Semana 2: Movimiento unidimensional Resnick...
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Semana 2: Movimiento unidimensionalResnick Capítulo 2
2.1 Velocidad media e instantánea.
2.2 Aceleración media e instantánea
2.3 Movimiento con aceleración
constante. MRUA
Mov. Unidimensional
• Nuestro movimiento consiste en una
partícula que se mueve en línea recta, a
este movimiento se le denomina
Movimiento Unidimensional.
• Ejemplos: Caída de una piedra; la
aceleración de un tren; el frenado de un
automóvil;etc.
Descripción del Movimiento.
• Puede obtenerse una descripción completa del movimiento si conocemos la dependencia de su posición en el tiempo en todo momento. Ésta es precisamente la función
xt
)(tx
Ejemplo 2.3: Movimiento acelerado
En este caso la velocidad está cambiando y por lo tanto la pendiente cambiará también. Estas gráficas son, curvas . Dos ejemplos son:
)cos()( tAtx ω=
2)( CtBtAtx ++=
Velocidad Promedio
• Supongamos que la partícula está en un punto en el tiempo y luego se mueve hasta el punto en el tiempo
• La velocidad promedio en el intervalo se define así:
2x1t1x
2t
t
x
tt
xxv
∆
∆=
−
−=
12
12
Aceleración promedio
• Aceleración instantánea(aceleración)
t
v
tt
vva
∆
∆=
−
−=
12
12
dt
dv
t
v
ta =
∆
∆
→∆=
0
lím
Ejemplo 2.4:
Una partícula que se mueve a lo largo del eje x está localizada en en
y en .Hallar:
a) Su desplazamiento
b) Velocidad promedio en este intervalo
mxi 12= sti 1=
mx f 4= st f 3=
Respuesta:
( )
smtt
xxv
mxxx
vx
msxmsx
if
if
m
if
m
fi
/413
8 b)
8124 a)
:Solución
? b) ;? a)
43 ,12)1( :Datos
−=−
−=
−
−=
−=−=−=∆
==∆
==
Ejemplo 2.5:Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su coordenada varía con el tiempo de acuerdo con la expresión: donde x está dada en m y t es s.
a) Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos t=0 a t=1s y de t=1 a t= 3s.
b) Calcule la velocidad media en dichos intervalos de tiempos.
c) Halle la velocidad instantánea de la partícula en t=2.5s
224 ttx +−=
Respuesta:
( )
mxsxx
mxsxx
sv
vvx
xtttx
s
s
smsms
s
8)2(6)1()3(
2)0(2)0()1( a)
:Solución
.?)5.2( c)
y ?y ? b) ;?
y ? a) ,24 :Datos
3,1
1,0
)3,1()1,0(3,1
1,0
2
=−−=−=∆
−=−−=−=∆
=
===∆
=∆+−=
( ) ( ) smtsdt
dxsv
smxsx
v
smxsx
v
s
sm
sm
/6445.25.2 c)
/413
)1()3(
/201
)0()1( b)
5.2
)3,1(
)1,0(
=+−==
−=−
−=
−=−
−=
Ejemplo 2.6:
• Un coche rápido acelera de 0 a 105 km/h en 5 s.¿Cuál es la aceleración media durante ese período?.
• Compare esta aceleración con la correspondiente a un cuerpo al caer libremente por acción de la gravedad.
Respuesta:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )gsm
svsva
a
sm
s
h
km
m
h
kmsvsmv
f
sm
sm
f
<=−
=−
−=
=
=
=
=××==
20
0,5
2
0,5
0
/83.55
017.29
05
05
:Solución
.9.8m/sg
conn aceleració estacomparar ?,
/17.29
3600
1
1
10001055 ,/00 :Datos
Ejemplo 2.7:La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía con el tiempo de acuerdo con la expresión
donde t está es s.
a) Calcular la Aceleración media de t= 0 a t=2s.
b) Determine la aceleración en t= 2s
smtv /)540( 2−=
Respuesta:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
2
20
0,2
0,2
2
/201022 b)
/102
4020
02
02 a)
:Solución
?2 b)
? a) ,/)540( :Datos
smtsdt
dvsa
smsvsv
a
sa
asmttv
s
f
sm
sm
−=−==
−=−
=−
−=
=
=−=
Ejemplo 2.8:Un automóvil viaja por una autopista recta. Su aceleración en función del tiempo es:
La posición en el instante t=0s es x(0)=0m y la velocidad en ese mismo instante es v(0)=10 m/s.
a) Obtener la expresión de la velocidad y la posición en función del tiempo.
b) ¿En qué instante es máxima la velocidad del automóvil?
c) ¿Cuál es la velocidad máxima?
tsmsma )/1.0(/2 32−=
Respuesta:( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 2
2
0
2
0
maxmax
05.210
10005.2102
1.02
)1.02(0
:Solución
? c) ,
obtiene se que Para ?, ?, a) :Hallar
/100 ,00 ,1.02 :Datos
tttv
ttt
ttv
dttvtv
vv
ttxtv
smvmxtta
t
t
−+=
⇒+−−=+−=
−=−
=
==
==−=
∫
( ) ( )
( ) ( )
( )
max
322
32
0
32
0
2
su
alcanza donde del compone se su vértice luego abajo,
hacia abre que parábola una es que cuenta damos
nos velocidadla deecuación la Observando b)
1067.110
03
05.0103
05.010
)05.0210(0
:enemosposición t la Para
v
t
ttttx
ttt
ttttx
dtttxtx
t
t
−×−+=
⇒−−+=−+=
−+=− ∫
( )
( ) ./3020 c)
.20 es máxima
adsu velocid alcanza donde tiempoel Luego
30m/s ; 204
; 2
:es parábola una de vérticeel Como
max
2
smsv
st
ssqa
ba
a
bs
=
=
=
−−−
Movimiento con aceleración constante.
2
0
2
0
2
2
0
0
2
1
2
2
2
1
atvtx
tvx
vvv
axvv
attvx
vatv
−=
=
+=
+=
+=
+=
Ejemplo 2.9:Un coche con velocidad de 30 m/s frena en un semáforo. Si la aceleración es de
a) ¿Cuánto tiempo continúa desplazándose el coche después de frenar?
b) ¿Qué tanto espacio recorrió en ese tiempo?
25
s
m−
Respuesta:
ma
vvxaxvv
s
a
vvtatvv
xt
smasmvsmv
f
f
f
f
f
f
902
despejando ,2 b)
65
300
despejando , MRUA
un de cinemática la deecuación laPor a)
:Solución
? b) ,? a)
/5 , /0 , /30 :Datos
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
=−
=+=
=−
−=
−=+=
==
−===
Ejemplo 2.10:Un coche circula a 80 km/h por una zona escolar. Un coche de policía parte del reposo cuando el infractor pasa ante el y le persigue acelerando a una velocidad constante de 8 km/h.s.
a)¿Cuánto tiempo tarda el coche de policía en alcanzarle?
b)¿Qué velocidad llevaba el coche de policía en el momento de alcanzarle?
Respuesta:
02
1 : despejando ,
2
1 :decir es ,
2
1y a)
:Solución
?)( b) ?, a)
22.2.3600
100088 ,0
/22.221
1000
3600
180 :Datos
22
2
)( 2
=−=
=⇒+==
==
====
=××=
⋅
tVtAttAtV
XXtAtVXtVX
tVt
ss
mAV
smkm
m
s
h
h
kmv
cppc
pcpoppcc
epe
sm
shKm
psm
polo
coche
sm
popp
p
c
cpcp
tAVV
sA
Vt
VtAsttVtA
44)82.19(22.2
b)
82.1922.2
)22(22 :donde de
02
1 ó 00)
2
1(
2
1
=≡
+=
===
=−=⇒=−