Segura 2006 -- equilibrio general introducción - notas de clase

Equilibrio GeneralEquilibrio General

Notas de Clase

Eco. [email protected] Colombiana de Ingeniería

0. Presentación0. Presentación0. Presentación0. Presentación0. Presentación0. Presentación0. Presentación0. Presentación

En nuestro caso de interés el término Equilibrio GeneralEquilibrio GeneralEquilibrio GeneralEquilibrio General se refiere tanto a un programa metodológicoprograma metodológicoprograma metodológicoprograma metodológicoprograma metodológicoprograma metodológicoprograma metodológicoprograma metodológico, cuanto a una teoría teoría teoría teoría teoría teoría teoría teoría substantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantivasubstantiva

[Mas-Collel, Whinston & Green, 1995].

i. Entiende la estructura social como un sistema cerrado e interrelacionado en el cual es preciso determinar de manera simultánea los valores de equilibrio de las variables de interés de manera que, al evaluar los efectos de una perturbación en el ambiente económico, los valores de equilibrio de las variables endógenas en el sistema deban ser recalculados; esto en

En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la En cuanto a su carácter Metodológico, la Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…Aproximación de Equilibrio General…

endógenas en el sistema deban ser recalculados; esto en contraste con la aproximación de equilibrio parcial, en el cual el impacto sobre las variables endógenas no directamente relacionadas con el problema, se ignora.

ii. Pretende reducir el conjunto de variables tomadas como exógenas a un pequeño número de realidades físicas, tal, el número de agentes que intervienen, las tecnologías disponibles, las preferencias y las dotaciones físicas de bienes de los indivíduos que intervienen, inter alia.

Desde el punto de vista SustantivoSustantivoSustantivoSustantivo, la Teoría del Equilibrio General, es una teoría sobre la determinación de precios y cantidades de equilibrio en un sistema de mercados mercados mercados mercados perfectamente competitivosperfectamente competitivosperfectamente competitivosperfectamente competitivos

Intenta predecir el vector completo de consumos finales y producciones haciendo uso únicamente de los elementos fundamentales de la economíafundamentales de la economíafundamentales de la economíafundamentales de la economía (la lista de bienes, el estado de la tecnología, preferencias y bienes, el estado de la tecnología, preferencias y dotaciones), el supuesto institucional de que existe un solo precio para cada bien y el supuesto conductual de que los agentes son tomadores de precios.

El modelo requiere la especificación de tres objetosfundamentales:

•• ElEl AmbienteAmbiente Económico,Económico,•• ElEl MecanismoMecanismo dede AsignaciónAsignación dede Recursos,Recursos, yy•• UnUn SistemaSistema dede DerechosDerechos dede PropiedadPropiedad.

En desarrollo del modelo se dará especial énfasis aeconomías competitivas de propiedad privada en las quelos mecanismos de asignación son los mercadoscompetitivos y los derechos de propiedad son tales que losagentes poseen todos los recursos y factores productivos.

Esta sección del curso presenta los aspectosfundamentales del modelo de equilibrio competitivoconocido como modelo de Arrow y Debreu (AD).

Comenzamos con una descripción general de loselementos básicos del modelo; examinamos aumentandoen complejidadlos siguientes temas:en complejidadlos siguientes temas:

• Economías e Intercambio,• Economías con Producción, y• El Modelo AD

1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio1. Economías de Intercambio

Para analizar los aspectos esenciales del funcionamiento de los mercados competitivos introducimos un arreglo económico conocido como Economía de IntercambioEconomía de IntercambioEconomía de IntercambioEconomía de Intercambio, una economía en la que no hay oportunidades de producción.

Las únicas actividades económicas que en este modelo simplificado tienen lugar son el consumo y el intercambio de un conjunto de mercancías del que se dispone actualmente.

La actividad económica consiste en consumo e intercambio de bienes, exclusivamente.

Intervienen m consumidores en esta economía, cada uno de los cuales puede ser descrito por una terna:

( )iii uX ω,,

que indica, en su orden, sus posibilidadesposibilidadesposibilidadesposibilidades dededede consumoconsumoconsumoconsumo, suspreferenciaspreferenciaspreferenciaspreferencias, y sus posesiones.

La cantidad total de bienes en la economía está descrito por elvector:

∑=

=m

ii

1

ωω

Una economía de intercambio comprende m consumidores,cada uno de los cuales tiene un conjunto de consumo Xi ,una especificación de sus preferencias, - ui -, y los recursosque posee, ωi. En forma reducida, una Economía se nota:

( )miiii uXE 1,, == ω

donde el número de mercancías estará significado con el parámetro lel parámetro l

Aquí, una mercancíamercancíamercancíamercancía se entenderá como un bien, en el sentido que Debreu establece en su Teoría del Valor.

“Una mercancía es un bien o servicio completamenteespecificado física, temporal y espacialmente”

DebreuDebreuDebreuDebreu GGGG.... ((((1972197219721972)))):::: Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale: Yale University Press.

El intercambio tiene lugar cuando los consumidoresencuentran que pueden mejorar su condición intercambiandoparte de los recursos que poseen.

Las diferencias en los gustos (preferencias) de losconsumidores y las cantidades y calidades de losrecursos que son de su dominio (dotaciones) permiten larecursos que son de su dominio (dotaciones) permiten laposibilidad de intercambios ventajosos para los agentesinvolucrados.

En ausencia de estas diferencias, no se verificaráintercambio, según mostraremos analíticamente, másadelante.

1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental1.1. Un Modelo Elemental

El caso de más simple posible es uno en el que intervienen solo dosagentes que poseen dos mercancías.

Suponga una economía compuesta por i=1,2 consumidores.

Cada consumidor tiene una canasta de bienes ωi ∈ R2 queCada consumidor tiene una canasta de bienes ωi ∈ R quedescriben las cantidades de mercancías que constituyen susactivos; los agentes tienen cantidades estrictamente positivas de lasdos mercancías.

La cantidad total de mercancías en la economía está dada por:

21 ωωω +=

Los agentes tienen conjuntos de consumo (oportunidades deconsumo) compactos tales que:

{ }212

21 ,: ωω +>>≤∈=+ + ccRXX xx

Las preferencias del i-ésimo consumidor se describenLas preferencias del i-ésimo consumidor se describenmediante una función de utilidad que se supondrá continua,fuertemente cuasi-cóncava y monótona que podremos notar:

RXu ii →:

Dados estos supuestos generales, el dominio de la definición de las demandas de los consumidores puede ser el conjunto:

{ }0−+2R

Esto se justifica porque a los precios p=0, las demandas Esto se justifica porque a los precios p=0, las demandas de los consumidores serían:

( ) cdi =0

que supera el volumen de recursos en la economía.

El consumidor, gracias al supuesto de que es tomadortomador dedepreciosprecios toma el vector p como parámetro; los precios estándados; su acción es demasiado débil como para modificarlos.

Así, el supuesto conductual del agente es que en el momentode elegir, resuelve un problema de optimización consistente enmaximizar su utilidad individual sobre una región factibledeterminada por su conjunto presupuestal:

{ }X ωppxx ≤∈ :{ }iiii X ωppxx ≤∈ :

Bajo los supuestos establecidos, el problema de lamaximización de la utilidad tiene una única solución,

( ) { }0ppx −∈∀= +2* Rdii

Las cantidades de mercancías que los consumidores desean intercambiar están dadas por sus demandas netas :

( ) ( ) iiNi dd ω−= pp

Para que los dos consumidores puedan realizar susdemandas en forma simultánea, se requiere que,dados los precios p* , las cantidades de mercancías adados los precios p* , las cantidades de mercancías ala venta sean iguales a las cantidades de mercancíasdemandadas individualmente, o lo que es lo mismo:

( ) ( )( ) ( ) 0**

**

21

2121

=+

+=+

pp

ppNN dd

dd ωω

Se llamará asignación a un punto (x1, x2) del conjuntoX1 * X2.

Se dice que una asignación (x1, x2) ∈ X1 * X2 es factiblesi se verifica que:

2121 ωω +=+ xx

Y se dice que la tupla:Y se dice que la tupla:

[ ]*2

*1 x,x,p*

es un Equilibrio Competitivo siempre que:

( )*

1 1

1,2i i

m m

i ii i

d i

ω= =

= ∀ =

=∑ ∑

x p

x

Un Equilibrio Competitivo es entonces un estado de la economía E en el cual cada consumidor maximiza su utilidad tomando los precios como dados y sus acciones son compatibles con los recursos existentes.

Un Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de EdgeworthUn Modelo de Juguete: La Caja de Edgeworth

Para estudiar el equilibrio en esta economía modelo, sehará uso de la llamada Caja de Edgeworth; un ingeniosodiagrama que hace posible describir las posibilidades deintercambio, dado un conjunto de asignaciones viables endos dimensiones.

La construcción de este diagrama se basa en un rectángulocuyas dimensiones están dadas por la disponibilidad totalde recursos o dotaciones ω = ω1 + ω2.

La cantidad total del bien uno se mide en el eje de abscisasen tanto que la cantidad total del bien dos, en el eje deordenadas.

Consumidor 222ω

ω

Consumidor 1 12ω

21ω11ω

Cada punto da cuatro coordenadas que corresponden a posibles distribuciones de la cantidad total de mercancías entre los dos consumidores.

En la esquina sud-oeste de la Caja se encuentra el origen de coordenadas del consumidor 1; en la esquina nor-este, el origen del consumidor 2.origen del consumidor 2.

Con este esquema, que no es sino la superposición de dos mapas de indiferencia, es posible dibujar, las curvas de indiferencia de los dos consumidores, en el espacio de asignaciones que les pueden resultar posibles, dados los recursos existentes en la economía.

Consumidor 222ω

ω

Consumidor 1 12ω

21ω11ω

Dado un vector de precios p ∈∈∈∈ R2-{0}, el conjunto presupuestal del consumidor 1 es el conjunto de puntos por debajo de la línea de pendiente –p2/p1 que pasa por ω ; para el consumidor 2 el conjunto presupuestario lo conforman los puntos que están por encima de dicha línea.encima de dicha línea.

Muchas veces, los intercambios que un consumidor quiere efectuar no coinciden con los del otro consumidor. En la ilustración a continuación, el consumidor 1 desea d1(p), mientras el consumidor 2 desea d2(p)

Consumidor 222ω

( )p2d

ω

Consumidor 1 12ω

21ω11ω

( )p1d

( )p2d

La Curva de Oferta-Demanda del i-ésimo consumidor es una línea que pasa por el punto ωi y se encuentra situada en el conjunto:

( ) ( ) ( ){ }iii xx ωω iiii uuMI ≥= :

Al tratar, como en este caso, con preferencias monótonas,el conjunto MI i estará dado por los puntos por encima de lacurva de indiferencia de referencia del consumidor i.

En consecuencia, los posibles equilibrios en una economíaEn consecuencia, los posibles equilibrios en una economíade intercambio puro con dos agentes y dos mercancías,estarán ubicados en el área lenticular que conforman lascurvas de indiferencia al pasar por el punto w, que describe,por construcción, aquellos planes de consumo que:

•Son compatibles con los recursos existentes, y•En ellos los consumidores están igual o mejor que en lasituación inicial.

Consumidor 222ω

ω

Consumidor 1 12ω

21ω11ω

El equilibrio se verificará cuando las curvas de oferta-demanda de losdos consumidores se corten, en el interior de esa área. La pendientede la línea que en forma simultánea pasa por w, y corta laintersección de las dos curvas de oferta-demanda, será el vector p*de precios de equilibrio.

Note que cada punto de la curva de Oferta-Demanda es un punto de tangencia entre la restricción presupuestal del consumidor y la curva de indiferencia más alta que su función exhibe.

Como consecuencia, el corte de la función de oferta-demanda con la Como consecuencia, el corte de la función de oferta-demanda con la restricción de presupuesto constituye el plan de consumo óptimo para este individuo a los precios p*.

Cuando la restricción de presupuesto corta las dos curvas de oferta-demanda en forma simultánea, se tiene una situación en la cual:

• Cada consumidor ha escogido su consumo óptimo, y • Los dos consumos son compatibles con los recursos dados.

Hemos llegado a un equilibrio competitivo

Consumidor 222ω

Equilibrio en la Caja de Edgeworth

ω

Consumidor 1 12ω

21ω11ω

Un Ejemplo Elemental(Mas-Colell, Whinston & Green [1995])

Suponga que cada uno de los i = 1,2 consumidores tienepreferencias bien representadas por funciones de utilidad del tipoCobb-Douglas,

( ) 11 2 1 2,i i i i iu x x x xα α−= ⋅

En adición las dotaciones están dadas por ω1 = (1,2), y ω2 =(2,1). Elsistema de precios p = (p1, p2), la riqueza del consumidor 1 es,sistema de precios p = (p1, p2), la riqueza del consumidor 1 es,naturalmente ( p1 + 2p2 ) y sus demandas, por consecuencia,descansan en la curva de oferta demanda, OC1:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21

1 2

2 1 2,

p p p pOC

p p

α α+ − + =

p

En forma similar, para el individuo 2, tendremos:

( ) ( ) ( )( )1 2 1 22

1 2

2 1 2,

p p p pOC

p p

α α+ − + =

p

Un Ejemplo Elemental (continuación)(Mas-Colell, Whinston & Green [1995])

Para determinar los precios de equilibrio, es preciso notar que a esosprecios la cantidad total de bien 1 consumido por los dosconsumidores debe ser igual al total del bien 1 disponible en laeconomía que es igual a 3. Así, entonces:

( ) ( )1 2 1 2

1 1

* * * *

* *

2 23

p p p p

p p

α α+ ++ =

1 1

Resolviendo esta ecuación se obtiene:*1*2 1

p

p

αα

=−

Observe que para cualquier vector de precios que satisfaga la condición [A], el mercado de la mercancía 2 se vacía también, lo cual es una característica de las economías de Caja de Edgeworth : para determinar los precios de equilibrio solo se necesita determinar los precios a los que uno de los mercados se vacía; el otro mercado necesariamente deberá vaciarse a esos precios.

[A]

Note que en el equilibrio, si la utilidad es diferenciable, lascurvas de indiferencia son tangentes y que dicha tangentecomún está determinada por la restricción de presupuesto.

Este resultado indica que, los puntos por encima o pordebajo de los de equilibrio no son Pareto Eficientes , estoes, mejoran el bienestar de un individuo, desmejorando eldel otro.del otro.

En términos del teorema de Lagrange, la diferenciabilidadde las funciones de utilidad, implica que en el equilibrio, latasa marginal de sustitución de un individuo es igual a la delotro: es condición de primer orden para el equilibrio.

La Ley de WalrasLa Ley de Walras

Para cualquier vector p de precios, la monotonía de las preferencias implica:

( ) ( )( ) ( )

=ω−=ω−

0pppp

0pppp

22

11

d

d

De manera que si se suman estas dos ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )1 11 21 2 12 22 0N N N Np d d p d d + + + = p p p p

Que para el caso más simple expresa la Ley de Walras.

Teniendo en mente los resultados gráficos de la Cajade Edgeworth, para un vector de precios p>>0, laLey de Walras implica que si en el mercado del bien1 hay exceso de oferta:

( ) ( ) 0pp 2111 <+ NN dd

En el mercado del bien 2 habrá, porconstrucción, exceso de demanda:

( ) ( ) 0pp 2212 >+ NN dd

Por consiguiente, resulta que:

( ) ( ) ( ) ( )1 11 21 2 12 220 0N N N Np d d p d d + = ⇔ + = p p p p

Esto es, hay equilibrio en un mercado si y solo si hay equilibrio en los dos.

Esta propiedad hace posible representar el equilibrio deeste modelo sencillo mediante el estudio de un solomercado.

Como la función de demanda es homogénea de gradocero en los precios (solo importan los precios relativos;no existe ilusión monetaria):

( ) ( )pp λ= ii dd ( ) ( )pp λ= ii dd

y tomando:21

1pp +

=λ

que equivale a tomar p1 + p2 = 1, se puede estudiar el comportamiento de los dos mercados como función del precio de la mercancía 2, p2:

Empecemos por definir

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−+−=

−+−=

2222221222

2221221121

11

11

p,pdp,pdpz

p,pdp,pdpzNN

NN

Donde z2(p2) cabe entenderse como la función dedemanda agregada neta de la mercancía 2.demanda agregada neta de la mercancía 2.

El mercado del bien 2 estará en equilibrio cuandopara algún precio p2* se cumpla con la condición deque z2(p2) = 0, es decir cuando la función z2(p2) cortael eje de las abscisas:

( )22 pz

0 p2*2p

De acuerdo con la ilustración:

•La función z2 describe el equilibrio de la economía comoun todo porque de acuerdo con lo afirmado supra, elequilibrio de un mercado, solo es posible si el otromercado está en equilibrio.mercado está en equilibrio.

•La forma de z2 señala que, para precios cercanos acero, la demanda neta es alta en tanto que, para preciosmuy altos la demanda neta es negativa (losconsumidores preferirán vender bien 2 y con el ingresode esta venta, comprar bien 1, que es más barato).

Existencia de un Equilibrio – Preliminar(Varian [1993]; Villar, [1999])

Por la monotonía de las preferencias, se sabe que cuando p2 = 0, z2(0) > 0. De otro lado, cuando p2 = 1, la demanda neta agregada de la mercancía 1, esto es z1(1)resulta estrictamente positiva. En efecto:

1 2 2 11 1p p p p+ = ⇒ = −

1 1 1 = 1 0p p∴ − → =Recuerde que las funciones que se están tratando son continuas. Por lo tantopara cualquier número ε>0 tan pequeño como sea necesario, se debe seguircumpliendo que:

( )1 1 0z ε− >

Esto es, para el precio p2’ = ( 1 - ε ), la demanda neta agregada de la mercancía 1 seguirá siendo estrictamente positiva.

Existencia de un Equilibrio – Preliminar (Continuación )(Varian [1993]; Villar, [1999])

En este caso, la Ley de Walras implica necesariamente que:

( ) ( )'2 2 2 1 0z p z ε= − <

Es decir, z2 que es una función contínua es positiva para un valor de p = 0, y negativa para un valor de p ’ = ( 1 – ε ).de p2 = 0, y negativa para un valor de p2’ = ( 1 – ε ).

Esto implica que necesariamente existirá un valor intermedio:

( )*2 0,1p ∈

Al cual: ( )*2 2 0z p =

Economías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo GeneralEconomías de Intercambio: El Modelo General

Suponga una economía de intercambio puro compuesta pormconsumidores y l mercancías. El i-ésimo consumidor se caracteriza por

• Un conjunto de consumo: Xi=Rl+

• Una función de utilidad: ui: Rl+→→→→ R, continua, estrictamente

cuasi-cóncava y monótona creciente, ycuasi-cóncava y monótona creciente, y

• Una provisión o dotación inicial de recursos ωi ∈ Rl+

• El poder adquisitivo o capacidad de gasto es función de los precios de mercado, p: Mi(p) = pωi

• Los recursos totales son: lm

ii R+

=

∈ω=ω ∑1

La representación resumida de esta economía deintercambio es pues:

[ ]m

iiii ,u,XE 1=ω=

Cuya naturaleza se precisará con el siguientesupuesto:

i 1,2, ,m∀ = L

.

.

. 0

li

li

i

i 1,2, ,m

a X R

b u : R R

c ω

+

+

∀ =

=

→ >>

L

Las partes a. y b. del supuesto establecen que elconsumidor está dotado con preferencias completas,transitivas, y continuas, convexas y monótonasdefinidas sobre el espacio de las l mercancíasdisponibles.

La parte c. Establece que cada consumidor tienecantidades estrictamente positivas de todos los bienesen la economía.

Dado un vector de precios p contenido en el espacio delas mercancías, el i-ésimo consumidor determina sudemanda como solución del problema:

( )

∈ω≤

+l

i

ii

ii

R

umax

:.a.s

x

ppx

x

• Gracias a las condiciones a., b., c. propuestas, esteproblema tiene un conjunto factible no vacío y por la cuasi-concavidad estricta de la función de utilidad, una soluciónúnica.

• Cuando los precios son estrictamente positivos, elproblema de optimización tendrá siempre una solución quevariará en forma continua con los precios.

• En consecuencia, la función de demanda del consumidores:

( )px i*i d=

que es función homogénea de grado cero en p

• La monotonía de las preferencias implica que:

( ) ( )i id ω=p p p p

La Función de Demanda Neta es una relación llNi RRd →+:

que a cada vector de precios p asocia el vector: ( ) ( ) iiNi dd ω−= pp

que representa la diferencia entre lo que el consumidor individual desea y lo que tiene. Los elementos positivos de este vector son las compras que el individuo quiere realizar, mientras que las entradas negativas, las ventas que hace de sus recursos.

Como en el equilibrio del consumidor se debe cumplir que:Como en el equilibrio del consumidor se debe cumplir que:

( ) ( )pppp iid ω=

debe cumplirse que:( ) 0pp =N

id

(el valor de las demandas netas del i-ésimo consumidor ha de ser cero).

Finalmente, la función de exceso de demandafunción de exceso de demandafunción de exceso de demandafunción de exceso de demanda (función de demanda neta agregada), está dada por:

( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==

ω−==m

i

m

iii

m

i

Ni pdd

1 11

ppz

Y dado que el valor de las demandas netas debe ser igual a el valor de las demandas netas debe ser igual a el valor de las demandas netas debe ser igual a el valor de las demandas netas debe ser igual a cero en equilibriocero en equilibriocero en equilibriocero en equilibrio ∀ i=1,2,..., m y ∀ p ∈∈∈∈ R+

l , se tiene que:

( ) ( )∑m

( ) ( ) 0ppppz1

==∑=

m

i

Nid

Que es la Ley de Walras según la cual:

Para cualquier vector de preciosPara cualquier vector de preciosPara cualquier vector de preciosPara cualquier vector de precios, el valor de los , el valor de los , el valor de los , el valor de los excesos de demanda siempre será igual a ceroexcesos de demanda siempre será igual a ceroexcesos de demanda siempre será igual a ceroexcesos de demanda siempre será igual a cero

en el equilibrioen el equilibrioen el equilibrioen el equilibrio

1. El equilibrio se entiende entonces como un estado delmundo en el que todos los consumidores realizan -motupropio- sus planes de consumo en forma simultánea yen el que la suma de las decisiones individuales escompatible con los recursos disponible.

2. En presencia de un vector p de precios cada consumidorcomputa la cesta de mercancías que quiere consumir ydetermina los intercambios necesarios para lograrla.

3. Tratará de vender sus excedentes de mercancías y conla retribución de las ventas, utilizar esta capacidad dela retribución de las ventas, utilizar esta capacidad degasto para satisfacer sus carencias.

Para que todos los consumidores realicen sus planes de consumo, la cantidad total de mercancías

a la venta debe ser igual a la cantidad total de mercancías que se desea adquirir:

( ) 0pz =

CadaCadaCadaCada consumidorconsumidorconsumidorconsumidor maximizamaximizamaximizamaximiza susususu utilidadutilidadutilidadutilidad dadodadodadodado elelelel espacioespacioespacioespaciopresupuestalpresupuestalpresupuestalpresupuestal quequequeque lelelele compete,compete,compete,compete, yyyy estasestasestasestas accionesaccionesaccionesacciones sonsonsonsoncompatiblescompatiblescompatiblescompatibles conconconcon lalalala riquezariquezariquezariqueza dededede lalalala economíaeconomíaeconomíaeconomía....

ComoComoComoComo consecuencia,consecuencia,consecuencia,consecuencia, unununun equilibrioequilibrioequilibrioequilibrio enenenen unaunaunauna economíaeconomíaeconomíaeconomía dedededeComoComoComoComo consecuencia,consecuencia,consecuencia,consecuencia, unununun equilibrioequilibrioequilibrioequilibrio enenenen unaunaunauna economíaeconomíaeconomíaeconomía dedededeintercambiointercambiointercambiointercambio eseseses unaunaunauna redistribuciónredistribuciónredistribuciónredistribución dededede loslosloslos recursosrecursosrecursosrecursosdisponiblesdisponiblesdisponiblesdisponibles dededede taltaltaltal formaformaformaforma que,que,que,que, aaaa loslosloslos preciospreciospreciosprecios dededede mercado,mercado,mercado,mercado,cadacadacadacada consumidorconsumidorconsumidorconsumidor consumeconsumeconsumeconsume lalalala combinacióncombinacióncombinacióncombinación preferidapreferidapreferidapreferida dedededemercancías,mercancías,mercancías,mercancías, dededede todastodastodastodas aquellasaquellasaquellasaquellas dededede entreentreentreentre laslaslaslas quequequeque puedepuedepuedepuedeelegirelegirelegirelegir....

¿Recuerdan la venerableMano Invisible?

Dada la anterior intuición de la noción de equilibrioconsidere la siguiente definición:

Un equilibrio de intercambioequilibrio de intercambioequilibrio de intercambioequilibrio de intercambio es un vector de precios y una asignación:

( )1 1 , x m l mi i ix R X= + =

∈ Π p*tales que:

(a) Para todo i, xi* hace máxima ui sobre el conjunto presupuestal

( ) { }ii *px*p:p ω≤∈≡β +l

ii Rx*

(b) Las demandas son viables:

∑∑==

ω=m

ii

m

i

*i

11

x

Con la definición anterior es claro que el vector p* ∈∈∈∈ R+l es un

vector de precios de equilibrio si y solo si z(p*) = 0.

Desde una óptica analítica, encontrar un equilibrio supone resolver un sistema de cuadrado de l ecuaciones por lincógnitas, siendo las ecuaciones las demandas agregadas netas por el l-ésimo bien y las incógnitas, los precios. En consecuencia, un equilibrio está asociado a un vector de precios p* que resuelve el sistema:

( )( )

( )

=

==

0p

0p

0p

2

1

lz

z

z

LLLL

El objetivo es desde luego ambicioso (Villar, [1999], p. 110 & ss). Enefecto, sin considerar explícitamente la forma precisa de las funcioneszk(p) se quiere garantizar que el sistema tiene solución paracualquier función de exceso de demanda continua y que verifique laLey de Walras.

Dado que p=0 no puede ser un precio de equilibrio pues las demandas se haríaninfinitas, los precios que son solución del sistema Z(p) = 0 propuesto deberán estaren el conjunto { }0lR+ −

Como la función de demanda es homogénea de grado cero en precios, es claro quepara cualquier p en el conjunto antedicho, es posible tomarpara cualquier p en el conjunto antedicho, es posible tomar

1

1λ l

kkp

=

=∑

De forma que cada vector de precios puede ser transformado en un vector

1 2

1 1 1

' λ , , , ll l l

k k kk k k

p p p

p p p= = =

= = ∑ ∑ ∑

p p L

La normalización propuesta sobre los precios tiene por propiedad que la suma de los precios normalizados es uno, es decir:

'

1

1l

kk

p=

=∑

Con este resultado, es posible reemplazar el conjunto R+l-{0} por el

siguiente:

{ }: 1ll

kS R p+= ∈ =∑p{ }1: 1kk

S R p+ == ∈ =∑p

Que se conoce como Conjunto Normalizado de Precios o,alternativamente, Símplex Unitario de Precios. Es fácil mostrar queesta normalización implica un dominio compacto y convexo para lasfunciones de demanda.

Puesto que la suma de los precios normalizados ha de ser siempre igual a 1, es posible entonces limitar el análisis a los vectores de precios que están en el Símplex Unitario de dimensión k-1:

{ }1

1: 1

ll lkk

S R p−+ =

= ∈ =∑p

Los símplices en los casos l - 1 = 1 y l - 2 = 2se ilustran como sigue:

1p

2p

1 2 1p p+ =1p

2p

3p

1 2 3 1p p p+ + =

Símplex UnitarioSímplex UnitarioSímplex UnitarioSímplex Unitario

Símplex Bi dimensional: Símplex Bi dimensional: Símplex Bi dimensional: Símplex Bi dimensional: S2222

Existencia de un Equilibrio en el Caso GeneralExistencia de un Equilibrio en el Caso GeneralExistencia de un Equilibrio en el Caso GeneralExistencia de un Equilibrio en el Caso General

La cuestión de la existencia de un equilibrio es crucial. Unmodelo sin solución (equilibrio) carece de sentido y utilidad.La pregunta aquí es si existe un vector de precios p* al cualtodos los mercados se vacíen.

La idea tras la demostración de existencia es que cuando laLa idea tras la demostración de existencia es que cuando lafunción de exceso de demanda es continua y cumple la Leyde Walras, existe un equilibrio.

Para este propósito de existencia nos valdremos delTeorema del Punto Fijo de Brouwer.

� Las pruebas de existencia juegan un papel esencial en teoríaeconómica. En efecto, un modelo que carece de solución esinconsistente y por tanto inútil.

� Además, las pruebas de existencia, per se esclarecen el rol de lossupuestos que fundamentan el modelo y, por consiguiente, facilitanla búsqueda de supuestos más débiles, ampliando el campo en elque la teoría aplica.

� El modelista aplicado no está dispensado de esta disciplina con elargumento de que un modelo razonablemente ajustado a los

Existencia de un Equilibrio en el Caso GeneralExistencia de un Equilibrio en el Caso GeneralExistencia de un Equilibrio en el Caso GeneralExistencia de un Equilibrio en el Caso General

argumento de que un modelo razonablemente ajustado a lossupuestos puede ser siempre calibrado de manera que obtengasiempre una solución. No obstante la calibración no será de ayudacuando el modelista requiera computar una nueva solución luegode haber cambiado el valor de algún parámetro. Así, requeriráconocer el rango en el que las variaciones paramétricas dan lugar auna solución.

� Finalmente, las pruebas de existencia son útiles porque en generalse basan en la construcción de aplicaciones de puntos fijos queservirán de base a los algoritmos que resuelven el modelonuméricamente.

Teorema del Punto Fijo de Brouwer :Teorema del Punto Fijo de Brouwer :Teorema del Punto Fijo de Brouwer :Teorema del Punto Fijo de Brouwer :(cfr. Varian, H. [1993])(cfr. Varian, H. [1993])(cfr. Varian, H. [1993])(cfr. Varian, H. [1993])

Si f: Sl-1 → Sl-1 es una función continua que va del símplex unitario así mismo, entonces existe un x perteneciente a Sl-1 tal que x = f(x)

Para el caso en que l = 2, una prueba de este teorema se basa en laPara el caso en que l = 2, una prueba de este teorema se basa en laidentificación del símplex unidimensional S1 con el intervalo [0,1].

El teorema dice que se tiene una función continua que se mapea sobre simisma, es decir, f: [[[[0000,,,,1111]]]] →→→→ [[[[0000,,,,1111]]]] y se quiere mostrar que hay un x ∈∈∈∈ [[[[0000,,,,1111]]]]para el que se cumple que x = f(x).

Suponga una función G(x) = f(x) – x que en términos geométricosmide la distancia entre f(x) y la diagonal de la gráfica a continuación.Un punto fijo de f(x) es un x* para el que G(x) = 0.

f(x)

CCCC

x

AAAA

BBBB

Observe que para:

• G(0) = f(0) – 0 ≥ 0 porque efectivamente 0 ∈∈∈∈ [0,1].

• G(1) = f(1) – 1 ≤ 0 porque efectivamente 1 ∈∈∈∈ [0,1].

Como f se ha supuesto continua, la aplicación del teorema

Teorema del Punto Fijo de Brouwer: Teorema del Punto Fijo de Brouwer: Teorema del Punto Fijo de Brouwer: Teorema del Punto Fijo de Brouwer: Una Prueba Básica (continuación)Una Prueba Básica (continuación)Una Prueba Básica (continuación)Una Prueba Básica (continuación)

Como f se ha supuesto continua, la aplicación del teoremadel valor medio(*) es inmediata y se pueden concluir queexiste un x ∈ [0,1] tal que

G (x) = f (x) – x = 0 ∎

(*) cfr. Sydsaeter and Hammond [1996].(*) cfr. Sydsaeter and Hammond [1996].(*) cfr. Sydsaeter and Hammond [1996].(*) cfr. Sydsaeter and Hammond [1996].

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: ( Existencia de un Equilibrio Walrasiano ):

SeaSeaSeaSea 1 1 : l lS S− −→z una función continua que cumple la Ley de Walras, una función continua que cumple la Ley de Walras, una función continua que cumple la Ley de Walras, una función continua que cumple la Ley de Walras,

Con el teorema de Brouwer estamos en posición de probar la Con el teorema de Brouwer estamos en posición de probar la Con el teorema de Brouwer estamos en posición de probar la Con el teorema de Brouwer estamos en posición de probar la existencia de equilibrios Walrasianos:existencia de equilibrios Walrasianos:existencia de equilibrios Walrasianos:existencia de equilibrios Walrasianos:

SeaSeaSeaSea 1 1 : l lS S− −→z una función continua que cumple la Ley de Walras, una función continua que cumple la Ley de Walras, una función continua que cumple la Ley de Walras, una función continua que cumple la Ley de Walras,

( ) 0≡pz p , entonces existe un, entonces existe un, entonces existe un, entonces existe un 1* lS −∈p tal quetal quetal quetal que ( )* 0≤z p

conconconcon * 0kp = si si si si ( )* 0.k <z p

Existencia de Equilibrios WalrasianosExistencia de Equilibrios WalrasianosExistencia de Equilibrios WalrasianosExistencia de Equilibrios Walrasianos(Demostración)(Demostración)(Demostración)(Demostración)

La Demostración general de la existencia de equilibrios Walrasianos se adelanta en dos etapas fundamentales:

1. Definición de una correspondencia (función) continua de 1. Definición de una correspondencia (función) continua de los precios en si misma;

2. Verificación de las Condiciones de Equilibrio


1. 1. 1. 1. Construcción de la FunciónConstrucción de la FunciónConstrucción de la FunciónConstrucción de la Función. . . . Considere la función:

( ) ( )( )

* max 0,

max 0,k k

k

j jj j

p z pG

p z p

+ = + ∑ ∑

p

Como p ∈∈∈∈ Sl yyyy z(p) son continuas, G(p) aplica el simplex en un conjuntocompacto. En adición, se tiene que:

( )[ ] 00 ≥pz,max ( )[ ] 00 ≥pz,max k

( )[ ] 00 ≥∑ j j pz,max

1=∑ j jp

por lo cual el denominador es estrictamente positivo y la función G(p) es continua y aplica Sl-1 sobre si misma.


En este punto se puede invocar el Teorema de Brouwer, de acuerdo con el cual existe un p* tal que pk

* = Gk(p*). A partir de la definición de Gk(p*), en el punto fijo se deberá tener:

( )[ ]( )[ ]∑+

+=j

*j

*k

*k*

k pz,max

pz,maxpp

010

( )[ ]∑ j j

2. Verificación de las condiciones de Equilibrio2. Verificación de las condiciones de Equilibrio2. Verificación de las condiciones de Equilibrio2. Verificación de las condiciones de Equilibrio:::: Se debe mostrar que en el punto fijo zk(p*) ≤≤≤≤ 0. Al multiplicar a ambos lados de esta expresión por el denominador, se obtiene:


( )( )

* *

*

*

max 0,

1 max 0,

k k

k

jj

p z pp

z p

+ = + ∑ ( )jj ∑

( )[ ]( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )∑∑∑ +

++=+

j

*j

j

*j

*k

*k

j

*j

*k pz,max

pz,max

pz,maxppz,maxp 01

010

01

( )[ ] ( )[ ]*k

*kj

*j

*k

*k pz,maxppz,maxpp 00 +=+ ∑

( )[ ] ( )[ ]*kj

*j

*k pz,maxpz,maxp 00 =∑


Multiplicando cada término de esta expresión por zk(p*) y sumando sobre k tendremos:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]*kk

*kj

*jk

*k

*k pz,maxpzpz,maxpzp 00 ⋅=⋅ ∑∑∑

Note que en el LHS de esta expresión, el término

( ) 0=∑ ** pzp ( ) 0=∑k

*k

*k pzp

por la Ley de WalrasLey de WalrasLey de WalrasLey de Walras de manera que:

( ) ( )[ ] 00 =⋅∑ *kk

*k pz,maxpz


Cada término en la suma obtenida,

( ) ( )* *max 0, 0k kkz p z p ⋅ = ∑

puede tomar los siguientes valores:

( )( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )

>↔≤↔

=⋅∑0

000 2 *

k*

k

*k*

kk

*k

pzpz

pzpz,maxpz

Los términos nulos no contribuyen a esta suma. Todos los demás son positivos pero, en este caso, la expresión en el LHS no podría ser igual a cero. En consecuencia, ninguno de los excesos de demanda, zk(p*) puede ser positivo █

Nota:Nota:Nota:Nota:

La función G puede entenderse como el cambio que los mercados producen en los precios cuando no hay equilibrio. En efecto, G aplica el simplex sobre si mismo de modo que transforma vectores de precios en vectores de precios.

Suponga p un vector de precios de no equilibrio; si encontramos que zk(p)>0, esto es, en circunstancias en la que hay exceso de demanda por la k-ésima mercancía, la función G establece que el precio de esta mercancía debe subir.

Un Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas DimensionesUn Ejemplo de Pequeñas Dimensiones(Monsalve, [1999])(Monsalve, [1999])

Una economía E de intercambio puro comprende dos mercancías, x e y , y dos consumidores, A, B cada uno con preferencias:

( )( )

==

BBBBB

AAAAA

yxy,xu

;yxy,xu

( ) = BBBBB yxy,xu

y con dotaciones iniciales

22

21

B

A

yx

El consumidor A resuelve el problema:

( )

+=+

=

yxA

yA

x

AAAAA

ppypxp.a.s

yxy,xumax

2

El Lagrangeano asociado es:

( ) ( )Ay

Axyx

AAA ypxpppyx. −−+λ+=Φ 2

Las CPO dan:

+=+

=

yxA

yA

x

yxAA

ppypxp

p/px/y

2

De donde:

( ) ( )( ) ( )

+=

+=

yxyxA

xyyxA

p/pp,py

p/p/p,px

21

21

Por su parte, el consumidor B resuelve el problema:

( )

+=+

=

yxB

xB

x

BBBBB

ppypxp.a.s

yxy,xumax

22

El Lagrangeano asociado es:

( ) ( )By

Bxyx

BBB ypxpppyx. −−+λ+=Φ 22

Las CPO dan:

+=+

=

yxB

yB

x

yxBB

ppypxp

p/px/y

22

De donde:

( ) ( )( ) ( )

+=

+=

yxyxB

xyyxB

p/pp,py

p/pp,px

1

1

En este caso las funciones de exceso de demanda exceso de demanda exceso de demanda exceso de demanda son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−=ω+ω−+=

−=ω+ω−+=

223

232

yxBy

Ayyx

Byx

Ayxy

xyBx

Axyx

Byx

Ayxx

p/pp,pyp,pyp,pz

/p/pp,pxp,pxp,pz

Estas dos ecuaciones verifican la Ley de Walras, Ley de Walras, Ley de Walras, Ley de Walras, esto es,,,, para cualquier par de precios positivos (px,py) se tendrá que:

( ) ( ) ( ) ( ) 0223232 =−+−=+ yxxyyxyyyxxx p/p/ppp,pzpp,pzp

Así, será suficiente igualar a cero una de las funciones de exceso de demanda para hallar los precios (relativos) de equilibrio, por ejemplo:

( ) ( ) ( ) 340223 /p/pp/pp,pz *yxyxyxy =⇒=−=

Luego de reemplazar estos precios (de equilibrio) en las demandas individuales de A, Bpor las mercancías x e y los consumos de equilibrio general (en una economía de intercambio puro) serán:

3747

3545

//B

//A

yxBien/Agente

3747 //B

No deje de notar que esta solución es viable en términos de las disponibilidades totales de bienes en la economía, esto es, verifican:

∑∑==

ω=m

ii

m

i

*i

11

x

ObservaciónObservaciónObservaciónObservación::::

A efectos de cálculo numérico, bastará con especificar el sistema de ecuaciones z(p) = 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−=ω+ω−+=

−=ω+ω−+=

223

232

yxBy

Ayyx

Byx

Ayxy

xyBx

Axyx

Byx

Ayxx

p/pp,pyp,pyp,pz

/p/pp,pxp,pxp,pz

Previa asignación de los parámetros o datos.

Cómo sería la solución CNS?Cómo plantearía este problema en términos NLP? Hint: tenga en cuenta el primer teorema del bienestar.

Eficiencia, Unicidad, EstabilidadEficiencia, Unicidad, EstabilidadEficiencia, Unicidad, EstabilidadEficiencia, Unicidad, Estabilidad

1. ¿Son deseables, socialmente apropiadas o aún justas las asignaciones de recursos logradas a través de mercados competitivos?

Preguntas que queremos resolver:Preguntas que queremos resolver:Preguntas que queremos resolver:Preguntas que queremos resolver:

competitivos?2. ¿Cómo se determinan los precios de equilibrio?

La primera pregunta aborda el problema de la evaluación normativa de losresultados de las asignaciones logradas a través de los mercados desde la ópticadel bienestar de las sociedad. Un problema de economíaeconomíaeconomíaeconomía normativanormativanormativanormativa antes que deeconomíaeconomíaeconomíaeconomía positivapositivapositivapositiva.

Con la segunda pregunta se quiere saber (i) cuantos equilibrios podemos hallar, y(ii) como se llega a estos equilibrios.

Abordaremos por turno estas dos cuestiones

Eficiencia y Noción de ÓptimoEficiencia y Noción de ÓptimoEficiencia y Noción de ÓptimoEficiencia y Noción de Óptimo

Si hemos de citar al criterio de Pareto es preciso aceptar poradelantado de que se trata de un criterio mínimo de aceptabilidad delos resultados del funcionamiento de una economía de mercado.

En particular, puede parecer que proposiciones que propendan por que no sedesaproveche ninguna oportunidad de aumentar el bienestar de todos losindividuos, no tienen demasiados opositores. El criterio de Pareto dice queuna asignación es mejor que otra cuando todos los individuos la prefieren.una asignación es mejor que otra cuando todos los individuos la prefieren.

En este sentido, un OptimoOptimoOptimoOptimo dededede ParetoParetoParetoPareto se puede definir como un elementomaximal de una relación entre asignaciones: una asignación es ÓptimaÓptimaÓptimaÓptima enenenen elelelelSentidoSentidoSentidoSentido dededede ParetoParetoParetoPareto si no es posible encontrar otra asignación en la que todoslos individuos estén mejor.

Formalicemos este concepto:

Definición PSDefinición PSDefinición PSDefinición PS....---- Una asignación factible ( )1

moi i=

x se dice que es Pareto SuperiorPareto SuperiorPareto SuperiorPareto Superior

a otra asignación factible ( )1

moi i=

x siempre que:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 , y m m m mo ou u i u u≥ ∀ >x x x x para algún k

Formalizando…Formalizando…Formalizando…Formalizando…

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 1 1 , y o o

i i i i i i i ii i i iu u i u u

= = = =≥ ∀ >x x x x para algún k

Definición OPDefinición OPDefinición OPDefinición OP....---- Una asignación factible ( )1

moi i=

x es un Óptimo de ParetoÓptimo de ParetoÓptimo de ParetoÓptimo de Pareto

(o una AsignaciónAsignaciónAsignaciónAsignación ParetoParetoParetoPareto----EficienteEficienteEficienteEficiente) si no existe ninguna otra asignaciónfactible que sea Pareto Superior a ésta

El criterio de Pareto es sin embargo un criterio ciertamente débil a lahora de valorar el bienestar colectivo. La expresión: Una asignaciónes mejor que otra si y solo si todos los individuos la prefieren, es unaexpresión particular del principio ético que aspira a conseguir “elmayor bien para el mayor número” que es difícilmente discutible.

No obstante, el criterio en si mismo tiene dificultades que es preciso señalar:

1. El CriterioCriterioCriterioCriterio dededede ParetoParetoParetoPareto no permite comparar situaciones en las que unindividuo mejora cuando otro simultáneamente desmejora. La vida realindividuo mejora cuando otro simultáneamente desmejora. La vida realmuestra que esta es más la regla que la excepción.

2. El CriterioCriterioCriterioCriterio dededede ParetoParetoParetoPareto no incluye ningún criterio de justicia distributiva; lavida real enseña (o parece sugerir) que no todos los óptimos de Paretoson socialmente aceptables.

3. El CriterioCriterioCriterioCriterio dededede ParetoParetoParetoPareto no permite comparar entre diversas asignacionesOptimas alternativas.

4. El bienestar de la sociedad se valora en términos de las preferenciasindividuales por lo que afirmar que una asignación es preferida a otra eslo mismo que decir que los individuos la prefieren sobre la alternativa.Este criterio carece por tanto de universalidad.

Observación

� El Criterio de Pareto es un punto de partida para el análisis de los resultados de una organización económica y social.organización económica y social.

� Es un criterio de eficiencia y por consiguiente, un requisito mínimo para la evaluación del desempeño de la organización social prevalente

Primer Teorema del Bienestar

La determinación del Criterio de ParetoCriterio de ParetoCriterio de ParetoCriterio de Pareto como un requisito esencial mínimo de eficiencia para una asignación factible da como resultado el siguiente:

Un Equilibrio Competitivo determina una asignación Pareto eficiente. Este resultado se conoce como Primer Teorema del Bienestar (PTB):Primer Teorema del Bienestar (PTB):Primer Teorema del Bienestar (PTB):Primer Teorema del Bienestar (PTB):

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema: Sea E E E E una economía en la que cada uno de los consumidores exhibe una función de utilidad que satisface no saciedad local. Si un equilibrio para esta economía es un vector de precios y una asignación factible

( )* *

1,

m

i i = p x

entonces la asignación es eficiente en el sentido de Pareto.( )*

1

m

i i =x

PruebaPruebaPruebaPrueba:::: El lector interesado puede revisar Villar, A (1999)

Segundo Teorema del Bienestar

De acuerdo con el Primer Teorema del Bienestar (PTB), toda asignación deequilibrio competitivo es una asignación ParetoParetoParetoPareto ÓptimaÓptimaÓptimaÓptima.

Note sin embargo que la asignación que se pueda alcanzar depende en buenaparte de la distribución inicial de la riqueza entre los consumidores porque,efectivamente, el equilibrio garantiza distribuciones de bienestar en las que nadieefectivamente, el equilibrio garantiza distribuciones de bienestar en las que nadieempeora en relación con su situación pre-intercambio.

Aunque un equilibrio competitivo se logra luego de agotar todas las oportunidadesde intercambio posibles, también es cierto que la distribución de bienestarresultante refleja la distribución inicial de oportunidades de la que se parte.

Dadas estas circunstancias: ¿Es¿Es¿Es¿Es posibleposibleposibleposible modificarmodificarmodificarmodificar estasestasestasestas condicionescondicionescondicionescondiciones inicialesinicialesinicialesiniciales dedededemaneramaneramaneramanera quequequeque llevaranllevaranllevaranllevaran aaaa unaunaunauna asignaciónasignaciónasignaciónasignación finalfinalfinalfinal conconconcon unaunaunauna distribucióndistribucióndistribucióndistribución deldeldeldel bienestarbienestarbienestarbienestarpredeterminada,predeterminada,predeterminada,predeterminada, estoestoestoesto es,es,es,es, unaunaunauna distribucióndistribucióndistribucióndistribución socialmentesocialmentesocialmentesocialmente deseable?deseable?deseable?deseable?

Segundo Teorema del Bienestar (cont.)

El SegundoSegundoSegundoSegundo TeoremaTeoremaTeoremaTeorema deldeldeldel BienestarBienestarBienestarBienestar (STB) garantiza la posibilidad de lograrasignaciones Pareto-Óptimas predeterminadas, planeadas ó socialmentedeseables, a través de redistribuciones convenientes de la riqueza de losindividuos:

TodaTodaTodaToda asignaciónasignaciónasignaciónasignación ParetoParetoParetoPareto----EficienteEficienteEficienteEficiente puedepuedepuedepuede serserserser alcanzadaalcanzadaalcanzadaalcanzada comocomocomocomo unununun equilibrioequilibrioequilibrioequilibriocompetitivo,competitivo,competitivo,competitivo, siempresiempresiempresiempre quequequeque seaseaseasea posibleposibleposibleposible redistribuirredistribuirredistribuirredistribuir lalalala riquezariquezariquezariqueza dededede loslosloslos consumidoresconsumidoresconsumidoresconsumidores enenenencompetitivo,competitivo,competitivo,competitivo, siempresiempresiempresiempre quequequeque seaseaseasea posibleposibleposibleposible redistribuirredistribuirredistribuirredistribuir lalalala riquezariquezariquezariqueza dededede loslosloslos consumidoresconsumidoresconsumidoresconsumidores enenenenlalalala formaformaformaforma necesarianecesarianecesarianecesaria yyyy convenienteconvenienteconvenienteconveniente....

Debe notarse que, en este contexto, las dotaciones iniciales, que eran tomadasinicialmente como un parámetro, ahora entran como una variable de política.

Por lo tanto, el STB hace posible conseguir asignaciones eficientespredeterminadas, respetando el mecanismo de asignación de recursos mediantecambios en la estructura de derechos de propiedad. Con esto se compatibilizandos objetivos sociales importantes (aunque a veces conflictivos): eficienciaeficienciaeficienciaeficiencia yequidadequidadequidadequidad.


ObservaciónObservaciónObservaciónObservación:::: las dotaciones de recursos son ahora consideradas variables; en consecuencia, describiremos una economía mediante:

( ) 1, ;

m

i i iE X u ω

= =

Una expresión común es aquella según la cual el STB permite descentralizar asignaciones eficientes, ya que permite alcanzar este tipo de asignaciones como resultado de la coordinación de acciones absolutamente individuales, a través de los mercados.


TeoremaTeoremaTeoremaTeorema:::: Sea una economía de intercambio en la que pata

todo i = 1,…,m, Xi es un conjunto convexo y ui es una función de utilidad tipo:

continua, cuasi-cóncava y no saciable localmente. Sea una asignación

( ) 1, ;

m

i i iE X u ω

= =

( )*

1

m

i i =x

Pareto eficiente tal que está en el interior de Xi , para todo i. Entonces, existe

un vector de precios p* en , p* ≠ 0 y una distribución de riqueza M* , tal que:

*ix

lR+

( )* *

1,

m

i i = p x

es un equilibrio competitivo.

DemostraciónDemostraciónDemostraciónDemostración: Ver Villar (1999)

En resumen STBSTBSTBSTB dice que cualquier asignación Pareto eficientepuede ser descentralizada siempre que haya una redistribuciónconveniente de los recursos iniciales y, eventualmente, la propiedadde las empresas.de las empresas.

Consecuentemente, este resultado sugiere un procedimientoespecífico para el desarrollo de políticas redistributivas que respeta elmecanismo competitivo de asignación de recursos y hace compatibleseficienciaeficienciaeficienciaeficiencia y equidadequidadequidadequidad....

Equilibrio y Optimalidad

¿Cuales¿Cuales¿Cuales¿Cuales sonsonsonson laslaslaslas propiedadespropiedadespropiedadespropiedades dededede laslaslaslas asignacionesasignacionesasignacionesasignaciones ParetoParetoParetoPareto óptimasóptimasóptimasóptimas enenenen términostérminostérminostérminosdededede laslaslaslas tasastasastasastasas marginalesmarginalesmarginalesmarginales dededede sustituciónsustituciónsustituciónsustitución dededede loslosloslos agentes?agentes?agentes?agentes?

Estas propiedades hacen posible caracterizar las asignaciones eficientes conindependencia de los mercados, con lo que se ganará mayor comprensión

1. Las implicaciones de la eficiencia, 2. Las relaciones entre equilibrio competitivo y optimalidad, 3. El análisis de aquellos casos en los cuales los mercados no logran

asignaciones eficientes, esto es, en los cuales los mercados fallan.

independencia de los mercados, con lo que se ganará mayor comprensiónsobre:

Equilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadSupuestos analíticos:Supuestos analíticos:Supuestos analíticos:Supuestos analíticos:

1. Cada consumidor tiene una relación de preferencias representable mediante una función de utilidad diferenciable.

2. La economía contiene m consumidores que adquieren o desean adquirir un paquete de bienes de entre los l bienes diferentes disponibles.disponibles.

3. ω nota los recursos iniciales, - las dotaciones.4. El conjunto de asignaciones factibles está dado por aquellos planes

de consumo compatibles con los recursos disponibles, i.e.

( ) 1 es asignación factible si:

m

i =ix1 1

0,i

m m

i ii i

i

ω= =

≥ ∀

≤∑ ∑

x

x

Equilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadDado el conjunto de asignaciones factibles, una forma de encontrarasignaciones EficientesEficientesEficientesEficientes enenenen elelelel SentidoSentidoSentidoSentido dededede ParetoParetoParetoPareto consiste en maximizarla función:

( )1

m

i i iiuα

=∑ x

sujeta a la restricción de recursos habitual.

Observe que el conjunto de asignaciones factibles determina elconjunto de posibilidades de utilidad de manera que la maximizaciónconjunto de posibilidades de utilidad de manera que la maximizacióndel objetivo propuesto hace posible alcanzar la frontera del conjunto deposibilidades antedicho que está constituida por puntos ParetoParetoParetoParetoOptimosOptimosOptimosOptimos (por qué?).

Si las funciones de utilidad son cóncavas, el conjunto de posibilidadesde utilidad es convexo y, como consecuencia, cualquier punto de lafrontera de posibilidades de utilidad es solución del problema demaximización propuesto, eligiendo apropiadamente los ponderadoresααααiiii (o ponderadores de Negishi)

Equilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y Optimalidad

Si se cumplen los supuestos iniciales (diferenciabilidad, cuasi-concavidad estricta y

monotonía de las funciones de utilidad, y convexidad del conjunto de posibilidades de

utilidad), las condiciones de primer orden (CPO) del convexidad del conjunto de posibilidades de

utilidad), las condiciones de primer orden (CPO) del problema formulado son suficientes y se puede

garantizar como consecuencia que las asignaciones óptimas en el sentido de Pareto pueden ser

caracterizadas en términos de sus propiedades marginales.

Equilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadSuponga el siguiente programa, cuya solución proporciona una asignación óptima en el sentido de Pareto:

( )1

1 1

max

1,...,. . :

, 1,...,

i

m

i i ii

m m

ik iki i

i

u

x k ls t

i m

α

ω

=

= = ≤ ∀ =

≥ ∀ =

∑

∑ ∑

xx

x 0, 1,...,i i m≥ ∀ =x 0

el lagrangeano es:

( ) ( )1 1 1 1

;m k m m

i k i i i k ik iki l i iu xλ α λ ω

= = = = Θ = − − ∑ ∑ ∑ ∑x x

donde las condiciones relevantes para óptimo son:

0ik i i ik kx u xα λ∂Θ ∂ = ∂ ∂ − =

Equilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEstas condiciones suponen, para uno de los i consumidores, tomando cualquier par k.t de bienes que

,, , 1, , , , 1, , ik t i it ti k t

i ik i it i ik k

u xk t l TMS k t l

u x u x u x

λ λ λαλ

∂ ∂= = = ⇒ = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

L L

cuya interpretación económica es que la Tasa Marginal de Sustitución entre los dosbienes debe ser igual al cuociente de los multiplicadores asociados que, según sesabe, son expresión de los precios (son precios sobra en efecto).

Observe que los multiplicadores se refieren a las mercancías, por lo que esteresultado es válido para todos los i consumidores involucrados en el análisis.

Equilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEquilibrio y OptimalidadEs decir si este resultado es valido para el consumidor i, también lo será para el consumidor j, i,j, = 1,…,m. de esta forma tomando dos consumidores diferentes, y dos mercancías k,tttt, tendremos:

, , 1, ,,

, 1, ,j jti it t

i ik k j jk

u x i t lu x

i j mu x u x

λλ

∂ ∂ =∂ ∂ = = =∂ ∂ ∂ ∂

L

L

En forma más concisa:

, ,

, , 1, ,,

, 1, ,i j t tt k t k

k k

i t lpTMS TMS

i j mp

λ ρλ

= = = = =

L

L

En el equilibrio, las Tasas Marginales de Sustitución entre En el equilibrio, las Tasas Marginales de Sustitución entre En el equilibrio, las Tasas Marginales de Sustitución entre En el equilibrio, las Tasas Marginales de Sustitución entre pares de bienes es la misma entre consumidores e igual a la pares de bienes es la misma entre consumidores e igual a la pares de bienes es la misma entre consumidores e igual a la pares de bienes es la misma entre consumidores e igual a la relación de precios. El PTB garantiza que estas condiciones relación de precios. El PTB garantiza que estas condiciones relación de precios. El PTB garantiza que estas condiciones relación de precios. El PTB garantiza que estas condiciones son asignaciones Paretoson asignaciones Paretoson asignaciones Paretoson asignaciones Pareto----Óptimas.Óptimas.Óptimas.Óptimas.

Equilibrio y Optimalidad Equilibrio y Optimalidad Equilibrio y Optimalidad Equilibrio y Optimalidad –––– Un EjemploUn EjemploUn EjemploUn Ejemplo(Monsalve, Ed., [1999])

Suponga una economía de intercambio puro de dos mercancías y dos consumidores cuyas funciones (tipo) de utilidad son:

( )( ) ( )2

Consumidor A: ,

Consumidor B: ,

A A A A A

B B B B B

u x y x y

u x y x y

=

=

Las dotaciones iniciales agregadas de las mercancías x, y son 3 y 2unidades, respectivamente. De acuerdo con los resultados de la parteunidades, respectivamente. De acuerdo con los resultados de la parteanalítica, las TMS de los consumidores son:

( )( )( )( )

2

A A A

AA A

B B B

BB B

u x y

xu y

u x y

xu y

∂ ∂− = −

∂ ∂

∂ ∂− = − ∂ ∂

Equilibrio y Optimalidad Equilibrio y Optimalidad Equilibrio y Optimalidad Equilibrio y Optimalidad –––– Un EjemploUn EjemploUn EjemploUn Ejemplo(Monsalve, Ed., [1999])

Igualando las TMS y haciendo uso del hecho de que:

3

2

A B

A B

x x

y y

+ =

+ =tendremos una expresión para la CurvaCurvaCurvaCurva dededede ContratoContratoContratoContrato, que reúne todasaquellas asignaciones viables que son Óptimas en el sentido dePareto:

2A By y

( )

( ) ( )

( )( )

2

2 2 4 2

3 3

3 4 2

3 4 2 3 2 4

3 2 4

4 3

A B

A B

AA A

A A A

A A A A

A A A A A A A A A A A A

A A A A

A A A

y y

x x

yy y

x x x

y x x y

y x y x x y y x y x y x

y x x x

y x x

=

− −= = →− −

− = − →

− = − → − + = →

− + =

= +

1,25

1,50

1,75

2,000B

Conjunto de Pareto:Conjunto de Pareto:Conjunto de Pareto:Conjunto de Pareto: ( ) [ ]4 3 , 0,3A A A Ay x x x= + ∈

-

0,25

0,50

0,75

1,00

- 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

0A

Óptimos de Pareto y la JusticiaÓptimos de Pareto y la JusticiaÓptimos de Pareto y la JusticiaÓptimos de Pareto y la JusticiaEl CriterioCriterioCriterioCriterio dededede ParetoParetoParetoPareto parece ser un buen criterio de eficiencia; sinembargo resulta débil como criterio normativo. Es posible obtenerasignaciones óptimas según ese criterio que pueden resultarcuestionables desde alguna posición ética. LaLaLaLa NociónNociónNociónNoción dededede OptimalidadOptimalidadOptimalidadOptimalidaddededede ParetoParetoParetoPareto nononono eseseses necesariamentenecesariamentenecesariamentenecesariamente deseabledeseabledeseabledeseable paraparaparapara unaunaunauna sociedadsociedadsociedadsociedad porqueporqueporqueporquenononono conllevaconllevaconllevaconlleva ningúnningúnningúnningún criteriocriteriocriteriocriterio dededede justiciajusticiajusticiajusticia oooo equidadequidadequidadequidad.... (Monsalve, S, ed.[1999]).

Sin embargo, considere la siguiente propuesta:

Una asignación se dice equitativa, si ningún consumidor envidiaenvidiaenvidiaenvidia alotro; es decir, si ningún consumidor prefiere el plan de consumo deotro al suyo.

Por ejemplo, la asignación ((xA,yA), (xB,yB)) es equitativa si:

( ) ( )( ) ( )

, , ,

, ,

A A A A B B

B B B B A A

u x y u x y y

u x y u x y

≥

≥

Óptimos de Pareto y la JusticiaÓptimos de Pareto y la JusticiaÓptimos de Pareto y la JusticiaÓptimos de Pareto y la JusticiaLa noción de equidad propuesta permite introducir una cierta noción de justicia que elimina algunas asignaciones (óptimas), no deseables. En consecuencia, se dirá que una asignación es justa, si es Pareto Óptima y es equitativa.

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: En el ejemplo previo, la curva de contrato, o conjunto de Pareto resultó ser:

( ) [ ]4 3 , 0,3A A A Ay x x x= + ∈( )pero, de acuerdo con la definición sobre equidad, se debe cumplir:

( ) ( )( ) ( )

, , ,

, ,

A A A A B B

B B B B A A

u x y u x y y

u x y u x y

≥

≥

Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Para la economía bajo análisis, estas condiciones son:

( ) ( )2 2

,A A B B

B B A A

x y x y y

x y x y

≥

≥

como resultará obvio, las asignaciones justas están caracterizadaspor las siguientes desigualdades:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2

3

2

4 43 2 ,

3 3

443 2

3 3

A AA

A A

AAA

A A

x xx y

x x

xxx

x x

≥ − −

+ +

− − ≥

+ +

Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)

Resolviendo este sistema de inecuaciones se obtiene:

1,2426 1.3274Ax≤ ≤

1,50

1,75

2,00

-

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

- 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Asignaciones Asignaciones Asignaciones Asignaciones JustasJustasJustasJustas

Apéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda NetaApéndice 1: La Demanda Neta

Recuerde que la riqueza del individuo viene dada por el valor de losbienes que posee:

i iM ω= p

Aquí se identifican tres componentes: M i es la riqueza total delindividuo, ωωωωi es un vector de mercancías de propiedad del i-ésimoconsumidor e incluye los recursos materiales como los activos quepuede vender en el mercado de factores. Finalmente es un vectorconsumidor e incluye los recursos materiales como los activos quepuede vender en el mercado de factores. Finalmente p es un vectorde los precios de los bienes. Cada consumidor viene caracterizadopor la tupla ;

según esta caracterización, los recursos del consumidor entran como un parámetro y no cambian en el análisis.

[ ]iii uX ω,,

En este caso, el problema del consumidor será:

( )

∈≤

+l

ii

i

R

ts

uMax

i

i

x

ppx

x

ω..

cuyas soluciones son: ( )*id=ix p

Considere ahora la función: :N l lid R R+ →

De acuerdo con ésta, para cada vector de precios del espacio relevante se tiene:

( )Ni i id d ω= −p

La gráfica a continuación ilustra la idea de demanda neta, en el caso de dos mercancías:

Mercancía 2Mercancía 2

Mercancía 1

ω

ω1

ω2

*1x

*2x

*x

Mercancía 1

ω

ω1

ω2

*1x

*2x

*x

La riqueza del individuo varía con los precios aún cuandosus dotaciones sean un parámetro fijo. (¿Puedeproporcionar un ejemplo de la vida real de estefenómeno?); en efecto, la riqueza es el valor de losrecursos del consumidor; por ejemplo, una disminución dela tasa de salario, hace que su riqueza se reduzca.

El conjunto de puntos que describen elecciones óptimasdados cambios en el sistema de precios se conoce comocurva de oferta-demanda del consumidor y se nota OCi(p)

En la Ilustración a continuación, la línea punteada esprecisamente la CurvaCurvaCurvaCurva dededede OfertaOfertaOfertaOferta----DemandaDemandaDemandaDemanda del i-ésimoconsumidor en el caso l = 2.

Cada punto en OCi(p) es un plan de consumo

óptimo, garantizado por la igualdad entre la tasa

marginal de sustitución y la relación de precios,

que da la pendiente de la

Mercancía 2Mercancía 2( )iOC p

que da la pendiente de la curva de presupuesto; la

posición de ésta está dada por ωi, a través de

la cual la línea presupuestal ha de

pasar. Note OCi(p) que está en el conjunto

MI i(p) de planes de consumo mejores o

iguales a ωωωωi

Mercancía 1

iωMercancía 1

iω

2. Economías con Producción2. Economías con Producción2. Economías con Producción2. Economías con Producción2. Economías con Producción2. Economías con Producción2. Economías con Producción2. Economías con Producción

Ampliamos el alcance de nuestro análisis haciendo caso omiso delsupuesto según el cual, la producción está dada.

Supondremos que la producción es resultado del esfuerzo de unconjunto de agentes que adquieren mercancías (factores primarios ybienes intermedios) para transformarlos en mercancías queadquieren, tanto los consumidores privados como los productorespueden demandar.pueden demandar.

Introducimos el concepto de EconomíaEconomíaEconomíaEconomía dededede PropiedadPropiedadPropiedadPropiedad PrivadaPrivadaPrivadaPrivada, unarreglo institucional en el que los hogares (consumidores), sonpropietarios, tanto de los inputs primarios o factores de producción,como de las firmas.

Antes de empezar, haremos revisión somera de la conducta de elnuevo tipo de agente: la firma, no sin antes presentar un pequeñomodelo que precisa la naturaleza del problema a tratar.

2.1. Equilibrio con Producción 2.1. Equilibrio con Producción 2.1. Equilibrio con Producción 2.1. Equilibrio con Producción ---- IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

Una Economía del Tipo de Robinson Crusoe:Un Consumidor, Un Productor

La manera más fácil de introducir producción almodelo de EG competitivo es suponer queexisten dos agentes económicos —tomadores deexisten dos agentes económicos —tomadores deprecios:

•Un consumidor,

•Un productor,

•Dos (2) bienes: Trabajo (u ocio) del consumidor,y un bien manufacturado, producido por la únicafirma en esta economía.

El Consumidor El Consumidor El Consumidor El Consumidor presenta preferencias, continuas, convexas,fuertemente monótonas definidas sobre su consumo de ocio, x1 ,y el bien de consumo producido por la firma, x2

Además tiene una dotación inicial de unidades de ocio y ninguna unidad del bien de consumo (x2).

El Productor (La firma) El Productor (La firma) El Productor (La firma) El Productor (La firma) adquiere trabajo — z — para producir el bien de consumo, de acuerdo con una función producir el bien de consumo, de acuerdo con una función de producción creciente y estrictamente cóncava, f(z).

Con el propósito de producir x2, la firma debe contratar al consumidor, retribuyendo a este su sacrificio en términos del ocio (x1) que éste deja de disfrutar.

El objetivo de la firma consiste en maximizarmaximizarmaximizarmaximizar el beneficio de su operación fabril, dados los precios vigentes.

Si se notan con

p := precio del producto, y

w := salario

la firma resolverá:

( ) zwzfpz

⋅−⋅≥0

max

Dados los precios de mercado, (p, w), se tendrán:

z(p,w) := demanda óptima de empleo,

q(p,w) := producción, y

ππππ(p,w) := beneficios

z≥0

Se supondrá que el consumidorconsumidorconsumidorconsumidor es el propietario de la única firmafirmafirmafirma en esta economía, de manera que percibe los beneficios empresariales,

ππππ(p,w)

Si u(x1, x2) es una función de producción que representa , el problema del consumidor, dados los precios vigentes, —el problema del consumidor, dados los precios vigentes, —(p, w)— es:

( )( )

( ) ( )2

1 21 2

,

2 1

,

. . ,

x xMax u x x

s t p x w L x p wπ+∈ℜ

⋅ ≤ ⋅ − +

La restricción de presupuesto en ese programa señala dos fuentes posibles de recursos: Los ingresos por salarios, y las ganancias operacionales de la firma de su propiedad.

Si el consumidor ofrece una cantidad de trabajo enpresencia de los precios (p, w), la cantidad total de recursosque puede gastar en el consumo del bien producido x2

( )1xL −

que puede gastar en el consumo del bien producido x2

estará constituida por los ingresos del trabajo más losdividendos distribuidos de las firmas, es decir:

( ) ( )wpxLw ,1 π+−⋅

En estas condiciones, un EquilibrioEquilibrioEquilibrioEquilibrio WalrasianoWalrasianoWalrasianoWalrasiano para estaeconomía involucra un vector de precios (p*, w*) a loscuales los mercados de consumoconsumoconsumoconsumo y trabajotrabajotrabajotrabajo se vacían, esdecir, a los cuales se debe verificar que:

( ) ( )**,**, wpqwpx =( ) ( )**,**,2 wpqwpx =

( ) ( )**,**, 1 wpxLwpz −=

El problema de la firma es ilustrado en la Figura 1 en la siguiente diapositiva, donde:

• El uso del input trabajo se mide en la abscisa como una cantidad negativa (sale de la riqueza del consumidor) ;

• La producción (q) se mide en la vertical;• La producción (q) se mide en la vertical;

• El conjunto de posibilidades de producción asociado a la función f(z) comprende el área bajo la curva e incluye el borde superior (i.e., es conjunto compacto).

• El punto señala el nivel de inputs y outputs que maximizan el beneficio.

Figura 1: El Problema de la Firma

q

( ) ( ){ }zfqqz =− :,( )wp,

( ) ( )( )wpqwpz ,,,−

-z O f

( )p

wp,π

De la figura 2…De la figura 2…De la figura 2…De la figura 2…

• Los niveles de ocio y consumo (x1, x2) se miden a partir del origen Oc;

• La longitud [Oc, Of] = , es la dotación total de tiempo;• El área bajo la recta presupuestal (incluyendo el borde), de

pendiente –w/pes el conjunto presupuestal del consumidor a los precios (p,w);

• Si el individuo consume x1 = unidades de ocio, no vende ninguna unidad de trabajo (no obtendría salario) y solo podrá consumir π(p,w)/p unidades de x2. Como consecuencia, la línea de presupuesto debe cortar el eje q a la altura π(p,w)/p.

• Naturalmente, por cada unidad de trabajo que venda, el

L

L

• Naturalmente, por cada unidad de trabajo que venda, el consumidor obtendrá w y tendrá la posibilidad de adquirir w/punidades de x2. De aquí que la línea de presupuesto deba tener pendiente –(w/p).

• Note que la línea de presupuesto del consumidor coincide exactamente con la función de isobeneficio asociada a la solución del problema de maximización del beneficio de la firma, es decir, el conjunto de puntos:

( ) ( ){ }wpzwqpqz ,:, π=⋅−⋅−

Observe que los precios que se ilustran en la Figura 2, no son sin embargo, los precios de equilibrio puesto que bajo ese sistema se presentan:

• Exceso de demanda de trabajo; y

• Exceso de oferta del bien de consumo x .• Exceso de oferta del bien de consumo x2.

Un vector de precios (p*, w*) que vacía los mercados de los dos bienes, es el que se ilustra en la Figura 3:

Una combinación particular de ocio y consumopuede constituir un equilibrio competitivo, si ysolo si, maximiza la utilidad del consumidor,sujeto a las restricciones tecnológicas y deviabilidad de la economía.

Acerca de los resultados del análisis en la Figura 3, es preciso notar que:

En otros términos una asignaciónde Equilibrio Walrasianoes la misma

• Un Equilibrio Walrasiano es Óptimo en elsentido de Pareto; y

• Una asignación óptima en el sentido de Paretoes soportable como un Equilibrio Walrasiano.

En otros términos una asignaciónde Equilibrio Walrasianoes la mismaasignación que se obtendría si un planeador central tuvieraa su cargo lamaximización del bienestar del consumidor. Como consecuencia, se tiene aquíuna expresión específica de los dos teoremas fundamentalesdel bienestar:

3. El Modelo Arrow3. El Modelo Arrow--Debreu (AD) Debreu (AD)

El funcionamiento de una economía competitiva puede ser concebido como la interacción, a través de los mercados, de consumidores, firmas y tal vez un gobierno, cuyo comportamiento corresponde a sus conjuntos de elección y sus criterios de elección. (Villar, 1999).

Las posibilidades de elección están acotadas por restricciones específicas:específicas:

a.a.a.a.---- Los conjuntos de consumo describen las posibilidades de consumo y trabajo (ocio);

b.b.b.b.---- Los conjuntos de producción resumen los conocimientos técnicos disponibles.

Las posibilidades económicas de una organización social dependen además de una restricción adicional: sus sus sus sus dotaciones de recursos o riquezadotaciones de recursos o riquezadotaciones de recursos o riquezadotaciones de recursos o riqueza (stock).

El conjunto de dotaciones de recursos de una sociedad incluye los activos reales de la economía:

• Edificios & Construcciones,• Maquinaria & Equipo,• Tierra,• Recursos Naturales, • Recursos Naturales, • Inventarios, inter alia

Son herencia del pasado y suponen el punto de partida sobre el que se desarrolla la producción y el intercambio desde el momento presente.

Los recursos totales se representan como un punto ωωωω ∈∈∈∈ Rl

La capacidad productiva puede entenderse como el resultado de la combinación de tres tipos de recursos:

Recursos Materiales, que se resumen en el vector ωωωω

Recursos Tecnológicos, descritos por los conjuntos de producción, y

Capital Humano, descrito por los conjuntos de consumo

De esta guisa, una economía está compuesta por los siguientes objetos:

m consumidores, cada uno caracterizado por su conjunto de consumo, Xi y su función de utilidad ui

(i)

n empresas, cada una caracterizada por su conjunto de producción, Yj(ii)

Los recursos (dotaciones) disponibles, ωωωω ∈∈∈∈ Rl(iii)

Que en forma reducida puede expresarse con las siguiente tupla de vectores:

( ) ( )1 1, , ;

nm

i i ji jE X u Y ω

= = =

l da el número disponible de mercancías.

Las siguientes definiciones amplían y precisan los conceptos de asignacióny asignación factible (Ginsbugrh + Keyzer, 1997):

Definición: AsignaciónDada una economía ( ) ( )[ ]ω;;,

11

n

jjmiii YuXE

=== se llama asignación a un punto

( ) ( )[ ] ∏∏==

== ×∈n

jj

m

ii

n

jjmii YX

1111, yx

Una asignación es una colección de planes de consumo y de planes de producción, uno para cada agente, incluidos en los conjuntos de elección individual: en un punto del para cada agente, incluidos en los conjuntos de elección individual: en un punto del conjunto Rl(m+n).

Definición: Asignación Factible

Dada una economía ( ) ( )1 1, ; ;

nm

i i ji jE X u Y ω

= = =

se llama asignación factible a un punto

( ) ( )[ ] ∏∏==

== ×∈n

jj

m

ii

n

jjmii YX

1111, yx tal que ∑∑∑ ===

+≤m

i i

n

j i

m

i i 111ωyx

Esto es, si las cantidades demandadas no superan los recursos disponibles más la producción neta.

Economías de Propiedad PrivadaEconomías de Propiedad Privada

Se llama Economía de Propiedad Privadaa aquella organización social en la que los consumidores (o los hogares):

• Son propietarios de todoslos recursos, y

• Detentan la propiedad de las empresas.• Detentan la propiedad de las empresas.

Como consecuencia, la riqueza del consumidor, a diferencia del caso de intercambio puroestará dada por la suma de:

•El valor de sus recursos (que pueden ser tenidos en cuenta como factores de producción), y

•Los beneficios provenientes de su participación en la propiedad de las firmas.

Definiendo ahora:

[ ] =∈ : 1,0ijθ la participación del i-ésimoconsumidor en la j-ésimafirma

Se tiene entonces que los datos básicos (fundamentals)de describen una economía de propiedad privada son:

1.- El número de mercancías, consumidores y empresas (l, m, n);

2.- Las posibilidades de producción, determinadas por los conjuntos de producción de cada una de las j empresas;producción de cada una de las j empresas;

3.- Las posibilidades de consumo y los gustos de los consumidores; y

4.- Las dotaciones iniciales de recursos en manos de los consumidores y sus participación en la propiedad de las firmas

Que en forma reducida se expresa como:

( ) ( )1 1, , , ;

nm

pp i i i j iji jE X u Yω θ

= = =

Los siguientes supuestos precisan la naturaleza de la economía Epp de referencia:

Supuesto 1: Para todo i=1,2…, m(i) (ii) Es función contínua, cuasi-cóncava y no-saciable (monótona).(iii)

li RX =

RRu li →+:

0>>iω

Supuesto 2: Para todo j=1,2…, n(i) Y es conjunto cerrado(i) Yj es conjunto cerrado(ii)(iii)(iv) Yj es estrictamente convexo

jl

j YRY ⊂− +{ }0=∩ +

lj RY

El Supuesto 1 coincide con el aplicado a las economías de intercambio;

El Supuesto 2 establece que todas las empresas tienen conjuntos de producción cerrados, que contienen al orígeny que cumplen con el supuesto de eliminación gratuita (i), (ii), (iii). La parte (iv) supone que las firmas presentan rendimientos a escala estrictamente decrecientes.

Dado un vector de precios p en el espacio de los recursos (un precio para cada mercancía), la j-ésimaempresa escoge el nivel de actividad yj que maximiza sus beneficios. La función de beneficios es una regla πj: R+

l→ R que asocia a cada vector de precios p los beneficios máximos que la empresa puede alcanzar a esos precios. La riqueza del consumidor se define entonces como:

( ) ( )∑ =+=

n

j jijiiM1

ppp πθω

De manera que el problema del consumidor será:

( )( )

+∈

≤ ∑ =

+

n

j jijil

i

i

ii

R

as

u

1..

max

p

x

ppx

x

πθω

Definamos:

( )( )

==

firma ésima- la de oferta

;consumidor ésimo- del demanda

js

id

jj

ii

py

px

Entonces, la diferencia entre las demandas netas de los consumidores y la oferta de las firmas:

dan las cantidades de mercancías que se demandan por encima de lo que es posible obtener en esta asignación. Así, la función de exceso de demandase define por:

( ) ( )∑∑ ==−

n

j j

m

i

Ni sd

11pp

obtener en esta asignación. Así, la función de exceso de demandase define por:

( ) ( ) ( )∑∑∑ ===−−=

n

j j

m

i i

m

i i sdz111

ppp ω

Note que la convexidad estricta y la no saciabilidad implican que pz(p)=0 para todo p, porque en el equilibrio, el consumidor gastará todo su ingreso:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ===+=+=

n

j ijiji

n

j jijii Mspd11

ppppppp θωπθω

Sumando sobre i, y dado que para todo j, se tendrá:11

=∑ =

m

i ijθ

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑ =====+=+=

n

j j

n

j jij

m

i

m

i i

m

i i sspd11111

ppppppp ωθω ∑∑∑∑∑ ===== jjiii 11111

Que es la Ley de Walraspara economías privadas con producción. Esta ley establece que para cualquier vector de preciosel valor del exceso de demanda es siempre igual a cero.

En esta economía de propiedad privada, Epp, un Equilibrio General es un vector de precios y un asignación

( ) ( )

==n

ijm

ii 1*

1* ,, yxp*

Tales que:

Para todo i, xi* maximiza ui sobre el conjunto presupuestal:( ) ( ){ }pxpxp ii

lii MR ≤∈= + *:*β

Para todo j, yj* maximiza los beneficios relativos a p*

Para los recursos disponibles se verifica: ∑∑∑ ===+≤

m

j j

m

i i

m

i i 1

*

11

* yx ω

Un equilibrio se define, pues, como un vector de precios y unas asignaciones de consumo y producción tales que (a) cada consumidor maximiza su utilidad sobre su conjunto presupuestal, (b) cada firma maximiza beneficios a los precios p* y (c) la oferta es igual a la demanda en todos los mercados

x*

y* + ω

p*

0

Y + ω

Petróleo, Cañones & Mantequilla: Un EjemploPetróleo, Cañones & Mantequilla: Un Ejemplo

[Varian, Hal (1993)] En una economía Eppde propiedad privada hay dos empresas y dos consumidores. La firma 1 es propiedad del consumidor 1 y produce cañones a partir de petróleo por medio de la función de producción g = 2x. El consumidor 2 es propietario exclusivo de la firma 2 que produce mantequilla a partir de petróleo mediante la función exclusivo de la firma 2 que produce mantequilla a partir de petróleo mediante la función de producción b = 3x. Cada consumidor cuenta con diez (10) unidades de petróleo. La función de utilidad del consumidor 1 es en tanto que la del consumidor 2 es

( ) 6040 .. bgb,gu =( ) b.g.b,gu ln 50ln 5010 ++=

El Beneficio de las firmas.La firma 1, —fabricante de cañones—, busca dar solución al siguiente

problema:

( )[F1]

2 s.t.

maxxg,

=

⋅−⋅=Π

xg

xpgpp,p xgxg

al sustituir la restricción en la función objetivo del programa [F1] se obtiene un problema de extremos libres en x, —el petróleo:

La Solución Analítica

problema de extremos libres en x, —el petróleo:

( ) xppx xg ⋅−⋅=⋅Π 2 maxx

cuya condición relevante para maximización es:

[ ] 2 2 : =→−⋅g

xxg p

pppx

Note en particular que si , no existirá un plan maximizador de beneficio porque se podría elegir una cantidad de x indefinidamente alta (Varian, Id.), de forma que esta tecnología solo tendrá un plan de producción maximizador de beneficio cuando , en cuyo caso, . Para el caso presente, se establecerá:

xg pp >2

xg pp =2 ( ) 0≡Π .

xg pp2

1=

Por su parte, la firma 2, —fabricante de mantequilla—, buscará dar solución al siguiente problema:

( )[F2]

3 s.t.

maxxb,

=

⋅−⋅=Π

xb

xpbpp,p xbxb

como en el caso de la firma 1, si se sustituye la restricción en la función objetivo del programa [F2] se obtiene un problema de extremos libres en x:

( ) xppx xb ⋅−⋅=⋅Π 3 maxx

Aquí, las condiciones para maximización son:

[ ] 3 3 : =→−⋅b

xxb p

pppx , es decir, xb pp

31=

Las Demandas de Los ConsumidoresEs fácil ver que, por ser de tipo Cobb-Douglas, las funciones de demanda de los consumidores (a quienes llamaremos A y B) tienen la forma . Para cada consumidor, se tendrán, en consecuencia:

iii p/Mx α=consumidor, se tendrán, en consecuencia:

Consumidor Cañones Mantequilla

A

B

g

A*A p

M.g

40=b

A*A p

M.b

60=

g

B*B p

M.g

50=b

BB p

Mb

6.0* =

Por el hecho de que cada uno de los consumidores está dotado con diez (10) unidades de

petróleo (x), MA y MB serán, respectivamente:

xA pM 10= xB pM 10=

reemplazando en las demandas y teniendo en cuenta que, xg pp2

1= xb pp3

1=se obtienen las cantidades de cañones y mantequilla demandadas por cada

consumidor, i.e.,

8204010

4040

=×=⋅== .p

.M.

g xA* cañones

y

82040402

1=×=⋅== .

p.

pg

x

x

g

A*A

cañones

10205010

5050

21

=×=⋅== .p

p.

p

M.g

x

x

g

B*B

18306010

6060

31

=×=⋅== .p

p.

p

M.b

x

x

b

A*A

15305010

5050

31

=×=⋅== .p

p.

p

M.b

x

x

b

B*B

cañones

unidades de mantequilla

unidades de mantequilla

Demandas de PetróleoCon las funciones de producción y las demandas recién calculadas, es fácil obtener las demandas de petróleo de cada firma. La firma 1, productora de cañones ha de producir

cañones para satisfacer las demandas de los consumidores por ese bien. Utilizando la función de producción asociada,

18108 =+=+ *B

*A gg

g* ==

se sigue inmediatamente que, lo cual, dado un total de petróleo disponible de 20 unidades debería suponer un uso de 11 unidades de esta mercancía por parte de la firma productora de mantequilla. En efecto, utilizando la función de producción correspondiente, , de donde es claro que , según se había anotado.

g* xg 218==

9=gx

b* xb 333== 11=bx

La Ley de WalrasEs fácil comprobar que las demandas y ofertas obtenidas y los precios derivados satisfacen la Ley de Walras. Considere el siguiente sistema de ecuaciones de valor de excesos de demanda:

( ) ( ) 05040 =⋅−

+⋅=⋅ *gp

p

M.

p

M.pp,p,pZp g

g

B

g

Agxbggg

( ) ( ) 05060 =⋅−

+⋅=⋅ *

bb

B

b

Abxbgbb bp

p

M.

p

M.pp,p,pZp

( ) ( ) ( )[ ] 0=+−+⋅=⋅ BAbgbxbgxx xxxxpp,p,pZp

Tomando 1=xp , es claro que este sistema se satisface con igualdad.

Resumen de resultadosEl siguiente cuadro resume los resultados:

Precio w.r.t. pCañones Mantequilla Petroleo

1/2 1/3 1Precio w.r.t. p x

A B A B g b8 10 18 15 9 11

Demandas Totales

18 33 20

Demandas por Usuario

1/2 1/3 1

Implementación GAMS

*--- Datos y ParametrosSET i Consumidores /A,B/

j Productores /1,2/l Mercancias /Canones,Mantequilla,Petroleo/

c(l) Bs de Consumo /Canones,Mantequilla/k(l) Factores /Petroleo/;

TABLE omega(k,i) Dotaciones de Factores por Consumidor

Definición de Elementos Básicos, Datos & Parámetros

TABLE omega(k,i) Dotaciones de Factores por ConsumidorA B

Petroleo 10 10;

TABLE alpha(c,i) Participaciones Presupuestales por Agente (Utilidades C-D)A B

Canones 0.4 0.5Mantequilla 0.6 0.5;

*--- Variables

POSITIVE VARIABLES

*--- Preciospc(c) Precios de los Bienes de Consumopx Precio del Factor de produccion

*--- DemandasQdg(i) Demanda de Canones por UsuarioQdb(i) Demanda de Mantequilla por Usuario

Se definen las Variables de Elección y se inicializan algunas de ellas

Qdb(i) Demanda de Mantequilla por UsuarioQdx(j) Demanda de Petroleo por Usuario

*--- OfertasQsg Oferta Total de Canones -- (Productor 1)Qsb Oferta Total de Mantequilla -- (Productor 2);

*--- Normalizacion de Preciospx.l = 1.0;

*--- Se evita que los precios de los bienes de consumo sean ceropc.lo(c) = 0.00001;pc.l(c) = 1.00000;

PARAMETERM(i) Ingresos de los consumidores valorados en terminos de px

Qsx(i) Cantidades de Petroleo por oferente;

Se declaran algunos parámetros auxiliares a los que se asignan valores, y se declara la Variable Objetivo

M(i) = sum(k, omega(k,i))*px.l;Qsx(i) = sum(k, omega(k,i));

VARIABLETheta Variable Objetivo;

EQUATIONS

OBJ Un objetivo

Dg(i) Demanda de Cañones por UsuarioDb(i) Demanda de Mantequilla por Usuario

Las Ecuaciones se declaran

Sg Oferta de CañonesSb Oferta de Mantequilla

Zg Exceso de Demanda CañonesZb Exceso de Demanda MantequillaZx Exceso de Demanda Petróleo

Pg Condición de max PI para cañonesPb Condición de max PI para mantequilla;

*--- Ofertas de Bienes

Sg.. Qsg =E= 2*Qdx("1");Sb.. Qsb =E= 3*Qdx("2");

*-- Demandas de Mercancias

Dg(i).. alpha("Canones",i)*M(i)/pc("Canones") =E= Qdg(i);Db(i).. alpha("Mantequilla",i)*M(i)/pc("Mantequilla") =E= Qdb(i);

*--- Equilibrio de los Mercados

Zg.. SUM(i, Qdg(i)) =E= Qsg;Zb.. SUM(i, Qdb(i)) =E= Qsb;

Aquí, la estructura del Modelo y la invocación del Solver

Zb.. SUM(i, Qdb(i)) =E= Qsb;Zx.. SUM(j, Qdx(j)) =E= SUM(i, Qsx(i));

*--- Precios

Pg.. pc("Canones") =E= (1/2)*px;Pb.. pc("Mantequilla") =E= (1/3)*px;

*--- Maximando, Un DummyOBJ.. theta =E= 1;

MODEL VARIAN182 /ALL/ ;

SOLVE VARIAN182 USING NLP MAXIMIZING theta;

MODEL STATISTICSMODEL STATISTICSMODEL STATISTICSMODEL STATISTICSBLOCKS OF EQUATIONS 10 SINGLE EQUATIONS 12BLOCKS OF VARIABLES 8 SINGLE VARIABLES 12NON ZERO ELEMENTS 25 NON LINEAR N-Z 4DERIVATIVE POOL 7 CONSTANT POOL 16CODE LENGTH 29

S O L V E S U M M A R YS O L V E S U M M A R YS O L V E S U M M A R YS O L V E S U M M A R Y

Estadísticas del Modelo y Status Final del Solver

MODEL VARIAN182 OBJECTIVE ThetaTYPE NLP DIRECTION MAXIMIZESOLVER CONOPT FROM LINE 128

**** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION**** MODEL STATUS 2 LOCALLY OPTIMAL**** OBJECTIVE VALUE 1.0000**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT

0 INFEASIBLE0 UNBOUNDED0 ERRORS

---------------- VAR pc Precios de los Bienes de ConsumoVAR pc Precios de los Bienes de ConsumoVAR pc Precios de los Bienes de ConsumoVAR pc Precios de los Bienes de ConsumoLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINAL

Canones Canones Canones Canones 1.0000000E-5 0.5000 +INF .Mantequilla Mantequilla Mantequilla Mantequilla 1.0000000E-5 0.3333 +INF EPS

LOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINAL---------------- VAR pxVAR pxVAR pxVAR px . 1.0000 +INF .

pxpxpxpx Precio del Factor de produccion

---------------- VAR Qdg Demanda de Canones por UsuarioVAR Qdg Demanda de Canones por UsuarioVAR Qdg Demanda de Canones por UsuarioVAR Qdg Demanda de Canones por UsuarioLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINAL

AAAA . 8.0000 +INF .BBBB . 10.0000 +INF .

---------------- VAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioVAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioVAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioVAR Qdb Demanda de Mantequilla por Usuario

Las Soluciones del Modelo.

---------------- VAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioVAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioVAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioVAR Qdb Demanda de Mantequilla por UsuarioLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINAL

A A A A . 18.0000 +INF .BBBB . 15.0000 +INF .

---------------- VAR Qdx Demanda de Petroleo por UsuarioVAR Qdx Demanda de Petroleo por UsuarioVAR Qdx Demanda de Petroleo por UsuarioVAR Qdx Demanda de Petroleo por UsuarioLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINAL

1 1 1 1 . 9.0000 +INF .2 2 2 2 . 11.0000 +INF .

LOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINALLOWER LEVEL UPPER MARGINAL---- VAR Qsg . 18.0000 +INF .---- VAR Qsb . 33.0000 +INF .---- VAR Theta -INF 1.0000 +INF .

Qsg Oferta Total de Canones -- (Productor 1)Qsb Oferta Total de Mantequilla -- (Productor 2)Theta Variable Objetivo

Fin Sección 2: Equilibrio General CompetitivoFin Sección 2: Equilibrio General Competitivo

Segura 2006 -- equilibrio general introducción - notas de clase

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