Teora de colas

Teora de colasInvestigacin de Operaciones IIEjercicio 01La gerencia de una tienda de abarrotes, en la comunidad para jubilados, estainteresado en brindar un buen servicio a las personas de mayor edad que compran en sitienda. Actualmente la tienda tiene un mostrador a un ritmo promedio de 30 por hora, deacuerdo con una distribucin de poisson. y son atendidos a una tasa promedio de 35 clientespor hora, con tiempos de servicio exponencial. Calcule los siguientes promedios:

Utilizacin del empleado del mostrador de salida.Nmero de clientes que entran al sistema.Nmero de clientes formados en la fila.Tiempo transcurrido dentro del sistema.Tiempo de espera en la fila.

El mostrador de salida puede representarse como un sistema con un solo canal y una sola fase. Usamos las ecuaciones correspondientes a las caractersticas de operacin del modelo con un solo servidor para calcular las caractersticas promedio.Solucin1.Utilizacin promedio del mostrador es:

= 30/35 = 85.7 %2.Nmero promedio de clientes en el sistema:

L = (30)/(35-30) = 6 clientes3.Nmero promedio de clientes formados en la filaLq = L = (0.857)*(6) = 5.14 clientes

4.Tiempo promedio transcurrido dentro del sistema

W = 1/(35-30) = 0.20 horas = 12 minutos5.Tiempo transcurrido promedio en la fila de esperaWq = W =(0.857)*(0.20)=0.17 horas =10.28 minutos

La tienda desea saber que tasa de servicio se requiere para que los clientes solo pasen 8 minutos en el sistema

Usamos la ecuacin correspondiente al tiempo promedio dentro del sistema

8 minutos = 0.133 horas = 1/(-30)(-30)*(0.133) = 1 = 37.52 clientes / hora

Cola de Mltiples ServidoresLos clientes forman una sola fila y escogen, entre s servidores. Partimos de las siguientes supuestos:Tenemos s servidores idnticos,La distribucin del servicio para cada uno de ellos es exponencial, con un tiempo medio de servicio igual a 1/

= utilizacin promedio del sistema

FormulasProbabilidad del sistema

Probabilidad de que n elementos se encuentren en el sistema

Valor esperado del numero de clientes en cola

Tiempo medio de espera en la cola

Tiempo medio de espera en el sistema

Valor esperado del nmero de clientes en el sistema

Probabilidad de que un nuevo cliente tenga que esperar

Ejemplo 01Un banco dispone de 03 ventanillas de atencin. Los clientes llegan al banco con una tasa de 1 persona por minuto. El tiempo de servicio es de 02 minutos por persona.Datos: = 60 personas/hora = 60/2 = 30 personas/horas = 3 servidoresEncontrar las medidas de rendimiento del sistema = (60)/(30*3) = 0.667

p0 = 1 .5 + 4p0 =0.1111Valor esperado del nmero de clientes en cola

Lq =(60/30)3*(0.1111)*(60/90) 3! (1-(60/90))2Lq =0.89

Valor esperado del nmero de clientes en el sistema

L = 0.89 + (60/30) = 2.89Tiempo medio de espera en la cola

Wq = 2.89/60 = 0.0148Tiempo medio de espera en el sistema

W = 0.0148 + 1/30 = 0.04816

Ejercicio 02Un banco dispone de 3 ventanillas de atencin. Los clientes llegan al banco a una tasa de 40 por hora. El tiempo de servicio es de 3 minutos por persona.El banco se plantea si le conviene aumentar el nmero de ventanillas para satisfacer mejor a los clientes.El coste que le supone abrir una nueva ventanilla es de 6 euros la hora. El coste horario de espera se ha estimado en 18 euros por cliente.Datos: = 40 clientes/hora = 60/3 = 20 clientes/horas = 3 servidores.Cs = 6Cl = 18SolucinFormulas= 3s = 4s = 566.7 %50 %40 %P00.11110.13040.1475Lq0.88890.17390.0437L2.8892.172.04Coste de ServicioCs*s182430Coste de EsperaCl*L5239.1336.79Coste Total7063.1366.79

Ejercicio 03En un servidor de Internet existen 3 nodos que atienden peticiones a razn de 50 por minuto. El tiempo medio de servicio de cada nodo es de 3 segundos por peticin.En el servidor se plantean la posibilidad de instalar un nico nodo con tiempo de servicio de 1 segundo por peticin. Es conveniente esta opcin para reducir el tiempo medio de espera en el sistema?Datos: = 50 peticiones/hora = 20 peticiones/horas = 3 servidores.Para un nico servidor s = 1 = 60 peticiones/horaSolucinFormulas= 3s = 10.83330.8333P00.04490.1667Lq3.51124.1667WLq + 1 . 0.12020.1000

Ejercicio 04En una sala de urgencias de un hospital. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios se ajustan a una distribucin exponencial.Los pacientes llegan con una frecuencia de un paciente cada media hora.Y son atendidos en un paciente cada 20 minutos.Se plantea el tener uno o dos mdicos para atender a los pacientes que se presenten.Datos: =1 paciente cada media hora = 2 pacientes/hora = Un paciente cada 20 minutos = 3 pacientes/horas = 1s = 2SoluciniFormulas= 1s = 20.66670.3333P00.33330.5000P10.22220.3333Lq1.33330.0833L20.75Wq0.66670.04167W10.375

Ejercicio 05La planta tiene un gran nmero de mquinas que se atascan con frecuencia. Las mquinas son reparan con una disciplina FIFO por uno de los siete operarios disponibles para las reparaciones.La ocurrencia de mquinas atascadas se puede considerar un proceso de Poisson con una tasa promedio de 25 por hora.Cada mquina atascada precisa de una cantidad aleatoria de tiempo para su reparacin que se puede aproximar mediante una distribucin exponencial con un tiempo de servicio promedio de 15 minutos.Parece claro que la contratacin de ms personal reducira el numero de mquinas atascadas. Cuntas personas deberan contratarse?Datos: = 25 maquinas/hora = 4 maquinas/horas = 7 personas (sistema actual)

Adicionalmente se sabe:Coste por unidad de servicio es de $ 50 por hora y el coste por unidad de tiempo para un usuario esperando en el sistema es de $ 100 por hora perdida de produccin.SoluciniFormulas= 7s = 8s = 9s = 100.89290.78130.69440.6250P00.7017Lq5.8473L12.097Wq0.2339W0.4839

SolucinCantidad de TrabajadoresCantidad esperando en el SistemaCosto por Hora712.097350*7 + 100*12.0973 = 1559.7387.743650*8 + 100*7.7436 = 1174.3696.786350*9 + 100*6.7863 = 1128.63106.759450*10 + 100*6.7594 = 1145.94116.333050 * 11 + 100*6.3330 = 1183.30Costo total =Coste de los + Costo de Espera Servidores= Cs * c + Cw * LEjercicio 06Dos Mecnicos atienden 5 mquinas en un taller. Cada mquina se descompone con una media de 3/ hora . El tiempo de reparacin por maquina es exponencial con una distribucin poisson con una media de 15 minutos.Encuentre la probabilidad de que los dos mecnicos estn ociosos y la de que uno de ellos este desocupado. Cul es el # esperado de mquinas inactivas que no se le est dando servicio.Cul es el # total de mquinas inactivasDatosPoblacin: FinitaLnea de Espera (cola): Finita = 3 maquinas/hora1/ = 15 minutos = 4 maquinas/horas = 2 mecnicosN = 5 maquinasSolucinProbabilidad que ambos mecnicos se encuentren ociosos.

P0 = 4.32%

Probabilidad de que uno de ellos se encuentre desocupado.

P1 = 16.14%

b)Cul es el # esperado de mquinas inactivas que no se le est dando servicio.

Lq = (3-2)*0.2734 + (4-2)*0.2050 + (5-2)*0.0769Lq = 0.9141

Formula PnPn = 3Pn = 4Pn = 527.34 %20.50 %7.69 %

c)Cul es el # total de mquinas inactivas

L = [(0*0.432) + (1*0.1614)] + 0.9141 + 2[1 - (0.0432+0.1614)]L = 2.6663

Ejercicio 07 M/M/s/kUna oficina de boletos de una aerolnea tiene dos agentes que contestan las llamadas para hacer reservaciones. Adems, una llamada sepuede poner en espera hasta que uno de los agentes se desocupa para tomarla. Si las tres lneas (las de ambos agentes y la de espera) estn ocupadas, el cliente potencial obtiene tono de ocupado y se supone que hace llamada a otra oficina de boletos y que la venta se pierde. Las llamadas y los intentos de llamadas ocurren aleatoriamente (es decir, de acuerdo con un proceso poisson) a una tasa media de 15 por hora. La duracin de una conversacin telefnica tiene una distribucin exponencial con media de 4 minutos,DatosPoblacin: InfinitaLnea de Espera (cola): Finita = 15 clientes/hora1/ = 4 minutos = 15 clientes/horas = 2 agentesk = 3 lneasSolucina)Probabilidad de que un cliente pueda hablar de inmediato con un agente.

P0 = 0.3636Pn =(/) n P0 =(15/15)1(0.3636) = 0.3636 n! 1! P0 + P1 = 0.3636 + 0.3636 = 0.7272

b)Probabilidad de que un cliente obtenga el tono de ocupadoPn =(/) n P0 =(15/15)2(0.3636) = 0.1818 n! 2!b)Probabilidad de que un cliente quede en esperaPn =(/) n P0 =(15/15)3(0.3636) = 0.0909 n! 3!