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Señales y Sistemas

Procesamiento Digital de Imágenes:Operaciones en el dominio espacial y frecuencial

Departamento BioingenieríaFacultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Entre Ríos

5 de octubre de 2010

Procesamiento espaciales y frecuencial – p. 1

Conceptos básicos

b Las operaciones de mejora de calidad (realce) son las más sencillasy utilizadas en PDI.

b Objetivo general: destacar los detalles de interés, obteniendo unasalida "visualmente mejor" que la entrada.

b Ejemplo: aumento de contraste de una imagen para que tenga"mejor aspecto".


Conceptos básicos

b Es un concepto muy subjetivo (¿qué procesamiento aplico?, ¿laimagen mejora?), a diferencia de las operaciones de restauración.

b Los algoritmos son concretos y de aplicación directa.b Existen dos categorías:

b Dominio del espacio: modificaciones en el plano de la imagen.

g(m,n) = T [f(m,n)]

b Dominio de la frecuencia: modificaciones en la transformada deFourier de la imagen.

G(u, v) = T [F (u, v)], donde

F (u, v) = F [f(m,n)] y G(u, v) = F [g(m,n)]


Transformaciones espaciales: clasificación

b Operaciones puntuales: el resultadodepende únicamente del valor deintensidad en el pixel procesado.

b Operaciones locales: el resultado esfunción del nivel de gris del pixelanalizado y de los de su entorno (vecindad).

b Operaciones globales: la imagen se transforma sin considerar lospixeles individualmente.

b Operaciones geométricas: cambio de posición de cada pixel depen-diente de la posición en la imagen original.

f(x,y) g(x,y)

x

y y

x

T

y

(x,y)

y

T

(x,y)

x


Operaciones locales: conceptos

b Variaciones de los niveles de gris entre pixeles de acuerdo a sudistancia:

b Variaciones rápidas: componentes de altas frecuencias.Corresponde a bordes de los componentes de la escena(aparición de transiciones claro/oscuro).

b Transiciones suaves: componentes de bajas frecuencias.Corresponde al nivel general de iluminación de la escena.

b Las vecindades de un pixel particular puede aportar información útilacerca de los niveles de iluminación o detalles de la escena en lazona.

b Muchas operaciones de realcese efectúan sobre regiones de interésalrededor de cada pixel de la imagen.El resultado es función del nivel de grisdel pixel analizado y de los de su entorno.

y

(x,y)

y

T

(x,y)

x


Filtrado espacial: concepto

b Modelo de la operación de realce en el dominio espacial:

g(x, y) = T (f)(x, y), con

f(x, y): entrada al sistema (imagen bajo analisis)

T : transformacion aplicada (lineal o no lineal)

g(x, y): salida del sistema (imagen realzada)

b Transformaciones lineales (extensión del concepto 1-D):b Operador T : lineal e invariante al desplazamiento (LSI).b h(x, y): respuesta al impulso del sistema.b Salida del sistema: convolución.



b Convolución 2D continua:

f(x, y) ∗ h(x, y) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(τx, τy)h(x − τx, y − τy)dτxdτy

b Caso discreto:

f(x, y) ∗ h(x, y) =

∞∑

s=−∞

∞∑

t=−∞

f(s, t)h(x − s, y − t)

=∞

∑

s=−∞

∞∑

t=−∞

h(s, t)f(x − s, y − t)



b Para reducir la complejidad computacional:h(s, t) = 0, para (s, t) /∈ ∆, con ∆: conjunto pequeño de mxn(vecindad).

g(x, y) =a∑

s=−a

b∑

t=−b

h(s, t)f(x − s, y − t)

con a = m−12 , b = n−1

2 , x = 0, 1, . . . ,M − 1; y = 0, 1, . . . , N − 1

b Kernel de convolución: ventana de coeficientes que definen h.Tamaño arbitrario, comúnmente de 3x3 ó 5x5.



b Idea del espejado para convolución con talla de h =3x3:

h(−1,−1) h(−1,0) h(−1,1)

h(0,−1) h(0,0) h(0,1)

h(1,−1) h(1,0) h(1,1)

f(x−1,y−1) f(x−1,y) f(x−1,y+1)

f(x,y−1) f(x,y) f(x,y+1)

f(x+1,y−1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)

La sumatoria de convolución:

g(x, y) =

a∑

s=−a

b∑

t=−b

h(s, t)f(x − s, y − t)

opera aplicando sobre fla máscara dada por:

h(1,1) h(1,0) h(1,−1)

h(0,1) h(0,0) h(0,−1)

h(−1,1) h(−1,0) h(−1,−1)



b En vez de operar con el kernel de convolución h, podemos definir loscoeficientes de la máscara de filtrado w (versión rotada de h):

w1 w2 w3

w4 w5 w6

w7 w8 w9

=

w(−1,−1) w(−1,0) w(−1,1)

w(0,−1) w(0,0) w(0,1)

w(1,−1) w(1,0) w(1,1)

=

h(1,1) h(1,0) h(1,−1)

h(0,1) h(0,0) h(0,−1)

h(−1,1) h(−1,0) h(−1,−1)

y operar con la sumatoria de correlación:

g(x, y) = h(x, y)∗f(x, y) = w(x, y)⊛f(x, y) =a

∑

s=−a

b∑

t=−b

w(s, t)f(x+s, y+t)

g(x, y) = w1f(x−1,y−1) + w2f(x,y−1) + w3f(x+1,y−1)

= w4f(x−1,y) + w5f(x,y) + w6f(x+1,y)

= w7f(x−1,y+1) + w8f(x,y+1) + w9f(x+1,y+1)



b Filtrado : nombre dado al desplazamiento sucesivo de la máscarapor la imagen, ya que según la elección de coeficientes de w selimitan o amplifican determinadas frecuencias espaciales.

b Para los píxeles del borde se tiene la condición de frontera:b Borde libre: máscara truncada.b Borde fijo: la imagen es extendida mediante repetición de lafila/columna, o poniendo valores de intensidad fijos.

b Borde periódico: se convoluciona agregando la fila/columnaopuesta (toroide).

Pasa-altos Enfasis de altas frecuencias

Mediana Adaptativo Variante

FILTROS

Lineales

No Lineales

de Suavizado

de Acentuado

Promediado Pasa-bajos


Filtros de suavizado

b El suavizado de la imagen es la reducción de variaciones rápidas(saltos bruscos) de intensidad entre píxeles vecinos.

b Los filtros de suavizado se utilizan para:b Desenfoque: preprocesamiento para eliminar detalles nodeseados (pequeños) antes de la extracción de objetos grandes.Corrección de fragmentos de líneas perdidos.

b Reducción de ruido: mediante filtros lineales o no lineales.b Máscara: kernel con pesos positivos que suman 1, por ej:

w =

0 18 0

18

12

18

0 18 0

g(x, y) = 12

[

f(x, y)+ 14 [f(x−1, y)+f(x+1, y)+f(x, y−1)+f(x, y+1)]

]



b Filtros promediadores: pesos iguales

Imagen original1

5

0 1 0

1 1 1

0 1 0

1

9

1 1 1

1 1 1

1 1 1



b Filtros promediadores: efecto de la talla de w en el desenfoque

N=5 N=11 N=15

1

N2

1 1 . . . 1

1 1 . . . 1...

.... . .

...

1 1 . . . 1



b Filtros promediadores: reducción de ruido

Ruido gaussiano (media=0, var=0.01)

Ruido gaussiano (media=0, var=0.05)

1

25

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1



b Localización de objetos grandes mediante desenfoque

Original Suavizado con N=7 Umbral binario


Filtros de acentuado

b El objetivo de estos filtros es resaltar los detalles finos y variacionesrápidas (saltos bruscos) de intensidad entre pixeles vecinos.

b Máscara: operador LSI con coeficientes positivos en el centro yvalores negativos alrededor.

b Tipos:b Pasa-altos: aplicación directa de una máscara.b Enfasis de altas frecuencias: operación aritmética entreimágenes. Conocido también como ’máscara difusa’.

b Alta potencia (high-boost).



b Filtros pasa-altos: la suma de coeficientes de la máscara determinala imagen resultante.

b Suma=1: realce de altas frecuencias sin alterar las bajasfrecuencias.

0 -1 0-1 5 -10 -1 0

b Suma=0: extracción de altas frecuencias, eliminando las bajasfrecuencias.

-1 -1 -1-1 8 -1-1 -1 -1



b Filtros pasa-altos con suma=1:

Original

0 -1 0-1 5 -10 -1 0

-1 -1 -1-1 9 -1-1 -1 -1

1 -2 1-2 5 -21 -2 1



b Filtros pasa-altos con suma=0: elimina zonas homogéneas

-1 -1 -1-1 9 -1-1 -1 -1

-1 -1 -1-1 8 -1-1 -1 -1



b Máscara difusa: filtro pasa-altos obtenido mediante una operaciónaritmética, calculada como la diferencia entre la imagen original yuna versión suavizada.

g(x, y) = f(x, y) − PB(f(x, y))



b Filtrado de alta potencia (high-boost): generalización del máscaradifusa. Salida obtenida mediante la diferencia entre una versiónamplificada de la imagen original y una versión suavizada.

g(x, y) = Af(x, y) − PB(f(x, y)), conA ≥ 1

Original Dif. de amplificada con PB


Temas a desarrollar

b Introducción.b Transformada bidimensional de Fourier y su inversa:

b Definición y propiedades.b Representación gráfica.b Importancia de la magnitud y la fase.

b Filtrado frecuencial:b Filtros de suavizadob Filtros de acentuado


Introducción

b Operaciones globales: la imagen se transforma sin considerar lospíxeles de forma individual

b Transformadas más conocidas: Fourier, discreta del coseno,Karhunen-Loève, Hough, cambio entre modelos de color.

b

b

b

b

b

b


Introducción

b Operaciones globales: la imagen se transforma sin considerar lospíxeles de forma individual

b Transformadas más conocidas: Fourier, discreta del coseno,Karhunen-Loève, Hough, cambio entre modelos de color.

b En el dominio espacial:b El cálculo de filtros espaciales se realiza de manera rápidacuando el kernel de convolución es pequeño.

b Al trabajar con un kernel grande, el cálculo se vuelve ineficiente.b En el dominio frecuencial:

b La convolución 2D produce el mismo resultado que lamultiplicación de espectros frecuenciales (Fourier).

b Para evitar ineficiencia en los cálculos, se convierten las señalesal dominio frecuencial y se efectúan multiplicaciones en vez deconvoluciones.


Transformada de Fourier

b Señales unidimensionales en tiempo discreto:

F (u) =1

M

M−1∑

x=0

f(x)e−j2πux

M , para u = 0, 1, . . . ,M − 1

=1

M

M−1∑

x=0

f(x)[

cos2πux

M− j sin

2πux

M

]

f(x) =

M−1∑

u=0

F (u)ej2πux

M , para x = 0, 1, . . . ,M − 1



b Señales bidimensionales (imagen digital):

F (u, v) =1

MN

M−1∑

x=0

N−1∑

y=0

f(x, y)e−j2π(ux/M+vy/N) ,

{

u = 0, . . . ,M − 1

v = 0, . . . , N − 1

f(x, y) =M−1∑

u=0

N−1∑

v=0

F (u, v)ej2π(ux/M+vy/N) ,

{

x = 0, 1, . . . ,M − 1

y = 0, 1, . . . , N − 1



b Relaciones entre paso espacial y paso frecuencial:

∆u =1

M∆x,∆v =

1

N∆y

b En coordenadas polares:

F (u, v) = |F (u, v)| e−jφ(u)

donde

Magnitud (espectro) : |F (u, v)| =√

R2(u, v) + I2(u, v)

Fase : φ(u, v) = tan−1[ I(u, v)

R(u, v)

]



b Imágenes base:

Imagen de 4x4 Imagen de 16x16



b Ejemplo con imagen de 4x4: imagen, imágenes base de 4x4 ycoeficientes positivos de la DFT2



b Visualización de la TF:

x

y

u v

Senoidal en eje espacial y Picos en eje frecuencial v



b Representación gráfica 1D:



b Representación gráfica 2D:

x

y

(0,0)

(M/2,0)

v

u

(-M/2,0)

(0,N/2) (0,-N/2) (0,- ∆ N)

(- ∆ M,0)


Propiedades de la transformada de Fourier

b Traslación:

f(x, y)ej2π(u0x/M+v0y/N) ⇔ F (u − u0, v − v0)

f(x − x0, y − y0) ⇔ F (u, v)e−j2π(ux0/M+vy0/N)

Cuando u0 = M/2 y v0 = N/2:

ej2π(u0x/M+v0y/N) = ejπ(x+y)

= (−1)x+y

Por lo tanto:

f(x, y)(−1)x+y ⇔ F (u − M/2, v − N/2)

f(x − M/2, y − N/2) ⇔ F (u, v)(−1)u+v



b Centrado de la transformada:

x

y

u

v



b Periodicidad: f(x, y) y F (u, v) son funciones periódicas de períodoM y N

F (u, v) = F (u + M,v) = F (u, v + N) = F (u + M,v + N)

f(x, y) = f(x + M,y) = f(x, y + N) = f(x + M,y + N)

b Simetría conjugada: si f(x, y) es real entonces

F (u, v) = F ∗(−u,−v), y

|F (u, v)| = |F (−u,−v)|

lo que dice que el espectro es simétrico respecto al origen.



b Separabilidad:

F (u, v) =1

MN

M−1∑

x=0

N−1∑

y=0

f(x, y)e−j2π(ux/M+vy/N)

=1

MN

M−1∑

x=0

N−1∑

y=0

f(x, y)e−j2πux/Me−j2πvy/N

=1

M

M−1∑

x=0

[

1

N

N−1∑

y=0

f(x, y) e−j2πvy/N

]

e−j2πux/M

El cálculo de la TF 2D puede realizarse a través de dos operaciones,una horizontal y otra vertical, ambas 1D.



b Rotación:

En coordenadas polares:

x = r cos θ, y = r sin θ, u = ω cos ϕ, v = ω sin ϕ

Substituyendo:

f(r, θ) ⇔ F (ω,ϕ)

f(r, θ + θ0) ⇔ F (ω,ϕ + θ0)

Si f(x, y) se gira un ángulo θ0, su transformada de Fourier F (u, v) segira la misma cantidad.



b Convolución:

g(x, y) = f(x, y) ∗ h(x, y)

g(x, y) ⇔ G(u, v)

G(u, v) = F (u, v)H(u, v)

f(x, y) ∗ h(x, y) ⇔ F (u, v)H(u, v)

La TF de la salida de un sistema es igual a la multiplicación de laTF de la entrada al sistema por la TF de la respuesta del sistema alimpulso unitario.


Representación gráfica de la TF


Aplicación en OCR

b Algoritmos de búsqueda de línea base horizontal: necesidad de re-orientar pequeñas rotaciones en el escaneado:


Importancia de la fase

b Consecuencias del análisis de Fourier:b La mayoría de las características más importantes de una señalse preservan sólo si la información de la fase se mantiene.

b Cuando una señal es de longitud finita, la información de la fasees suficiente para reconstruir una señal (podemos ver la imagena grandes rasgos).

b Imagen de sólo módulo: la TF tiene como módulo el de la imagenoriginal, y fase nula.

b Imagen de sólo fase: la TF tiene módulo unidad (o promediado) yfase igual a la de la imagen original.

b Las características de la imagen original son identificables en una im-agen de sólo fase, ya que la inteligibilidad está asociada a los detalles(puntos, bordes, etc.)



Imagen Módulo Fase



Imagen Sólo módulo Sólo fase



Experimento de Oppenheim

f(x, y) g(x, y)

F−1

»

|F (u, v)| ∗ exp“

i∠G(u, v)”

–

F−1

»

|G(u, v)| ∗ exp“

i∠F (u, v)”

–


Filtrado frecuencial

b En el dominio espacial: la convolución puede secomputacionalmente ineficiente cuando aumenta la talla del filtro.

b Filtrado en frecuencia: utilización de la propiedad decorrespondencia entre convolución espacial y producto de TF

b Proceso:1. Generar una función H(u, v) (función de transferencia del filtro)2. Calcular la TF F (u, v) de la imagen3. Multiplicar elemento a elemento las funciones4. Calcular la TF inversa5. Obtener la parte real



b Filtro pasa-bajos ideal:

H(u, v) =

{

1 si D(u, v) ≤ D0

0 si D(u, v) > D0

donde: D0 es la frecuencia de corte, y D(u, v) es la distanciaeuclídea desde el punto (u, v) hasta el origen del plano defrecuencia.



b Ejemplos de PB ideal:

Original D0 = 57 D0 = 26b Efecto de sobredisparo característico de los filtros ideales por la dis-continuidad de la función de transferencia: fenómeno de Gibbs.



b Fenómeno de Gibbs: oscilaciones presentes en la imagen filtradaoriginadas en el cálculo de la TF inversa.

b La aparición de oscilaciones se explica claramente en el dominioespacial:

Imagen de H(u, v) h(x, y) Imagen de h(x, y)

b Solución: multiplicación del filtro ideal por una ventana suavizante(Hamming, Kaiser, etc.), o generar una función H(u, v) con caídasuave.



b Filtro pasa-bajos Butterworth de orden n:

H(u, v) =1

1 +

[

D(u,v)D0

]2n

b Transición de corte suave, no introduce sobredisparo.



b Ejemplo de filtrado sin sobredisparo:

b Ejemplo de reducción de ruido:



b Filtro pasa-bajos gaussiano:

H(u, v) = e−D2(u,v)/2σ2

b σ: medida de la dispersión de la curva gaussiana.b Propiedad: la TF inversa de un filtro gaussiano también es gaussiana.Ventaja: no tiene sobredisparo.



b Filtro pasa-altos ideal:

H(u, v) =

{

0 si D(u, v) ≤ D0

1 si D(u, v) > D0

donde: D0 es la frecuencia de corte, y D(u, v) es la distanciaeuclídea desde el punto (u, v) hasta el origen del plano defrecuencia.



b Ejemplos de PA ideal:

Original D0 = 18 D0 = 26b Al igual que en el filtro pasa-bajos, se observa la aparición del fenó-meno de Gibbs.



b Filtro pasa-altos Butterworth de orden n:

H(u, v) =1

1 +

[

D0

D(u,v)

]2n

b Al igual que el filtro PB, para orden bajo no introduce sobredisparo(n < 20).



b Comparación con filtro PA ideal:

Original Ideal Butterworth



b Filtro pasa-altos gaussiano:

H(u, v) = 1 − e−D2(u,v)/2σ2

con σ2: varianza de la curva gaussiana (σ = D0).


Fin de la teoría


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