Congruencias y semejanzas de figuras planas

Juan Serrano MA

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

bull 9G51

Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la

semejanza

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

3

Son ideacutenticas

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

bull 9G51

Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la

semejanza

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

3

Son ideacutenticas

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

3

Son ideacutenticas

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Congruencia

bull

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentes

bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes

bull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

AB

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Postulado LAL

bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

bull Ejemplos

bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N2

ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

M L es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB

BC

AC

PQ

QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo

Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

II Segundo criterio LLL

bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

153

= =357

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute

=ccacute

c

cacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

3

9= 4

12

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Ejercicio

bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

528

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Ejercicio

bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5

x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3

=Y4

Z5

=31

=3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4

=3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

3012

= 4016

50

20=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

p

o

s

t

e

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

1 Construccioacuten de la bisectriz de un segmento

INSTRUCCIONES Dibuja un segmento sobre un pedazo de papel encerado Dobla el papel hasta unir los dos

extremos del segmento

OBSERVACIOacuteN La liacutenea de doblaje divide al segmento en dos segmentos con la misma medida o sea dos

segmentos congruentes

COMENTARIO El punto de interseccioacuten entre el segmento y la liacutenea del doblaje se conoce con el nombre

de punto medio del segmento El estudiante construye la definicioacuten de punto medio de unsegmento Cualquier recta que pase por ese punto medio (se dibujan algunas rectaspasando por el punto medio) se conoce con el nombre de bisectriz del segmento Elestudiante construye la definicioacuten de bisectriz de un segmento Ahora marca bien la liacuteneade doblaje y mide los aacutengulos formados Observa que la medida de los aacutengulos es de 90degAquiacute se lleva al estudiante a descubrir la relacioacuten entre el segmento y la liacutenea de doblaje

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

bull Construccioacuten de la bisectriz de un segmento (continuacioacuten)

OBSERVACIOacuteN

La liacutenea de doblaje biseca al segmento y a la misma vez es perpendicular con eacuteste ldquoCuando una liacutenea recta biseca un segmento y a la vez es perpendicular con eacuteste se dice que la recta es mediatriz del segmentordquo El estudiante construye la definicioacuten de mediatriz

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Actividades con congruencia y semejanza de triaacutengulos

2 Perpendicular a una recta desde un punto fuera

bull INSTRUCCIONESbull Marca o dibuja una recta l sobre un pedazo de papel

encerado Marca un punto fuera de la recta Dobla elpapel de tal forma que la liacutenea de doblaje pase por el puntoy parte de la recta coincida con el resto Use como medidade referencia la esquina de un papel para medir el aacutenguloformado por la liacutenea de doblaje y la recta l El estudiantedebe concluir que los aacutengulos formados miden 90deg Luegohacer referencia a la liacutenea de doblaje como la rectaperpendicular a la recta l El estudiante construiraacute ladefinicioacuten de rectas perpendiculares

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones Razones

Demostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al

criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son

semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes