Semana 11 transformada de laplace

Senales y Sistemas 1

Sesion 11

Andres Olarte Dussan

Universidad Nacional de Colombiasede Bogota

Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 11 1 / 47

Agenda

1 La transformada de Laplace

2 La transformada inversa de Laplace

3 Propiedades de la transformada de Laplace

4 La transformada unilateral de Laplace


La transformada de Laplace

La transformada de Laplace se define como

X (s)△

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt



La transformada de Laplace se define como

X (s)△

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt

Denotaremos la relacion de transformacion entre x(t) y X (s) como

x(t)L↔ X (s)



Cuando s = jω,

X (jω) =

∫ +∞

−∞x(t)e−jωtdt



Cuando s = jω,

X (jω) =

∫ +∞


que corresponde a la transformada de Fourier de x(t); esto es,

X (s)|s=jω = F{x(t)}



Cuando s = jω,

X (jω) =

∫ +∞




La transformada de Laplace tambien conlleva una relacion directa conla transformada de Fourier cuando la variable compleja s no espuramente imaginaria. Consideremos s = σ + jω, de manera que

x(σ + jω) =

∫ +∞

−∞

x(t)e−(σ+jω)tdt



Cuando s = jω,

X (jω) =

∫ +∞




La transformada de Laplace tambien conlleva una relacion directa conla transformada de Fourier cuando la variable compleja s no espuramente imaginaria. Consideremos s = σ + jω, de manera que

x(σ + jω) =

∫ +∞

−∞

x(t)e−(σ+jω)tdt

expresada de otra forma,

X (σ + jω) =

∫ +∞

−∞

[

x(t)eσt]

e−jωtdt


Ejemplo 1

Considere la senal x(t) = e−atu(t). Sabemos que la transformada deFourier X (jω) converge para a > 0 y esta dada por

X (jω) =

∫ +∞

−∞e−atu(t)e−jωtdt =

∫ ∞

0e−ate−jωtdt =

1

jω + aa > 0


Ejemplo 1


X (jω) =

∫ +∞


∫ ∞

0e−ate−jωtdt =

1

jω + aa > 0

La transformada de Laplace es

X (s) =

∫ ∞

−∞e−atu(t)e−stdt =

∫ ∞

0e−(s+a)tdt


Ejemplo 1


X (jω) =

∫ +∞


∫ ∞

0e−ate−jωtdt =

1

jω + aa > 0

La transformada de Laplace es

X (s) =

∫ ∞

−∞e−atu(t)e−stdt =

∫ ∞

0e−(s+a)tdt

o, con s = σ + ω,

X (σ + jω) =

∫ ∞

0e−(σ+a)te−jωtdt


Ejemplo 1

por lo tanto

X (σ + jω) =1

(σ + a) + jωσ + a > 0


Ejemplo 1

por lo tanto

X (σ + jω) =1

(σ + a) + jωσ + a > 0

o, de manera equivalente puesto que s = σ + jω y σ = Re{s},

X (s) =1

s + a, Re{s} > −a


Ejemplo 1

por lo tanto

X (σ + jω) =1

(σ + a) + jωσ + a > 0

o, de manera equivalente puesto que s = σ + jω y σ = Re{s},

X (s) =1

s + a, Re{s} > −a

Esto es,

e−atu(t)L↔

1

s + a, Re{s} > −a

Por ejemplo, para a = 0, x(t) es el escaon unitario con transformadade Laplace X (s) = 1/s, Re{s} > 0


Ejemplo 2

Cosideremos como un segundo ejemplo la senal

x(t) = −e−atu(−t)


Ejemplo 2



Entonces

X (s) = −

∫ ∞

∞e−ate−stu(−t)dt

= −

∫ 0

−∞e−(s+a)tdt


Ejemplo 2



Entonces

X (s) = −

∫ ∞


= −

∫ 0

−∞e−(s+a)tdt

o

X (s) =1

s + a


Ejemplo 2



Entonces

X (s) = −

∫ ∞


= −

∫ 0

−∞e−(s+a)tdt

o

X (s) =1

s + a

Para convergencia en este ejemplo, necesitamos que Re{s + a} < 0,o Re{s} < −a; esto es,

−e−atu(−t)L↔

1

s + a, Re{s} < −a


EjemploRegion de convergencia

−a

Im

Re −a

Im

Re

Ejemplo 1

eatu(t)L↔

1

s + a, Re{s} > −a

Ejemplo 2

−e−atu(−t)L↔

1

s + a, Re{s} < −a


Ejercicio

x(t) = e−tu(t)− e−2tu(t)

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

¿Cual de las siguientes es la transformada de Laplace de x(t)?

1 X (s) =1

(s + 1)(s + 2); Re > −1

2 X (s) =1

(s + 1)(s + 2); Re > −2

3 X (s) =s

(s + 1)(s + 2); Re > −1

4 X (s) =s

(s + 1)(s + 2); Re > −2

5 ninguna de las anteriores.


Ejercicio

X (s) =

∫ ∞

0(e−t − e−2t)e−stdt


Ejercicio

X (s) =

∫ ∞


∫ ∞

0e−te−stdt −

∫ ∞

0e−2te−stdt


Ejercicio

X (s) =

∫ ∞


∫ ∞

0e−te−stdt −

∫ ∞

0e−2te−stdt

1

s + 1−

1

s + 2=

(s + 2)− (s + 1)

(s + 2)(s + 1)=

1

(s + 2)(s + 1)


Ejercicio

X (s) =

∫ ∞


∫ ∞

0e−te−stdt −

∫ ∞

0e−2te−stdt

1

s + 1−

1

s + 2=

(s + 2)− (s + 1)

(s + 2)(s + 1)=

1

(s + 2)(s + 1)

Esta ecuacion converge si Re(s + 1) > 0 y Re(s + 2) > 0


Ejercicio

X (s) =

∫ ∞


∫ ∞

0e−te−stdt −

∫ ∞

0e−2te−stdt

1

s + 1−

1

s + 2=

(s + 2)− (s + 1)

(s + 2)(s + 1)=

1

(s + 2)(s + 1)

Esta ecuacion converge si Re(s + 1) > 0 y Re(s + 2) > 0

1

(s + 2)(s + 1); Re(s) > −1

−1

Im

Re−2


Ejercicio

x(t) = e−tu(t)− e−2tu(t)

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

¿Cual de las siguientes es la transformada de Laplace de x(t)? 1

1 X (s) =1

(s + 1)(s + 2); Re > −1

2 X (s) =1

(s + 1)(s + 2); Re > −2

3 X (s) =s

(s + 1)(s + 2); Re > −1

4 X (s) =s

(s + 1)(s + 2); Re > −2

5 ninguna de las anteriores.


La transformada inversa de Laplace



Cuando s se expresa como s = σ + jω, la transformada de Laplace deuna senal x(t) esta dada por

X (σ + jω) = F{x(t)eσt} =

∫ +∞

−∞x(t)e−σte−jωdω





∫ +∞


Podemos invertir esta relacion usando la transformada inversa deFourier,

x(t)e−σt = F−1{X (σ + jω)} =1

2π

∫ +∞

−∞X (σ + jω)e−jωtdt





∫ +∞



x(t)e−σt = F−1{X (σ + jω)} =1

2π

∫ +∞


0, multiplicando ambos lados por eσt , obtenemos

x(t) =1

2π

∫ +∞

−∞X (σ + jω)eσ+jωdω




x(t)e−σt = F−1{X (σ + jω)} =1

2π

∫ +∞


0, multiplicando ambos lados por eat , obtenemos

x(t) =1

2π

∫ +∞

−∞X (σ + jω)eσ+jωdω

El resultado es la ecuacion basica de la transformada inversa deLaplace:

x(t) =1

2πj

∫ σ+jω

σ−jωX (s)estds


Ejemplo

−1

Im

Re−2

Sea

X (s) =1

(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2


Ejemplo

−1

Im

Re−2

Sea

X (s) =1

(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2

primero realizamos la transformacion en fracciones parciales

X (s) =1

(s + 1)(s + 2)=

A

s + 1+

B

s + 2


Ejemplo

−1

Im

Re−2

Sea

X (s) =1

(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2

primero realizamos la transformacion en fracciones parciales

X (s) =1

(s + 1)(s + 2)=

A

s + 1+

B

s + 2

La expansion en fracciones parciales de X (s) es

X (s) =A

s + 1−

B

s + 2


Ejemplo

−1

Im

Re−2

Esto corresponde a s = −1 que es Re{s} < −1 y a s = −2 que esRe{s} < −2


Ejemplo

−1

Im

Re−2

Esto corresponde a s = −1 que es Re{s} < −1 y a s = −2 que esRe{s} < −2

Entonces,

−e−tu(−t)L↔

1

s + 1, Re{s} < −1

−e−2tu(−t)L↔

1

s + 2, Re{s} < −2


Ejemplo

Entonces,

−e−tu(−t)L↔

1

s + 1, Re{s} < −1


1

s + 2, Re{s} < −2


Ejemplo

Entonces,

−e−tu(−t)L↔

1

s + 1, Re{s} < −1


1

s + 2, Re{s} < −2

con la expresion obtenida,

X (s) =A

s + 1−

B

s + 2


Ejemplo

Entonces,

−e−tu(−t)L↔

1

s + 1, Re{s} < −1


1

s + 2, Re{s} < −2

con la expresion obtenida,

X (s) =A

s + 1−

B

s + 2

de modo que

x(t) =[

−e−t + e−2t]

u(t)L↔

1

(s + 1)(s + 2), Re{s} < −2


Propiedades la la transformada de

Laplace


Linealidad de la transformada de Laplace

Six1(t)

L↔ X1(s)

con una region de convergencia que se senalara como R1



Six1(t)

L↔ X1(s)


y

x2(t)L↔ X2(s)




Six1(t)

L↔ X1(s)


y

x2(t)L↔ X2(s)


entoncesax1(t) + bx2(t)

L↔ aX1(s) + bX2(s)

con la ROC conteniendo R1 ∩ R2


Desplazamiento en el tiempo

Six(t)

L↔ X (s), con ROC = R


Desplazamiento en el tiempo

Six(t)


entoncesx(t − t0)

L↔ e−st0X (s) con ROC = R


Desplazamiento en el dominio de s

Six(t)




Six(t)


entonces

es0tx(t)L↔ X (s − s0) con ROC = R +Re{s0}


Escalamiento en el tiempo

Six(t)




Six(t)


entonces

X (at)L↔

1

|a|X( s

a

)

, con ROC R1 =R

a


Conjugacion

Six(t)



Conjugacion

Six(t)


entoncesx∗(t)

L↔ X ∗(s∗), con ROC = R


Conjugacion

Six(t)


entoncesx∗(t)

L↔ X ∗(s∗), con ROC = R

Por lo tanto,X (s) = X ∗(s∗)

cuando x(t) es real


Propiedad de convolucion

Six1(t)

L↔ X1(s)




Six1(t)

L↔ X1(s)


y

x2(t)L↔ X2(s)




Six1(t)

L↔ X1(s)


y

x2(t)L↔ X2(s)


entoncesx1(t) ∗ x2(t)

L↔ X1(s)X2(s)

con la ROC conteniendo R1 ∩ R2


Diferenciacion en el dominio del tiempo

Six(t)




Six(t)


entoncesdx(t)

dt

L↔ sX (s), con ROC = R



Six(t)


entoncesdx(t)

dt


De esta propiedad se puede deducir la transformada inversa deLaplace

x(t) =1

2πj

∫ σ+jω

σ−jωX (s)estds



Six(t)


entoncesdx(t)

dt


De esta propiedad se puede deducir la transformada inversa deLaplace

x(t) =1

2πj

∫ σ+jω

σ−jωX (s)estds

Entoncesdx(t)

dt=

1

2πj

∫ σ+jω

σ−jωsX (s)estds


Diferenciacion en el dominio de s

Si diferenciamos ambos miembros de la transformada de Laplace

X (s) =

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt




X (s) =

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt

obtenemosdX (s)

ds=

∫ +∞

−∞(−t)x(t)e−stdt




X (s) =

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt

obtenemosdX (s)

ds=

∫ +∞


En consecuencia, si

x(t)L↔ X (s), con ROC = R




X (s) =

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt

obtenemosdX (s)

ds=

∫ +∞


En consecuencia, si

x(t)L↔ X (s), con ROC = R

entonces

−tx(t)L↔

dX (s)

dtcon ROC = R


Ejemplo

Obtengamos la transformada de Laplace de

x(t) = te−atu(t)


Ejemplo


x(t) = te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)L↔

1

s + a, Re{s} > −a


Ejemplo


x(t) = te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)L↔

1

s + a, Re{s} > −a

De la propiedad de diferenciacion en el dominio de s se desprende que

te−atu(t)L↔ −

d

ds

[

1

s + a

]

=1

(s + a)2, Re{s} > −a


Ejemplo


x(t) = te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)L↔

1

s + a, Re{s} > −a

De la propiedad de diferenciacion en el dominio de s se desprende que

te−atu(t)L↔ −

d

ds

[

1

s + a

]

=1

(s + a)2, Re{s} > −a

De hecho mediante la aplicacion repetida

t2

2eatu(t)

L↔

1

(s + a)3, Re{s} > −a


Ejemplo

y de manera mas general

tn−1

(n − 1)!e−atu(t)

L↔

1

(s + a)n, Re{s} > −a


Integracion en el dominio del tiempo

Six(t)

R↔ X (s) con ROC = R



Six(t)


entonces∫ t

−∞x(τ)dτ

R↔

1

s,

con la ROC contenido R ∩ {Re(s) > 0}



Six(t)


entonces∫ t

−∞x(τ)dτ

R↔

1

s,


Se puede deducir de la propiedad de convolucion,

∫ t

−∞x(τ)dτ = u(t) ∗ x(t)



Six(t)


entonces∫ t

−∞x(τ)dτ

R↔

1

s,


Se puede deducir de la propiedad de convolucion,

∫ t

−∞x(τ)dτ = u(t) ∗ x(t)

Con x(t) = e−atu(t) y a = 0

u(t)R↔

1

s, Re{s} > 0


Teorema de valor inicial y de valor final

El teorema de valor inicial establece que

x(0+) = lıms→∞

sX (s)


Teorema de valor inicial y de valor final

El teorema de valor inicial establece que

x(0+) = lıms→∞

sX (s)

mientras que el teorema de valor final nos dice que

lımt→∞

x(t) = lıms→0

sX (s)


Tabla de propiedades

Propiedad Senal Transformada ROC

Linealidad ax1(t) + bx2(t) aX1(s) + bX2(s)Al menos R1 ∩ R2




Linealidad

Desplazamiento en tiempo

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

Al menos R1 ∩ R2

R




Linealidad


Desplazamiento en eldominio de s

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

Al menos R1 ∩ R2

R

Vesion desplazada de R (es decir,s esta en la ROC si s − s0 esta enR)




Linealidad




ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

Al menos R1 ∩ R2

R


ROC escalada (es decir, s esta enla ROC si s/a esta en R)




Linealidad




Conjugacion

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

x∗(t)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

Al menos R1 ∩ R2

R



R




Linealidad




Conjugacion

Convolucion

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

Al menos R1 ∩ R2

R



R

Al menos R1 ∩ R2




Linealidad




Conjugacion

Convolucion

Diferenciacion en el tiempo

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s)

Al menos R1 ∩ R2

R



R

Al menos R1 ∩ R2

Al menos R




Linealidad




Conjugacion

Convolucion


Diferenciacion en el dominiode s

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

−tx(t)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s)

d

dsX (s)

Al menos R1 ∩ R2

R



R

Al menos R1 ∩ R2

Al menos R

R




Linealidad




Conjugacion

Convolucion



Integracion en el tiempo

ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

−tx(t)∫

t−∞

x(τ)d(τ)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s)

d

dsX (s)

1

sX (s)

Al menos R1 ∩ R2

R



R

Al menos R1 ∩ R2

Al menos R

R

Al menos R ∩ {Re{s} > 0}




Linealidad




Conjugacion

Convolucion




ax1(t) + bx2(t)

x(t − t0)

es0tx(t)

x(at)

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

−tx(t)∫

t−∞

x(τ)d(τ)

aX1(s) + bX2(s)

e−st0X (s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s)

d

dsX (s)

1

sX (s)

Al menos R1 ∩ R2

R



R

Al menos R1 ∩ R2

Al menos R

R

Al menos R ∩ {Re{s} > 0}

Teoremas del valor inicial y final

Si x(t) = 0 para t < 0 y x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces

x(0+) = lım

s→∞

sX (s)

lımt→∞

x(t) = lıms→0

X (s)


Algunos pares de transformadas de Laplace

Senal Transformada ROC

δ(t) 1 Toda s




δ(t)

u(t)

11

s

Toda s

Re{s} > 0




δ(t)

u(t)

−u(−t)

11

s

1

s

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0




δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1

(n − 1)!u(t)

11

s

1

s

1

sn

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > 0




δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1

(n − 1)!u(t)

−tn−1

(n − 1)!u(−t)

11

s

1

s

1

sn

1

sn

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > 0

Re{s} < 0




δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1

(n − 1)!u(t)

−tn−1

(n − 1)!u(−t)

e−atu(t)

11

s

1

s

1

sn

1

sn

1

s + a

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a




δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1

(n − 1)!u(t)

−tn−1

(n − 1)!u(−t)

e−atu(t)

−e−atu(−t)

11

s

1

s

1

sn

1

sn

1

s + a

1

s + a

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a

Re{s} < −a




δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1

(n − 1)!u(t)

−tn−1

(n − 1)!u(−t)

e−atu(t)

−e−atu(−t)

tn−1

(n − 1)!e−atu(t)

11

s

1

s

1

sn

1

sn

1

s + a

1

s + a

1

(s + a)n

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a

Re{s} < −a

Re{s} > −a




δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1

(n − 1)!u(t)

−tn−1

(n − 1)!u(−t)

e−atu(t)

−e−atu(−t)

tn−1

(n − 1)!e−atu(t)

−tn−1

(n − 1)!e−atu(−t)

11

s

1

s

1

sn

1

sn

1

s + a

1

s + a

1

(s + a)n

1

(s + a)n

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a

Re{s} < −a

Re{s} > −a

Re{s} < −a




δ(t − T ) e−sT Toda s




δ(t − T )

[cosω0t]u(t)

e−sT

s

s2 + ω20

Toda s

Re{s} > 0




δ(t − T )

[cosω0t]u(t)

[sinω0t]u(t)

e−sT

s

s2 + ω20

ω0

s2 + ω20

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0




δ(t − T )

[cosω0t]u(t)

[sinω0t]u(t)

[e−at cosω0tu(t)]

e−sT

s

s2 + ω20

ω0

s2 + ω20

s + a

(s + a)2 + ω20

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a




δ(t − T )

[cosω0t]u(t)

[sinω0t]u(t)


[e−at senω0tu(t)]

e−sT

s

s2 + ω20

ω0

s2 + ω20

s + a

(s + a)2 + ω20

ω0

(s + a)2 + ω20

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a

Re{s} > −a




δ(t − T )

[cosω0t]u(t)

[sinω0t]u(t)



un(t) =dnδ(t)

dtn

e−sT

s

s2 + ω20

ω0

s2 + ω20

s + a

(s + a)2 + ω20

ω0

(s + a)2 + ω20

sn

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a

Re{s} > −a

Toda s




δ(t − T )

[cosω0t]u(t)

[sinω0t]u(t)



un(t) =dnδ(t)

dtn

u−n(t) = u(t) ∗ · · · ∗ u(y)︸︷︷︸

n veces

e−sT

s

s2 + ω20

ω0

s2 + ω20

s + a

(s + a)2 + ω20

ω0

(s + a)2 + ω20

sn

1

sn

Toda s

Re{s} > 0

Re{s} < 0

Re{s} > −a

Re{s} > −a

Toda s

Re{s} > 0


La transformada unilateral de

Laplace


La transformada unilateral de Laplace

La transformada unilateral de Laplace de una senal continua x(t) sedefine como

X (s)△

∫ ∞

0−x(t)e−stdt


La transformada unilateral de Laplace

La transformada unilateral de Laplace de una senal continua x(t) sedefine como

X (s)△

∫ ∞

0−x(t)e−stdt

donde el lımite de integracion inferior, 0−, significa que en el intervalode integracion incluimos cualquier impulso o funcion singular demayor orden concentrada en t = 0. La transformada unilateral deLaplace para una senal es:

x(t)UL↔ X (s) = UL{x(t)}


Ejemplo

Considere la senal

x(t) =tn−1

(n − 1)!e−atu(t)


Ejemplo

Considere la senal

x(t) =tn−1

(n − 1)!e−atu(t)

Ya que x(t) = 0 para t < 0, las transformadas unilateral y bilateralson identicas. Por lo tanto, de la tabla de pares de transformadas,

X (s) =1

(s + a)n, Re{s} > −a


Propiedades de la transformada unilateral de Laplace

Propiedad SenalTransformadaunilateral

Linealidad ax1(t) + bx2(t)aX1(s) + bX2(s)




Linealidad


ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)




Linealidad



ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)




Linealidad



Conjugacion

ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

x∗(t)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)




Linealidad



Conjugacion

Convolucion (suponiendox1(t), x2(t) = 0 para t < 0)

ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)




Linealidad



Conjugacion



ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s) − x(0−)




Linealidad



Conjugacion




ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

−tx(t)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s) − x(0−)

d

dsX (s)




Linealidad



Conjugacion





ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

−tx(t)∫

t

0−x(τ)d(τ)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s) − x(0−)

d

dsX (s)

1

sX (s)




Linealidad



Conjugacion





ax1(t) + bx2(t)

es0tx(t)

x(at), a > 0

x∗(t)

x1(t) ∗ x2(t)

d

dtx(t)

−tx(t)∫

t

0−x(τ)d(τ)

aX1(s) + bX2(s)

X (s − s0)

1

|a|X

(

sa

)

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX (s) − x(0−)

d

dsX (s)

1

sX (s)

Teoremas del valor inicial y final

Si x(t) = 0 para t < 0 y x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces

x(0+) = lım

s→∞

sX (s)

lımt→∞

x(t) = lıms→0

X (s)


Solucion de ecuaciones diferenciales usando la unilateral

transformada de Laplace

Ejemplo

Considere la ecuacion diferencial, con las siguientes condicionesiniciales:

d2y(t)

dt2+ 3

dy(t)

dt+ 2y(t) = x(t)

y(0−) = β, y ′(0−) = γ




Ejemplo


d2y(t)

dt2+ 3

dy(t)

dt+ 2y(t) = x(t)

y(0−) = β, y ′(0−) = γ

Sea x(t) = αu(t). Entonces, aplicando la transformada unilateral deLaplace a ambos lados de la ecuacion,

s2Y(s)− βs − γ + 3sY(s)− 3β + 2Y(s) =α

s




Ejemplo


d2y(t)

dt2+ 3

dy(t)

dt+ 2y(t) = x(t)

y(0−) = β, y ′(0−) = γ

Sea x(t) = αu(t). Entonces, aplicando la transformada unilateral deLaplace a ambos lados de la ecuacion,

s2Y(s)− βs − γ + 3sY(s)− 3β + 2Y(s) =α

s

o bien

Y(s) =β(s + 3)

(s + 1)(s + 2)+

γ

(s + 2)(s + 2)+

α

s(s + 2)(s + 2)




Ejemplo

o bien

Y(s) =β(s + 3)

(s + 1)(s + 2)+

γ

(s + 2)(s + 2)+

α

s(s + 2)(s + 2)




Ejemplo

o bien

Y(s) =β(s + 3)

(s + 1)(s + 2)+

γ

(s + 2)(s + 2)+

α

s(s + 2)(s + 2)

Por ejemplo si α = 2, β = 3 y γ = −5, al realizar la expansion enfracciones parciales, encontramos que

Y(s) =1

s−

1

s + 1+

3

s + 2




Ejemplo

o bien

Y(s) =β(s + 3)

(s + 1)(s + 2)+

γ

(s + 2)(s + 2)+

α

s(s + 2)(s + 2)

Por ejemplo si α = 2, β = 3 y γ = −5, al realizar la expansion enfracciones parciales, encontramos que

Y(s) =1

s−

1

s + 1+

3

s + 2

A cada uno de los terminos se obtiene

y(t) = [1− e−t + 3e−2t ]u(t) para t > 0


Ejercicio

Considere un circuito RL con ecuacion:

Ldi(t)

dt+ Ri(t) = v(t), i(0) = α

v(t) = u(t)

Resuelva la ecuacion diferencial y determina cuales afirmaciones sonverdaderas:

1 si lımt→∞

i(t), i(t) = 1/R .

2 si α = 1/R la corriente no cambia con esta entrada de voltaje.

3 si L aumenta lımt→∞

i(t) cambia.

4 Si R disminuye se llega a una corriente constante en menor tiempo.

5 Todas las anteriores.


Ejercicio

Ldi(t)

dt+ Ri(t) = u(t)

Aplicando la transformada unilateral de Laplace

L(sI (s) − α) + RI (s) =1

s

I (s) =1

s(Ls + R)+

Lα

(Ls + R)


Ejercicio

Ldi(t)

dt+ Ri(t) = u(t)


L(sI (s) − α) + RI (s) =1

s

I (s) =1

s(Ls + R)+

Lα

(Ls + R)

Utilizando fracciones parciales

I (s) =1

Rs−

1

R(s + R/L)+

α

s + R/L


Ejercicio

Ldi(t)

dt+ Ri(t) = u(t)


L(sI (s) − α) + RI (s) =1

s

I (s) =1

s(Ls + R)+

Lα

(Ls + R)

Utilizando fracciones parciales

I (s) =1

Rs−

1

R(s + R/L)+

α

s + R/L

Su transformada inversa

i(t) =1

R−

1

Re−R/L t + αe−R/L t


Ejercicio

i(t) =1

R−

1


lımt → ∞i(t) =

1

R


Ejercicio

i(t) =1

R−

1


lımt → ∞i(t) =

1

R

La velocidad de la llegada a corriente constante depende del terminoR/L


Ejercicio

Considere un circuito RL con ecuacion:

Ldi(t)

dt+ Ri(t) = v(t), i(0) = α

v(t) = u(t)

Resuelva la ecuacion diferencial y determina cuales afirmaciones sonverdaderas:

1 si lımt→∞

i(t), i(t) = 1/R .

2 si α = 1/R la corriente no cambia con esta entrada de voltaje.

3 si L aumenta lımt→∞

i(t) cambia.

4 Si R disminuye se llega a una corriente constante en menor tiempo.

5 Todas las anteriores.


Resumen de sesion

1 La transformada de Laplace

2 La transformada inversa de Laplace

3 Propiedades de la transformada de Laplace

4 La transformada unilateral de Laplace


Siguiente sesion

Representacion de la magnitud-fase de la transformada de Fourier

La transformada z

La transformada z inversa

Propiedades de la transformada z

Algunos pares comunes de transformada z

La transformada z unilateral.Lecturas recomendadas

◮ Seccion 10.1◮ Seccion 10.3◮ seccion 10.5◮ seccion 10.6◮ seccion 10.9

del libro Senales y Sistemas, Alan V. Oppenheim, Segunda Edicion.


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