711
24
21
71
300010001100
2010
3
)3(
3630032100
110021310
23
FF
FFFF
Paso 6.- Observando la matriz obtenida en el paso 5, la cuarta fila es la columna
pivote y el 1 ubicado en la cuarta fila es el elemento pivote. Luego hay que
transformar los elementos que estn encima y debajo del elemento pivote en cero lo
cual se obtiene aplicando las operaciones elementales del tercer tipo
+ +
+
120000100001000010
)3(
)2(
300010001100
2010
722
723
733
34
31
718
722
71
71
32
FF
FFFF
Paso 7.- Ahora la columna pivote es la quinta columna y el elemento pivote es -12
que est ubicado en la cuarta fila, luego hay que transformar 12 en 1 aplicando una operacin elemental del segundo tipo.
10000100001000010
)121(
120000100001000010
722
723
733
722
723
733
4F
Paso 8.- En la matriz obtenida en el paso 7 solo resta transformar en ceros los
elementos que estn encima del elemento pivote. Esto se consigue, aplicando las
operaciones elementales del tercer tipo
+
++
10000010000010000010
)722
(
)723(733
10000100001000010
43
41
722
723
733
42
FF
FF
FF
Luego, se ha obtenido finalmente la matriz escalonada reducida por filas equivalente
a A.
=
10000010000010000010
~
14320213105423032100
FA
-
54
Ejemplo 6.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz:
=
562533214212121
A
Solucin
Sumando a la segunda fila la primera fila multiplicada por 2 . Luego sumando a la tercera fila la primera multiplicada por 3 , se tiene
+ +
=
2125101630012121
)3(
)2(
562533214212121
13
12
FF
FFA
Intercambiando la segunda fila con la tercera
1630021251012121
2125101630012121
32 FF
Multiplicando la segunda fila por 1
16300212510
12121)1(
1630021251012121
2F
Sumando a la primera fila la segunda multiplicada por 2 se tiene
+
16300212510
522901)2(
16300212510
1212121 FF
Multiplicando la tercera fila por 31
.
312100212510
52290131
1630021251012121
3F
Sumando a la primera fila la tercera multiplicada por 9 y luego sumando a la segunda fila la tercera multiplicada por 5 se tiene
-
55
+ +
31
31
3231 2100
201024001
5
)9(
2100212510
52290131
FF
FF
Luego,
=
31
31
21002010
24001~
562533214212121
FA
Ejemplo 7.
Verificar que
0000000011/311/51011/1311/401
~
51141352351102131
Solucin de sistemas de ecuaciones lineales
Dos sistemas de ecuaciones lineales bx =A y dx =C cada una con m ecuaciones y n incgnitas se dice que son equivalentes si y solo si sus matrices ampliadas son
equivalentes. Es decir, [ ] [ ]db CA ~ . Teorema 2.- Si bx =A y dx =C , son dos sistemas equivalentes, entonces tienen las mismas soluciones.
Prueba
La prueba es una consecuencia directa de la definicin de matrices equivalentes. Es
decir, una de las matrices ampliadas se obtiene a partir de la otra aplicando un nmero
finito de operaciones elementales a sus filas. La solucin no vara cuando se efectan
cualesquiera de los tres tipos de operaciones elementales.
Corolario 1.- Si 0=xA y 0=xC son dos sistemas tal que A es equivalente por filas a C, entonces tienen las mismas soluciones.
Corolario 2.- Si bx =A y dx =C son dos sistemas equivalentes y bx =A no tiene solucin, entonces dx =C tampoco tiene solucin. Ejemplo 8.- Averiguar si son equivalentes los siguientes sistemas:
=++=+=++=++
125021235432
wyxwz
zyxwzyx
(1)
-
56
=+=+=+
=++
022121518131211
444
wzwzy
wzywzyx
(2)
Solucin
Las matrices ampliadas asociadas a los sistemas (1) y (2) son:
[ ]
=
1015
1025120002134132
bA y [ ]
=
02113
4
1200215180121110
4141
dC
Aplicando operaciones elementales sobre las filas de [ ]bA se tiene
[ ]
+
=
104
5
102512004141
4132)(
1015
1025120002134132
12 FFA b
1054
1025120041324141
104
5
102512004141
4132
21 FF
+
21054
215180120041324141
)5(
1054
1025120041324141
14 FF
02154
120021518041324141
21054
215180120041324141
43 FF
-
57
[ ]dCFF =
+
02113
4
1200215180121110
4141)2(
02154
120021518041324141
12
Del desarrollo anterior se tiene
[ ] [ ]bd AFFFFFFFFFFC ))()())(5()())(2(( 1221144312 +++= Luego, [ ]bA es equivalente por filas a [ ]dC y en consecuencia los sistemas (1) y (2) son equivalentes.
Mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
El mtodo de Gauss-Jordan es uno de los ms conocidos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. ste mtodo se basa en hallar la matriz escalonada reducida por
filas que es equivalente a la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones
lineales dado. Se consideran los siguientes pasos:
Paso 1.- Construir la matriz aumentada asociada al sistema ]|[ bA .
Paso 2.- Efectuando operaciones elementales sobre las filas de ]|[ bA , hallar la matriz
escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .
Paso 3.- El sistema lineal asociado a la matriz escalonada reducida por filas obtenida
en el paso 2 es equivalente al sistema dado inicialmente. Es decir, tiene las mismas
soluciones que el sistema original; en cada fila no nula de la matriz escalonada
reducida por filas se despeja la incgnita correspondiente a la entrada principal de la
fila. Las filas nulas se omiten, pues la ecuacin correspondiente ser satisfecha para
cualquier valor que tomen las incgnitas.
Ejemplo 9.- Resolver el sistema
335252
=++=++=+
zyxzyx
zyx (3)
Solucin
Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es
=315
113211121
]|[ bA
-
58
Paso 2.- Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .
+ +
=1845
270130121
)3(
)(
315
113211121
]|[
43
12
FF
FFA b
18
5
27010
12131
1845
270130121
34
31
2F
+ +
326
34
37
313
31
35
23
34
31
001001
)7(
2
18
5
27010
12121
FF
FF
21001001
133
001001
34
37
31
35
326
34
37
313
31
35
3F
+
+
221
100010001
)31
(
)35(
21001001
32
34
37
31
35
31
FF
FF
Luego,
=2
21
100010001
~315
113211121
]|[ bA
Paso 3.- El sistema original
335252
=++=++=+
zyxzyx
zyx (3)
es equivalente al sistema
-
59
2
21
===
zy
x (4)
Al ser equivalentes los sistemas (3) y (4) tienen la misma solucin. Las ventajas de
hallar la solucin en el sistema (4) saltan a la vista, la solucin del sistema est dado
por
2
21
===
zyx
Ejemplo 10.- Resolver el siguiente sistema
7267532422342225732
54321
5431
54321
54321
=++=++
=++=++
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
(5)
Solucin
Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es
=7
322
26751124021342125732
]|[ bA
Paso 2.- Calcular la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .
=7
322
26751124022573213421
7322
26751124021342125732
]|[ 21FF
A b
+ +
+
5722
1333014440
0111013421
)(
)2(
)2(
7322
26751124022573213421
14
12
13
FF
FF
FF
+ +
+
11
22
1000010000
0111011201
3
)4(
2
5722
1333014440
0111013421
24
21
23
FF
FF
FF
-
60
1122
10000100000111011201
)1(
11
22
1000010000
0111011201
3F
+ +
0121
00000100000111001201
)(
)(
1122
10000100000111011201
34
31
FF
FF
Luego,
=0121
00000100000111001201
~
7322
26751124021342125732
]|[ bA
Paso 3.- El sistema original es equivalente al sistema
1212
5
432
431
==+=+
xxxxxxx
(6)
Luego, al despejar en cada una de las ecuaciones la incgnita correspondiente a la
entrada principal se tiene
12
21
5
432
431
=+=+=
xxxxxxx
Asignando los parmetros r y s a las variables 3x y 4x , respectivamente se tiene
la solucin del sistema
===
+=+=
Rsrxsxrx
srxsrx
,;1
221
5
4
3
2
1
-
61
Ejemplo 11.- Resolver el siguiente sistema
76257234532132
342
=+=+=+
=+=+
zyxzyx
zyxzyxzyx
(7)
Solucin
Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es
=
7751
3
625234132
321421
]|[ bA
Paso 2.- Hay que determinar la matriz escalonada reducida por filas que es
equivalente a la matriz ampliada correspondiente al paso 1.
++
+
+
=
22514
3
14801450710740421
)5()4(
)2(
)(
7751
3
625234132
321421
]|[
15
14
12
13
FFFF
FF
FF
A b
2251
13
14801450710
10421
41
22514
3
14801450710740421
47
2F
++ +
+
140011
00000001001
85
)2(
2251
13
14801450710
10421
421
421
47
21
25
24
21
47
23
FFFF
FF
FF
-
62
140011
00000
1001001
214
140011
00000001001
421
47
21
421
421
47
21
3F
+
++
140011
000000100010001
)421
(
)47(21
140011
00000
1001001
34
31
421
47
21
32
FF
FF
FF
10011
000000100010001
141
140011
000000100010001
5F
01011
000000100010001
10011
000000100010001
54 FF
Luego
=
01011
000000100010001
~
7751
3
625234132
321421
]|[ bA
Paso 3.- El sistema (7) es equivalente al sistema
1000011
=++===
zy
x
(8)
-
63
Pero de la cuarta ecuacin del sistema (8) se tiene
1000 =++ zyx La ecuacin no se verifica para ningn valor de x, y y z. Luego el sistema (8) no
tiene solucin; es decir es incompatible. Por consiguiente, en virtud del corolario 3, el
sistema (7) no tiene solucin.
Sistemas homogneos
Se denomina sistema homogneo a un sistema de la forma
0
00
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
KMMMM
KK
(9)
matricialmente, de manera breve se escribe como
0=xA Todo sistema homogneo es compatible; es decir, tiene solucin al menos
021 ==== nxxx L que es la llamada solucin trivial. Para hallar las soluciones de un sistema
homogneo el procedimiento es similar a los ejemplos antes desarrollados, solo hay
que tener en cuenta que la columna de trminos independientes correspondiente a la
matriz ampliada tiene todos sus elementos igual a cero.
Ejemplo 12.- Resolver el sistema homogneo de ecuaciones
0303202
=+=++=+
zyxzyxzyx
(9)
Solucin
La matriz ampliada del sistema es
=
000
311312211
]|[ 0A
Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada
+ +
=
000
10010
21131
000
100130
211
)(
)2(
000
311312211
]|[ 31
13
212F
FF
FFA b
-
64
+
+
+
000
100010001
31
)35(
000
1001001
32
31
35
3121
FF
FFFF
Luego el sistema (9) es equivalente a
000
===
zy
x
y en consecuencia, el sistema (9) tiene una nica solucin que es la trivial
000
===
zyx
Ejemplo 13.- Resolver el siguiente sistema
0854023064
=++=++=++
zyxzyxzyx
(10)
Solucin
La matriz ampliada del sistema es
=
000
854213641
]|[ 0A
Hallando la matriz escalonada reducida por filas asociada al sistema
+ +
=
000
1611016110641
)4(
)3(
000
854213641
]|[
13
12
FF
FFA 0
+ +
000
0001001
11
)4(
000
1611010
641111
000
1611016110641
1116
112
23
1116 212
FF
FFF
El sistema (10) es equivalente a
00
1116
112
=+=+
zyzx
(11)
De (11), despejando x e y en trminos de z se tiene
-
65
zyzx
1116
112
==
y asignando el parmetro t a z se puede escribir la solucin del sistema como
R=
==
ttztytx
;11
16
112
Del ejemplo 13, ntese que un sistema homogneo puede tener infinitas soluciones.
Teorema 3.- Un sistema homogneo 0=xA de m ecuaciones con n incgnitas tiene una solucin diferente de la trivial si el nmero de incgnitas es mayor que el nmero
de ecuaciones; es decir si nm < . Prueba
Sea el sistema 0=xA el sistema homogneo dado en (9) y ]|[ 0A su matriz ampliada que escribimos explcitamente
+
++++++
+
+
+
0
00
00
1,21
,11,1,12,11,1
1,21
11,222221
11,111211
M
M
LLMOMMOMM
LLLL
MOMMOMMLLLL
nnrmmrmm
nrrrrrrr
rnrrrrrr
nrr
nrr
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
Como nm < , sea nmr
-
66
diferente de cero se obtiene una solucin distinta de la trivial con lo cual queda
demostrado el teorema.
De 0=xB y por lo tanto de 0=xA se tiene:
0
0
0
11,
211,22
111,11
=+++
=+++=+++
++
++
++
nrnrrrr
nnrr
nnrr
xbxbx
xbxbxxbxbx
LMMO
LL
Asignando a las variables nr xx ,,1 L+ los parmetros nr tt ,,1 L+ se escribe la
solucin como
Rtttx
txtbtbx
tbtbxtbtbx
nrnn
rr
nrnrrrr
nnrr
nnrr
=
==
==
+
++
++
++
++
,,; 1
11
11,
211,22
111,11
LM
LMM
LL
Tambin se puede escribir como
Rtt
b
bb
tb
bb
t
x
xx
xx
nr
rn
n
n
nrr
r
r
r
n
r
r
++
=
+
+
+
+
+
+
,,;1
0
0
1
1
2
1
1,
1,2
1,1
1
1
2
1
LM
ML
M
M
M
M
Observacin .-Sea el sistema de ecuaciones lineales
bx =A (12) y 0=xA (13) su sistema homogneo asociado.
Si Px es una solucin particular e y una solucin cualesquiera del sistema (12) se
tiene que
0=== bbxyxy PP AAA )(
-
67
Esto significa que Pxy es una solucin del sistema homogneo asociado (13) lo que denotamos por
Ph xyx = Luego, se tiene que
hP xxy += (14) La relacin obtenida en (14) nos muestra que toda solucin del sistema (12) se puede
expresar como la suma de una solucin particular y una solucin del sistema
homogneo asociado.
Ejemplo 14.- Resolver el siguiente sistema:
117234832332
=++=++=++
zyxzyxzyx
(15)
Solucin
La matriz ampliada es
=
143
1723832321
]|[ bA
Hallando la matriz escalonada reducida por filas que es equivalente a ]|[ bA
+ +
=
82
3
840210321
)(
)2(
143
1723832321
]|[
13
12
FF
FFA b
823
840210
321)1(
82
3
840210321
2F
+ +
021
000210
701
4
)2(
823
840210
321
23
21
FF
FF
El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas que es
equivalente al sistema (15) es
-
68
2217
==+
zyzx
(16)
y sus sistema homogneo asociado es
0207
==+
zyzx
(17)
Para hallar la solucin del sistema homogneo (17) asignamos a la variable z el
parmetro t, luego se tiene
Rttz
tytx
==
=
;27
Lo cual se puede escribir tambin como
Rttzyx
h
=
= ;
127
x
Para hallar una solucin particular Px del sistema (16) podemos asignar un valor
arbitrario a la variable z; por comodidad consideramos 0=z , luego se tiene
=
=
021
zyx
Px
Luego, en virtud de la relacin (14) de la observacin, el conjunto solucin SC
correspondiente al sistema (15) se puede escribir como
Rttzyx
CS
+
=
;
127
021
:
La interpretacin geomtrica de la solucin del sistema homogneo (17) es una recta
que pasa por el origen y que tiene la direccin del vector )1,2,7( ; el conjunto formado por todas las soluciones del sistema homogneo es llamado espacio
solucin. Mientras que el conjunto solucin del sistema (15) representa una recta que
pasa por el punto )0,2,1( en la direccin del vector )1,2,7( . En el siguiente grfico se ilustra este hecho; ntese en el grfico que la recta que representa a la
-
69
solucin del sistema homogneo es paralela a la recta que representa a la solucin del
sistema inicialmente dado
Ejemplo 14.-Resolver el siguiente sistema
7267532422342225732
=++=++
=++=++
wuzyxwuzxwuzyxwuzyx
(18)
Solucin
La matriz ampliada correspondiente al sistema es
=7
322
26751124021342125732
]|[ bA
Calculando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada
X
Y
Z
SE
O
SC
)0,2,1(
-
70
=7
322
26751124022573213421
7322
26751124021342125732
]|[ 21 FFA b
+ +
+
5722
1333014440
0111013421
)(
)2(
)2(
7322
26751124022573213421
14
12
13
FF
FF
FF
+ +
+
11
22
1000010000
0111011201
3
)4(
2
7322
26751124022573213421
24
21
23
FF
FF
FF
1122
10000100000111011201
)1(
11
22
1000010000
0111011201
3F
+
+
0121
00000100000111001201
)(
)1(
)(
1122
10000100000111011201
34
31
3
FF
F
FF
El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas es
1212
==+=+
wuzyuzx
(19)
y su sistema homogneo asociado es
0002
==+=+
wuzyuzx
(20)
Despejando las variables principales en el sistema homogneo (20) se tiene
-
71
0
2
=+==
wuzyuzx
y asignando los parmetros s y t respectivamente a las variables z y u se tiene
Rtststs
tsts
wuzyx
h
+
=
+
=
= ,;
01011
0011
2
0
2
x
Ahora para hallar una solucin particular, hacemos 0== uz en el sistema (19) y se tiene
=
=
00021
wuzyx
Px
Luego el conjunto solucin del sistema se puede escribir como
Rtsts
wuzyx
CS
+
+
=
,;
01011
0011
2
00021
:
EJERCICIOS
1. De las siguientes matrices diga cules tienen la forma escalonada reducida por
filas.
a)
=
210004010030001
A b)
=2100040100
50010B
c)
=
320104010050010
C d)
=
10000000004100010000
20010
D
-
72
e)
=
00000310000010020001
E f)
=000000100032100
00000
F
g)
=000001100020010
10001
G h)
=00001000
20101001
H
2. Dada la matriz
=
515413224301
A
Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones
elementales por filas en A
a) Intercambiar la segunda y cuarta fila.
b) Multiplicar la tercera fila por 3.
c) Sumar (-5) veces la primera fila a la cuarta
3. Dada la matriz
=
113124026523
A
Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones
elementales por filas en A
a) Intercambiar la segunda y tercera filas.
b) Multiplicar la segunda fila por 3.
c) Sumar (4) veces la tercera fila a la primera.
4. Determine tres matrices que sean equivalentes por renglones a