ROTACION SOBRE UN EJE FIJO

EDUARDO MACIAS

Desplazamiento angular

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura A gira sobre su eje hasta el punto B, el desplazamiento angular se denota por el ángulo θ. Hay varias formas de medir este ángulo. Una de esas unidades es la revolución.

1 rev = 360°

Una medida mas fácil de aplicar al desplazamiento angular es el radian (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R (Ver la figura B). Es más común que el radian se defina por la siguiente ecuación:

Donde s es el arco de un circulo descrito por el ángulo θ. Puesto que el cociente s entre R es la razón de dos distancias, el radian es una cantidad sin unidades.

El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud s igual a la circunferencia de un circulo 2πR. Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación:

Así tenemos

De donde observamos que

Velocidad angular

A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t, su velocidad angular media esta dada por:

El símbolo ω, (letra griega omega), se usa para denotar la velocidad rotacional. Aun cuando la velocidad angular puede experimentar puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a formulas mas convenientes.

Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de la frecuencia de revoluciones, la siguiente relación será de utilidad:

Donde ω se mide en radianes por segundo y f se mide en revoluciones por segundo

Aceleración angular

Al igual que el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante.

Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial ω0 a un valor final ωf en un tiempo t, la aceleración angular es:

La letra griega α (alfa) denota la aceleración angular. Una forma más útil para esta ecuación es:

Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades iniciales y finales, podemos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores iniciales y finales:

Al sustituir esta igualdad para ω en la ecuación se obtiene una expresión más útil para el desplazamiento angular:

Esta ecuación es similar a una ecuación derivada para el movimiento lineal. En realidad, las ecuaciones para la aceleración angular tienen la misma forma básica que las que se obtuvieron para la aceleración lineal si obtenemos las siguientes analogías:

s (m) θ (rad)v (m/s) (rad/s)a (m/s2) (rad/s2)

El tiempo, desde luego, es el mismo para ambos tipos de movimiento y se mide en segundos. La siguiente tabla ilustra las similitudes entre el movimiento rotacional y el lineal.

Desplazamiento angular Ejemplo 1

Si la longitud del arco s es 6 ft y el radio es de 10 ft, calcule el desplazamiento angular θ en radianes, grados y revoluciones.

Solución Sustituyendo directamente en la ecuación del

desplazamiento angular, obtenemos:

Convirtiendo a grados nos queda:

Y ya que 1 rev = 360°

Ejemplo 2Un punto situado en el borde de un disco

giratorio cuyo radio es de 8 m se mueve a través de un ángulo de 37°. Calcule la longitud del arco descrito por el punto.

Solución Puesto que la ecuación del

desplazamiento angular quedo definido en radianes, primero debemos convertir los 37° en radianes.

La longitud del arco esta dada por:

La unidad radian desaparece porque representa un relación de longitud a longitud (m/m=1).

Velocidad angularEjemplo 1La rueda de una bicicleta tiene un diámetro

de 66 cm y da 40 revoluciones en 1 min.(a) ¿Cuál es su velocidad angular? (b) ¿Qué distancia lineal se desplazara la

rueda?

Solución (a)La velocidad angular depende tan solo de la

frecuencia de rotación. En vista de que 1 rev = 2π radianes.

Sustituyendo este valor en la ecuación:

Se obtiene la velocidad angular.

Solución (b)El desplazamiento lineal s se puede calcular

a partir del desplazamiento angular θ en radianes.

Despejando s de la ecuación de desplazamiento angular obtenemos.

Aceleración angularEjemplo 1Un volante aumenta su velocidad de rotación

de 6 a 12 rev/s en 8 s. ¿Cuál es su aceleración angular?

SoluciónCalcularemos primero las velocidades

angulares inicial y final:

Ejemplo 2Una rueda de esmeril que gira

inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s2.

(a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 s?

(b) ¿Cuántas revoluciones habrá dado?(c) ¿Cuál es su velocidad angular final?Solución (a)El desplazamiento angular esta dado por:

Solución (b)Puesto que 1 rev = 2π rad, obtenemos:

Solución (c) La velocidad angular final es igual a la

velocidad angular inicial más el cambio en velocidad. Por consiguiente:

Relación entre los movimientos rotacional y lineal

Ejemplo 1Un eje de tracción tiene una velocidad angular

de 60 rad/s. ¿A que distancia del eje deben colocarse unos contrapesos para que estos tengan una velocidad lineal de 12 m/s?

Solución Despejando R en la ecuación de velocidad

angular, obtenemos:

Ejemplo 2Calcule la aceleración resultante de una

partícula que se mueve en un circulo de radio 0.5 m en el instante en que su velocidad angular es 3 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/s2.

SoluciónLa aceleración tangencial según la ecuación

es:

Como v = ωR, la aceleración centrípeta esta dada por:

De donde obtenemos:

Por ultimo, la magnitud de la aceleración resultante se obtiene del teorema de Pitágoras.

La dirección de la aceleración resultante se determina a partir de sus componentes en la forma acostumbrada.