Seminario de Procesamiento Digital de Señales - Diseño de...
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Seminario de Procesamiento Digital de SenalesDiseno de Filtros IIR
Marcelo A. Perez
Departamento ElectronicaUniversidad Tecnica Federico Santa Marıa
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Contenidos
1 Requerimientos y Especificaciones
2 Seleccion de filtros analogos
3 Diseno de filtros analogos
4 Transformacion en frecuencia
5 Discretizacion
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Diseno de Filtros IIR
Requerimientos
Butterworth ChebyshevChebyshev
InversoCauer Bessel
Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda
Aproximación
derivadas
Transformada
Bilineal
Invarianza
Escalón
Invarianza
Impulso
Función de
transferencia Discreta
Especificaciones
Diseño
Normalizado
Función de
transferencia contínua
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Diseno IIR
1 Requerimientos y Especificaciones
2 Seleccion de filtros analogos
3 Diseno de filtros analogos
4 Transformacion en frecuencia
5 Discretizacion
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Requerimientos
Dependen de la aplicacion y plataforma utilizada
Amplitudes a frecuencias determinadas
Rangos de frecuencias
Conocimiento previo de la senal o sistema
Informacion incompleta
Informacion mal condicionada
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Ejemplo requerimientos
La senal esta muestreada a 20kHz.
La senal contiene informacion util en el rango de 1kH a 4kHz.
Existe una interferencia de 50Hz es cincuenta veces masgrande que la senal que se desea condicionar.
La fase de la senal es importante en el rango util.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Especificaciones
Informacion completa para realizar diseno.
Rangos definidos de amplitudes y frecuencias.
Amplitudes en dB.
Frecuencias en Hz.
Se debe emplear algun criterio para informacion faltante o malcondicionada.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Ejemplo especificaciones
Ganancia 0dB de 1kHz a 4 kHz.
Ganancia de -60dB a 50Hz.
Ganancia de -30dB a 10kHz.
¿Fase?
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Ejemplo especificaciones
Frecuencia (Hz)
10 100 1k 10k 100k 10 100 1k 10k 100kFase (grados)
Amplitud (dB)
-60
-40
-20
0
-90
-60
-30
0
Frecuencia (Hz)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Especificaciones filtro pasa bajos
Ganancia DC: A0
Frecuencia de corte (-3dB): ωc
Ganancia y frecuencia de la banda de rechazo: Ar y ωr
10 100 1k 10k 100k
Amplitud (dB)
-60
-40
-20
0
Frecuencia (Hz)
A0 c
r Ar
Especificaciones Adicionales
Amplitud de ripple: R(Chebyshev)
Restricciones de fase: φ(Opcional)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Especificaciones filtro pasa altos
Ganancia alta frecuencia: AH
Frecuencia de corte (-3dB): ωc
Ganancia y frecuencia de la banda de rechazo: Ar y ωr
10 100 1k 10k 100k
Amplitud (dB)
-60
-40
-20
0
Frecuencia (Hz)
AHc
r
Ar
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Equivalencia pasa bajos-pasa altos
A0=AH
ωc y Ar no cambian.
ωrLP=ω2c/ωrHP
10 100 1k 10k 100k
Amplitud (dB)
-60
-40
-20
0
Frecuencia (Hz)
A0 c
r
AH
Ar r LPHP
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Especificaciones filtro pasa banda
Frecuencia central ω0 y ancho de banda BW o frecuencia de corteinferior y superior ω2 y ω3
Ganancia de la banda de rechazo: Ar
Frecuencia inferior y superior de la banda de rechazo: ω1 y ω4
10 100 1k 10k 100k
Amplitud (dB)
-60
-40
-20
0
Frecuencia (Hz)
APB0
1 Ar
BW2 3
4
ω20 = ω2ω3
BW = ω3 − ω2
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Equivalencia pasa bajos-pasa banda
A0=ABP y Ar no cambia.
ωc=ω23 − ω2
0/ω3
ωr=ω24 − ω2
0/ω4
Consideraciones
La banda de paso por lo general es simetrica con respecto afrecuencia central.
La banda de rechazo por lo general no es simetrica con respecto afrecuencia central.
Se debe considerar la frecuencia de rechazo mas cercana (logarıtmo)a la frecuencia central.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Especificaciones filtro elimina banda
Frecuencia central ω0 y ancho de banda BW o frecuencia de corteinferior y superior ω2 y ω3
Ganancia de la banda de rechazo: Ar
Frecuencia inferior y superior de la banda de rechazo: ω1 y ω4
10 100 1k 10k 100k
Amplitud (dB)
-60
-40
-20
0
Frecuencia (Hz)
A0
01
Ar
BW
2 3
4
AH
ω20 = ω2ω3
BW = ω3 − ω2
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Requerimientos y Especificaciones
Equivalencia pasa bajos-elimina banda
A0=AH y Ar no cambia.
ωc=ω1/(ω20 − ω2
1)
ωr=ω2/(ω20 − ω2
2)
Consideraciones
La banda de rechazo por lo general es simetrica.
La banda de paso por lo general no es simetrica.
Se debe considerar la frecuencia de paso mas lejana (logarıtmo) dela frecuencia central.
Las ganancias de baja y alta frecuencia por lo general son iguales.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Diseno de Filtros IIR
Requerimientos
Butterworth ChebyshevChebyshev
InversoCauer Bessel
Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda
Aproximación
derivadas
Transformada
Bilineal
Invarianza
Escalón
Invarianza
Impulso
Función de
transferencia Discreta
Especificaciones
Diseño
Normalizado
Función de
transferencia contínua
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Diseno IIR
1 Requerimientos y Especificaciones
2 Seleccion de filtros analogos
3 Diseno de filtros analogos
4 Transformacion en frecuencia
5 Discretizacion
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Butterworth
Amplitud plana (sin ripple).
Banda de transicion amplia.
Requiere alto orden para alta selectividad.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Butterworth
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Chebyshev
Ripple en la banda de paso.
Parametro adicional de diseno.
Banda de transicion estrecha.
Requiere bajo orden para alta selectividad.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Chebyshev
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Chebyshev Inverso
Ripple en la banda de rechazo.
Parametro adicional de diseno.
Banda de transicion estrecha.
Requiere bajo orden para alta selectividad.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Chebyshev Inverso
FIGURE 7.2. Frequency responses of the four classical low-pass IIR filter approximations. (a) Butterworth; (b) Chebyshev; (c) inverse Chebyshev; (d) elliptic function.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Cauer
Ripple en la banda de paso y en la de rechazo.
Parametro adicional de diseno.
Banda de transicion muy estrecha.
Requiere mınimo orden para alta selectividad.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Cauer
FIGURE 7.2. Frequency responses of the four classical low-pass IIR filter approximations. (a) Butterworth; (b) Chebyshev; (c) inverse Chebyshev; (d) elliptic function.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Bessel
Amplitud muy plana.
No tienen oscilaciones en su respuesta impulso.
Banda de transicion muy amplia.
Requiere muy alto orden para alta selectividad.
Fase casi lineal en banda de paso
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Bessel
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel
Seleccion de filtros analogos
Bessel
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno IIR
1 Requerimientos y Especificaciones
2 Seleccion de filtros analogos
3 Diseno de filtros analogos
4 Transformacion en frecuencia
5 Discretizacion
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Filtro Butterworth
Funcion de transferencia normalizada
H(s) =1∏n
k=1(s− pk)
Caracterısticas
Ganancia dc unitaria (0dB)
Frecuencia de corte (-3dB) unitaria
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Funcion de transferencia normalizada
0.1 10Frecuencia (rad/sec)
Amplitud (dB)
-40
-30
-20
-10
0
1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Amplitud
Frecuencia (rad/sec)
Representacion
Ganancia dB, frecuencia logarıtmica.
Ganancia real, frecuencia lineal.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Orden de filtro Butterworth
n ≥ log(10(A0−Ar)/10 − 1)
2 log(ωr/ωc)
A0 : Ganancia DC en dB.
ωc : Frecuencia de corte (-3dB).
Ar : ganancia de la banda de rechazo en dB.
ωr : Frecuencia de la banda de rechazo.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Calculo de polos en filtro Butterworth
pk = cos
(π
2k + n− 1
2n
)+ j sin
(π
2k + n− 1
2n
)
Importante
En un filtro Butterworth solo se requiere calcular el orden n paraobtener los polos normalizados.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Localizacion de polos
Butterworth
n=10
Re
Im
1
-1
j
-j
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Filtro Chebyshev
Funcion de transferencia normalizada
H(s) =H0∏n
k=1(s− pk)donde :
H0 =
∏nk=1(−pk) n impar
10r/20∏nk=1(−pk) n par
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Ganancia DC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Amplitud
Frecuencia (rad/sec)
Filtro Chebyshev
n=10 n=9
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Orden de filtro Chebyshev
n ≥cosh−1
(√1−G2
εG
)cosh−1(ωr/ωc)
conG = 10−
A0−Ar20
ε =√
10r10 − 1
r : Ripple en la banda de paso en dB.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Polos de filto chebyshev
sk =
(γ−1 − γ
2R
)sin
(π
2k − 1
2n
)+ j
(γ−1 + γ
2R
)cos
(π
2k − 1
2n
)Donde
γ =
(1 +√
1 + ε2
ε
)1/n
R = cosh
(1
ncosh−1
(1
ε
))
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Localizacion de polos
Chebyshev
n=10
Re
Im
0.2-0.2
j
-j
r=0.1dB
r=0.5dB
r=1dB
r=2dB
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Parametros de diseno
Ao: Ganancia DC (dB)
Ar: Ganancia en la frecuencia de rechazo (dB)
ωc: frecuencia de corte (rad/sec)
ωr: frecuencia de rechazo (rad/sec)
r: ripple en la banda de rechazo (amplitud real)
Nota 1
Debido a la dependencia de la banda de rechazo y el ripple, sepuede asegurar un buen desempeno si se define
Ar = 20 log(r)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Definiendo
G = 10−A0−Ar
20
ε =r√
1− r2
Orden del filtro
n ≥cosh−1
(√1−G2
εG
)cosh−1(ωr/ωc)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Definiendo
γ =
(1 +√
1 + ε2
ε
)1/n
R = cosh
(1
ncosh−1
(1
ε
))
Angulos de cada polo/cero
φk =π
2
2k − 1
nk = 1..n
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Polos de filtro Chebyshev
pk =
(γ−1 − γ
2
)sin (φk) + j
(γ−1 + γ
2
)cos (φk)
Polos de filtro Chebyshev Inverso
pk =R
pk
Ceros de filtro Chebyshev Inverso
zk = jR sec (φk)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Ganancia DC del filtro
H0 =
∏nk=1(−pk)∏nk=1(−zk)
Funcion de transferencia normalizada
H(s) = H0
∏nk=1(s− zk)∏nk=1(s− pk)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Nota 2
Si el orden del filtro es impar existe un cero en infinito, por lo cualse recomienda eliminar este cero quedando
zk = jR sec (φk) k = 1..n− 1
H0 =
∏nk=1(−pk)∏n−1k=1(−zk)
H(s) = H0
∏n−1k=1(s− zk)∏nk=1(s− pk)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Ripple en la banda de rechazo
0.1 10Frecuencia (rad/sec)
Amplitud (dB)
-40
-30
-20
-10
0
1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Amplitud
Frecuencia (rad/sec)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Filtro Cauer
Funcion de transferencia normalizada
H(s) =H0
d
n∏k=1
s2 + aks2 + bks+ ck
donde
d =
s+ p0 n impar1 n par
y
H0 =
p0∏nk=1
ckak
n impar
10−Ap/10∏nk=1
ckak
n par
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Los coeficientes son
ak =1
X2k
bk =2p0Yk
1 + p20X2k
ck =(p0Yk)
2 + (XkW )2
(1 + p20X2k)2
Y se pone peor aun !!!Digital Filter Designer’s Handbook, C. Britton Rorabaugh
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Utilizacion de tablas
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Orden de filtro Cauer
n ≥ log(16D)
log(1/q)
con
D =10Ar/10 − 1
10Ap/10 − 1
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
El coeficiente q se calcula como
q = u+ 2u5 + 15u9 + 150u13
con
u =1− (1− Ω2)1/4
2(1 + (1− Ω2)1/4
)y Ω = ωc/ωr.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Filtro Bessel
Funcion de transferencia normalizada
H(s) =b0
qn(s)
donde
qn(s) =
n∑k=1
bksk
y
bk =(2n− k)!
2n−kk!(n− k)!
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de filtros analogos
Para calcular el polinomio se utiliza la siguiente tabla
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel
Diseno de Filtros IIR
Requerimientos
Butterworth ChebyshevChebyshev
InversoCauer Bessel
Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda
Aproximación
derivadas
Transformada
Bilineal
Invarianza
Escalón
Invarianza
Impulso
Función de
transferencia Discreta
Especificaciones
Diseño
Normalizado
Función de
transferencia contínua
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Diseno IIR
1 Requerimientos y Especificaciones
2 Seleccion de filtros analogos
3 Diseno de filtros analogos
4 Transformacion en frecuencia
5 Discretizacion
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia y amplitud
Diseno Normalizado
Filtro pasa bajo.
Frecuencia de corte unitaria.
Ganancia en banda de paso unitaria.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
Transformacion Pasa Bajos
Funcion normalizada en frecuencia
H(p) =1∏n
k=1(p− pk)
Transformacion en frecuencia
p =s
ωc
H(s) =ωnc∏n
k=1(s− ωcpk)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
-40
-30
-20
-10
0
10 10 102 3 4
Frecuencia
Magnitu dB
-60
-40
-20
0
Magnitu dB
0.01 0.1 1 10 100
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
Transformacion Pasa Altos
Funcion normalizada en frecuencia
H(p) =1∏n
k=1(p− pk)
Transformacion en frecuencia
p =ωcs
H(s) =sn∏n
k=1(ωc − pks)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
-40
-30
-20
-10
0
10 10 102 3 4
Frecuencia
Magnitu dB
-60
-40
-20
0
Magnitu dB
0.01 0.1 1 10 100
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
Transformacion Pasa Banda
Funcion normalizada en frecuencia
H(p) =1∏n
k=1(p− pk)
Transformacion en frecuencia
p =1
B
s2 + ω20
s
H(s) =Bnsn∏n
k=1(s2 −Bpks+ ω2
0)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
-40
-30
-20
-10
0
10 10 102 3 4
Frecuencia
Magnitu dB
-60
-40
-20
0
Magnitu dB
0.01 0.1 1 10 100
63 / 93 Marcelo A. Perez Seminario de Procesamiento Digital de Senales
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
Transformacion Elimina Banda
Funcion normalizada en frecuencia
H(p) =1∏n
k=1(p− pk)
Transformacion en frecuencia
p = Bs
s2 + ω20
H(s) =(s2 + ω2
0)n∏nk=1(−pks2 +Bs− pkω2
0)
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Transformacion en frecuencia
-40
-30
-20
-10
0
10 10 102 3 4
Frecuencia
Magnitu dB
-60
-40
-20
0
Magnitu dB
0.01 0.1 1 10 100
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda
Diseno de Filtros IIR
Requerimientos
Butterworth ChebyshevChebyshev
InversoCauer Bessel
Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda
Aproximación
derivadas
Transformada
Bilineal
Invarianza
Escalón
Invarianza
Impulso
Función de
transferencia Discreta
Especificaciones
Diseño
Normalizado
Función de
transferencia contínua
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Diseno IIR
1 Requerimientos y Especificaciones
2 Seleccion de filtros analogos
3 Diseno de filtros analogos
4 Transformacion en frecuencia
5 Discretizacion
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Metodos de discretizacion
Funcion de transferencia continua.
Filtro escalado en frecuencia y amplitud.
Es necesario transformarlo a una funcion de transferenciadiscreta.
No hay una transformacion unica.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas
Derivadas discretas - Metodo de Euler
dy(t)
dt
∣∣∣∣t=nT
=y(n)− y(n− 1)
T
Aplicando la transformada de Laplace y Z respectivamnente
sY (s) =1− z−1
TY (z)
por lo tanto
s ≈ 1− z−1
T
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas
Derivada de segundo orden
dy2(t)
dt2
∣∣∣∣t=nT
=
(y(n)−y(n−1)
T
)−(y(n−1)−y(n−2)
T
)T
dy2(t)
dt2
∣∣∣∣t=nT
=y(n)− 2y(n− 1) + y(n− 2)
T 2
esta relacion es equivalente a
s2 =1− 2z−1 + z−2
T 2=
(1− z−1
T
)2
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas de orden n
sn =
(1− z−1
T
)n
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas
Mapeo del plano s en z
z =1
1− sT
si se define s = jΩ (eje imaginario σ = 0), se tiene
z =1
1 + Ω2T 2+ j
ΩT
1 + Ω2T 2
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas
74 / 93 Marcelo A. Perez Seminario de Procesamiento Digital de Senales
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Aproximacion de derivadas
Mapeo estable: todos los polos del semiplano izquierdo semapean dentro del cırculo unitario.
Restringe el posicionamiento de polos: Todo el semiplanoizquierdo se mapea solo en una porcion del cırculo unitario.
Es posible mejorar el desempeno utilizando aproximaciones demayor orden: Heun, Bogacki-Shanpine, Runge-Kutta,Dormand-Prince, etc.
75 / 93 Marcelo A. Perez Seminario de Procesamiento Digital de Senales
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Transformada Bilineal
Definicion de variable discreta
z = esT
Utilizando una aproximacion por serie de Taylor
z =esT/2
e−sT/2=
1 + sT/2 + s2T 2/4 + s3T 3/8 + · · ·1− sT/2 + s2T 2/4− s3T 3/8 + · · ·
z ≈ 1 + sT/2
1− sT/2
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Transformada Bilineal
s =2
T
z − 1
z + 1
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Mapeo de polos
z =1 + sT/2
1− sT/2=
1 + jΩT/2
1− jΩT/2
z =1− Ω2T 2/4
1 + Ω2T 2/4+ j
ΩT
1 + Ω2T 2/4
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
MApeo de polos
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Transformada Bilineal
Mapeo estable: todos los polos del semiplano izquierdo semapean dentro del cırculo unitario.
No restringe el posicionamiento de polos.
Igual orden en el denominador y en el numerador.
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza al impulso
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza al impulso
Funcion de transferencia General
H(s) = H0
∏mk=1(s+ zk)∏nk=1(s+ sk)
Se escribe en forma de fracciones parciales
H(s) =
n∑k=1
Kk
s+ sk
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza al impulso
Respuesta al impulso
h(t) =n∑k=1
KkeskT
Muestreando cada T segundos
h(n) =N∑k=1
KkesknT =
N∑k=1
Kk
(eskT
)n
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza al impulso
Funcion de transferencia discreta del filtro
H(z) =
∞∑n=0
h(n)z−n
Reemplazando
H(z) =
∞∑n=0
N∑k=1
Kk
(eskT
)nz−n =
N∑k=1
Kk
∞∑n=0
(eskT z−1
)n
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza al impulso
Utilizando la propiedad
∞∑n=0
an =1
1− asi a < 1
Se tiene finalmente
H(z) =N∑k=1
Kkz
z − eskT
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza al impulso
La funcion de transferencia discreta tiene el mismo orden quela funcion de transferencia continua.
Es estable si el filtro analogo es estable.
Las propiedades de este filtro dependen de la entrada.
La respuesta escalon discreta no es la respuesta escaloncontinua muestreada
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza escalon
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza escalon
Funcion de transferencia general agregando un escalon
H(s) = H0
∏mk=1(s+ zk)∏nk=1(s+ sk)
1
s
Se escribe en forma de fracciones parciales
H(s) =
n∑k=1
Kk
s+ sk
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza escalon
Respuesta al impulso
h(t) =
n∑k=1
KkeskT
Muestreando cada T segundos
h(n) =
N∑k=1
KkesknT =
N∑k=1
Kk
(eskT
)n
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza escalon
Funcion de transferencia discreta del filtro
H(z) =
∞∑n=0
h(n)z−n
Reemplazando
H(z) =
N∑k=1
Kkz
z − eskT
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza escalon
Multiplicando por el inverso del escalon
H(z) =
N∑k=1
Kkz
z − eskTz − 1
z
Finalmente
H(z) =
N∑k=1
Kkz − 1
z − eskT
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Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos
Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia
Discretizacion
Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon
Discretizacion
Invarianza escalon
La funcion de transferencia discreta tiene el mismo orden quela funcion de transferencia continua.
Es estable si el filtro analogo es estable.
Las propiedades de este filtro dependen de la entrada.
La respuesta escalon discreta es la respuesta escalon continuamuestreada
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