Señales y Sistemas

Ing. Ricardo Cajo

Series de Fourier

Introducción

Ing. Ricardo Cajo

Como hemos visto en el capitulo anterior , se puede obtener a respuesta de un sistema lineal a un entrada arbitraria representando dicha entrada en función de señales básicas. Concretamente las señales básicas utilizadas son funciones 𝛿 desplazadas. Muchas veces es conveniente escoger como señales basicas un conjunto de funciones ortogonales . Existen varias razones para proceder asi. En primer lugar , resulta matematicamente conveniente representar una señal arbitraria como una suma ponderada de funciones ortogonales.

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Introducción

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Ya que entonces , muchas operaciones que se realizan sobre dicha señal se simplifican. En segundo lugar, la señal se puede representar como un vector en un sistema de coordenada ortogonal, en el que las funciones ortogonales son las coordenadas. Finalmente, la representación mediante una base de funciones ortogonales proporciona medios convenientes para encontrar la respuesta de sistemas lineales a entradas arbitrarias.

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Introducción

Ing. Ricardo Cajo

Para el caso de señales periódicas, resulta conveniente escoger como base ortogonal el conjunto de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Esta elección resulta apropiada porque estas exponenciales complejas son funciones periodicas,relativamente sencillas de manejar matemáticamente, y producen resultados que tienen significado físico. La representación de una señal periódica utilizando exponenciales complejas, o lo que es lo mismo, utilizando funciones senos y cosenos, conduce directamente a desarrollo de serie de Fourier, ampliamente utilizado en todos los campos de la ciencia y la ingeniería.

Series de Fourier

Desarrollo en series de Fourier mediante

exponenciales complejas

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Según vimos en el capitulo I una señal es periódica si existe algún valor positivo de T tal que

X(t)=x(t+nT) , n=1,2,3,4,……

El valor de T para que se verifique la ecuación anterior se denomina periodo fundamental, y el valor de 2 𝜋 /T se denomina frecuencia angular fundamental que denotaremos por 𝑤0.La representacion grafica de una señal periodica se obtiene mediante la repeticion periodica en un intervalo de longitud T como se muestra en la figura..

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Desarrollo en series de Fourier mediante

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Si observamos la ecuación X(t)=x(t+nT) , podemos ver que es periodica de periodo 2T,3T. Como se demostro si dos señales 𝑋1 𝑡 𝑦 𝑋2(𝑡) son periódicas de periodo T entonces

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Desarrollo en series de Fourier mediante

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𝑋3 𝑡 = 𝑎𝑋1 𝑡 + 𝑏𝑋2 (𝑡)

Es tambien periodica de periodo T. Como ejemplos familiares de señales periódicas tenemos las funciones seno, coseno y exponencial compleja. En esta sección consideraremos la representación de señales periódicas mediante una expresión matemática denominada serie de Fourier de exponenciales complejas.

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Desarrollo en series de Fourier mediante

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𝑥 𝑡 = 𝐶𝑛𝑒𝑗2𝑛𝜋𝑡

𝑇∞𝑛=−∞

Donde si tenemos en cuenta la ecuacion, las constantes complejas 𝐶𝑛 vienen dadas por Denominados coeficientes de Fourier.

𝐶𝑛 =1

𝑇 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗

2𝑛𝜋𝑡𝑇 𝑑𝑡

𝑇

0

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La frecuencia correspondiente a n=1 se denomina 1er armónico o fundamental, n=2 corresponde al 2do armonico,etc.. Los coeficientes de 𝐶𝑛 definen una función de variable compleja en las frecuencias discretas 𝑛𝑤0, siendo n = 1, ±2, ±3, 𝑒𝑡𝑐. Al coeficiente 𝐶0 se lo denomina componente continua o promedio en un ciclo completo de x(t) y se obtiene haciendo n=0. Denominados coeficientes de Fourier.

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La grafica de |𝐶𝑛| en función de 𝑛𝑤0 muestra las amplitudes de las diversas componentes en frecuencia que constituyen x(t). Esta grafica se denomina , por tanto, amplitud o modulo del espectro de la señal periódica x(t). La unión de las puntas de las líneas de amplitud se denomina envolvente del modulo del espectro. Análogamente la ,la fase de las componentes sinusoidales de x(t) es igual a ∡𝐶𝑛 , y la grafica de ∡𝐶𝑛 en función de 𝑛𝑤0 se denomina fase del espectro de x(t).

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En resumen la amplitud y fase del espectro de cualquier señal periódica se definen en función del modulo y fase de 𝐶𝑛. Como el espectro consta de una series de líneas que representan el modulo y fase en 𝑤 = 𝑛𝑤0 se denomina espectro de líneas. Para señales reales (no complejas), el complejo conjugado de 𝐶𝑛 es

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Por tanto |𝐶−𝑛| = |𝐶𝑛| y ∡𝐶−𝑛= − ∡𝐶𝑛

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Lo que significa que la amplitud del espectro tiene simetria par y la fase simetria impar. Esta propiedad de las señales reales nos permite reagrupar los terminos de las series de parejas conjugadas ,excepto para 𝐶0 como sigue.

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En la expresión anterior indican la parte real e imaginaria de sus argumentos, respectivamente .

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La ecuación se puede escribir.

La expresión de x(t) se en la ecuación se denomina desarrollo en serie de fourier de funciones trigonometrías para la señal periódica x(t). Los coeficientes vienen dados por

𝑠𝑒𝑛 𝑤0𝑡 =𝑒𝑗𝑤0𝑡 − 𝑒−𝑗𝑤0𝑡

2𝑗 cos 𝑤0𝑡 =

𝑒𝑗𝑤0𝑡 + 𝑒−𝑗𝑤0𝑡

2

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En términos de modulo y fase de 𝐶𝑛 , la señal x(t) se puede expresar como. Donde

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La ecuación anterior representa una forma alternativa del desarrollo en series de Fourier mas compacta y con mayor significado. Cada termino de la serie representa un oscilador necesario para generar la señal periódica x(t). La grafica de|𝐶𝑛| 𝑦 ∡𝐶𝑛 en función de n o de 𝑛𝑤0para valores positivos y negativos de n se denomina espectro bilateral de amplitud. La grafica de 𝐴𝑛 𝑦∅𝑛 en función de valores positivos de n o de 𝑛𝑤0 se denomina espectro unilateral. Donde

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Supongamos que deseamos encontrar el espectro de lineas de la señal periódica que se muestra en la figura.

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