SEBASTIÁN ANDRÉS CORTÉS QUIÑONES
28
SIMULACIÓN COMPUTACIONAL 3D DE CONCRETO CON AGREGADO DE CARAS FRACTURADAS SEBASTIÁN ANDRÉS CORTÉS QUIÑONES Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Bogotá D.C., Enero 2016
Transcript of SEBASTIÁN ANDRÉS CORTÉS QUIÑONES
SIMULACIÓN COMPUTACIONAL 3D DE CONCRETO CON AGREGADO DE
CARAS FRACTURADAS
SEBASTIÁN ANDRÉS CORTÉS QUIÑONES
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Bogotá D.C., Enero 2016
SIMULACIÓN COMPUTACIONAL 3D DE CONCRETO CON AGREGADO DE
CARAS FRACTURADAS
SEBASTIÁN ANDRÉS CORTÉS QUIÑONES
Proyecto de grado elaborado como requisito para optar por el título de Ingeniero
Civil
Asesor de Proyecto de Grado
Ingeniero Fernando Ramírez Rodríguez
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Bogotá D.C., Enero 2016
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 5
2. OBJETIVOS ................................................................................................................... 6
2.1. GENERAL ............................................................................................................... 6
2.2. ESPECÍFICOS ......................................................................................................... 6
3. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................... 6
4. MARCO TEÓRICO ....................................................................................................... 7
4.1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ............................................................................... 7
4.1.1. MODELO DE ELEMENTOS DISCRETOS ESFÉRICOS ............................. 8
4.1.2. LATTICE BEAM MODEL (LBM) ................................................................. 9
4.2. MÉTODO GEMÉTRICO DE LATTICE (LGM) ................................................. 12
4.2.1. DISCRETIZACIÓN DEL MEDIO ................................................................ 12
4.2.2. ANALISIS ESTRUCTURAL ........................................................................ 14
4.3. TIPOS DE SIMULACIONES ............................................................................... 18
4.3.1. CARACTERIZACIÓN DEL MEDIO ........................................................... 19
4.3.2. PROCESO DE FALLA .................................................................................. 20
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS ................................................................................... 22
5.1. PARÁMETROS UTILIZADOS PARA LAS SIMULACIONES ......................... 22
5.2. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LAS MUESTRAS ....................................... 23
5.3. CURVA ESFUERZO – DEFORMACIÓN ........................................................... 25
6. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 27
7. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 28
INDICE DE FIGURAS
Figura 1: Discretización de un cubo de concreto según DEM ............................................... 8
Figura 2: Rigidez normal y tangencial para la interacción entre un par de elementos. .......... 8
Figura 3: Curva granulométrica utilizada para calcular la distribución del agregado dentro
del medio. ............................................................................................................................. 10
Figura 4: Resultado proceso de generación de agregado esférico. ....................................... 10
Figura 5: Enmallado de un medio 2D. .................................................................................. 10
Figura 6: Definición del agregado, interfaz y mortero en la discretización de un medio 2D.
.............................................................................................................................................. 10
Figura 7: Fuerzas internas que presenta un elemento dentro del enmallado ........................ 11
Figura 8: Distribución 3D de agregados de caras fracturadas con 5% del volumen
(izquierda) y 30% del volumen (derecha) en un muestra cúbica de 100mm de arista. ........ 13
Figura 9: Discretización 2D de un medio cuadrado. ............................................................ 13
Figura 10: Asignación de materiales según su ubicación; agregado (café), interfaz (gris) y
mortero (negro). .................................................................................................................... 13
Figura 11: Esquema de cambios geométricos que sufren los elementos según LGM. ........ 15
Figura 12: Diagrama de flujo que representa la primera parte del análisis por LGM. ......... 16
Figura 13: Convención para el manejo de variables............................................................. 17
Figura 14: Diagrama de flujo que representa la segunda parte del análisis por LGM. ........ 17
Figura 15: (a) Distribución de agregado con densidad del 10%. (b) Distribución de
agregado con densidad del 30%. .......................................................................................... 22
Figura 16: Curva esfuerzo-Deformación de las muestras analizadas bajo un ensayo de
compresión pura en dirección z. ........................................................................................... 25
INDICE DE TABLAS
Tabla 1: Variables referentes a los elementos utilizadas en el análisis del LGM ................ 14
Tabla 2: Variables referentes a los nodos utilizadas en el análisis del LGM ....................... 15
Tabla 3: Propiedades del modelo utilizadas para las simulaciones ...................................... 22
Tabla 4: Resultados Módulos de Elasticidad de las muestras analizadas............................. 23
Tabla 5: Resultados Módulos de Cortante de las muestras analizadas................................. 24
Tabla 6: Resultados Módulos de Poisson de las muestras analizadas .................................. 24
5
1. INTRODUCCIÓN
El presente documento tiene como propósito el estudio de las propiedades y el
comportamiento de falla del concreto por medio de simulaciones computacionales 3D. El
análisis se realiza por medio de un método discreto conocido como el Método Geométrico
de Lattice (LGM por sus siglas en inglés). Se utilizan muestras cubicas de 30mm de aristas
con 10% y 30% de agregado de caras fracturadas y una sin agregado. Los resultados son la
caracterización del material según sus propiedades mecánicas y el comportamiento de falla
del material según la simulación de un ensayo de compresión pura.
6
2. OBJETIVOS
2.1. GENERAL
Analizar muestras de concreto con agregado de caras fracturadas por medio de
simulaciones computacionales 3D.
2.2. ESPECÍFICOS
Caracterizar muestras de concreto según sus propiedades mecánicas por medio de
simulaciones computacionales 3D.
Construir una curva esfuerzo – deformación para muestras de concreto según ensayos de
compresión pura por medio de simulaciones computacionales 3D.
3. JUSTIFICACIÓN
Es de vital importancia realizar estudios sobre los procesos de fractura en el concreto. Estos
procesos cusan cambios en las propiedades mecánicas y de resistencia en el material. Si
estos aspectos no son contemplados en el diseño estructural de las edificaciones pueden
ocurrir fallas en elementos estructurales. Con simulaciones computacionales se pueden
efectuar estudios previos a diseños de mezclas. Debido a esto, es necesario optimizar el uso
de este material con el fin de disminuir costos de producción buscar más seguridad en las
estructuras.
Por otro lado, los intentos de analizar el comportamiento heterogéneo del concreto con
agregado abarcan simulaciones en un medio continuo utilizando teoría de materiales
analítica. Esto hace que los resultados tomen bastante tiempo computacional para correr
una simulación que revele los procesos de falla internos del material. Es necesario
encontrar métodos computacionales más eficientes que arrojen resultados comparables con
los experimentales. Por lo cual existe la necesidad de hacer más eficiente la ejecución de
estos modelos de simulación.
7
4. MARCO TEÓRICO
La investigación de este proyecto se divide en tres capítulos. El primer capítulo (4.1) es una
Revisión Bibliográfica sobre algunos métodos computacionales utilizados para
simulaciones de concreto. El segundo capítulo (4.2) enuncia el funcionamiento del Método
Geométrico de Lattice (LGM). El tercer capítulo (4.3) describe los Tipos de Simulaciones
para realizar la caracterización del material estudiado y generar el proceso de falla en las
diferentes muestras.
4.1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
En materiales semi-frágiles sometidos a diferentes tipos de solicitaciones es de vital
importancia en el estudio de los procesos de fractura. Este fenómeno de propagación de
fracturas y grietas hace que las propiedades del material se vean afectadas. El concreto es
un material que se ve afectado de forma directa por estos procesos de fractura. Su fragilidad
a la tensión y su composición heterogénea exigen realizar simulaciones que ayuden a
comprender de una forma más aproximada su comportamiento mecánico.
El estudio de los procesos de fractura en concreto se han realizado utilizando dos tipos de
modelos computacionales; modelos continuos y modelos discretos. Los modelos continuos
implican una solución analítica de cómo se comporta el material a diferentes tipos de
solicitaciones. Aunque en los modelos continuos se simula el material de manera no lineal
y heterogénea, la solución requiere de un gran esfuerzo computacional, lo cual se ve
limitado para problemas a gran escala.
Debido a esto surge la necesidad de plantear modelos computacionales discretos que
buscan soluciones eficientes con resultados validos frente a experimentos de laboratorio. A
continuación se realizará una revisión bibliográfica sobre los métodos discretos más
utilizados para el estudio de procesos de fractura en concreto. Por otro lado se mostraran los
enfoques que han tenido algunas investigaciones con el fin de conocer el rumbo que ha
tomado este tipo de investigaciones.
8
4.1.1. MODELO DE ELEMENTOS DISCRETOS ESFÉRICOS
El modelo de elementos discretos esféricos DEM busca describir el comportamiento
mecánico de un material como el conjunto de discos o esferas que interactúan entre sí.
Aunque este modelo es utilizado con frecuencia para el estudio de materiales granulares,
también existen investigaciones que utilizan DEM para modelar materiales frágiles y
heterogéneos como el concreto de manera no lineal.
El modelo se basa en descomponer en material
en esferas de diferentes tamaños (ver Figura 1).
Cada elemento discreto posee propiedades
mecánicas del material que representa
(agregado, mortero o interfaz). Por medio de
interacciones entre las partículas vecinas (pares
de elementos) se modela el equilibrio de fuerzas
y desplazamientos a nivel micro. Las partículas sufren desplazamientos como resultado de
la propagación de fuerzas internas causadas por las condiciones de frontera (Luding, 2008).
Las fuerzas resultantes en cada elemento son determinadas exclusivamente por la
interacción con elementos vecinos. Esto se puede asumir debido al uso de un tamaño de
paso en el tiempo pequeño de tal manera que
las interacciones no puedan propagarse
demasiado (Kozicki, 2007). Para el cálculo de
dichas fuerzas se utilizan básicamente la
segunda ley de Newton y leyes de Fuerza
Desplazamiento (rigidez). Esto implica el uso
de rigideces normales y tangenciales entre
elementos (ver Figura 2).
Al conocer la fuerza neta actuante sobre cada elemento se utiliza la segunda ley de newton
para calcular la aceleración de la partícula. Al conocer la aceleración de cada partícula
Figura 1: Discretización de un cubo de
concreto según DEM
Figura 2: Rigidez normal y tangencial para la
interacción entre un par de elementos.
9
(magnitud y dirección) se conocen los desplazamientos en cada paso del tiempo. Por medio
de las relaciones de Fuerza-Desplazamiento se calculan las nuevas fuerzas (normales y
tangenciales) que actúan sobre cada elemento a partir de los desplazamientos. La suma
vectorial de las fuerzas actuantes proporciona la fuerza neta sobre cada elemento lo cual
permite calcular una nueva aceleración (Kozicki, 2007).
Dentro de los parámetros del modelo se encuentra el esfuerzo de tensión admisible. Con el
área superficial de cada elemento, se puede conocer la fuerza admisible sobre cada
partícula. En el momento en que la fuerza actuante sobrepasa la admisible se considera que
el elemento falla y debe ser retirado de la discretización. Esto modela la no linealidad del
material y el proceso de fractura (Donzé, Magnier, Daudeville, Mariotti, & Davenne, 1999).
El modelo DEM no es el más utilizado para simular el comportamiento micro del concreto.
Debido a que existen vacíos entre los elementos el modelo no arroja resultados
completamente validos con respecto a los experimentos de laboratorio. Aunque por otro
lado la capacidad computacional que requiere no es elevada.
4.1.2. LATTICE BEAM MODEL (LBM)
El LBM es un modelo utilizado para describir el proceso de fractura en el concreto. Se basa
en discretizar el medio utilizando elementos tipo viga para crear una matriz de rigidez que
describa todo el enmallado. Al modelar diferentes tipos de ensayos se conocen las fuerzas
externas sobre el medio y se pueden conocer las fuerzas internas actuantes sobre cada
elemento. Aquellos elementos que superen el esfuerzo admisible son eliminados del
enmallado. Este proceso de repite hasta que el medio como tal falle modelando así el
proceso de fractura de forma no lineal (Schlangen & van Mier, 1992). A continuación se
explicará con más detalle este modelo.
El proceso de generación del agregado en el medio utiliza información proveniente de
curvas granulométricas (ver Figura 3). De esta manera se puede conocer el porcentaje de
agregado que pasa cada uno de los tamices. Por simplicidad el agregado se modela como
10
esferas espaciadas aleatoriamente en el medio. Se debe cumplir que la distancia entre los
centros de cada par de agregados no debe ser menor a 1.1 veces el promedio de los
diámetros (ver Figura 4). Una vez realizado este procedimiento se procede a realizar la
discretización del medio.
Para la discretización del medio se debe construir un enmallado donde cada elemento sea
considerado una viga. La geometría de las mallas puede ser cuadrada, triangular o aleatoria.
Cada uno de estos elementos cuenta con propiedades geométricas y del material que está
representando. En la Figura 5 se puede observar un ejemplo de discretización de un medio
2D. Este proceso debe recorrer cada uno de los elementos de tal manera que les sea
asignado las propiedades del material que representa (teniendo en cuenta la interfaz;
material de menos resistencia dentro de la representación del concreto) (Kozicki, 2007).
Los resultados de este proceso deben ser similares al bosquejo mostrado en la Figura 6.
Figura 3: Curva granulométrica utilizada para
calcular la distribución del agregado dentro del
medio.
Figura 4: Resultado proceso de generación
de agregado esférico.
Figura 5: Enmallado de un medio 2D.
Figura 6: Definición del agregado, interfaz
y mortero en la discretización de un medio
2D.
11
Los dos procesos anteriores son parámetros para el modelo en cuestión. Ahora es necesario
comprender como se transmiten las fuerzas internas dentro de los elementos provocadas por
solicitaciones externas en el medio. Cada uno de los elementos se comporta como una viga
comprendida por nodos en sus extremos. De esta manera se establecen grados de libertan
sobre todos nodos existentes en el enmallado. Debido a que cada uno de los elementos
aporta rigidez a la estructura que representa el medio se debe construir una matriz de
rigidez (Liu, Deng, Zhang, & Liang, 2007). Basada en la teoría lineal de estructuras, al
conocer las fuerzas externas actuantes en la estructura (vector de fuerzas) y la matriz de
rigidez, se calculan los valores de los grados de libertad (vector de desplazamientos).
Finalmente se conocen las fuerzas internas sobre cada uno de los elementos (ver Figura 7).
Figura 7: Fuerzas internas que presenta un elemento dentro del enmallado
Debido a que la geometría de cada elemento es conocida, se pueden calcular los esfuerzos
actuantes. Este modelo se enfoca en incluir solamente esfuerzos normales, los cuales son
causados por solicitaciones axiales o de flexión (Lilliu & van Mier, 2002). La ecuación que
representa el esfuerzo axial que siente cada elemento se presenta a continuación:
𝜎 =𝑁
𝐴± 𝛼
max(|𝑀𝑖|, |𝑀𝑗|)
𝑊
Donde 𝑁 significa la fuerza axial actuante sobre el elemento, 𝑀𝑖 , 𝑀𝑗 representan los
momentos flectores actuantes sobre el elemento en los nodos 𝑖 y 𝑗, 𝐴 es el área transversal
de la sección y 𝑊 es el módulo de sección (𝑏ℎ2/6). El coeficiente 𝛼 representa el peso que
tiene el esfuerzo normal debido a flexión dentro del esfuerzo total (normalmente se utiliza
con un valor de 𝛼 = 0.05) (Lilliu & van Mier, 2002).
(1)
12
A medida que se avanza en el tiempo, las cargas externas (causadas por las condiciones de
frontera) causan fallas en ciertos elementos. Los elementos que fallan son aquellos cuyo
esfuerzo axial supera el esfuerzo admisible (tanto a tensión como a compresión). De esta
manera en cada iteración la estructura pierde rigidez y se modela el proceso de fractura. Los
resultados de este proceso contemplan no-linealidad (aunque cada elemento se comporte de
manera lineal) debido al cambio de la rigidez de la estructura en cada iteración (Lilliu &
van Mier, 2002).
Este modelo ha sido utilizado ampliamente en el campo de investigación sobre procesos de
fractura en concreto ya que se obtienen resultados comparables con los obtenidos en el
laboratorio. Se han realizado variaciones a este modelo con el fin de mejorar la eficiencia
computacional sin sacrificar la calidad de los resultados que se obtienen.
4.2. MÉTODO GEMÉTRICO DE LATTICE (LGM)
El análisis estructural busca encontrar los desplazamientos y las fuerzas internas que sufre
una estructura frente a diferentes solicitaciones. El Método Geométrico de Lattice (LGM)
es un método implícito de análisis discreto de estructuras. Para explicar el funcionamiento
de este método, es necesario abordar las etapas de discretización y análisis del medio.
Debido a que este proyecto busca analizar muestras de concreto con agregados de caras
fracturadas, la discretización del medio es diferente a la mostrada en el LBM.
4.2.1. DISCRETIZACIÓN DEL MEDIO
La discretización del medio inicia con la creación de diferentes agregados de caras
fracturadas bajo condiciones de granulometrías requeridas para el análisis. La generación y
distribución de agregado busca ser realista con respecto a una distribución de agregados en
una mezcla de concreto (ver Figura 8). La generación de agregados con caras fracturadas
implica el uso de un teselado de Voronoï/Delaunay bajo ciertas características. Las
principales características para la ejecución de la distribución son índices de alargamiento y
aplastamiento (Mejía Mora, 2012).
13
Figura 8: Distribución 3D de agregados de caras fracturadas con 5% del volumen (izquierda) y 30% del
volumen (derecha) en un muestra cúbica de 100mm de arista.
Una vez se haya generado y distribuido el agregado con las características deseadas por el
usuario, es necesario generar una discretización del medio. Para esto se crea un enmallado
con el fin de caracterizar a cada elemento con las propiedades del material que representa
(ver Figura 9). Al modelar concreto con agregado, existen tres tipos de materiales que se
deben considerar; mortero, interfaz y agregado como se muestra en la Figura 10.
Para la ejecución del LGM es necesario que cada elemento del enmallado obtenga ciertas
propiedades que representen al material asignado. Las propiedades que se requieren por
cada material son la rigidez axial (𝑘), la deformación unitaria admisible (𝜀𝑎𝑑𝑚) y el módulo
de Elasticidad (𝐸) (Kozicki, 2007). El parámetro más significativo del método es la rigidez
axial de cada uno de los materiales. Este parámetro representa la deformación axial que
Figura 9: Discretización 2D de
un medio cuadrado.
Figura 10: Asignación de materiales según su
ubicación; agregado (café), interfaz (gris) y mortero
(negro).
14
sufriría un elemento de cierto material bajo una carga axial dada. La incursión en el LGM
de dicho parámetro es de manera porcentual, por lo cual la rigidez axial no tiene unidades.
4.2.2. ANALISIS ESTRUCTURAL
El Método Geométrico de Lattice (LGM) es un método implícito de análisis de estructuras
creado por el Doctor Jan Kozicki en 2007. El LGM tiene ciertas características que lo hacen
diferentes a los métodos que usualmente son utilizados para el análisis de concreto con
agregado. Las características más importantes son:
Es un método cinemático que no construye la matriz de rigidez del medio discreto.
Los elementos del enmallado son tratados como líneas geométricas.
Los cambios geométricos considerados son translación y deformación axial1.
Es un método de alta eficiencia computacional.
El análisis de estructuras por medio de LGM implica un desarrollo netamente geométrico.
A continuación se muestran las principales variables que posee cada uno de los elementos
del enmallado que representa la muestra a analizar:
Tabla 1: Variables referentes a los elementos utilizadas en el análisis del LGM
Variable Descripción
�̅� Coordenadas del centro
�̅�𝑎𝑛𝑡 Coordenadas del centro anterior
𝐷𝑊 Desplazamiento debido al movimiento
𝑑 Longitud actual
𝑑𝑎𝑛𝑡 Longitud anterior
𝑛 Vector normal del elemento
𝐷𝐷 Elongación del elemento
Los nodos del enmallado contienen la información de los grados de libertad de una
estructura. Los desplazamientos de la estructura están relacionados a la posición de los
1 El LGM propuesto por Kozicki en 2007 contempla también deformaciones de rotación, flexión y torsión.
15
nodos en el espacio. Por esta razón los nodos también poseen variables relevantes en el
análisis de la muestra. Las principales variables que posee cada uno de los nodos del
enmallado se presentan a continuación:
Tabla 2: Variables referentes a los nodos utilizadas en el análisis del LGM
Variable Descripción
𝑋 Coordenadas cartesianas
𝑛𝑠𝑢𝑚 Número de elementos conectados al nodo
𝑘𝑠𝑢𝑚 Suma de rigideces de los elementos conectados al nodo
𝐷𝑁 Desplazamiento por conservación del movimiento
𝐷𝐾 Desplazamiento por deformación que sufren los elementos
𝐷𝑋 Desplazamiento total del nodo
Para ejecutar el análisis estructural al medio de interés, es necesario conocer las fuerzas
externas a las que se encuentra sometido. Dichas fuerzas externas pueden simularse por
medio de condiciones de frontera. Las condiciones de frontera implican desplazar los nodos
del contorno de la estructura, de esta manera se pueden traducir fuerzas externas
provenientes de ensayos de laboratorio a las simulaciones que se quieran ejecutar. Las
condiciones de frontera se ven representadas por la ecuación 2 la cual utiliza notación
indicial (Ramirez & Heyliger, 2008).
𝑢𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑥𝑗
Una vez el medio discreto se vea sometido a condiciones de frontera se procede a realizar el
análisis. Este paso tiene como objetivo encontrar la nueva ubicación de los nodos no
restringidos según la rigidez axial de los elementos
conectado a estos. En la Figura 11 se observan los
diferentes cambios geométricos que pueden sufrir los
elementos del enmallado debido a los movimientos
de los nodos (Kozicki, 2007). A continuación se
explicará de manera más detallada el proceso para la
reubicación de los nodos no restringidos.
Figura 11: Esquema de cambios
geométricos que sufren los elementos
según LGM.
(2)
16
Figura 12: Diagrama de flujo que representa la primera parte del análisis por LGM.
No
Si
Se recorren todos
los elementos del
enmallado.
Se calcula la
posición del
centro.
Se calcula el
desplazamiento debido
al movimiento.
Se calcula la longitud.
Se calcula el vector
normal.
Se calcula el incremento
en la suma de los nodos
Calcular el
desplazamiento por
conservación del
movimiento
Se calcula el incremento
en la suma de las
rigideces
Se calcula la elongación.
Calcular el
desplazamiento por
deformación del
elemento.
Inicio
�̅�𝑖. =
𝑋.𝐴 + 𝑋.
𝐵
2
For i = 1: N
𝐷𝑊𝑖. = �̅� − �̅�𝑎𝑛𝑡𝑖
.𝑖.
𝑑 =𝑖. | 𝑋.
𝐴 − 𝑋.𝐵 |
𝑛𝑖. =
𝑋.𝐴 − 𝑋.
𝐵
𝑑𝑖.
𝑛𝑠𝑢𝑚.𝐴 = 𝑛𝑠𝑢𝑚.
𝐴 + 1
𝑛𝑠𝑢𝑚.𝐵 = 𝑛𝑠𝑢𝑚.
𝐵 + 1
𝐷𝑁.𝐴 = 𝐷𝑁.
𝐴 + 𝐷𝑊𝑖.
𝐷𝑁.𝐵 = 𝐷𝑁.
𝐵 + 𝐷𝑊𝑖.
𝑘𝑠𝑢𝑚.𝐴 = 𝑘𝑠𝑢𝑚.
𝐴 + 𝑘𝑖.
𝑘𝑠𝑢𝑚.𝐵 = 𝑘𝑠𝑢𝑚.
𝐵 + 𝑘𝑖.
𝐷𝐷 =𝑖. ( 𝑑𝑖
. − 𝑑𝑖.𝑎𝑛𝑡) 𝑛𝑖
.
𝐷𝐾.𝐴 = 𝐷𝐾.
𝐴 − 𝐷𝐷𝑖. 𝑘𝑖
.
𝐷𝐾.𝐵 = 𝐷𝐾.
𝐵 + 𝐷𝐷𝑖. 𝑘𝑖
.
Fin
17
El análisis por medio del LGM consta de dos partes las
cuales serán explicadas por diagramas de flujo que
siguen la convención de la Figura 13. La primera parte
implica un recorrido sobre todos los elementos del
enmallado con el fin de encontrar información sobre los
nodos del enmallado (ver Figura 12). Para desarrollar el
proceso de reubicación de los nodos no restringidos, es
necesario calcular el desplazamiento por conservación de movimiento y el desplazamiento
por deformación del elemento de cada uno de los nodos en cuestión. Estas variables
representan cada uno de los dos tipos de deformaciones que pueden sufrir los elementos
con dicho análisis.
Figura 14: Diagrama de flujo que representa la segunda parte del análisis por LGM.
La segunda parte del análisis es la reubicación de los nodos no restringidos. Para esto se
decide recorrer todos los nodos. Si el nodo actual no está restringido (no pertenece al
contorno), se reubica (ver Figura 14). Posteriormente a esto, es posible calcular la
deformación unitaria de cada uno de los elementos según su longitud actual e inicial. Los
elementos que sufran una deformación unitaria mayor a su admisible habrán fallado debido
Figura 13: Convención para el
manejo de variables
Se calcula el
desplazamiento total del
nodo
Se reubica el nodo en
cuestión
Se recorren todos los
nodos NO restringidos
Inicio
𝐷𝑋.𝑖 =
𝐷𝑁.𝑖
𝑛𝑠𝑢𝑚.𝑖
+𝐷𝐾.𝑖
𝑘𝑠𝑢𝑚.𝑖
For i = 1: N
𝑋.𝑖 = 𝑋.
𝑖 + 𝐷𝑋.𝑖
Fin
Si
No
18
a las condiciones de borde impuestas sobre el medio. Esto implica que el criterio de falla a
nivel micro es regido por deformaciones unitarias en el LGM (Kozicki, 2007).
Con los procesos descritos anteriormente se cubre la sección de desplazamientos que sufre
el medio por medio del análisis estructural. Es necesario calcular las fuerzas internas que
sienten los elementos del enmallado debido a las fuerzas externas simuladas por las
condiciones de frontera aplicadas. Con estas fuerzas internas es posible calcular de forma
aproximada el esfuerzo que sufre el medio.
La ecuación 3 (Ramirez & Heyliger, 2008), muestra en notación indicial una forma
aproximada para el cálculo de cualquier esfuerzo (normal o cortante) en coordenadas
cartesianas. La sumatoria indexada en 𝑘 recorre todos los elementos conectados a nodos de
frontera, para sumar las multiplicaciones de las fuerzas que siente cada elemento en
dirección 𝑖 por la coordenada 𝑗 correspondiente del nodo de frontera. La variable 𝑉
representa el volumen de la muestra analizada.
𝐹𝑖 = 𝜀 ∙ 𝑘 ∙ 𝐸 ∙ 𝑛𝑖
Las fuerzas internas en cada elemento pueden calcularse de manera aproximada según la
ecuación 4 (Kozicki, 2007). Por la naturaleza del método las fuerzas internas que considera
son de tipo axial. Se calcula como la multiplicación de la deformación unitaria que sufre
cada elemento con la rigidez axial, su módulo de elasticidad y la componente 𝑖 del vector
normal relacionado con la dirección de la fuerza 𝑖 que se desee calcular.
4.3. TIPOS DE SIMULACIONES
Debido a los objetivos específicos de este proyecto, es necesario dividir esta sección en dos
partes. La primera explicar la metodología para encontrar las propiedades mecánicas de un
material como el concreto con agregado por medio de simulaciones computacionales que
𝜎𝑖𝑗 =∑ 𝐹𝑖
𝑘𝑥𝑗𝑛𝑘=𝑖
𝑉 (3)
(4)
19
utilizan el LGM. De esta manera se caracteriza el material que se está analizando. La
segunda parte enuncia la metodología seguida para encontrar el proceso de falla de una
muestra de concreto con agregado bajo un ensayo de compresión pura. Por medio de esta
etapa se busca encontrar la curva esfuerzo deformación del medio analizado.
4.3.1. CARACTERIZACIÓN DEL MEDIO
Para caracterizar el material del medio analizado es necesario encontrar los valores de sus
propiedades mecánicas. El módulo de elasticidad, el módulo de cortante y el módulo de
Poisson son variables que dan el conocimiento mínimo sobre el funcionamiento mecánico
del material. Según la teoría de mecánica de materiales, existe una relación entre los
esfuerzos (normales y cortantes) y deformaciones unitarias a partir de un tensor de rigidez
como se puede ver en la ecuación 5:
[ 𝜀𝑥𝑥
𝜀𝑦𝑦
𝜀𝑧𝑧
𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑧𝑥
𝜀𝑥𝑦]
=
[
1
𝐸𝑥−
𝜈𝑦𝑥
𝐸𝑦−
𝜈𝑧𝑥
𝐸𝑧0 0 0
−𝜈𝑥𝑦
𝐸𝑥
1
𝐸𝑦−
𝜈𝑧𝑦
𝐸𝑧0 0 0
−𝜈𝑥𝑧
𝐸𝑥−
𝜈𝑦𝑧
𝐸𝑦
1
𝐸𝑧0 0 0
0 0 01
2𝐺𝑦𝑧0 0
0 0 0 01
2𝐺𝑧𝑥0
0 0 0 0 01
2𝐺𝑥𝑦]
[ 𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧
𝜎𝑦𝑧
𝜎𝑧𝑥
𝜎𝑥𝑦]
La anterior ecuación relaciona esfuerzos y deformaciones unitarias por medio de la inversa
del tensor de rigidez 𝑆𝑖𝑗. Con el LGM, dada una deformación unitaria a partir de las
condiciones de frontera, se puede calcular cualquier esfuerzo que siente la muestra. El
tensor de rigidez se puede expresar en notación indicial en la ecuación 6 (Ramirez &
Heyliger, 2008).
𝜎𝑖 = 𝐶𝑖𝑗𝜀𝑗
(6)
(5)
20
Para encontrar el tensor de rigidez 𝐶𝑖𝑗 se deben correr seis simulaciones. En cada una de
estas se deben aplicar condiciones de frontera tal que 𝜀𝑗 = +1,0. Posteriormente es
necesario el cálculo de los diferentes esfuerzos 𝜎𝑖 a los cuales se ve sometido la muestra.
De esta manera se completa por columnas los valores del tensor de rigidez 𝐶𝑖𝑗. A
continuación se muestran los pasos que se deben seguir para el cálculo de cada columna del
tensor:
- Paso 1: Cálculo de variables según el estado inicial del enmallado.
- Paso 2: Aplicar condiciones de frontera (según ecuación 2).
- Paso 3: Realizar análisis por LGM (ver Figuras 12 y 14).
- Paso 4: Cálculo de deformaciones unitarias de los elementos.
- Paso 5: Cálculo de esfuerzos en las diferentes direcciones.
Si el material analizado es isotrópico, las propiedades mecánicas no varían en las diferentes
direcciones de análisis. Un ejemplo de un material isotrópico es el acero. Si por el
contrario, el material analizado es ortotrópico las diferentes propiedades mecánicas varían
según las diferentes direcciones de análisis. Un ejemplo de un material ortotrópico es la
madera. Con los resultados de las simulaciones se puede obtener el tensor de esfuerzos y
luego de ciertos cálculos las propiedades mecánicas. Con estos resultados se puede
categorizar el material en los dos grupos mencionados anteriormente.
4.3.2. PROCESO DE FALLA
El proceso de falla de una muestra puede definirse según una curva esfuerzo deformación.
Con el fin de identificar la curva esfuerzo deformación del concreto se debe simular un
ensayo de compresión pura donde se involucren las fallas internas que sufre el material
debido a las solicitaciones actuantes (Palaniswamy & Shah, 1974). Para esto, se debe
realizar el análisis del medio de forma iterativa.
Las condiciones de frontera aplicadas involucran deformaciones unitarias 𝜀33 del orden de
0.5. Para determinar los elementos que fallan en cada iteración se calcula para cada
21
elemento un factor 𝑐 definido como el cociente entre la deformación unitaria que sufre cada
elemento y su admisible. Los elementos con 𝑐 mayor o igual al 95% del 𝑐 máximo son
retirados del enmallado debido a su falla. El análisis se debe repetirse hasta que el 𝑐
máximo sea menor a 1.0 lo cual implica que ningún elemento falla.
En cada iteración se debe calcular un punto de la curva esfuerzo - deformación. Debido a
que el ensayo es de compresión neta, el esfuerzo a calcular es 𝜎33. El valor de la
deformación unitaria actuante se calcula como el 𝜀33 sometido en condiciones de frontera
dividido el valor del 𝑐 máximo. A continuación se muestran los pasos que se deben seguir
en cada iteración para encontrar un punto de la curva esfuerzo deformación:
- Paso 1: Cálculo de variables según el estado inicial del enmallado.
- Paso 2: Aplicar condiciones de frontera (según ecuación 2).
- Paso 3: Realizar análisis por LGM (ver Figuras 12 y 14).
- Paso 4: Cálculo de deformaciones unitarias de los elementos.
- Paso 5: Cálculo del esfuerzo 𝜎33.
- Paso 6: Cálculo de la deformación unitaria de la muestra.
- Paso 7: Eliminar elementos con 𝑐 mayor o igual al 95% del 𝑐𝑚𝑎𝑥.
- Paso 8: Retornar los nodos a su posición inicial.
De la curva esfuerzo deformación se puede encontrar información como el módulo de
elasticidad del material, el esfuerzo del rango elástico y el tipo de falla.
22
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS
5.1. PARÁMETROS UTILIZADOS PARA LAS SIMULACIONES
Las simulaciones se aplicaron a tres muestras diferentes; la primera es una muestra de
100% mortero, la segunda con un 10% de agregado y la tercera con un 30% de agregado.
En la Figura 15 se puede observar la distribución de agregado para las dos muestras
utilizadas con cierto porcentaje de agregado.
El tamaño de los agregados utilizados para la simulación tiene diferentes tamaños según la
granulometría utilizada. El diámetro mínimo del agregado utilizado está dado por el tamiz
#4. Las tres muestras tienen forma cúbica con 30mm de arista. El tamaño máximo de un
elemento dentro den enmallado es de 2mm. En la Tabla 3 se pueden observar los valores de
los parámetros utilizados para las simulaciones realizadas.
Tabla 3: Parámetros de los materiales utilizados en las simulaciones
Material 𝒌 𝜺𝒂𝒅𝒎 𝑬
Mortero 0.12 0.002 20 GPa
Agregado 0.05 0.0013 60 GPa
Interfaz 0.25 0.0005 14 GPa
Figura 15: (a) Distribución de agregado con densidad del 10%. (b) Distribución de agregado con densidad
del 30%.
23
Ya que el parámetro más significativo en los resultados es la rigidez axial de los materiales,
el valor de este para cada uno de los materiales debe calibrarse. Para encontrar su valor de
se deben someter a los diferentes materiales por separado a ensayos de laboratorio para
encontrar en porcentaje cuál es su rigidez. Los valores utilizados fueron tomados de la
investigación del Doctor Kozicki sometidos a ligeras variaciones debido al tipo de
enmallado utilizado y de agregado en la muestra (Kozicki, 2007).
5.2. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LAS MUESTRAS
Por cada muestra se realizaron 6 ensayos para cada tipo de deformación unitaria existente
en el espacio. Con los resultados se construye el tensor de rigidez del material. Por medio
de la inversa del tensor encontrado se estiman los valores de los Módulos de Elasticidad
(𝐸), Cortante (𝐺) y Poisson (𝜈) según la ecuación 5.
Tabla 4: Resultados Módulos de Elasticidad de las muestras analizadas
% de Agregado 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝒛
Mortero 20.11 GPa 19.54 GPa 19.22 GPa
Agregado 10% 22.72 GPa 21.90 GPa 21.35 GPa
Agregado 30% 26.23 GPa 25.82 GPa 25.04 GPa
En la Tabla 4 se puede observar los resultados obtenidos para los módulos de elasticidad de
las tres muestras analizadas. Para categorizar el material debido a esta propiedad mecánica
es necesario calcular las variaciones entre las diferentes direcciones para cada una de las
muestras. Las variaciones porcentuales son de 4.63%, 6.41% y 4.75% respectivamente.
Debido a que las variaciones son menores al 15% se puede inferir que el material analizado
es isotrópico.
La muestra de Mortero es un material homogéneo por su composición. El módulo de
elasticidad que se utilizó como parámetro para este material es de 20GPa. Ya que los
resultados del módulo de elasticidad para esta muestra tienen como promedio 19.62 GPa, se
24
considera que el modelo está bien calibrado. Por otro lado se puede observar que a mayor
cantidad de agregado en la mezcla, se aumenta la rigidez del material debido a un aumento
en el módulo de elasticidad. El incremento en el módulo de elasticidad promedio es del
30.95% de una mezcla sin agregado a una con 30% de agregado.
Tabla 5: Resultados Módulos de Cortante de las muestras analizadas
% de Agregado 𝑮𝒚𝒛 𝑮𝒙𝒛 𝑮𝒙𝒚
Mortero 7.38 GPa 7.16 GPa 6.94 GPa
Agregado 10% 8.20 GPa 7.96 GPa 7.72 GPa
Agregado 30% 9.73 GPa 9.46 GPa 9.14 GPa
Los resultados de los Módulos de Cortante se presentan en la Tabla 5. Los módulos de
cortante son menores a la mitad del módulo de elasticidad según la teoría de mecánica de
materiales. Las variaciones entre las diferentes muestras son de 6.34%, 6.21% y 6.45%
respectivamente. Al obtener resultados con ligeras variaciones se enriquece la afirmación
de obtener un material isotrópico aunque su composición sea heterogénea.
A medida que el contenido de agregado en la muestra aumenta, el valor promedio del
módulo de cortante obtenido en las simulaciones aumenta. Para una muestra sin agregado a
una con un contenido del 30% de su volumen, el módulo de cortante aumenta en 31.89%.
Tabla 6: Resultados Módulos de Poisson de las muestras analizadas
% de Agregado 𝝂𝒙𝒚 𝝂𝒙𝒛 𝝂𝒚𝒛
Mortero 0.3585 0.3577 0.3553
Agregado 10% 0.3525 0.3581 0.3553
Agregado 30% 0.3542 0.3559 0.3580
Los Módulos de Poisson encontrados, los cuales se presentan en la Tabla 6, son los
presentados en promedio en un ensayo de concreto experimental. Las variaciones son
menores al 1% en todas las muestras. Con esta última propiedad calculada se rectifica que
el los materiales analizados en las muestras son isotrópicos.
25
5.3. CURVA ESFUERZO – DEFORMACIÓN
En la Figura 16 se observan los resultados de las curvas esfuerzo–deformación calculados a
partir de las simulaciones. Se observa para ambas muestras un comportamiento lineal
elástico aproximadamente hasta un valor de 𝜀33 = 0.012 alcanzando valores de 22.76 MPa
para la muestra de solo mortero, 25.58 MPa para la muestra de 10% de agregado y de 26.73
MPa para la muestra de 30%. Luego de este punto la muestra comienza a perder resistencia
aproximadamente de una manera desacelerada, lo cual refleja una falla semi - frágil de la
muestra.
Figura 16: Curva esfuerzo-Deformación de las muestras analizadas bajo un ensayo de compresión pura en
dirección z.
A partir de valores de 𝜀33 = 0.023 todas las muestras tienen una baja significativa en el
esfuerzo que resiste la muestra, en la cual se puede considerar que alcanzan su falla. Los
valores de resistencia ultima son de 14.63 MPa para la muestra de concreto y de
26
aproximadamente 16.5 MPa para las muestras de concreto. La rápida perdida de resistencia
del material se explica por medio de altos elementos fallando en una misma iteración. La
convergencia de la falla se explica mediante los elementos que representan los agregados
dentro de la muestra ya que presentan mayor rigidez.
Comparando los Módulos de Elasticidad 𝐸33 o 𝐸𝑧 se pude observar una diferencia
promedio del 2% entre los resultados de la curva Esfuerzo - Deformación y la
caracterización del material. Esto explica la relación existente entre ambos grupos de
resultados del proyecto presentado.
27
6. CONCLUSIONES
Es necesario realizar simulaciones computacionales que ayuden a comprender el
comportamiento de los materiales compuestos ampliamente utilizados en la construcción.
Para la validación de los resultados encontrados es necesario compararlos contra ensayos de
laboratorio aplicados a muestras de composición similar.
Existe una gran cantidad de métodos computacionales para análisis discreto de estructuras.
Esto implica que es necesario realizar una validación de resultados que involucren otros
tipos de métodos a parte del LGM. La eficiencia de un modelo discreto con respecto a un
método continuo es evidente en términos de tiempo computacional. Por esta razón este tipo
de métodos son de gran ayuda.
Los resultados encontrados reflejan que el concreto es un material isotrópico. Las
propiedades mecánicas encontradas deben compararse con respecto a resultados de
laboratorio para ser validadas. Las características de la curva esfuerzo deformación reflejan
que el concreto es un material cuya falla tiende a comportarse de manera semi - frágil.
Para lograr calibrar el modelo para próximos usos en diferentes análisis de muestras con los
materiales que se requieran, es necesario encontrar los valores de la rigidez axial 𝑘 de cada
elemento. Es necesario encontrar la forma de calcular, a partir de las rigideces de cada
material, la rigidez de cada elemento del enmallado. Para lograr esto, se deben aplicar
ciertos ensayos de laboratorio para garantizar la validación del modelo.
El LGM puede adaptarse para agregar componentes de rotación, torsión y flexión en las
deformaciones de los elementos del enmallado y realizar un análisis más aproximado.
Queda abierta la posibilidad a futuros trabajos de incluir estos tipos de componentes para
realizar nuevos análisis que comparen las soluciones.
28
7. BIBLIOGRAFÍA
Donzé, F., Magnier, S., Daudeville, L., Mariotti, C., & Davenne, L. (1999). Numerical
Study Of Compressive Behavior Of Concrete At High Strain Rates. Journal Of
Engineering Mechanics.
Kozicki, J. (2007). Application of Discrete Models to Describe the Fracture Process in
Brittle Materials. Gdanks, Polonia.: Gdansk University of Technology. Civil and
Environmental Engineering Department.
Lekhnitskii, S. (1963). Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body. EUA: Holden-
day.
Lilliu, G., & van Mier, J. (2002). 3D lattice type fracture model for concrete.
PERGAMON. Engineering Fracture Mechanics.
Liu, J., Deng, S., Zhang, J., & Liang, N. (2007). Lattice type of fracture model for concrete.
Beijing: ELSEVIER.
Luding, S. (2008). Introduction to Discrete Element Methods. AE Enschede, Netherlands:
Multi Scale Mechanics, TS, CTW, UTwente.
Mejía Mora, J. (2012). Generación y Ubicación de agregado pseudo-realista para
simulaciones de concreto en 3. Bogotá: Universidad de los Andes.
Palaniswamy, R., & Shah, S. (1974). Fracture and stress-strain relationship of concrete
under triaxial compression. ASCE Journal of Engineering Mechanics.
Ramirez, F., & Heyliger, P. (2008). Effective Mechanical Properties of Low-Density
Fibrous Composites. International Journal for Computational Methods in
Engineering Science and Mechanic.
Schlangen, E., & van Mier, J. (1992). Simple lattice model for numerical simulation of
fracture of concrete materials and structures. Materials and Structure.
