SEMANA 01 02 Múltiplos y Divisores
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SEMANA 01 - 02
DIVISIBILIDAD Múltiplos Divisor Conjunto de divisores de un número Forma general de los múltiplos. Divisibilidad – Criterios o reglas. Números primos y compuestos
MÚLTIPLO. Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número por cualquier número natural. Si la división a: b es exacta diremos que: a es un múltiplo de b, y lo expresaremos simbólicamente a = m(b). Forma práctica y creativa para obtener múltiplos de un número Forma: Abanico:
( ) * +
( ) * +
( ) * +
( ) * +
Forma : Circo
RECUERDA. Todo número natural es múltiplo de sí mismo, porque si multiplicamos dicho
numero por 1, nos da el mismo número. m(2)= 2 ; m(3)=3; m(4)=4; m(5)=5; m(6)=6 m(7)=7; m(8)=8; m(9)=9…
6
x
4 = 24
2 = 12
6 = 36
0 = 0
3 = 18
1 = 6
5 = 30
. . . . . .
n
Múltiplos
Números Naturales
8
9 x
4 = 32
2 = 16
6 = 48
0 = 0
3 = 24
1 = 8
5 = 40
. . . . . .
n
Múltiplos
Números Naturales
N={ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …}
12 x
M(12)={ 0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
N={ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …}
17 x
M(17)={ 0; 17; 34; 51; 68; 85; 102; …}
4
x
4 = 16
2 = 8
6 = 24
0 = 0
3 = 12
1 = 4
5 = 20
. . . . . .
n
Múltiplos
Números Naturales
9
4 x
4 = 36
2 = 18
6 = 54
0 = 0
3 = 27
1 = 9
5 = 45
. . . . . .
n
Múltiplos
Números Naturales
El 0 es múltiplo de todos los números. m(2)= 0 ; m(3)=0; m(4)=0; m(5)=0; m(6)=0 m(7)=0; m(8)=0; m(9)=0… Todo número natural a tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por
la sucesión infinita de los números naturales.
( ) * + La suma de dos múltiplos de a es otro múltiplo de a: ( )
( ) * ( )+ El producto de múltiplos de un número a es múltiplo de a: ( )( ) ( ) ( ) * ( )+
DIVISOR Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
Si b es divisor de a, lo expresaremos simbólicamente como: a b , dicho de otra forma a es múltiplo de b ó b es divisor de a si existe un número natural “n” tal que a = b.n. Ejemplos: 24 = 4(6) Donde a = 24 ; b = 4 y n = 6 42 = 6(7) Donde a = 42 ; b = 6 y n = 7 LOS TÉRMINOS “MÚLTIPLOS” Y “DIVISOR” SON CORRELATIVOS Los términos múltiplo y divisor son correlativos; Esto quiere decir que donde quiera que consideremos un múltiplo habrá que considerar un divisor y viceversa. CONJUNTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO: D(n) Los divisores de un número se pueden encontrar a través de todos los productos equivalentes a dicho número. Ejemplos. En los ejemplos se observa que el conjunto de divisores de un número distinto de cero
es finito ( ) ( )
3 27
Es divisor de
Es múltiplo de
7 42
Es divisor de
Es múltiplo de
5 35
Es divisor de
Es múltiplo de
𝐷( ) * +
Divisores de 18.
18 = 1 x 18
18 = 2 x 9
18 = 3 x 6
𝐷( ) * +
Divisores de 24.
24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
NÚMERO TOTAL DE DIVISORES DE UN NÚMERO Generalizando: Si un número “N” se factoriza en sus factores primos, quedaría representada así: N = ax .by . cz Dónde: a; b y c son los factores primos; x; y; z son los exponentes de cada factor primo. Luego, el número de divisores del número “N” está dado por la siguiente formula: Número de divisores = (X + 1) . (Y + 1) . (Z + 1) Hallar el número total de divisores de 80 Hallar el número total de divisores de 120 FORMA GENERAL DE LOS MÚLTIPLOS NOTA: Importante: el cero es múltiplo de cualquier número entero positivo y es el único con tal característica. OPERACIONES ENTRE MÚLTIPLOS 1
2 3 4
OBSERVACIÓN. La división de dos números que son múltiplos de “n” no necesariamente es otro múltiplo de “n”
80 2
40 2
20 2
10 2
A B
0 K
Dados los números A y B
Por propiedad en la división:
A= B x K+0 → A= B x K = B
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
20 + 8 = 28
(𝑛)𝑚 𝑛 𝑚 ∈ 𝑍
(4)3 = 64
𝑛𝑥 𝑘 𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
20 x 5 = 100
𝑛 − 𝑛 𝑛
20 - 8 = 12
A 4
0 K
A= 4 x K = 4
Múltiplos de 4
A= 4= 4K ={0; +4; +8; +12; +16; +20……
{0; 1; 2; 3; 4; 5; ……
𝑛
𝑛 𝑞 (q 𝐶𝑢𝑎𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜)
𝑝𝑒𝑟𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒
4
4
80= 2x2x2x 2x 5 = 24 x 51
Para hallar el número total de divisores, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos
#D(80) = (4 + 1) (1 + 1) = ( 5 ) ( 2 ) = 10
Entonces el número de divisores de 80 es 10
120 2
60 2
30 2
15 3
120 = 2x2x2x 3x 5 = 23x 31x 51
Para hallar el número total de divisores, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos
#D(120) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) = 16
Entonces el número de divisores de 120 es 16
Resuelve ejercicios y problemas sobre múltiplos y divisores 1) Los múltiplos de un número es un conjunto: ……………… ¿Por qué? ……………………………………………………………………………………… 2) Los divisores de un número es un conjunto: ……………… ¿Por qué? …..…………………………………………………………………………………. 3) Hallar los 7 primeros múltiplos de:
a) Múltiplos de 2 b) Múltiplos de 3
c) Múltiplos de 4
d) Múltiplos de 5
e) Múltiplos de 6
f) Múltiplos de 7
g) Múltiplos de 8
h) Múltiplos de 9
i) Múltiplos de 10
j) Múltiplos de 14
k) Múltiplos de 38
4) Cuantos múltiplos de 7, existen entre 48 y 172. ¿Cuáles son?
5) ¿Cuántos números de 3 cifra menores que 325 son múltiplos de 13?
6) Halla los múltiplos de:
{ ⁄ ∈ }
B { ⁄ ∈ }
C { }
7) Halla los divisores de: a) 12 = b) 38 = c) 80 =
8) Hallar el número de divisores de 180 y 342
9) Hallar “a + b”, si se sabe que el número es múltiplo de 15 y que a tiene raíz cuadrada perfecta
ACTIVIDAD Divisibilidad, Múltiplos, divisores,.