11Preguntas propuestasPreguntas propuestas

. . .

Álgebra

2

Leyes de exponentes

NIVEL BÁSICO

1. Si n es el exponente final de m en

m m m m

m m m

1 2 3 11 2

2 2 2

50

⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )⋅ ⋅ ⋅

...

... veces

� ���� ����

determine el valor de n/8.

A) 2 B) 7 C) 3D) 5 E) 4

2. Si A=(26)15; B=(85)6

; C=(23 · 25)6 y D=(23 · 32) · 64,

de las siguientes igualdades. Indique cuántas son incorrectas.

A=D B=D C=A A=B

A) 2 B) 1 C) 4D) 3 E) 0

3. Si 3x=2, reduzca la expresión.

3 3

3 2

1

1

x x

x x

+

−

+

A) 8 B) – 2 C) 1D) 2 E) – 8

4. Indique el valor reducido de

12 27 48

24 6

+ ++

A) 22

B) 3 22

C) 32

D) 2 2 E) 92

5. Si 264=aa y 3 354

= ( )b b, halle el valor de 3a+2b.

A) 48 B) 96 C) 66D) 99 E) 44

UNMSM 2010 - II

NIVEL INTERMEDIO

6. Si se cumple que

32

427

34

5

⋅

=

n m

calcule el valor de m – n.

A) 25 B) – 5 C) –10

D) 35 E) –15

7. Si 15 35

a a( ) = , calcule el valor de a +95

.

A) 2 B) 5/2 C) 3/4

D) 1/2 E) 2/5

8. Si mnm

n1

1

11

242−

−

= , determine el valor de m23 .

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 4

9. Si a = 2 3 2 3...

b = 3 2 3 2...

calcule el valor de ab.

A) 2 B) 3 C) 6

D) 6 E) 36

10. Si x > 1 y además

x x x xmn2 1 653 ⋅ ⋅ =−

donde m y n son coprimos, determine el valor

de m2 – n2.

A) 3 B) – 9 C) 12

D) –12 E) 9

. . .

Álgebra

3

NIVEL AVANZADO

11. Determine el valor reducido de M.

M =

− −

−−

87 271 9

12

16

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 5

12. Si b ≠ 0, simplifique la expresión.

b b

b b

b b

b

bb

11

13

14

11 0

− +

+

−−

+

+

A) b B) 1b

C) 12b

D) 1 E) b2

13. Si se cumple que x x x6 1132

+= , calcule el valor

numérico de x24x.

A) 12 B) 4 C) 16

D) 8 E) 2

14. Calcule el valor aproximado de (x+y),

si x y xy x= =9

993

33

2

;

A) 3 B) 9 C) 27

D) 30 E) 81

15. Si x es positivo, simplifique la expresión.

M

x x x x

x

nn

n n=

⋅ ⋅ ⋅ +

+

... 1

34

23

12

2 3

A) x1/2 B) xn C) x2

D) x E) 1

UNMSM 2005

. . .

Álgebra

4

Productos notables

NIVEL BÁSICO

1. Si x2+5x=7, determine el equivalente numé-

rico de x x x x x x+( ) +( ) + +( ) +( )

+( )−3 2 4 13

15 4 .

A) 2 B) 4 C) 8D) 1 E) 3

2. Determine el valor de a+b, si

a x x x= +( ) − +( ) +( )5 2 82

b x x x= +( ) − +( ) +( )6 3 92

A) 7 B) 4 C) 3D) 6 E) 5

3. Si la expresión x a bx2 2+ + es un trinomio cuadrado perfecto, calcule el mayor valor de ab (considere a y b enteros).

A) 6 B) 2 2 C) 4D) 8 E) 5

4. Si a ∧ b son números reales, tal que a b ab+ = ∧ =7 3

calcule el valor no negativo a – b.

A) − +2 3 B) 2 3+ C) 1

D) 1 3+ E) 2 3−

5. Indique verdadero (V) o falso (F) las siguien-tes proposiciones y determine la secuencia correcta.

I. Si x+x–1=2 → x2+x – 2=2 II. Si x+x–1=2 → x3+x – 3=2 III. 1×3×5×17×257+1=216

A) FVV B) VVF C) FVFD) VVV E) VFF

NIVEL INTERMEDIO

6. Si xy

yx

x y+ = ∈ +2 ; ; R

calcule x y

x y

3 3

2 5− .

A) 0 B) x C) yD) xy E) x2y3

7. Si x; y ∈ R+ tal que xy > 1, determine el valor reducido de J.

Jxy xy

x y x y=

− +

+( ) − −( ) −

2 1

42 2

A) 1/2 B) 1/4 C) 1D) 2 E) 1/5

8. Si a2+a+1=0, calcule el valor de αα

4 1+ .

A) –1 B) 0 C) 1D) 2 E) – 2

9. Si se cumple que

a b

cc a b

2 2

11 2

++

= − = + −

determine el equivalente numérico de ab bc ac+ + .

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. Si

a − =1 2013

b + =1 2014

c + + =2013 2014 0

calcule el valor de J.

J

a a b b c cab c c a b

=−( ) + −( ) + −( )

+( ) + +( )

2 2 21 1 13 2 2

A) –1 B) 3 C) 2D) 1 E) – 2

. . .

Álgebra

5

NIVEL AVANZADO

11. Si mm

22

18+ = , calcule el valor numérico de

mm

mm

33

1

1

−

−

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

12. Si 3 3 32x x− = − , entonces ¿cuál es el valor

numérico de xx

201320131

+ ?

A) 0 B) 22013 C) 1

D) –1 E) – 2

13. Si a b+ + =1 33 , determine el valor de

2 3

2− +( )

+ + +( )a b

a b a b

A) 1 B) 3 C) 2

D) 5 E) 4

14. Si x; y; z ∈ R, además se cumple que

2x(x+y)+2y(y – z)+2z(z+x)=0,

calcule el valor de x yz

x yx

x zy

++

++

+2 5 2 7 9 .

A) 13 B) 6 C) – 3

D) – 9 E) –1

15. Si {x; y} ⊂ R y se cumple que

2 2 2 2x y xy+ = ∧ = , calcule el valor de M.

M

x y xy

x y=

+ +

−( ) +

2 2 6

1

3 3

2 2

A) 2

B) 3 2

C) 8 2

D) 5 2

E) 9 2

. . .

Álgebra

6

Sistema de ecuaciones lineales

NIVEL BÁSICO

1. Resuelva el sistema y dé como respuesta el valor de x.

x y

y z

x z

+ =+ =+ =

154

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

2. Determine el valor de λ de modo tal que el sistema lineal

14 3 133 2 16

7

x y

x y

x y

+ =− =+ =

λ tenga solución única.

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

3. ¿Qué valores reales toma n para que el sistema lineal

n x n n

n x n y

−( ) + −( ) = ++( ) + +( ) =

1 2 1

2 1 2 4 sea compatible determinado?

A) R B) R – {0} C) R+

D) {0} E) R – {0; 4}

4. Determine el valor de a2+b2 de tal forma que el sistema

a x b y

x y

−( ) + −( ) =+ =

3 5 154 3 5

tome infinitas soluciones.

A) 12 B) 122 C) 22D) 322 E) 421

5. Determine el valor de m para que el sistema

mx y

x m y m

+ =+ −( ) =

3

6 1 2

sea inconsistente.

A) 3 B) – 3 ∨ 3 C) – 2D) 3 ∨ – 2 E) no existe

NIVEL INTERMEDIO

6. Si el par ordenado (x0; y0) es una solución del sistema lineal de incógnitas x e y,

2 5 108

x y

mx ny

− =+ =

determine el valor de 10m+2n si x0+y0=12.

A) – 4 B) – 6 C) – 2D) 2 E) 8

7. Indique el valor de z del siguiente sistema li-neal.

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

22 3 5 44 9 25 8

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

8. Determine el valor de los parámetros p y k para que el siguiente sistema lineal sea indeter- minado.

kx y k p

k x y k

− = −−( ) + = +

6 5 3

4 2 4 3

Dé como respuesta el valor de p+k.

A) 16 B) 17 C) 18D) 24 E) 23

9. Dado el sistema no lineal

xxyy

xxyy

+ =++

− =−−

2223

5192

determine el valor de xy −1.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1

. . .

Álgebra

7

10. A partir del sistema no lineal de incógnitas x e y

x y

x y

x y

−+ − +

=

+ − + =

1 15

4 4 1 4

determine el valor de x2 – y2.

A) 52 B) – 60 C) – 25D) 55 E) 42

NIVEL AVANZADO

11. Si (m; n) es la solución del sistema lineal

2

3

5

67

3

2

3

106

x y

x y

+ =

+ =

determine el valor de m2.

A) 1 B) 4 C) 9D) 6 E) 36

12. Si el sistema lineal de incógnitas x e y

a x b y c

b x c y a

−( ) + −( ) = −+( ) + +( ) = +

1 1 1

1 1 1

es compatible indeterminado, determine el

valor de a b cab ac bc

+ +( )+ +

2.

A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 8

13. Determine el valor de y si

x y xy

y z yz

x z xz

+ =+ =+ =

122015

A) 1/17 B) 2/17 C) 13/17D) 17 E) 17/2

14. Luego de resolver el sistema

xy x y

xz x z

yz y z

+ + =+ + =+ + =

234127

determine un valor de z.

A) – 8 B) – 7 C) – 5D) 3 E) 5

15. Dado el sistema de incógnitas x e y

a x b y c

a x b y c

a x b y c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

+ =+ =+ =

cuya representación gráfica es

L 1:a1x+b1y=c1

L 3:a3 x+b3

y=c3

L 2:a2 x+b2

y=c2

(10; 2)A(3; 3)

B(5; 4)B(5; 4)

C

X

Y

Respecto al sistema podemos afirmar que

A) su CS={(5; 4), (3; 3), (10; 2)}.B) es compatible indeterminado.C) es incompatible.D) su CS{(3; 3)}.E) tiene 2 soluciones.

. . .

Álgebra

8

Polinomios

NIVEL BÁSICO

1. Si el polinomio

P x y z x y z x y zx y zm n c p

; ;( )− − −= + −3 6

2 1 3 4 6 8 23 6 8 1

se reduce a un solo término, calcule el mayor valor de mnp.

A) 35 B) 64 C) 20D) 36 E) 63

2. Si P x x xx5

20 17125 3 2

= − + +

calcule el valor de P(1).

A) 17 B) 20 C) 30D) 50 E) 80

3. Evalúe la expresión S=(a+1)–1+(b+1)–1 para

a = +( )−2 31 y b = −( )−2 3

1

A) 1 B) 3 C) 2D) 3 1− E) 2 1+

4. Determine el valor de 2m+3n si la siguiente expresión

f

m x n yx yx y( ; ) =

+( ) + −( ) +− +

1 2 1 62 5 2

es independiente de x e y.

A) 2 B) 13 C) 34D) –11 E) – 34

5. En la clase de Matemática, Luis Miguel escribe un polinomio P(x) mónico de 2.do grado, y Zulema, un polinomio Q(x) de 1.er grado. Si se dan cuenta de que la suma de esos polinomios es ax2+3, además Q(1)=7, halle P(1).

A) –1 B) – 2 C) – 3D) – 4 E) – 5

NIVEL INTERMEDIO

6. A partir de la expresión matemática definida por

H

x x

x xx( ) =− ++ ⋅

1

1 determine el valor de la siguiente expresión. M=H(8)+H(7)+H(6)+...+H(1)

A) 2 B) 23

C) −13

D) 13

E) −23

7. De la siguiente identidad (x+1)4+(x –1)4 ≡ 2x4+ax2+b determine el valor de ab.

A) 12 B) 2 C) 1D) 24 E) 8

8. Considere un polinomio cuadrático f con las siguientes características

• Coeficientesenterospositivosdiferentes. • Elcoeficientedel términolineales ladife-

rencia de cuadrados de los otros dos. • f(1)=f(f(0)) Calcule el menor valor del producto de sus co-

eficientes.

A) 24 B) 12 C) 9D) 6 E) 18

9. A partir del polinomio P(x)=(2a2 – a+2)x+2a2, donde P(–1)=1, P(m)=0 y P(0)=a+n, determine el valor de 17m+n+a.

A) 1 B) –1 C) 2D) 0 E) 5

10. Dado el polinomio P(2x –1)=x2+ax+b. Se sabe que b=2a y la suma de coeficientes de P es 7. Determine el valor de ab.

A) 14 B) 12 C) 10D) 8 E) 6

. . .

Álgebra

9

NIVEL AVANZADO

11. Si a ∧ b ∈ Q+, tal que f(x)=ax+bx y f(2)=1, calcule el valor de M si

M

f f

f=

−( ) ( )

( )

3 5

1

A) 1 B) 1ab

C) a

D) b E) ab

12. Se tiene un polinomio f(x) que verifica las con-diciones

I. f(1)=1 II. f(x)=f(x –1)+x; ∀ x ∈ Z+ ∧ x > 1 De acuerdo a ello evalúe f(9).

A) 40 B) 44 C) 45D) 46 E) 47

13. A partir de la expresión matemática

J xx( ) = + −1 2, determine J(J(x)).

A) x + −1 2

B) x − +2 1

C) x + − + −1 2 1 2

D) x + − −1 2 2

E) x + − + −1 2 1 2

14. Si P(x)=ax+b, tal que P(3)=2P(1)=4, calcule el término independiente de Q(x) si se cumple que Q(ax2+b)=x4.

A) 0 B) 1 C) –1

D) 3 E) 2

15. Dadas las expresiones algebraicas

fx

gxx x( ) ( )= + = −1

11

1 y

halle f(g(x)) en términos de f(x).

A) f

fx

x

( )

( )

−−

3

2 B)

f

fx

x

( )

( )

+−

2

3 C)

f

fx

x

( )

( )

−−

2

3

D) f

fx

x

( )

( )

−+

2

2 E)

f

fx

x

( )

( )2 1+

. . .

Álgebra

10

División de polinomios

NIVEL BÁSICO

1. Efectúe la siguiente división

12 2 5 9

3 2

4 3 2

2x x x x

x x

+ − − −− −

e indique el producto de los coeficientes del residuo.

A) 4 B) – 4 C) 6D) – 6 E) 12

2. Dada la división algebraica

2 2 1 1

1

3 2 2nx n x n x nnx

+ −( ) + −( ) + +−

halle la suma de coeficientes del cociente si se sabe que el resto es 7.

A) n+2 B) 3 C) 6D) 12 E) 15

3. Respecto a la siguiente división, indique la se-cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

2 3 3

2 3

4 3x x xx

− − ++

I. La división es inexacta. II. La suma de coeficientes del cociente es 3. III. El término lineal del cociente es 3x.

A) FVF B) VFV C) FVVD) VVF E) FFV

4. Determine el resto de la siguiente división.

x x

x

5 33 2 2 2 2 7

2 1

+ −( ) + +− +

A) 6 B) 8 C) 12D) 14 E) 10

5. Si el residuo de la división es de la forma R(x)=mx+n, determine el valor de R(m – n).

2 3 4 1

1

17 14 2

2x x x

x

+ + −+

A) 0 B) 12 C) 1D) 15 E) 14

NIVEL INTERMEDIO

6. Si la división genera un cociente de grado 55

x x x x n

x x x x n

n

n

2 4 6 2

2 3

2 4 6 2

1 2 3

+( ) +( ) +( ) +( )+( ) +( ) +( ) +( )

...

... determine el valor de n.

A) 15 B) 13 C) 2D) 8 E) 10

7. Determine el resto de la siguiente división.

x x x

x x

−( ) + −( ) +− +

6 5 5

11 30

23 26

2

A) 7x –11 B) 5x+10 C) 5x – 3D) – 7x+5 E) 7x+13

8. Determine el resto de la siguiente división.

xx x

3

1 2+( ) +( )

A) 7x+5 B) 76x+2 C) 7x+6D) 6x –1 E) 3x –1

9. En la siguiente división indicada

2 7

1

37x nxx+ +−

determine el resto si se sabe que la suma de coeficientes del cociente es igual a 80.

A) 1 B) 12 C) 10D) 3 E) 15

10. Si la división

x p x q

x x

4 2

23 3

1

+ −( ) + ++ +

es exacta

determine el valor de p+q.

A) 1 B) – 2 C) 2D) –1 E) 8

. . .

Álgebra

11

NIVEL AVANZADO

11. En la división ax4+2x3+bx2 –10x+c entre 2x+3, halle el valor de (a+b+c) si la suma de coeficientes del cociente es – 5 y el resto es 15.

A) – 2 B) 10 C) 2D) –10 E) 5

12. Halle el residuo de la siguiente división si a ≠ 0.2 2 2 2 1 2

1

4 2 3 2 2

2ax a b x ab x a b x b

ax bx

− +( ) + +( ) − + −( ) + +− +

A) R(x)=ax+2B) R(x)=bx+2C) R(x)=x+2D) R(x)=x – 2E) R(x)=ax+b

13. A partir del esquema de Horner

c d0

– m+2

m+1

ba4

nm5 p q

calcule el valor de

(a – m)+(b – n)+(c – p)+(d – q).

A) 3 B) – 2 C) 5

D) –1 E) 4

14. Sea n un número par tal que m – n=1, determi-ne el residuo de la siguiente división.

x x x

x x

m n−( ) + −( ) + +− +

4 3 2 1

7 122

A) 6x – 4 B) 4x – 6 C) 4x+6

D) – 6x+4 E) 0

15. Determine el resto de la división

x x

x xn

n n−( ) +− +

≥+ +1

12013

2 2 1

2 si

A) x+1

B) x –1

C) x+2013

D) 0

E) 2x

Semestral SM

SiStemaS de medición angular

01 - e

02 - d

03 - e

04 - b

05 - c

06 - e

07 - a

08 - e

09 - d

10 - b

11 - c

12 - a

13 - c

14 - d

15 - e

ProductoS notableS

01 - A

02 - D

03 - D

04 - E

05 - D

06 - A

07 - B

08 - A

09 - B

10 - D

11 - C

12 - A

13 - B

14 - B

15 - D

SiStema de ecuacioneS linealeS

01 - A

02 - C

03 - E

04 - E

05 - C

06 - E

07 - A

08 - E

09 - B

10 - D

11 - D

12 - B

13 - B

14 - A

15 - C

PolinomioS

01 - E

02 - A

03 - A

04 - D

05 - C

06 - E

07 - D

08 - D

09 - D

10 - D

11 - E

12 - C

13 - C

14 - B

15 - A

diviSión de PolinomioS

01 - D

02 - C

03 - B

04 - E

05 - B

06 - E

07 - A

08 - C

09 - E

10 - C

11 - A

12 - C

13 - C

14 - B

15 - D