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Sabiendo que p = (a, a+2 ) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y - 1 = 0, Calcular las coordenadas de dicho punto.
¿Cuál es la posición de la recta R de ecuación 6x + 4y = 0 en relación con recta S de ecuación 9x + 6y – 1 = 0?
Problema: calcular la distancia entre los puntos A(2, 3) y B (5, 7).
Tenemos el siguiente gráfico:
2 5
3 -
7 -
3
4
A
B
P
Y
X
Según este gráfico podemos observar que el segmento corresponde a la hipotenusa del triángulo APB, siendo (5,3) las coordenadas del punto P. Aplicando Pitágoras tendremos:
AB
5 AB
25AB
43AB
PBAPAB
2
222
222
/
Respuesta: la distancia entre los puntos A y B es 5 unidades.
En general, para calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), utilizamos, igual que en el problema anterior, el teorema de Pitágoras:
x1 x2
y1 -
y2 -
x2-x1
y2-y1 P1
P2
Q
Y
X
d
En ∆P1QP2, rectángulo en Q:
212
212
212
212
2
22
21
221
)y(y)x-(xd
)y(y)x-(xd
)(QPQ)(P)P(P
“Fórmula para la distancia entre dos puntos”
“Fórmula para la distancia entre dos puntos”
Ejercicio: Demuestre que el triángulo con vértices en los puntos A(2, 8), B(0, 3) y C(7, 6) es isósceles.
Determinemos las coordenadas del punto medio del trazo de extremos en P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2).
Llamaremos M al punto buscado y supongamos que sus coordenadas son (x, y).
Si observamos la figura podremos darnos cuenta de que los triángulos P1PM y MQP2 son congruentes:
x1 x2
y1 -
y2 -
x-x1
x-x2 P1
P2
Q
Y
X x
P
M y -
Entonces, se verifica que:
x – x1 = x – x2
Resolviendo la ecuación anterior para la incógnita x:
2
2
21
21
xxx
xxx
Análogamente,
Entonces
221 yy
y
2
,2
2121 yyxxM
“Coordenadas del punto medio”“Coordenadas del punto medio”
Ejercicio: Demuestre que el cuadrilátero con vértices en los puntos A(1, 2), B(4, 4), C(5, 9) y D(2, 7) es un paralelógramo.