Seccion 7 interés compuesto v2

MATEMATICA FINANCIERA

Semana 7

Interés Compuesto

Interés Simple Tasa Nominal Tasa

Proporcional

Tasa

Equivalente

Tasa

Efectiva Interés Compuesto

I = C * j * n

I = C * [( 1 + i ) n – 1]

j

i

Se multiplica o divide

Se potencia o radica

Fuente: http://www.ecoingenieros.com.ar/gtpusal/2008/clases/clase%2019%20finanzas%20aplicadas.pdf

Interés compuesto

Es la ley financiera en el cual el interés generado por un capital,

en una unidad de tiempo, se capitaliza formando un nuevo

capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente

unidad de tiempo y así sucesivamente.

I = C * [( 1 + i ) n – 1]

Frecuencia de Capitalización

en un año (m)

Capitalización

m = 1 Anual

m = 2 Semestral

m = 3 Cuatrimestral

m = 4 Trimestral

m = 6 Bimestral

m = 12 Mensual

m = 24 Quincenal o bimensual

m = 52 Semanal

m = 360 Diaria

Periodo/Frecuencia de Capitalización (m)

Es el período de tiempo fijo donde los intereses ganados, se convierten en nuevo capital para el siguiente período de tiempo. Número de veces que los intereses son incorporados al capital en un año y se les denota con la letra “m”.

10% 10% 10%

Presente Futuro

Período de Capitalización

Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemos

hacernos la siguiente pregunta:

¿Quién manda?

Manda el período de capitalización!!!!!!!!!

Si no lo conoce con anterioridad o no se indica, SE DEBE

ASUMIR que este se produce en forma diaria.

Período de Capitalización

El dinero crecerá parte a parte como producto de la

capitalización

Por ejemplo, si tengo S/. 1,000.00 y lo invierto durante tres meses a una tasa compuesta

de 10% mensual capitalizable mensualmente. ¿qué sucederá mes a mes?

10% 10% 10%

Presente Futuro

Mes 1 Mes 2 Mes 3

Cómo calcular el interés

Los S/. 1,000.00 iniciales producirán al final del primer período

mensual:

Interés = 10% * 1,000.00 = 100.00 Antiguo Capital = 1,000.00 Nuevo Capital = 1,100.00

10%

Presente

Mes 1

Futuro

0

Capitalización

Los S/. 1,100.00 producirán al final del segundo período

mensual:


10%

Presente

Mes 2 Mes 1

Futuro

Capitalización

Los S/. 1,210.00 producirán al final del tercer período

mensual:


10%

Presente

Mes 3

Futuro

Mes 2

Capitalización

Podemos afirmar que de manera efectiva nuestro capital en tres meses creció en S/ 331, lo que expresado como porcentaje del capital inicial, diremos que creció en 33.1% (ojo y no 30% como podríamos haber creído inicialmente)

Cuando la tasa de interés compuesta convenida en una

operación financiera se capitaliza más de una vez por año,

recibe el nombre de Tasa de Interés Nominal (j)

La frecuencia de capitalización (m) siempre acompaña a la

Tasa Interés Nominal. Ambas variables siempre van

asociadas y definen en conjunto el rendimiento o costo

efectivo de una operación financiera.

Tasa Nominal

Tasa Nominal y Periodo de Capitalización

¿Cómo nos presentan esta información?

15% nominal anual capitalizable mensualmente

TNA = 0.15 m = 12

15% nominal capitalizable trimestralmente

TNA = 0.15 m = 4

4% nominal trimestral capitalizable diariamente

TNT = 0.04 m = 360

TNA = 0.16 m = 360

9% nominal semestral capitalizable bimestralmente TNS = 0.09 m = 6 TNA = 0.18 m = 6

x 4

x 2

15% nominal anual (capitalización se asume diaria) TNA = 0.15 m = 360 6% nominal cuatrimestral capitalizable cuatrimestralmente TNC = 0.06 m = 3 TNA = 0.18 m = 3 1.5% quincenal capitalizable

semestralmente

TNQ = 0.015 m = 2

TNA = 0.36 m = 2

x 3

x 24

Tasa Nominal y Tasa Efectiva

El interés se capitaliza

más de una vez en el año.

Tasa Nominal (j)

El interés se capitaliza

solo una vez en el año.

Tasa Efectiva (i)

Tasa

Equivalente

Dos tasas anuales de interés con diferentes

períodos de conversión son equivalentes si ambos

generan el mismo interés y por lo tanto el mismo

monto al término de un mismo lapso de tiempo,

no importando el plazo de la inversión.

FORMULA PARA CALCULAR LA TASA

EFECTIVA ANUAL “i” DE INTERÉS A

PARTIR DE UNA TASA NOMINAL “j”

QUE SE CAPITALIZA “m” VECES EN

EL AÑO

Tasa Nominal y Tasa Efectiva (Ejemplo)

¿INVIRTIR $10,000 AL 8% CAPITALIZABLE ANUALMENTE DURANTE UN AÑO, SERÁ

LO MISMO QUE SI SE INVIERTE ESOS $10,000 AL 8% CAPITALIZABLE

MENSUALMENTE EN EL MISMO LAPSO DE TIEMPO?

NO SON EQUIVALENTES

¿Cuál es la tasa de

interés i capitalizable

anualmente que será

equivalente? iCS 11

m

m

jCS

12

Si ambas tasas son equivalentes,

se debe cumplir que…

S1=S2

12

12

08.011

CiC

112

08.01

12

i

i = 8.2999% efectiva

La tasa de interés siempre ingresa a las fórmulas

expresada como tasa unitaria, es decir dividida entre

100.

Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés

nominal, se asume que esta se encuentra expresada en

términos anuales.

De la misma manera, si la capitalización no está

definida se asume automáticamente que capitaliza

diariamente.

La tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar

expresados en la misma unidad de medida.

Normas a seguir

Fórmulas a utilizar

Elementos

• S = Monto a interés compuesto (valor futuro)

• C = Capital (valor presente)

• n = Número de periodos

• i = tasa de interés por periodo

niCS 1*

n

niS

i

SC

1*

1


Elementos TNA = Tasa Nominal Anual (j) m = Frecuencia o períodos de capitalización en un año i = Tasa de interés correspondiente al periodo de capitalización

Interpretación de la tasa:

Ejemplo: Si coloco un capital a una tasa del 18% nominal anual capitalizable trimestralmente por un plazo de tres años, tendremos lo siguiente: TNA=0.18, m=4,

es decir durante cada trimestre percibirá una tasa de i = 0.045

m

TNAi


Elementos n = Número de periodos totales de capitalización en el plazo establecido. Guarda concordancia con la tasa de interés N = Plazo (en número de años) m = Frecuencia de capitalización en un año

Interpretación del exponente:

Ejemplo: Si coloco un capital a una tasa del 18% nominal anual capitalizable trimestralmente por un plazo de tres años, tendremos lo siguiente: N=3, m=4, es decir durante 12 periodos trimestrales (n=4 x 3) el capital ganará intereses

Nmn *


Elementos S = Monto a interés compuesto (valor futuro) C = Capital (valor presente) N = Plazo (en número de años) m = Número de períodos de capitalización en un año; meses, trimestres, etc j = TNA = Tasa de interés nominal anual, % por año

Nm

m

TNACS

*

1*

Valor Futuro o monto: Valor Actual o capital:

Nm

Nmm

TNAS

m

TNA

SC

*

*1*

1


1*

*

1

Nm

C

SmTNA

m

TNAm

C

S

N

1ln*

ln

Si se desea calcular la Tasa de interés:

Si se desea calcular el tiempo:

En primer lugar se deberá proceder a calcular el valor de la Tasa

Nominal Anual (TNA). Por ejemplo si realizamos un depósito de

1,000 soles y nos dan como dato una tasa de interés de 12%

nominal trimestral (TNT=0.12) capitalizable mensualmente,

convertimos esa TNT a TNA y se mantiene la capitalización

mensual

Resumen Metodológico

TNT = 0.12 m = 12 TNA = 0.48 m = 12

x 4

Finalmente, para realizar cualquier cálculo con interés compuesto deberemos seguir los siguientes pasos:

Luego si el plazo de la operación no esta expresado en términos

anuales, debemos re-expresar el tiempo en términos anuales (N):

Por ejemplo si nos dan como información que el capital

permanece por 7 meses depositado en una cuenta de ahorros,

entonces

N= (7/12)


Finalmente debemos aplicar la fórmula deducida anteriormente y

conocer que después de un trimestre tendremos:


12

7*12

12

48.01*000,1

S

93.315,1S

Variación de la Tasa de Interés

• Para determinar el valor futuro de un capital sujeto a cambios

de tasa de interés se procede de la siguiente forma:

– OPCIÓN 1: El valor inicial se traslada con sus respectivos

intereses hasta donde se encuentre un cambio de tasa de interés.

Se calcula el valor futuro hasta ese punto del tiempo y se

traslada ese valor hasta donde se encuentre una nueva variación

de tasa de interés. El proceso continua hasta llegar al valor final

o saldo disponible de la cuenta en el periodo de análisis. No hay

que olvidar que el tiempo involucrado para cada traslado

corresponde al tiempo de vigencia de cada tasa.

– OPCION 2: El valor inicial es trasladado al futuro afectándolo

por tantos factores de capitalización como cambios de tasas de

interés existan en el plazo de la operación. El tiempo

involucrado para cada factor corresponde al de la vigencia de

cada tasa.


0 N1

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

Capital

S=Saldo

z

TNA3 , m3 TNA2 , m2 TNA1 , m1

N2 N3

x y

Opción 1: Traslado punto a punto


11

1

11*

Nm

xm

TNACSaldo

22

2

21*

Nm

xym

TNASaldoSaldo

33

3

31*

Nm

yzm

TNASaldoSaldo


0 N1

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

Capital

S=Saldo

z


332211

3

3

2

2

1

1 1*1*1*

NmNmNm

m

TNA

m

TNA

m

TNACS

N2 N3

x y

Opción 2: Uso de factores


332211

3

3

2

2

1

1 1*1*1*

NmNmNm

m

TNA

m

TNA

m

TNACS

332211

3

3

2

2

1

1 1*1*1

NmNmNm

m

TNA

m

TNA

m

TNA

SC

Calculo de valor futuro (S) cuando el capital (C) esta sujeto a variaciones de la tasa de interés

Calculo de valor Actual (C) cuando ha existido variaciones de la tasa de interés

Ecuación de Valor

• En el caso de cuentas de deposito se trata de establecer una

relación entre depósitos y retiros ubicando todos los valores en un

solo punto en el tiempo, al cual se le denomina fecha focal. La

diferencia entre ambos representa el saldo de la cuenta en la fecha

seleccionada

• En el caso de obligaciones por pagar, se trata de reemplazar un

conjunto de pagos por otro equivalente referidos siempre a una

misma deuda u obligación de pago. Esto surge cuando las

condiciones iniciales de tasas y tiempos no pueden ser cumplidas

teniéndose que negociar nuevas alternativas de pago. Los valores

referidos a la situación inicial son llevados a un mismo punto en el

tiempo (fecha focal) y son igualados a los valores referidos a la

nueva situación de pago en ese momento del tiempo, despejando

de esta forma el valor de las incógnitas (tiempo o valor por pagar)

Ecuación de Valor

0 1 2 3 4

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

S/.

S/.D0 S/.D1 S/.D3 S/.R2 S/.R4

n

tirosVFDepositosVFSaldo Re..

. .

.

Fecha

Focal

TNA, m

Ecuación de Valor

0 1 2 3 4

Tiempo

(periodos)

+

-

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

S/.1,000 S/.1,500

S/.X S/.X

TNA, m

Fecha Focal

Flujos Múltiples – Ecuación de Valor

• Para determinar el saldo de una cuenta de depósitos en una

fecha determinada se trabaja el concepto de valor futuro de dos

formas:

– OPCION 1: El depósito inicial se traslada con sus respectivos

intereses hasta donde se encuentre otro movimiento de fondos o

cambio de tasa de interés. Si se encuentra un depósito se le

suma al saldo y si es un retiro se le resta, este procedimiento

continua hasta llegar al valor final o saldo disponible de la

cuenta en el periodo de análisis.

– OPCION 2: Todos los depósitos (D) se trasladan de manera

independiente hasta el periodo de tiempo en el cual se quiera

determinar el saldo de la cuenta y una vez ubicados allí se

suman. Similar acción se toma con los retiros ( R). El Saldo en

consecuencia seria igual a la diferencia entre el TOTAL

DEPOSITOS y el TOTAL RETIROS


0 1 2 3 4

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

TNA1 , m1

S/.D0 S/.D1 S/.D3 S/.R2 S/.R4

Saldo

n

+ + - -

Cuenta Depósitos

Opción 1:

TNA2 , m2 TNA3 , m3


0 1 2 3 4

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

S/.D0 S/.D1 S/.D3 S/.R2 S/.R4

n

Cuenta Depósitos

Opción 2: tirosVFDepositosVFSaldo Re..

. . .



0 1 2 3 4

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

Préstamo Pago1 Pago3 Pago2 Pago4

Saldo = 0

n

+ - - -

Cuenta Préstamo

Opción 1:

Pagon

-

. . .



0 1 2 3 4

Tiempo

(periodos)

Flu

jo d

e c

aja

u.m

.

Préstamo Pago1 Pago3 Pago2 Pago4

n

+

Cuenta Préstamo

Opción 2:

Pagon

VA.PagosestamoPr

. . .


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