Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de...
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Transcript of Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de...
RED CRISTALINA UNIDIMENSIONAL
Rosa Mª MartínezEsmeralda Martínez
1ª parte
•Explicación teórica.
2ª parte
•Explicación de código
3ª parte
•Análisis de dos masas distintas
•Análisis de dos masas iguales
•Modos normales para N partículas
En una red cristalina el movimiento vibratorio entre los átomos adyacentes se comportan como un sistema de partículas conectados por muelles a lo largo de una línea recta.
• En un sistema con N partículas y N+1 muelles (todos con la misma k) el movimiento para la partícula p se rige por:
()= 0 (1) = k/m
(),
Se trata de una EDO lineal con coeficientes constantes, por lo
que podemos escribirla:
N
p
N
p
x
x
x
x
x
x
x
x
.
.
.
.
21000000
*.*00000
0*.*0000
00121000
000*.*00
0000*.*0
00000121
00000012
.
.
.
.2
1
2
1
N
p
N
p
tipp
tip
tip
tip
A
A
A
A
A
A
A
A
eAAeAeAeA
.
.
.
.
21000000
*.*00000
0*.*0000
00121000
000*.*00
0000*.*0
00000121
00000012
.
.
.
.
(2) )(2 x
2
1
20
2
1
2
1120
20
2p
¿Cómo lo resolvemos?
N
p
N
p
A
A
A
A
A
A
A
A
.
.
.
.
21000000
*.*00000
0*.*0000
00121000
000*.*00
0000*.*0
00000121
00000012
.
.
.
.2
1
20
2
1
2
M̂2
02
normales. sfrecuencia las e,equivalent es que lo o s,autovalore los
son soluciones cuyas N grado de polinomioun da nos tedeterminan Este
0)ˆ det(
trivialla seasolución la que parasingular ser de ha matriz Esta
0)ˆ ( ˆ
: esautovectory sautovalore losobtener que mas es no normales modos losHallar
(escalar) m
M̂ :cumplen que aquellos
son M cuadrada matriz una para )( esautovector losy )( sautovalore Los
220
220
20
2
2
20
2
2
IM
IMM
k
Relación autovectores y autovalores en los modos normales
)cos(2 )cos()sin(2
)( :solución la amplitud la para Suponemos
2 :obtiene se despejandoy
(2) )(2
resultado el retomando es),autovector ( A amplitudes las a cuanton
1111
20
20
211
1120
20
2
p
pppp
p
p
pp
pppp
p
A
AApCAA
psenCA
A
AA
AAAA
E
)1
(
)1
(
)1
2(
)1
1(
: autovectorun hay normasl frecuencia cada para que manera De
particula cada para Amplitud )1
( 1
:obtenemos , 0A ,0A fijos) (extremos contorno de conciones las Utilizando 1N0
N
nNsen
N
npsen
N
nsen
N
nsen
C
N
npsenCA
N
n
n
p
N1,2,..,np, ; )cos( )1
( )1
( )(
:n modo elen p particula la de movimiento El
)1
(
)1
(
)1
2(
)1
1(
:autovectorun habra ella de una cada Para
haya. particulas como tantashabra que es)(autovalor normales sfrecuencia las
obtienen se oresolviend 0)ˆ det( x:Propusimos
,
220p
tN
pnsenCe
N
pnsenCtx
N
nNsen
N
npsen
N
nsen
N
nsen
C
IMeA
nti
np
n
tip
Ecuación de los modos normales
Código en Matlab Consta de cuatro funciones:
• CrystalSimulation: Función principal del programa• Verlet: Función para la integración• Force: Función para calcular la fuerza: F = - k· x• Simulation: Función que crea la simulación
CrystalSimulation toma como valores input:
•Masa: vector columna•Distancia inter atómica: escalar•Posiciones iniciales: vector columna•Velocidades iniciales: vector columna•Intervalo integración: escalar•Tiempo máximo: escalar•Constante muelle elástica: escalar
DOS MASAS
2
2022
2021
2022
1
2012
2011
2011
,02
, 02
m
kxxx
m
kxxx
Análisis con dos masas distintasDos casos:• m1 < m2 m1 = 3, m2 = 4• m1 << m2 m1 = 2, m2 = 12
Para cada caso, varias posibilidades:• Velocidades iguales, desplazamientos iguales• Velocidades iguales, desplazamientos distintos• Velocidades distintas, sin desplazamientos
Caso 1: m1 < m2
Velocidades iguales: v1 = v2 = 0
Desplazamiento de las masas:Δε1 = Δε2 = 0.5
El movimiento de las masas es semejante. Oscilan con el mismo periodo.
• Desplazamiento de las masas:Δε1 = 0.5 y Δε2 = 1.5
m1 oscila según el efecto de m2.(grafica 1)
• Desplazamiento de las masas:Δε1 = 0.5 y Δε2 = 3.5
Cuanto mayor sea Δε2, mayor es el efecto del movimiento(grafica 2)
(grafica1)
(grafica2)
Velocidades distintas: v1 ≠ v2
En ningún caso hay desplazamientos:
Cuando v1 > v2:El período de las oscilaciones de m1 es más
pequeño que para m2.
Valores tomados: v1 = 10, v2 = 0
Cuando v2 > v1:Aparece un efecto parecido al de esta gráfica
Caso 1: m1 << m2
Velocidades iguales: v1 = v2 = 0
Desplazamiento de las masas:Δε1 = Δε2 = 0.5
La masa más grande tiene un movimiento prácticamente independiente de la pequeña.
Desplazamiento de las masas:Δε1 = 8 y Δε2 = 0Δε1 = 0 y Δε2 = 2
Ambos casos son muy parecidos.La Masa m1 tiene un movimiento muy
alterado
Velocidades distintas: v1 ≠ v2
No hay desplazamientos de las partículas
Cuando v1 > v2 es parecido a v2 > v1:Comportamiento semejante a Δε1 = Δε2
Valores tomados: v1 = 7, v2 = 0 v1 = 1, v2 = 3
Análisis con dos masas iguales
Valores masas: m1 = m2 = 3Valores velocidades: v1 = v2 = 0
Valores desplazamiento: Δε1 = 0, Δε2 = 5
Mismo movimiento para las dos partículas.Máxima amplitud para m2 → mínima
amplitud para m1