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Semana 2-Metodos de Integracion
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ANLISIS MATEMTICO 2
FORMACIN POR COMPETENCIAS
MTODOS DE
INTEGRACIN
-
Objetivos
Integrar funciones trigonomtricas segn sean los casos.
Integrar funciones racionales propias mediante una descomposicin en la suma de fracciones parciales,
segn sean los casos.
Integrar por sustitucin trigonomtrica segn sus casos.
Aplicar estos mtodos de integracin a diferentes problemas de contexto real.
-
Integrales de la forma
Si es un entero positivo impar y cualquier nmero
real, se factoriza dentro del integrando
y () se transforma en trminos de .
Caso 1
Ejemplo: Hallar la siguiente integral
. ()
Solucin
= . (). = ( )
()
=
+
+
= +
-
Integrales de la forma
Caso 2 Si es un entero positivo impar y cualquier nmero
real, se factoriza dentro del integrando
y () se transforma en trminos de .
Ejemplo: Hallar la siguiente integral
. ()
Solucin
= . (). = ()( )()
= () + + + ()
=()+
+
+
+ + +
+ +
-
Integrales de la forma
Caso 3 Si y son enteros positivos pares, se usan las identidades:
Ejemplo: Hallar la siguiente integral
.
Solucin
= ()
+ ()
=
() =
+
+
=
() +
= ()
y =
+ ()
-
Integrales de la forma
y Caso 1
Caso 2
+ = y + =
Si es un entero positivo impar y cualquier nmero real, se factoriza dentro del integrando . (o . ) y las tangentes (cotangentes) restantes se transforman a secantes (o cosecantes)
Si es un entero positivo par y cualquier nmero real,
se factoriza dentro del integrando (o ) y
las secantes (o cosecantes) restantes se transforman en
tangentes (o cotangentes)
Identidades a usar
-
Ejemplos
1. Calcular la siguiente integral:
Solucin
()
= ()()
= ()(). .
= ( ) ()
=
() +
=
()
+
()
+
-
Ejercicios
1. En cada caso, determine la integral indefinida,
.
. ()
a)
b)
Solucin:
c) . ()
-
Fracciones parciales
Este mtodo se usa para calcular integrales de la forma:
()
()
donde () y () , son polinomios tal que
Grado
-
Fracciones parciales
El desarrollo del mtodo se basa en la descomposicin de la funcin racional propia en la suma de fracciones ms simples o sencillas (fciles de integrar) llamada fracciones parciales, es decir
()
()= + ++
Donde representa una fraccin parcial simple, por ejemplo
+ ;
( + );
+
+ +
Presentndose los siguientes casos para el denominador
:
-
1) Tiene factores lineales no repetidos
A cada factor lineal de la forma + que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de
la forma
+
donde es una constante a determinar.
Ejemplo
a) +
( )( + )=
+
+
b)
( + )( + )( )=
+ +
+ +
-
Ejemplo
Solucin:
Descomponga la fraccin 2
24 en fracciones parciales
=
( + )( )=
+ +
= + ( + )
( + )( )
Igualando numeradores = + ( + )
Para = : = =
Para = : = =
=
( + )+
( )
-
2) Tiene factores lineales repetidos k veces.
A cada factor lineal de la forma + que aparezca repetido veces en el denominador le corresponde una
suma de fracciones de la forma:
+ +
( + )
+
( + )++
( + )
donde es una constante a determinar.
Ejemplo
a) +
( )=
+
( )
b)
( + )=
+ +
( + )+
( + )
-
3) Tiene factores cuadrticos irreducti-
bles no repetidos
A cada factor cuadrtico irreductible de la forma
+ + que aparezca en el denominador le
corresponde una suma de fracciones de la forma: +
+ +
donde y son constantes a determinar.
Ejemplo
+
( + )( + )=
+
+ +
+
-
4) Tiene factores cuadrticos irreductibles
repetidos k veces.
A cada factor cuadrtico irreductible de la forma + + que aparezca en el denominador repetido
veces le corresponde una suma de fracciones de la forma:
+ + +
+ +
( + + )++
+ ( + + )
donde y son constantes a determinar.
Ejemplo
+
( + + )= + + +
+ +
( + + )
-
Funcin racional impropia
Siempre es posible conseguir que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador dividiendo ambos polinomios y aplicando el esquema de la divisin:
()=()()+()
De modo que podemos escribir
()
()= () +
()
()
Cociente Residuo
Grado < Grado ()
-
Ejemplos
1) Si tenemos la fraccin
+ entonces notamos que:
+
+ =
+
Cociente
Residuo
De esta manera consideraremos que el grado del
numerador es menor que el grado del denominador
Grado del numerador < Grado del denominador
-
Procedimiento para hallar ()
()
1. El polinomio () se descompone en el producto de factores lineales de la forma + , de factores cuadrticos irreductibles de la forma + + o una combinacin de ambos.
2. La funcin racional propia ()
() se descompone en la
suma de fracciones parciales, de acuerdo a los casos
estudiados.
3. Se determinan los valores de las constantes del
numerador de las fracciones parciales.
4. Se integra cada una de las fracciones parciales; as:
()
() = + ++
-
Ejemplos
1. Determinar cada una de las siguientes integrales:
La descomposicin en suma de fracciones parciales es
a) +
( )( )
Solucin
+
( )( + )( )=
+
+ +
+
( )( + )( )= + + + ( )( + )
( )( + )( )
+ = + + + ( )( + )
De la igualdad de polinomios, se tiene
-
Ejemplos
Para : = = =
( + )
( )( + )( ) =
+
+ +
+
Para : = = =
Para : = = =
+
( )( + )( )=
+
+ +
Integrando a ambos lados,
( + )
( )( + )( ) = + + + +
-
Ejemplos
La descomposicin en suma de fracciones parciales es
b) + +
+ +
Solucin
+ +
+ + = + +
( + )=
+
+ +
( + )
+ +
( + )=( + )+ + +
( + )
+ + = ( + )+ + +
De la igualdad de polinomios, se tiene
-
Ejemplos
Para : = 6= =
+ +
( + ) =
+ +
( + )+
Para : = = =
Para : = 3 = + + =
+ +
( + )=
+ +
( + )
Integrando a ambos lados,
+ +
( + ) = +
+ +
-
Ejemplos
La descomposicin en suma de fracciones parciales es
c) +
( + )
Solucin
+
( + )=
+ +
+
+
( + )=( + ) + ( + )
( + )
+ = ( + ) + +
De la igualdad de polinomios, se tiene
Para : = = =
-
Ejemplos
+
( + ) =
+ +
Para : = + =0
Para : = =
Integrando a ambos lados,
+
( + ) =
+
(
) +
Desarrollando el sistema, tenemos: = y =
+
( + )=
+
+
+
( + ) =
+ +
+ +
-
Ejercicios
1. Calcule las siguientes integrales
+
+
+ +
+ +
a)
b)
Solucin:
c)
( + )( + + )
-
Ejercicios
2. Si se cumple la igualdad
( + )(+)= . + + . + + .
+
Solucin:
Determine los valores de las constantes , y .
-
Sea = () y constante positiva Radical que contiene la
funcin integrando
Tringulo rectngulo
a usar
Sustitucin o cambio de
variable
= .
= .
+ = .
= .
= .
= . .
-
Ejemplos
1. Calcular la siguiente integral
=
( )
Solucin
=
( )
2 x
= =
Luego, reemplazando en la integral
= ().
( )
=
.
=
-
Ejemplos
Luego, se regresa a la variable original x, mediante
el tringulo rectngulo; as tenemos:
=
+ =
+
=
=
(). =
()
=
+
-
Ejercicios
1) Calcular las siguientes integrales:
,
;
Solucin:
a)
b)
, >
-
Ejercicios
2) Calcular las siguientes integrales:
Solucin:
a)
b)
+
+
( + + )
c)
-
Bibliografa
1. Calculus Larson Edwards
2. Calculus - James Stewart
3. Clculo integral Maynard Kong
4. Tpicos de Clculo Vol. 2 Mximo Mitacc - Lus
Toro Mota
5. Clculo I Mximo Mitacc M, Fernando Hoyos R,
Flix Villanueva S. y Gilberto Gmez C.
