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Código asignatura Nombre asignatura

09101 Matemáticas I

Fecha alta y origen Convocatoria 23/05/2008

Web Departamento Febrero 04

MATEMATICAS I (QUIMICAS), Febrero 1aP.P.(1aSemana)

SOLUCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D A C B B C A C D

1. Se tiene

limx→3

[1

x− 3− 5

x2 − x− 6

]

= limx→3

[1

x− 3− 5

(x− 3) (x + 2)

]

= limx→3

[x− 3

(x− 3) (x + 2)

]=lim

x→3

[1

x + 2

]=

15.

2. Tenemos f (x) = xx = ex log x, entonces f ′ (x) = [log x + 1] ex log x yf ′′ (x) =

[(log x + 1)2 + 1

x

]ex log x > 0. La primera derivada se anula solo si

x = 1e , de donde se tiene que en este punto hay un mınimo relativo, ademas

como la derivada segunda no se anula y es continua, resulta queno existe ningunpunto de inflexion, es decir, la respuesta d) es valida. Esto ya quita validez a lasopciones a), b) y c) por lo que en ellas se afirma en cuanto a los puntos crıticosy de inflexion.

3. Podemos escribir

f (x) ={ x

x+1 si x ≥ 0x

−x+1 si x < 0 f (x) =

{1

(x+1)2si x > 0

1(1−x)2

si x < 0

las derivadas laterales en 0 son

f ′+ (0) = limx→0+

f (x)− f (0)x− 0

=limx→0

xx+1

x= 1

f ′− (0) = limx→0−

f (x)− f (0)x− 0

=limx→0

x−x+1

x= 1

y las derivadas segundas

f ′′+ (0) = limx→0+

f ′ (x)− f ′ (0)x− 0

=limx→0

1(x+1)2

− 1

x= −2

f ′′− (0) = limx→0−

f ′ (x)− f ′ (0)x− 0

=limx→0

1(1−x)2

− 1

x= 2

por lo tanto no existe derivada segunda en 0 pero la funcion cambia de concavaa convexa, con lo cual tiene un punto de inflexion en x = 0.

1

4. La inclinacion de la tangente en el punto de abscisa x = 0 viene dada porla derivada de la funcion f (x) = sen 4x en ese punto, ası:

f ′ (x) = 4 cos 4x

y entoncesf ′ (0) = 4

como ademas la recta tangente pasa poe el origen se tiene que su ecuacion es

y = 4x.

5. La grafica de la funcion no tiene asıntotas verticales ya que no existeningun valor que anule el denominador. Por otra parte, si llamamos y = mx+na la ecuacion de una asıntota oblıcua generica, podemos calcular

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

1√x2 + 3

= 0

n = limx→±∞

f (x)−mx = limx→±∞

x√x2 + 3

=

{lim

x→+∞x√

x2+3= 1

limx→−∞

x√x2+3

= −1

con lo cual se tienen las asıntotas de ecuaciones y = −1 e y = 1.6. Como tenemos una indeterminacion de tipo 0

0 podemos aplicar la reglade L’Hopital, y aplicando el primer teorema fundamental del calculo para hallarla derivada del numerador:

limx→0+

∫ x3

0(t + 1) dt

x3= lim

x→0+

3x2(x3 + 1

)

3x2= lim

x→0+

(x3 + 1

)= 1.

7. Si f : [a, b] → R es continua, lo es en un compacto, por tanto es uni-formemente continua en ese compacto [a, b]. Por restriccion sera uniformementecontinua en (a, b), ası la respuesta es c). Esto muestra que b) es falsa. Porotra parte, la funcion f (x) = x2 es continua en [−1, 1] pero no alcanza ningunmaximo en (−1, 1), lo que muestra la falsedad de a) y tambien de d) ya que enx = 0 sı alcanza un mınimo.

8. La integral∫

x3 e−x4dx se puede calcular con el cambio de variable t =

x4, dt = 4x3dx:∫

x3 e−x4dx =

14

∫e−tdt =

−14

e−t = −14

e−x4.

Se tiene entonces que∫ 1

0

x3 e−x4dx = −1

4(e−1 − 1

)

=1− 1

e

4=

e−14 e

.

2

9. La serie∑∞

n=2 (−0′35)n es una serie geometrica de razon −0′35, por lotanto absolutamente convergente. De hecho se puede calcular su suma, ya que∑∞

n=0 (0′35)n = 11−0′35 y

∑∞n=0 (−0′35)n = 1

1+0′35 .

El termino general de la serie∑∞

n=1

√n2−n−1

n tiende a 1 (limn

√n2−n−1

n = 1),por lo tanto la serie es divergente.

En el caso de∑∞

n=11

2n−n tenemos que limn

an+1an

=limn

2n−n2n+1−(n+1) = 1/2 por

lo tanto la serie es convergente. Tenemos entonces que la solucion es la c).10. Tenemos que

f (x) = 11+sen x f (0) = 1

f ′ (x) = − cos x(1+sen x)2

f (0) = −1

f ′′ (x) = sen x(1+sen x)2−2(1+sen x) cos2 x

(1+sen x)2f (0) = 2

y entonces se tieneP2 (x) = 1− x + x2.

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