UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA NO.1 “GABINO BARREDA”

Ciclo Escolar 2013 – 2014

Secuencia Didáctica

Matemáticas VI Área III – IV

Maestra:

María Gloria García Olguín

Unidad 1 – Progresiones

Tema 6 “Problemas de Aplicación de Progresiones”

Equipo: 4 Grupo: 610

Integrantes: Correo:

Palma Tolentino Luis ErnestoPérez Castro Rosa Aurora

León Ugarte Omar AlejandroHiguera Martínez Hugo Sebastián

Fecha de exposición: Miércoles 28 de agosto del 2013

Presentación:

En el presente trabajo deseamos aplicar los conocimientos adquiridos en esta unidad sobre los diversos tipos de progresiones explicando y resolviendo problemas de aplicación.

Ficha técnica:

Escuela Nacional Preparatoria

Matemáticas VI área III - IV

Tema Problemas de aplicación de progresiones

Objetivo Resolución de problemas y situación aplicando el uso de progresiones

Contenido Problemas de Progresiones Aritméticas, Geométricas y Armónicas

Duración de la Unidad 20 HorasTiempo de Exposición 2 HorasPoblación Estudiantes de la ENPRecursos Uso de Laminas, Plumones

Secuencia Didáctica

Actividad de Apertura

El Equipo volverá a dar de nuevo las definiciones y explicación acerca de los diversos tipos de progresiones

Objetivo:

Realizar un repaso de los temas vistos anteriormente para que nuestros compañeros comprendan como se resuelven los problemas de progresiones de una manera fácil y sencilla.

Recursos: Uso Laminas donde se tendrán escritas definiciones y algunos ejemplo de progresiones.

Para tomar en cuenta: La comprensión y el prestar atención para poder resolver problemas de progresiones es muy importante para así saber todos los pasos a realizar.

Desarrollo de la Actividad:

Para dar inicio a nuestra exposición explicaremos definiciones de progresiones, sus partes y algunos ejemplos

1.- Progresiones Aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en que Cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión. • Si d > 0 los números cada vez son mayores, se Dice que la progresión es creciente.• Si d<0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente

En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia. Observa:

a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2·d a4 = a3 + d = a1 + 2·d + d = a1 + 3·d a5 = a4 + d = a1 + 3·d + d = a1 + 4·d

y siguiendo así sucesivamente, se llega a:

an = a1 + (n-1)·d Como bien sabemos a1 es el primer termino de la sucesión en este caso de la progresión y d se acostumbra a llamar simétrica entre ella

2.- Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión.

La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos: a2a1

+ a3a2

+ a4a3

=… anan−1

=r

El término general de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y la razón es r es:

a1 = a1 ·rn-1

3.- Progresión Armónica:

Llamaremos progresión armónica a una sucesión de números reales {an}nΖcuyo término general es de la forma

Con

Como vemos, una progresión armónica está formada por los recíprocos de unaProgresión aritmética.

Actividad de Desarrollo 2

Objetivos de Aprendizaje: Lograr una correcta resolución de problemas y situaciones matemáticas que implican el uso de progresiones

Recursos: Laminas, Plumones y Calculadora Científica

Para Tomar en cuenta: El Alumno debe dominar el tema de progresiones y sucesiones para poder analizar y resolver los siguientes problemas planteados.

Desarrollo de la actividad:

Problemas de Progresiones Aritméticas

1) Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber?

El número de soldados que hay en cada fila es el término de la sucesión:  . Se trata de una P.A con   y con  , por los que su término general es  .

5050 es la suma de los soldados ha habrá en   filas. Por lo que: 

Sustituimos el término general por  : 

Las soluciones de esta ecuación son   y  . Como   ha de ser un número natural mayor que cero la respuesta correcta es   filas.

2) Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?

El tiempo de entrenamiento es una P.A en la que   y   todo en minutos. su término general es:  .

Al cabo de 15 ddías deberá entrenar   minutos.

En un mes habrá entrenado 

Calculamos a30.   minutos.

En un més   minutos.

3) En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?

Las distancias de las filas de butacas a la pantalla forman una P.A donde el número de orden “n” es el número de fila. Por lo tanto los datos que nos dan son:

 dm dm

Nos preguntan en número de fila “n” cuya distnacia a la pantalla es   decimetros.

. (1)

Obtenemos d a partir del término sexto: 

Sustituyendo en (1):  . De donde 4) Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanosVamos a considerar que el mayor es  .

Usando el término general nos queda:

Las edades de los hermanos serán 

5) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5,000 la primera semana, $8,000 la segunda semana, $11,000 la tercera semana, y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.

6) En una carrera un hombre avanza 6 metros en el primer segundo, y en cada segundo posterior avanza 25 cm. más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el octavo segundo y que distancia habrá recorrido en 8 Segundos?

Problemas de Progresiones Geométricas

1.- Una persona gano $20.00 el lunes y cada día ganó el doble de lo que ganó el anterior. ¿Cuánto ganó el sábado y cuánto de lunes a sábado?

Solución:

a1=20 r=2

a6=20∗2(6−1 ) s6=20∗(1−26)

(1−2)

a6=20∗2(5 ) s6=20∗(1−64)

−1

a6=20∗32 s6=20∗(−63)

(−1)a6=640 s6=1260

2.- Un apostador jugó durante 8 días y cada día ganó 1/3 de lo que ganó el día anterior. Si el octavo día ganó $10 ¿cuánto ganó el primer día?

Solución:

a8=10

r=13

a8=a1∗13

( 8−1)

10=a1∗13

(7 )

a1=21870

10=a1∗1

2187

❑

101

2187

=a1

3.-U n hombre ahorra cada año los 23

partes de lo que ahorró el año anterior, el

quinto año ahorró $16,000. ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?

Solución:

a5=a1∗23

4

a1=81000 s5=81000(

21124313

)

16000=a1∗1681

❑

s5=81000(1−( 2

3)5

1−23

) s5=81000( 633243

)

a1=16000

1681

s5=81000(1− 32

24313

) s5=211000

4.- Una persona ha invertido cada año 13

delos que invirtió el año anterior. Sí el

primer año invirtió $24300, ¿Cuánto ha invertido en 6 años?

Solución:

r=13

s6=24300∗(1− 1

72423

)

a1=24300 s6=24300∗(72872923

) s6=36400

s6=24300∗(1−1

3

6

1−13

) s6=24300∗2184

1458

5.- Para construir un desarrollo turístico se compra un terreno de 2,000 hectáreas y se va a pagar en 15 años, pagando el primer año $100, el segundo $300, el tercero $900… ¿Cuánto cuesta el terreno?

Solución:

r=300100

=3 s15=100∗(−14348906−2

)

s15=100∗( 1−315

1−3) s15=100∗7174453

s15=100∗( 1−14348907−2

) s15=717445300

6.- El cuarto término de una progresión geométrica es 1/4 y el séptimo 1/32. Hallar el sexto término.

Solución:

an=a1∗rn−1 a7

a4

=a1∗r

6

a1∗r3 r=1

2

a4=a1∗r4−1 a7=a1∗r

7−1

13214

=r3

14=a1∗r

3 132

=a1∗r6 1

8=r3

a4=a1∗r3

14=a1∗1

8a1=2

1418

=a1

a6=2∗12

5

a6=2∗132

a6=232

= 116

Problemas de Progresiones Armónicas1. Dados a y b encontrar n números a1, a2,……an tales que a, a1 ,a2 b estén en PH. (a y b diferentes de o)

Solución:

a, a1 ,a2 b están en PH están en P.A de aquí

donde

Para el caso particular de un medio armónico entre y hacemos:

2.- Hallar el término que sigue en la Progresión Armónica

Solución:   Debemos trabajar con los recíprocos de los términos dados y buscar la diferencia:

   aquí la diferencia es      

por lo tanto el término siguiente es 

Luego el término que sigue en la Progresión Armónica es

3.- Determinar si la siguiente Sucesión es o no una Progresión Armónica.

Solución:   Debemos analizar si la sucesión de los términos recíprocos es una P.A.

Entonces en la Sucesión 

  y   es una P.A      

Luego es una Progresión Armónica.

4.- Interpolar un medio armónico entre 2 y  3

Solución:  

Sea  x  el medio armónico que debemos interpolar

Entonces   2 , x , 3  deben estar en Progresión Armónica.

lo que significa que 

deben estar en Progresión Aritmética.

Entonces:

5.- Determinar el 8º término de la PH

13,17,

111, .. .

Solución:

Si invertimos estos números quedan expresados en PA. 3 – 7 – 11 … la cual tiene primer termino igual a 3 y su diferencia es 4.

a8=a1+7 d=3+7⋅4=31

Luego el 8º termino de la PH es

131

6.- Tres términos están en PH. Hallar el valor de x si los términos son x, x-8 y x-12.

Por ser parte de una PH, sus recíprocos están en PA. Luego

1x−8

−1x=

1x−12

−1x−8

aplicando MCM ( x )( x−8 )( x−12 )

x ( x−12)−( x−8 )( x−12)=x( x−8)−x( x−12 )x2−12x−x2+8x+12 x−96=x2−8x−x2+12x

8 x−96=4 x4 x=96x=24

luego los numeros son 24 ;16 y 12

Actividad de Cierre

Nombre de la Actividad: Secuencia didáctica sobre progresiones

Objetivo de la Actividad: Que el alumno después de la exposición le permita responder preguntas teóricas sobre el tema de progresiones y después pasar al tema practico de aplicación resolviendo problemas de progresiones o proporcionando ejemplo y finalmente hacer un mapa conceptual de lo que se vio en esta exposición y a lo largo de la unidad.

Recursos: Material Impreso, Internet, investigación en sus apuntes del cuaderno.

Evaluación:

Después de realizar esta exposición hemos podido comprobar que todos los conocimientos y aprendizajes de esta unidad nos han llevado a tener una correcta resolución de estos problemas además de identificar en que caso se tienen problemas de los diversos tipos de progresiones podría ser que a algunos compañeros se les haya costado algo de dificultad comprender estos conceptos o resolver los ejercicios pero con practica y dedicación estamos seguros que el tema quedara comprendido al cien.

Acreditación:

Duración:

2 Horas de exposición

Contenido:

Unidad 1 Tema 6 “Problemas de aplicación de Progresiones”

Recursos:

Laminas, Material Impreso, Plumones, Calculadora científica, cuaderno de apuntes.

Créditos:

Luis Ernesto: Problemas de Progresiones Armónicas, Organización e impresión del trabajo

Omar Alejandro: Problemas de Progresiones Geométricas

Rosa Aurora: Problemas de Progresiones Aritméticas

Hugo Sebastián: Definiciones de los Diversos tipos de Progresiones

Bibliografía:

http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/131/mod_resource/content/1/cap4.pdf

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/32.%20Progresiones.pdf

http://www.amolasmates.es/

http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-progresiones.htm