Direcciones en Celdas Unidad Cubicas

Introducción Smith, 1993

La necesidad de referirnos a posiciones especificas en las redes cristalinas es especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varían debido a la orientación cristalográfica (p.84)En los cristales cúbicos los índices de las direcciones cristalográficas son las componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducidos a los enteros más pequeños Remitirse a ver el video cuyo link es el siguiente https://www.youtube.com/watch?v=tV-WWGSJv7k

 

 

 

  Es interesante designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o dirección que se considere. Para ello se emplea la notación denominada Índices de Miller. Tal como se procede habitualmente en el análisis vectorial, las componentes de cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P1=(u1, v1, w1) es el punto inicial y el punto final es P2 = (u2,v2,w2), el vector que va de P1 a P2 se calcula como: (Metalurgia e Ingeniería de los Materiales, Universidad de Sevilla 2013)

P1P2 = P2-P1 = (u2-u1, v2-v1,w2-w1)Los índices de Miller de la dirección del vector  P1P2

 son los componentes de P1P2  , pero reducidos a los enteros más pequeños posibles: h, k y l. La dirección se representaría como [h k l ] . Nótese que los números no van separados por comas y que los paréntesis se han sustituido por corchetes. Si un número es negativo, por ejemplo, -2, se representa como 2.  

Las siguientes figuras muestran ejemplos de direcciones en celdillas cúbicas.

Planos cristalográficos

Un plano queda perfectamente determinado con tres puntos que no sean colineales. Si cada punto está sobre un eje cristalino diferente, el plano puede especificarse dando las coordenadas de los puntos en función de las longitudes reticulares a, b y c. Sin embargo, resulta de mayor utilidad especificar la orientación de un plano mediante los índices determinados por las siguientes reglas: 1. Se encuentran las intersecciones con los ejes en función de las constantes de la red. Si el plano no corta a un eje, porque es paralelo a él, la intersección se toma como ∞. 2. Se toman los inversos de estos números, y luego se reducen a tres números enteros que tengan la misma relación, normalmente los números enteros más pequeños posibles (La reducción no se realiza cuando queremos referirnos a un plano concreto, y no a un conjunto de planos paralelos entre sí. Por ejemplo, aun cuando los planos (200) y (100) sean paralelos, pueden no tener la misma distribución atómica, de ahí que sea preciso especificar a cuál de ellos nos referimos).  

Los tres números resultantes, encerrados entre paréntesis, esto es (h k l) , representan al plano.  Por ejemplo, si las intersecciones son 1, 4 y 2, los inversos serán 1/1, 1/4 y 1/2; los números enteros más pequeños que poseen la misma relación son 4, 1 y 2. Así que el plano se designará como (4 1 2). A continuación se muestran los índices de algunos planos en una celdilla cúbica.

Ejercicios Planos Cristalográficos

(100) (110) (210)(-100) (111) (211)

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 4Fig. 5

Fig. 3

Fig. 6