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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-III

TRIGONOMETRÍA “IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

TRIPLES ’’ Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez

ÁNGULOS TRIPLES

Sen3x = 3Senx − 4Sen3x

Cos3x = 4Cos3x − 3Cosx

Tan3x =3Tanx − Tan3x

1 − 3Tan2x

APLICACIÓN 1

1. Simplificar la expresión:

E =Cos3θ − cos3θ

Cosθ

a) 2Sen2θ b) 3Sen2θ c) 2Senθ

d) 4 e) Cos2θ

Formulas especiales: Sen3x = Senx(2Cos2x + 1)

Cos3x = Cosx(2Cos2x − 1)

Tan3x = Tanx (2Cos2x + 1

2Cos2x − 1)

APLICACIÓN 2

2. Calcular ‘‘k’’ en: Sen9°

Sen3°+

Cos9°

Cos3°= 2kCos3k°

a)-1 b) √2 c) 2

d) √2

2 e) ½

Degradación:

4Sen3x = 3Senx − Sen3x

4Cos3x = 3Cosx + Cos3x Propiedades: 4Senx. Sen(60° − x). Sen(60° + x) = Sen3x

4Cosx. Cos(60° − x). Cos(60° + x) = Cos3x

Tanx. Tan(60° − x). Tan(60° + x) = Tan3x

Tanx + Tan(60° − x) + Tan(60° + x) = 3Tan3x

APLICACIÓN 3

3. Calcular el valor de:

E = sen10°sen50°sen70°

a) 1 b) 1/3 c)1/8 d)1/5 e) -1

Observación:

4

1536Cos

4

1518Sen

Triángulo Notable de 18º y 72º

Triángulo Notable de 36º y 54º

4

72º

18º

5 – 1

10+ 2 5

4

36º

5 + 1

10 – 2 5

Semana Nº 10

Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.

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PROBLEMAS PROPUESTOS

4. Si: senx + cosx = a ,

Calcular P = Cos3x – Sen3x

a)2a-3a2 b) a2-3a c) 3a5 +2a

d) 3a – 2a3 e) a2 + 2a

(Segundo examen sumativo 2012 – II)

Examen sumativo

5. Si: cos 40º = 2n, entonces el valor de la expresión :

4

1º20cosº20.3 33 senE

a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n Examen sumativo

6. Si

º300º72

º78

Tg

a

Tg

Tg

Hallar W = tg18º + Tg60º + Tg102º a) 1 b) 2 c) 2a d) a e) 3ª

Examen sumativo

7. Si: 2

5tg ,

Determinar el valor de 2

3Cos

a) 6

5.

2

1

b) 3

2.

2

1 c) 6

5.

3

1

d) 5

5

e) 5

6

Examen sumativo

8. Calcular 𝑆𝑒𝑛𝜋

10

a) 4

5 b) ¼ c)

4

15 d)

4

15 e)

2

5

9. Calcular la suma de: m + n + p, para para

que la siguiente igualdad sea su identidad:

paCosmCosSenSen n.cos.3.3 33

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

(Segundo examen sumativo 2013 – I)

Examen sumativo

10. Si 𝑇𝑔𝜃 es una raíz de la ecuación: 2𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0 , entonces el valor de 𝑇𝑔6𝜃 es:

a)- 4

3 b)

5

4 c)

3

4 d)

4

√3 e)

4

3

11. Si: 3

2cos3 senxx

Calcular sen 3x

a) 23/27 b) - 23/27 c) 25/27

d) -25/27 e) -2/3

12. Si: ; Calcule: cos3

a) 27

12 b) 27

5 c) 27

22 d) 27

15 e) 27

11

13. Si: Calcule: cos3

a) 27

57 b) 2

57 c) 27

5 d)27

52 e) 5

14. Calcular el valor de:

E = 2cos20°. cos10° − cos10°

a) 2/3 b) √3/2 c) 1/3 d) 1/2 e) 1

15. Calcular el valor de:

E = cos85°(1 + 2sen80°)

a) Cos10° b) √6−√2

4 c) 4

d) -1 e) √3 16. Calcular:

E =cos310° + Sen320°

cos10° + Sen20°

a) 3 b) 3/4 c) 4/3 d) 2/3 e) 3/2

17. Simplificar:

W =sec3x

sec3x+

sec2x

sec2x−

8tanx

tan2x

a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 3

2cos(60º )

3

5sen(30º )

3

Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.

3

18. Si senx + cosx =√5

2

Calcular: M = 16sen6x

a) 10 b) 12 c) 15 d) 11 e) 16

19. Si: 3tan2 + 6tanx − 1 = 2tan2x Calcular: tan6x a) 4/3 b) 3/4 c) 1/2 d) -1/2 e) 2/3

20. Calcular el valor de:

E = tan20°. tan40°. tan80°

a) 1 b) 1/3 c) √3 d) Tan10° e) -1

21. Calcular el valor de: E = cos380°cos140°cos260°

a) 1/8 b) 1/2 c) 1/4 d) - 1/8 e) 1/16

22. Calcular ‘‘x’’

x

1

2

2θθ

a) 17 b) 10 c) 12 d) 8 e) 9

23. Calcular ‘‘x’’ :

θθ

θ3

4

x

a) 4 b) 7 c) 17

d) 8 e) 2√7 24. Si :

Tan(x − 15°) = 2 Calcular: Tan3x

a) 1/13 b) 2/13 c)9/13 d) 13/9 e) -2/13

25. Si: Senx. Csc3x = m ¿A que es igual?

E = Cosx. Sec3x

a) 𝑚

2𝑚+1 b)

2𝑚+1

𝑚 c)

𝑚

2𝑚−1

d) 2𝑚−1

𝑚 e)

𝑚

1−2𝑚

26. Si: Senx = 𝐚Sen3x , determine: W = Tan2x en términos de a.

a) 3𝑎−1

𝑎+1 b)

𝑎−3

𝑎+1 c)

𝑎−1

3𝑎+1

d) 3𝑎+1

𝑎−1 e)

3𝑎

𝑎+1

27. Si: Cos3x

Csc3x+

Sen3x

Sec3x=

1

4

Halle: M = 9Cos8x

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

28. Determine una expresión equivalente:

W =3Tan4x − 10Tan2x + 3

9Tan4x − 6tan2x + 1

a) Tan3x. Cotx b) Tan2x. Cot3x c) Tanx. Tan3 d) Cot2x. Tan3x e) Cot3x. Tanx

Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.

4

29. Reducir la expresión : E = 4Cos15°Sen35° + 4Sen15°Cos35° a) 3Cos20° b) 3Cos15° c) 3Sen20° d) 3Sen15° e) 3Sen10°

30. Reducir las siguientes expresion:

E = Cot39°Tan47°Tan73° a) Tan7° b)Tan13° c) Cot13° d) Cot7° e) 1/2

31. Calcular: Cos2θ

θθ

θ

2

3

a) 1/3 b) 4/5 c) 5/6 d) 3/7 e) 5/7

32. Del gráfico, hallar :

a) b)

c) d) e)

33. Si 23 32cos1

6cos1BAA

xx

Determinar: BA

E2

a)

3

22

xCos b)

3

42

xCos c)

3

2xCos

d)

3

4xCos e)

3

22

xCos

34. Del gráfico, hallar la longitud de

a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36

d) 3,23 e) 2,32

35. Calcular:

a) b) c) d) e) -

36. Del gráfico, hallar la medida del ángulo "

"

a) 39º b) 17º c) 36º d) 51º e) 48º

37. Al simpliflicar la expresion:

E = Csc5°Csc55°Csc65°

a) 4(√6 − √2) b) 4(√6 + √2)

c) √6 − √2 d) √6 + √2

e) 2(√6 + √2)

38. La ecuacion: 2𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0

Tiene como una de sus raices a Tanθ. Calcular: Tan3θ a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 1/4 e) -1

y

x

A

B

C5º 45º 80º 20ºD Ex y

º5Csc2 º10Csc2

º5Csc2

2º10Csc

2

2º5Csc

4

2

CD

24º36º

16

A

B

C

D

E6º

º36Cosº18Sen 33

2

5

8

5

4

5

6

5

4

5

a

4a

43º

17º

13º