Semana 4
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1
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
yP( )x ;y
o o
r
xo
yo
'
Se define:
o
o
o
o
x
yTan
r
xCos
r
ySen
o
o
o
o
y
rCsc
x
rSec
y
xCot
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA “F.T. de Ángulos Especiales” Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o estándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante. Del gráfico:
Lado Final
Lado InicialVértice
(+ )
x
y
* : es un ángulo en posición normal
* 0 ; IIC
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)
x
y
* β : Es un ángulo en posición normal
* 0 ; IIIC
Definición de las Razones Trigonométricas: Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto perteneciente a su lado final.
x
yP( )x ;y
o o
r
xo
yo
'
Se define:
o
o
o
o
x
yTan
r
xCos
r
ySen
o
o
o
o
y
rCsc
x
rSec
y
xCot
Semana Nº 04
Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
yP( )x ;y
o o
r
xo
yo
'
Se define:
o
o
o
o
x
yTan
r
xCos
r
ySen
o
o
o
o
y
rCsc
x
rSec
y
xCot
*
2o
2o
yxr
* α´: se denomina ángulo de referencia
Signos de las R.T. en los cuiadrantes Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjunto
Propiedad:
Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:
Si I 0 < < 90º
Si II 90º< <180º
Si III 180º < < 270º
Si IV 270º < < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulos frontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk
También
<Cuadrantal =2
k ; Zk
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó .2
rad según
corresponda; si el resultado de la división es un
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x xo o
x
y
Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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1
Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x xo o
x
y
Se tiene que: * α y : son coterminales * Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si α y son coterminales se cumple que:
I. II.
- = 360º n ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
I. II.
- = 360º n ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2rad. y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- ) = - sen ; Cos (- ) = cos
Tg (- ) = - tg ; Ctg (- ) = - Ctg
Sec (- ) = Sec ; Csc (- )= - Csc
¡Muy importante!
Y
X
Q(–b;a )
P(a ;b)
R(–a ; b)–
M(b;–a)
PROBLEMA RESUELTOS
1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
24cosb
25 , Halle:
V 5senb 6tgb 12secb
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
24cosb ;
25 b 4to C.
7senb
25
7tgb
24
Se pide:
7 7 25V 5 6 12
25 24 24
V 9,35 RPTA.: D
2) Si: 2 1cos , IVC
16
Calcule: sec cscM
1 ctg
A) 15
4 B) 1
4 C) 15
4
D) 1
4 E) 4
RESOLUCIÓN
1
cos4
IVC
sec csc sec cscM M
1 ctg 1 ctg
+ -
257
b
24
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4 4
1 15M1
115
14 1
5M
11
5
M 4
RPTA.: E
3) Halle: ctg
A) 5
4 B) 5
4 C) 3
4
D) 7
4 E) 1
4
RESOLUCIÓN
xCtg
y
7Ctg
4 RPTA.: D
4) Las medidas de dos ángulos coterminales son
proporcionales a los número 5 y 2. Además la
medida del mayor ellos está comprendida entre
1000º y 1700º; halle la suma de medidas de
dichos ángulos.
A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
RESOLUCIÓN
Sean “” y “ ” ( > ) las medidas de los 2
ángulos coterminales, luego:
360º n ….......(i);
"n"
5
2
… (ii)
(ii) en (i):
5k - 2k = 360º x n k = 120ºx n
”k” en (ii): ...(iii)
* 1000º < < 1700º 1000º<600º
x n < 1700º n= 2
”n” en (iii) :
+ = 1680º
RPTA.: C
PROBLEMA DE CLASE
1) Sabiendo que cos = 4
1 , 270º < < 360º ,
Entonces el valor de la expresión
CtgCscSec
1
, es:
a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50
2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III
2) Si ctg = -4 , IV C. calcular :
213
17
cossenR
a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2
2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III
37º
37º
(-7;4)x y
4
4
4 3
4
x
y
5k
2k
600º n
240º n
1200º
480º
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3) El producto de cinco razones trigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
a) 5
53 b) 5
5 c)
2
31 d) 2
13 e) 5
53
4) Del grafico siguiente; hallar tg + tg
a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
5) El lado final de un ángulo en posición normal,
cuya medida es pasa por el punto (3,-7).
Calcular: senE cos58
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5
6) Si es la medida de un ángulo en posición
normal, además:
03
2cos;0;0 tgtgsensen
Calcular: SecctgF .5
A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1
7) Si:
22
3;cos
4
1
2
1
2
12
senCos
Calcular: cos16 ctgF
A) 773 B) 767 C) 761
D) 754 E) 727
8) Determinar el signo en cada cuadrante de:
sen
senE
cos.
cos1
A) ++++ B) +-++ C) +-+- D) -+-+ E) --++
9) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) .
Calcular ctg
A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E) 25
10) De la figura mostrada; calcular:
F = Sec.Csc
A) – 5/2 B) – 3/2 C) -1 D) ½ E) 3/2
11) De la figura mostrada calcular:
tg
tgE
9
A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49
12) De la figura mostrada, calcular:
F= 3sec2 - tg
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A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
13) De la figura mostrada, calcular: F=
Ctg.ctg
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6
14) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular
el valor de: E = tg.tg
A)-1 B) 2
ab C)
2
ba D) 1 E)
2
ab
15) Calcular dos ángulos coterminales en donde el
mayor es el séxtuplo del menor y su suma está comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el ángulo mayor.
A) 630º B) 680º C) 700º D) 800º E) 864º
16) De la figura mostrada, simplifique:
)().cos(.2
CtgsenM
A) sen.2 B) Cos.2 C) sen.2
2
D) Cos.2
2 E) Tg.2
17)
Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices de un triángulo ABC y K un punto perteneciente
al lado final de una ángulo en posición normal . Si K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula
11Tg
A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6
18) En la figura mostrada, calcule
TgSecTg 2
A) -1 B) 1 C) 3/2 D) 3 E) 7
19) Si es un ángulo en posición normal, se cumple que
3 sen + 4 cos = 0, I sen I + Sen = 0.
Calcule
Ctg
Sec
Sec
Ctg
CtgA
A) -11/4 B) -7/4 C) -3/2 D) -3/4 E) 5/4
20) Si es un ángulo relativo del cuarto cuadrante. Hallar el signo de las expresiones:
I. cos(-) II.sen
2
III. sec
2
A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+)
C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–) E) (+), (+), (–)
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PREGUNTAS DE REPASO
1. La expresión :
Es real, hallar el valor de:
Cuando ‘‘ ’’ es ángulo cuadrantal a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3
2. Si ‘‘n’’ es un numero entero positivo,
calcule el valor de:
a) b) c)
d) e)
3. Q es un punto perteneciente a la circunferencia mostrada, cuya ordenada es máxima, halle
. Siendo un ángulo en posición normal, cuyo lado final pasa por el punto Q. Además AB=3BC.
x
y
θA
B
C
(x+5)2+(y+2)2=169
a)16 b) 19 c) 14
d) e) -15
4. Del grafico mostrado, calcular el valor de:
x
y
(2Tanβ; -Secβ)θ
β
a) b) c)
d) e) 1
5. Si:
y . Hallar el valor de:
a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2
6. Si y , Determine el signo de P, Q y R
a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+) c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+) e)(+),(-),(-)
7. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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II.
III.
a) VVV b) VFF c) FVV d) FFF e) N.A
8. Del grafico , halle
x
y
α
(1;a)
y=x2
a) 1 b) c) 2
d) e)
9. Si es un ángulo agudo , hallar todos lo
valores de ‘‘ ’’ para que la expresión:
Resulte un número real
a) b) c) d) e)
10. Si: . ¿A que es igual?
a) b) c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2
11. En el grafico mostrado el área del triangulo AOB es igual al área del triangulo DCB. Hallar el valor de:
y
xθ
A
B
C
D
O
a) 1/2 b) 1/3 c)
d) e)
12. Del grafico mostrado, calcular el valor de:
Si:
x
y
O1
O2
O
θ
(-a;a)
a)- b) c)
d) e) 0