MATE 114MATE 114Cálculo VectorialCálculo Vectorial

Semana Nº 8 (MAGISTRAL)Semana Nº 8 (MAGISTRAL)

Martes 23-09-2003Martes 23-09-2003

Prof. José Ricardo ARTEAGA Prof. José Ricardo ARTEAGA B.B.

RecorderisRecorderis

• Campo escalarCampo escalar (Gráfico = (Gráfico = superficie)superficie)

• Campo vectorialCampo vectorial (Gráfico = (Gráfico = flechas)flechas)

Recorderis: El gradienteRecorderis: El gradiente

• El gradiente es un El gradiente es un Campo VectorialCampo Vectorial

• Se halla a Campos Se halla a Campos escalaresescalares

yxf

yxyxf

Df

,22

),(

:22

2

Recorderis: Líneas de Recorderis: Líneas de flujoflujo

x

cy

cxy

x

dx

y

dy

x

y

dx

dy

F

F

dx

dytt

FFyx

)ln()ln()ln(

)´())((

,,

1

2

21

ccF

F

RotacionalRotacional• Qué es?. Qué es?. Un campo vectorialUn campo vectorial• A quién se halla?. A quién se halla?. A campos vectoriales A campos vectoriales

tridimensionales.tridimensionales.• No se puede hallar a campos bidimensionales?. No se puede hallar a campos bidimensionales?. Si, Si,

considerándo su tercera componente cero.considerándo su tercera componente cero.• es ortogonal a F?.es ortogonal a F?. No necesariamente. No necesariamente.

33: DF

33: DF

F

Significado del Significado del RotacionalRotacional

• Si F representa el flujo de un fluido, Si F representa el flujo de un fluido, entonces el rotacional, en un punto, es el entonces el rotacional, en un punto, es el doble del vector velocidad angular de un doble del vector velocidad angular de un cuerpo rígido que gira como el fluido cerca cuerpo rígido que gira como el fluido cerca de ese punto.de ese punto.

• Si el Si el rot(F)=0rot(F)=0 en un punto significa que el en un punto significa que el fluido no tiene rotaciones en ese punto, es fluido no tiene rotaciones en ese punto, es decir no tiene remolinos. Una rueda con decir no tiene remolinos. Una rueda con aspas rígidas en el fluido se moverá con el aspas rígidas en el fluido se moverá con el fluido pero fluido pero no girará alrededor de su eje.no girará alrededor de su eje.

• Si Si rot(F)=0rot(F)=0 para todo punto del dominio, el para todo punto del dominio, el campo se llama irrotacional.campo se llama irrotacional.

Definición del RotacionalDefinición del Rotacional

),,(),,(F ,:F 32133 FFFzyxD

DivergenciaDivergencia

• Qué es?. Qué es?. Un campo escalar.Un campo escalar.• A quién se halla?. A quién se halla?. A campos vectoriales en general.A campos vectoriales en general.• Dónde existe?. En el espacio tridimensional.Dónde existe?. En el espacio tridimensional.• Si significa que la divergencia es Si significa que la divergencia es

perpendicular a F?. perpendicular a F?. No Pregunta sin sentidoNo Pregunta sin sentido..

nD:F

3,2 ,: nD nnF

0F

Significado de la Significado de la DivergenciaDivergencia

• Si F representa el flujo de un fluido, entonces Si F representa el flujo de un fluido, entonces la divergencia , representa la tasa de la divergencia , representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido.del fluido.

• Si el Si el div(F)<0div(F)<0 se está comprimiendo. se está comprimiendo.• Si el Si el div(F)>0div(F)>0 se está expandiendo. se está expandiendo.• Si el Si el div(F)=0div(F)=0 es incompresible. es incompresible.• Conforme el fluido se mueve el volumen (área) Conforme el fluido se mueve el volumen (área)

de control se comprime, expande o queda de control se comprime, expande o queda igual.igual.

• Si Si div(F)=0div(F)=0 para todo punto del dominio el para todo punto del dominio el campo se llama incompresible.campo se llama incompresible.

Definición de la Definición de la DivergenciaDivergencia

),,(),,(F ,:F 32133 FFFzyxD

EjemploEjemplo

22: DF

1F

0,0,0F

x,0i),(F

xyx

Usando MapleUsando Maple

• Campos EscalaresCampos Escalares (Experimento) (Experimento)• Campos VectorialesCampos Vectoriales• Gradiente, Rotacional y DivergenciaGradiente, Rotacional y Divergencia