REVISTA MATEMATICADEL PROGRAMA

JOVENES TALENTO

Numero 7

Diciembre 2011

REVISTA MATEMATICA DELPROGRAMA JOVENES TALENTO

Numero 7 (Diciembre 2011)

Quienes somos

El Programa Jovenes Talento de El Salvador (PJT), cuya sede se encuentra en San Salvador, es unproyecto conjunto de la Universidad de El Salvador y el Ministerio de Educacion que brinda atenciona alumnos con rendimiento destacado en matematica y ciencias naturales. Asimismo, en sus mas de 10anos de existencia, ha estado a cargo de la seleccion y preparacion de las delegaciones que representana El Salvador en diversas competencias internacionales.

La Revista Matematica del PJT fue fundada en 2009 con el objetivo de estimular el estudio de lamatematica a un alto nivel, con enfasis en la tradicion de las olimpiadas de matematica. Esta dirigidaa alumnos familiarizados con la resolucion de problemas, instructores, profesores y al lector interesadoen la matematica en general. Inicialmente concebida en el contexto del PJT, la presente publicacionpretende convertirse en una referencia seria de la investigacion matematica en El Salvador y la regioncentroamericana.

Editor

Gabriel Chicas (University of Tokyo)Correo electronico: gachr.ebc253@gmail.com

Colaboradores

Agradecimientos especiales al Ing. Eduardo Aguilar, al Ing. Edwin Juarez (University of SouthernCalifornia) y al Lic. Riquelmi Cardona (University of Denver) por participar en la correccion de erroresdel presente numero.

Suscripcion

La presente es una publicacion digital distribuida mediante correo electronico. Para suscribirse fa-vor escribir a la direccion remat.pjt@gmail.com.

Los interesados en una impresion de la revista pueden contactar a la Asociacion de Padres deFamilia del PJT (ASTALENTO), que hace circular (de manera limitada) una version en papel. Sudireccion de contacto es astalento@gmail.com.

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Como contribuir

La Revista Matematica del PJT invita cordialmente a participar en su elaboracion a todos losmiembros del Programa (alumnos, instructores, catedraticos, padres de familia) y al lector interesadoen general.

Artıculos. Se invita a los lectores a contribuir con sus trabajos originales sobre matematicaelemental. El documento debera incluir las referencias academicas usadas en su elaboracion y lainformacion de contacto de su autor, incluyendo: Nombre, afiliacion academica y correoelectronico.

Columna de problemas. Se desafıa a los lectores a enviar sus soluciones creativas a los prob-lemas de esta seccion, ası como a proponer problemas originales para la columna del siguientenumero. El archivo enviado debera incluir la informacion de contacto del autor, y en el caso deun problema propuesto su respectiva procedencia (nombre del libro, olimpiada, o autor delproblema). Se dara prioridad a problemas originales.

Cafe Matematico. Se acepta todo tipo de material de divulgacion matematica, incluyendo:Historia de las matematicas, biografıas de matematicos famosos, acertijos, humor matematico,etc. Tener en cuenta que esta seccion esta orientada hacia un publico mas amplio, por lo que seevitaran documentos demasiado tecnicos.

Contacto

Se solicita a los lectores enviar sus contribuciones, preguntas o comentarios a la siguiente direccion:remat.pjt@gmail.com.

Proximo numero

El numero 8 de la revista esta programado para ABRIL DE 2012.

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Contenidos

Artıculos (p. 1)

Forma parametrica de la cornoideCarlos Alvarez (Universidad de El Salvador)

Funciones generadorasAaron Ramırez (Universidad de El Salvador)

Problemas olımpicos (p. 19)

Presentamos los problemas de las diversas competencias internacionales celebradas en el transcursodel ano, junto con los resultados obtenidos por El Salvador en cada una de ellas.

Problemas de la Olimpiada Matematica de la Cuenca del Pacıfico 2011

La Asian Pacific Mathematics Olympiad (APMO) es una de las competencias regionales de mayorprestigio en el mundo. Se caracteriza por ser una prueba no presencial, es decir, la prueba es adminis-trada de manera local en cada uno de los paıses concursantes. Los unicos paıses que tienen derecho aparticipar son aquellos que poseen costas en el oceano Pacıfico, y es por este motivo que El Salvadorpuede entrar en la competencia. Por regla general la Olimpiada es celebrada el segundo lunes de marzode cada ano.

Los premios obtenidos este ano son:

Gerardo Augusto Urbina Sanchez Medalla de bronce

Problemas de la Olimpiada de Mayo 2010

La Olimpiada de Mayo es una competencia no presencial a nivel iberoamericano organizada porArgentina. Fue planeada por primera vez en 1995 por la entonces recien fundada Federacion Iberoa-mericana de Competencias Matematicas, la cual se inspiro en la Asian-Pacific Mathematics Olympiadcomo modelo a seguir. La Olimpiada de Mayo esta organizada en dos niveles: el nivel I, dirigido aestudiantes menores de 13 anos, y el nivel II, para alumnos entre 13 y 15 anos de edad.

Debido a un problema con la publicacion de los resultados oficiales, por el momento no se cuentacon una lista completa de los estudiantes premiados en este evento. Por este motivo la presentacion dedichos resultados sera pospuesta hasta contar con mas informacion.

Problemas de la Olimpiada Matematica de Centroamerica y el Caribe 2011

La Olimpiada Matematica de Centroamerica y el Caribe (OMCC) es una competencia regionalcreada en 1999 con el objetivo de estimular el estudio de la matematica en el area centroamericana.Actualmente participan 12 paıses: Colombia, Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras,Mexico, Nicaragua, Panama, Puerto Rico, Republica Dominicana y Venezuela. Cada paıs puede par-ticipar enviando una delegacion de tres estudiantes no mayores de 16 anos. La 13a edicion de la OMCCfue celebrada en junio del presente ano en Mexico, y los resultados obtenidos por la delegacion sal-vadorena son:

iii

Jeanette Alejandra Fernandez Rivera Medalla de bronceOscar Armando Hidalgo Arevalo Medalla de plataAndres Fernando Rosa Aparicio Medalla de plata

Problemas de la Olimpiada Internacional de Matematica 2011

La IMO (International Mathematical Olympiad) es la competencia de matematica de mas prestigioy dificultad a nivel preuniversitario. Fue celebrada por primera vez en Rumania en 1959, lo que laconvierte en la olimpiada internacional de ciencias mas antigua. Aunque en sus primeros anos estuvoconfinada a los paıses de Europa del Este, con el pasar del tiempo se ha convertido en un evento decaracter mundial, con 564 participantes de 101 paıses de todo el mundo en 2011. La 52a edicion dela IMO fue celebrada en julio del presente ano en los Paıses Bajos. Los estudiantes clasificados pararepresentar a El Salvador fueron:

Ramon Sanfeliu BenekeGerardo Augusto Urbina Sanchez

Problemas de la Olimpiada Iberoamericana de Matematica 2011

La Olimpiada Iberoamericana de Matematica (OIM) es la competencia matematica de mayor presti-gio y dificultad a nivel latinoamericano. Fue celebrada por primera vez en 1989 a iniciativa de Colombiay Argentina, como respuesta a la falta de un evento que involucrara a todos los paıses de la region.Desde ese entonces el numero de paıses participantes ha ido en aumento hasta comprender 23 paısesiberoamericanos. Cada uno de ellos puede enviar una delegacion de cuatro estudiantes no mayoresde 18 anos; ademas cada estudiante puede participar un maximo de dos veces en la OIM. La 26a

olimpiada fue celebrada en Costa Rica en septiembre del presente ano, y los resultados de la dele-gacion salvadorena son:

Byron Thonatiu Escobar Benıtez Medalla de bronceJose Daniel Madrid Bautista Mencion honorıficaRamon Sanfeliu Beneke Mencion honorıficaGerardo Augusto Urbina Sanchez Medalla de plata

Columna de problemas (p. 28)

En esta seccion se incluyen 5 problemas de desafıo a los lectores, quienes estan invitados a resolver-los y enviar sus mejores soluciones a la revista. Las soluciones mas originales seran publicadas en elsiguiente numero.

Se ha introducido un nuevo formato en los enunciados de la columna. De ahora en adelante losproblemas originales seran marcados explıcitamente por la palabra original, mientras que un problemasugerido indica que el proponente no es el autor del problema en cuestion. Esto tiene dos objetivos:el primero es evitar plagios y conflictos de derechos de autor, y el segundo es resaltar el merito delos autores que crearon sus propios problemas. El editor espera que en el futuro haya abundancia deproblemas originales, de modo que eventualmente esta distincion se vuelva innecesaria.

Problemas abiertos

Los siguientes problemas todavıa permanecen sin resolver: 18, 25.

iv

Fe de errata

Pedimos disculpas por el error de redaccion en el problema 26. Agradecemos a Daniel Campos(Universidad de Costa Rica) quien tuvo la amabilidad de informarnos. Incluimos en la presente columnauna version corregida del problema.

Cafe Matematico (p. 35)

Reunimos algunos hechos curiosos, perfectos para romper el hielo con un matematico. En estenumero hablamos sobre cubos, arcangeles, curvas elıpticas y mas.

v

Forma parametrica de la cornoide

Carlos Alvarez

20 de diciembre de 2011

1. Abordando la cornoide clasica

La cornoide es una curva algebraica de sexto grado descubierta en 1941 por el Ing. Alberto Sanchez,quien proporciono un metodo de construccion y estudio algunas de sus propiedades.

Definicion 1. La cornoide es la curva plana definida por la ecuacion

(x2 + y2)3 = 5r2y4 − 8r4y2 − 3r4x2 + 6r2x2y2 + 4r6

donde r > 0 es una constante. La circunferencia de radio r con centro en el origen es llamada lageneratriz de la cornoide.

La terminologıa se hace evidente una vez consideramos la construccion geometrica brindada porSanchez, la cual el denomina la ley de la cornoide:

Tracese un cırculo con un radio cualquiera; divıdase la semicircunferencia superior en partes iguales,dirıjanse radios a las divisiones del primer cuadrante y levantense tangentes es sus extremidades;bajense perpendiculares a estas tangentes de las divisiones respectivas del segundo cuadrante, y unien-do los puntos de division por medio de un trazo continuo se trendra la curva en cuestion. [1]

Figura 1: La cornoide clasica de Sanchez

1

1.1. Forma parametrica

El objetivo de esta seccion es deducir una ecuacion parametrica para la curva basandose en la cons-truccion original de Sanchez.

Teorema 1. Sea c : R → R2, t 7→ (x(t), y(t)) una parametrizacion de la circunferencia generatriz.Entonces la cornoide puede ser representada por la ecuacion

C(t) =(

(x(t)2 − y(t)2)x(t)x(t)2 + y(t)2

, y(t) +2y(t)x(t)2

x(t)2 + y(t)2

)donde t es un parametro real.

Demostracion. Sea P un punto de la circunferencia de diametro AB y Q el punto de interseccionde la circunferencia con la paralela por P al diametro AB. Desde P se traza la recta tangente a lacircunferencia y desde Q la perpendicular a dicha tangente. Sea C el punto interseccion de ambasrectas. Cuando el punto P describe la circunferencia, el punto C describe la cornoide.

Nos dan la parametrizacion P (t) = (x(t), y(t)), y de aquı es inmediato obtener las coordenadas deQ(t) = (−x(t), y(t)). Ahora bien, la ecuacion de L1, la tangente a la circunferencia c por P , esta dadapor

y = −x(t)y(t)

(x− x(t)) + y(t).

Asimismo calculando ecuacion de L2, la perpendicular a L1 por Q queda

y =y(t)x(t)

(x+ x(t)) + y(t).

Ya que por definicion C es la interseccion de L1 y L2, las coordenadas de C pueden calcularse re-solviendo el sistema formado por las ecuaciones obtenidas arriba, cuya solucion es(

(x(t)2 − y(t)2)x(t)x(t)2 + y(t)2

, y(t) +2y(t)x(t)2

x(t)2 + y(t)2

).

Corolario 1. La cornoide puede ser parametrizada como

C(t) = (r cos t cos 2t, r cos t sen 2t+ r sen t)

donde 0 ≤ t ≤ 2π es un parametro y r es el radio de la circunferencia generatriz. 1

Demostracion. Basta con tomar en la proposicion anterior la parametrizacion usual de la circunfe-rencia en coordenadas polares x(t) = r cos t, y = r sen t, donde 0 ≤ t ≤ 2π. En concreto

C(t) =(

(r2 cos2 t− r2 sen2 t)r cos tr2 cos2 t+ r2 sen2 t

, r sen t+2r sen t · r2 cos2 tr2 cos2 t+ r2 cos2 t

)y luego de algunos calculos la expresion anterior se reduce a C(t) = (r cos t cos 2t, r cos t sen 2t+ r sen t).

1Comentario del editor. Es necesario comprobar que la curva descrita por la parametrizacion anterior y la cornoidedefinida al principio en efecto coinciden. En su trabajo Sanchez originalmente dedujo la expresion en coordenadas polares(ρ, ω)

ρ6 − r2ρ4 + 4r4ρ2 − 4r6 = 4r2ρ2{(ρ2 − r2)(sen2 ω − cos2 ω) + ρ2 sen2 ω cos2 ω}y luego de engorrosos calculos obtuvo la ecuacion implıcita en x e y. Los detalles pueden ser consultados en su

monografıa [1].

2

1.2. Algunas propiedades

En este apartado usaremos la parametrizacion obtenida en la seccion anterior para deducir algunascaracterısticas de la curva.

Lema 1. La cornoide satisface las siguientes propiedades:

1. La cornoide es una curva cerrada, periodica de perıodo 2π y simetrica respecto a ambos ejescoordenados.

2. La cornoide C : [0, 2π]→ R se interseca a sı misma en los puntos t = π/4 y t = 5π/4.

3. Sean C1, C2 y C3 las restricciones de C : [0, 2π] → R a los intervalos [0, π/4] ∪ [3π/4, 5π/4] ∪[7π/4, 2π], [π/4, 3π/4] y [5π/4, 7π/4] respectivamente. Entonces C1, C2 y C3 son curvas cerradas,simples y continuamente diferenciables.

Demostracion. La prueba consiste en calculos simples que se dejan al lector. Observar que laspropiedades (b) y (c) nos dicen que la curva se interseca a sı misma y que los tres “ovalos” quese forman en el dibujo pueden ser considerados como curvas en sı mismas.

Longitud de arcoCalculemos la longitud de la cornoide. Para ello ocupamos la conocida formula para calcular la longitudL de una curva continua f : [a, b]→ R, que viene dada por

L =∫ b

a

|f ′(s)|ds.

Para nuestro caso usando la parametrizacion anterior C : [0, 2π]→ R, tenemos entonces que la longitudde la cornoide esta dada por:

L =∫ 2π

0

|C ′(s)|ds = r

∫ 2π

0

√12 cos4 s− 4 cos2 s+ 1ds ≈ 10,6017r.

Observar que la integral anterior no puede ser calculada directamente, por lo que debe recurrirse aaproximaciones numericas.

Areas encerradas por la cornoideA continuacion se abordan algunas areas importantes que encierran la cornoide y su circunferenciageneratriz. Para ello empleamos la siguiente formula, que como es sabido es un corolario del teoremade Green.

Proposicion 1. Sea C una curva cerrada simple, positivamente orientada y continuamente diferen-ciable a trozos. Entonces el area de la region D acotada por C es

A =12

∫C

xdy − ydx.

Sea C(t) = (X(t), Y (t)) la parametrizacion de la cornoide deducida en el corolario. Ahora se tienen lossiguiente resultados:

1. A1: Area encerrada por el “ovalo” grande. Aquı aplicamos el teorema de Green a la curva C1

definida en el lema. Por simetrıa basta integrar en el intervalo [0, π/4], de donde

A1 = 4 · 12

∫ π4

0

(X(t)Y ′(t)− Y (t)X ′(t))dt =(3π + 8)r2

4.

3

2. A2: Area de uno de los “ovalos” pequenos. En este caso integramos a lo largo de la curva C2.

A2 =12

∫ 3π4

π4

(X(t)Y ′(t)− Y (t)X ′(t))dt =(3π − 8)r2

8.

3. A3: Area encerrada en un perıodo, menos los ovalos pequenos: A3 = A1 − 2A2 = 4r2.

4. AC : Area encerrada por un cuarto de perıodo de la cornoide y su generatriz.

AC =12

∫ π2

0

(X(t)Y ′(t)− Y (t)X ′(t))dt− πr2

4=πr2

8

2. Generalizacion de la cornoide

La construccion original de Sanchez se basa en una circunferencia. Sin embargo, es de notar como lacornoide es definida parametricamente a partir de la parametrizacion de su circunferencia generatriz.La posibilidad de utilizar otra curva como generatriz llevo al autor a proponer la siguiente definicionde cornoide generalizada.

Definicion 2. Sea f : D → R una funcion real, donde D es un intervalo. En f tomamos el puntode coordenadas (x, y), trazamos la tangente a la grafica de f por el punto (x, y), y denotamos por Cel pie de la perpendicular por el punto (−x, y) a dicha tangente. El lugar geometrico de C cuando elpunto (x, y) describe la grafica de f recibe el nombre de cornoide generada por f .

Teorema 2. Si la generatriz f : D → R admite una parametrizacion f : I → R2, donde I es unintervalo, entonces la cornoide generada por f esta dada por las siguientes ecuaciones parametricas:

C(t) =(y′(t)2 − x′(t)2x(t)y′(t)2 + x′(t)2

, y(t)− 2y′(t)x′(t)x(t)y′(t))2 + (x′(t))2

). (1)

Demostracion. La ecuacion de L1, la tangente en (x(t), y(t)) a la grafica de f esta dada por:

y =y′(t)x′(t)

(x− x(t)) + y(t)

Y la ecuacion de L2, la perpendicular a L1 que pasa por (−x(t), y(t)) es:

L2 : y = −x′(t)y′(t)

(x+ x(t)) + y(t).

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por L1 y L2 es inmediato obtener las coordenadas deC(t).

Se presentan algunos ejemplos en la siguiente pagina. El lector interesado puede calcular por sı mismolas ecuaciones de la curva en cada caso.

4

Figura 2: Cornoide generada por f(x) = x2

Figura 3: Cornoide generada por f(x) = x3

5

Figura 4: Cornoide generada por f(x) = x3 − x2

Figura 5: Cornoide generada por la cicloide f(t) = (t− sen t, 1− cos t)

6

3. Problemas abiertos

El autor lamenta que por cuestiones de tiempo no pudo hacer poco mas que introducir su nocion dela cornoide generalizada. Sin embargo, este tendra a bien plantear nuevas interrogantes que posterior-mente podran convertirse en objetos de investigacion.

¿Existe alguna relacion entre la simetrıa y periodicidad de la cornoide y su generatriz? La cornoideclasica es simetrica y periodica, tal y como la circunferencia.

Si la generatriz es un polinomio, ¿es siempre la cornoide una asıntota de la grafica de f? Esto esaparente a partir de las graficas dadas en los ejemplos.

Si la generatriz f es una curva algebraica, ¿existe una relacion entre los grados de f y de lacornoide (como curvas algebraicas)? Por ejemplo, la circunferencia tiene grado 2, mientras quela cornoide clasica tiene grado 6.

Referencias

1. Sanchez, A., Los cinco primeros cursos de ciencias y letras, Imprenta Nacional, 1896.

2. Marsden, J.E., Tromba, A.J., Calculo vectorial, 3a ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1988.

7

Universidad de El SalvadorFacultad de Ciencias Naturales y

MatematicaEscuela de Matematica

Funciones Generadoras

Aaron Ernesto Ramırez Flores

3 de noviembre de 2011

Resumen

Se hace un breve estudio de las funciones generadoras ordinarias y exponenciales.En primer lugar, se define el anillo de sucesiones y a partir de este el anillo deseries formales, entre las cuales se encuentran las funciones generadoras. Luegose desarrollan aplicaciones a la resolucion de problemas combinatorios que versansobre el conteo (bajo ciertas restricciones) de r-combinaciones y r-permutaciones deun multiconjunto dado.

Indice

1. Anillos de Sucesiones 9

2. Series Formales de Potencias en los Reales 10

3. Funciones Generadoras Ordinarias 12

4. Funciones Generadoras Exponenciales 13

5. Aplicaciones 15

8

1 Anillos de Sucesiones

1. Anillos de Sucesiones

Dado un cuerpo k, es posible construir un anillo S compuesto de sucesiones definidas sobrek, es decir, S = {{an} |an ∈ k}.1 Para ello, se definen las operaciones suma y producto deS como sigue:

La suma: {an}+ {bn} = {an + bn},

El producto:2 {an} · {bn} =

{n∑k=0

akbn−k

}.

Evidentemente, S es un grupo abeliano con respecto a la suma, ya que sus operaciones soncerradas, tiene como identidad aditiva a la sucesion {0} (donde 0 es el elemento neutrode k), y el inverso aditivo de {an} es {−an}. Ademas, la sucesion {δ0,n} es la identidadmultiplicativa.3 Se demostrara que el producto es asociativo:

({an} · {bn}) · {cn} =

{n∑i=0

(i∑

k=0

akbi−k

)cn−i

}=

{ ∑α+β+γ=n

(aαbβ) cγ

}

{an} · ({bn} · {cn}) =

{n∑i=0

ai

(n−i∑k=0

bkcn−i−k

)}=

{ ∑α+β+γ=n

aα (bβcγ)

}

Y dada la asociatividad en k, se concluye ({an} · {bn}) · {cn} = {an} · ({bn} · {cn}). Demanera muy similar se prueban las leyes distributivas ({an}+ {bn}) · {cn} = {an} · {cn}+{bn} · {cn} y {an} · ({bn}+ {cn}) = {an} · {bn}+ {an} · {cn}.

Finalmente, observe que si {an} es una sucesion de S tal que a0 6= 0, es posible construiruna unica sucesion recıproca (inverso multiplicativo) {an}−1 = {bn}, donde

b0 = a−10

bn = −a−10

n∑k=1

akbn−k para n ≥ 1

En particular, si k = R o k = C, se tiene definido un anillo de sucesiones reales o suce-siones complejas, respectivamente. Un uso importante de estos anillos es la definicion delas series formales de potencias :

Definicion 1.1. Una serie formal de potencias es una expresion formal

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + · · ·1Por simplicidad, las sucesiones {xn}∞n=0 se denotaran por {xn}.2Conocido como producto de Cauchy, o convolucion de sucesiones de Cauchy.3δi,j es la delta de Kronecker.

9

2 Series Formales de Potencias en los Reales

donde {an} es una sucesion en k. La sucesion {an} recibe el nombre de sucesion de coefi-cientes, y se dice que f(x) es la funcion generadora ordinaria de {an}.

Por la discusion previa, fijado un cuerpo k para las sucesiones de coeficientes, las seriesformales de potencias forman un anillo, por lo que hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 1.1. El conjunto k[[x]] de las series formales de potencias con coeficientes enun cuerpo k forma un anillo. 4

Entonces, es posible estudiar estas expresiones desde el punto de vista algebraico dejandode lado el problema analıtico de la convergencia; ası, la x tiene un uso estrictamente formale interesara nada mas el manejo algebraico de las sucesiones de coeficientes. En particular,son importantes las siguientes observaciones:

Dos series formales de potencias son iguales si y solo si coeficiente a coeficiente soniguales.

La suma en k[[x]] se traduce a la suma estandar de polinomios “termino a termino”;de igual manera, el producto en k[[x]] se traduce al producto estandar de polinomiosy reduccion de terminos semejantes.

La funcion constante f(x) = 0 es la identidad aditiva de k[[x]].

La funcion constante f(x) = 1 es la identidad multiplicativa de k[[x]].

Dada una serie formal de potencias f(x) con el coeficiente a0 6= 0, existe una unicaserie formal de potencias g(x) tal que f(x)g(x) = 1 (serie recıproca). 5

La combinacion lineal de series formales de potencias, es otra serie formal de poten-cias.

2. Series Formales de Potencias en los Reales

A continuacion, se demostraran los resultados mas importantes de las series formales depotencias con sucesiones de coeficientes en R; ademas, se hara una aproximacion a la apli-cacion en combinatoria de estas series.

Teorema 2.1. La serie formal asociada a la sucesion {1} es1

1− x. 6

4N. del E.: Es importante destacar que el anillo de series R[[x]] puede ser definido en general sobrecualquier anillo conmutativo R, no necesariamente un cuerpo.

5N. del E.: Esta observacion prueba que k[[x]] es un anillo local, cuyo ideal maximal corresponde am = {

∑anx

n ∈ k[[x]] : a0 = 0}. Luego en el caso de los cuerpos k[[x]] es un anillo de valuacion discreta.6N. del E.: Observar que esta afirmacion no tiene sentido en el anillo de series, ya que el 1/(1− x) no

es una serie formal. Sin embargo, la igualdad es correcta si pensamos que el miembro derecho representa

10

2 Series Formales de Potencias en los Reales

Demostracion. Se tiene la sucesion {an}, con a0 = 1, a1 = −1 y an = 0 para todo n ≥ 2,que es la sucesion asociada a la serie formal 1−x+ 0x2 + 0x3 + · · · ; aplicando el algoritmopara calcular la serie recıproca {bn} = {an}−1 se tiene

b0 =1

a0

= 1

b1 = −a1b0

a0

= 1

b2 = −a1b1 + a2b0

a0

= 1

...

bn = −a1bn−1 + a2bn−2 + · · ·+ anb0

a0

= 1

...

Entonces {bn} = {1}, por lo que

1

1− x= 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + · · ·

Ası, se ha demostrado que podemos utilizar indistintamente cualquiera de los lados de laecuacion anterior para representar a la serie formal asociada a {1}.

La identidad en series formales de potencias mostrada anteriormente es la clasica expan-sion en series de potencias de Maclaurin (caso particular del desarrollo en series de Taylor),y dado que nuestro interes es puramente algebraico (lo cual en analisis tiene sentido unica-mente cuando la serie converge), es posible utilizar todos estos resultados de analisis. Todoslos resultados siguientes pueden demostrarse directamente sin hacer referencia a desarrol-los en series de potencias de Maclaurin, pero son ya identidades conocidas y que podremosasumir en los problemas subsiguientes:

a)1

1− x= 1 + x+ x2 + · · ·+ xr + · · · .

b)1

(1− x)2= 1 + 2x+ 3x2 + · · ·+ (r + 1)xr + · · · .

c)1

(1− x)n= 1 + nx+

(n+ 1)(n+ 2)

2!x2 + · · ·+ n(n+ 1) · · · (n+ r − 1)

r!xr + · · ·

= 1 +

(1 + n− 1

2

)x+

(2 + n− 1

2

)x2 + · · ·+

(r + n− 1

2

)xr + · · · .

una funcion analıtica real o compleja. Luego todas las manipulaciones que hagamos seran validas siemprey cuando trabajemos dentro del disco de convergencia de dicha serie. Puede decirse que esta interaccionentre los puntos de vista algebraico y analıtico es la que hace de las funciones generadoras una herramientatan versatil.

11

3 Funciones Generadoras Ordinarias

d) Binomio de Newton: Dado α ∈ R y r ∈ N, se define el coeficiente binomial gene-ralizado

(αr

)=

alpha(α−1)(α−2) · · · (α−r+1)/r!, y por convencion(α0

)= 1. Entonces, el teorema

de Newton establece que

(1 +X)α =∞∑r=0

(α

r

)Xr

En particular, tomando X = −x y sustituyendo α = −1,−2,−n, se obtienen lasidentidades anteriores.

e)1

1− kx= 1 + kx+ k2x2 + · · ·+ krxr + · · · . Esta serie se obtiene tomando α = −1 y

X = −kx en el binomio de Newton.

3. Funciones Generadoras Ordinarias

El objetivo que se persigue con estas expresiones es obtener resultados combinatorios mo-delando situaciones con series formales de potencias (funciones generadoras ordinarias),estudiando sus coeficientes. Para ello, se consideraran ciertos conjuntos especiales llama-dos multiconjuntos ; de estos conjuntos se haran extracciones de elementos e interesara lacantidad de formas como esto puede hacerse.7

Definicion 3.1. Un multiconjunto es un conjunto con elementos repetidos. Si M es unmulticonjunto con n1 elementos del tipo b1, n2 elementos del tipo b2, etc, lo denotaremosası:

M = {n1 · b1, n2 · b2, . . .}Donde ni es un numero natural o infinito. 8

Teorema 3.1. Dado el multiconjunto M = {n1 · b1, n2 · b2, . . . , nk · bk}, sea ar la cantidadde formas de seleccionar r elementos de M .9 Entonces, la funcion generadora ordinariapara la sucesion {ar} viene dada por:10

n1+n2+···+nk∑r=0

arxr = (1 + x+ · · ·+ xn1)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo b1

(1 + x+ · · ·+ xn2)︸ ︷︷ ︸Escoge del tipo b2

· · · (1 + x+ · · ·+ xnk)︸ ︷︷ ︸Escoge del tipo bk

7“Uno de los objetivos principales en combinatoria es el desarrollo de herramientas de conteo. Quizas,una de las herramientas mas poderosas utilizada frecuentemente en conteo es la nocion de funcion gene-radora. Esta nocion tiene su raız en los trabajos de De Moivre alrededor de 1720 y fue desarrollada porEuler en 1748 en conexion con su estudio de las particiones de un entero. Luego, fue tratada extensiva ysistematicamente por Laplace a finales del siglo XVIII. De hecho, el nombre funcion generadora debe suorigen a Laplace en su gran obra Theorie Analytique des Probabilites (Parıs, 1812).”[1, pag. 185].

8N. del E.: El lector perspicaz notara que esta no es una definicion rigurosa. Formalmente, un mul-ticonjunto es un par (M,f) donde f : M → N es una funcion llamada multiplicidad. El caso donde lamultiplicidad toma valores infinitos (por ejemplo ℵ0) es mas delicado y no se tratara aquı.

9Esto es, el conteo de todas las r-combinaciones de M .10Vea que esto es simplemente una generalizacion del coeficiente multinomial.

12

4 Funciones Generadoras Exponenciales

Demostracion. El lado derecho de la expresion anterior debe leerse de la siguiente forma:En el primer factor, 1 significa “se escogen 0 elementos del tipo b1”, x significa “se escoge1 elemento del tipo b1”, y en general, xn significa “se escogen n elementos del tipo b1”; lomismo para el resto de factores. Ası, si se quieren escoger r elementos de M , habra queescoger r1 elementos del tipo b1, r2 elementos del tipo b2, . . ., rk elementos del tipo bk,de tal manera que r = r1 + r2 + · · · + rk. Pero bajo la interpretacion anterior esto esequivalente a escoger el termino xr1 del primer factor, el termino xr2 del segundo fac-tor, . . ., el termino xrk del ultimo factor, y al hacer el desarrollo, aparecera el terminoxr1xr2 · · ·xrk = xr1+r2+···+rk = xr. Por lo tanto, el coeficiente ar de xr al hacer todo eldesarrollo y reduccion de terminos semejantes, es equivalente a la cantidad de formas deescoger un termino de cada factor del lado derecho de tal forma que la suma de sus expo-nentes sea r, pero eso es equivalente al total de formas de escoger r elementos de M .

Teorema 3.2. Dado el multiconjunto M = {∞ · b1,∞ · b2, . . . ,∞ · bk}, sea ar la cantidadde formas de seleccionar r elementos de M . Entonces, la funcion generadora ordinariapara la sucesion {ar} viene dada por:

∞∑r=0

arxr =

∞∑r=0

(r + k − 1

r

)xr

Es decir, ar =

(r + k − 1

r

).

Demostracion. Por el teorema anterior y por el binomio de Newton, se tiene:

∞∑r=0

arxr =

(1 + x+ x2 + · · ·

)︸ ︷︷ ︸Escoge del tipo b1

(1 + x+ x2 + · · ·

)︸ ︷︷ ︸Escoge del tipo b2

· · ·(1 + x+ x2 + · · ·

)︸ ︷︷ ︸Escoge del tipo bk

=(1 + x+ x2 + · · ·

)k=

1

(1− x)k

=∞∑r=0

(r + k − 1

r

)xr

Por lo tanto, ar =

(r + k − 1

r

).

4. Funciones Generadoras Exponenciales

Ahora bien, las funciones generadoras ordinarias son muy utiles cuando se quiere contarescogitaciones sin hacer caso del orden de los elementos escogidos; si en cambio sı se tieneinteres en el orden, la respuesta correcta sera el coeficiente de xr en la funcion generado-ra ordinaria multiplicado por r!. Ası, se puede definir la siguiente serie formal de potencias:

13

4 Funciones Generadoras Exponenciales

Definicion 4.1. Dada la sucesion {an}, su funcion generadora exponencial es la serieformal

f(x) =∞∑r=0

arr!xr.

El nombre de funcion generadora exponencial viene de la expansion en series de Maclaurinde la funcion ex:

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xr

r!+ · · ·

Teorema 4.1. Dado el multiconjunto M = {n1 · b1, n2 · b2, . . . , nk · bk}, sea ar la cantidadde r-permutaciones de elementos de M . Entonces la funcion generadora ordinaria de lasucesion {ar} viene dada por:

n1+n2+···+nk∑r=0

arr!xr =

(1 +

x

1!+ · · ·+ xn1

n1!

)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo b1

(1 +

x

1!+ · · ·+ xn2

n2!

)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo b2

· · ·(

1 +x

1!+ · · ·+ xnk

nk!

)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo bk

Demostracion. La demostracion es analoga a la del teorema 3.1; basta recordar que elnumero de r-permutaciones, escogiendo ri elementos del tipo bi, con r1 + r2 + · · ·+ rk = r,es

P (r1, r2, . . . , rk) =r!

r1!r2! · · · rk!

Mientras que al multiplicar los terminos correspondientesxi

ri!se obtiene

1

r1!r2! · · · rk!xr1+r2+···+rk =

(r!

r1!r2! · · · rk!

)1

r!xr

Y de allı la correspondencia entre los coeficientes ar de la funcion generadora exponencialy la cantidad de r-permutaciones.

Teorema 4.2. Dado el multiconjunto M = {∞ · b1,∞ · b2, . . . ,∞ · bk}, sea ar la cantidadde r-permutaciones de M . Entonces, la funcion generadora exponencial de la sucesion {ar}viene dada por:

∞∑r=0

arxr

r!=∞∑r=0

krxr

r!

Es decir, ar = kr.

14

5 Aplicaciones

Demostracion. Por el teorema anterior y por el desarrollo en series de la funcion exponen-cial, la funcion generadora exponencial asociada a {ar} es

∞∑r=0

arxr

r!=

(1 +

x

1!+x2

2!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo b1

(1 +

x

1!+x2

2!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo b2

· · ·(

1 +x

1!+x2

2!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Escoge del tipo bk

=

(1 +

x

1!+x2

2!+ · · ·

)k= (ex)k

= ekx

=∞∑r=0

(kx)r

r!

=∞∑r=0

krxr

r!

Por lo que ar = kr.

5. Aplicaciones

PROBLEMA 5.1Determine ar, definida como la cantidad de r-permutaciones ternarias (dıgitos 0, 1 y 2)que tienen una cantidad impar de ceros y una cantidad par de unos.

Solucion. Definimos el multiconjunto M = {∞ · 0,∞ · 1,∞ · 2}, y se buscan las r-permutaciones de M con r0 dıgitos 0, r1 dıgitos 1 y r2 dıgitos 2, de tal forma quer = r0 + r1 + r2, siendo r0 impar y r1 par. Dado que el orden importa (son permuta-ciones), se utilizaran funciones generadoras exponenciales.

Como r1 debe ser impar, debe construirse una funcion generadora exponencial con unica-mente terminos de potencias impares; ası, la funcion generadora asociada a los ceros es

x

1!+x3

3!+x5

5!+ · · ·

Pero este es justamente el desarrollo en serie del seno hiperbolico senhx =ex − e−x

2.

Analogamente, la funcion generadora para la escogitacion de los unos debe contener unica-mente terminos de potencias pares

1 +x2

2!+x4

4!+ · · ·

15

5 Aplicaciones

Que es el desarrollo en serie del coseno hiperbolico coshx =ex + e−x

2. Finalmente, no hay

restricciones para la escogitacion de los dıgitos 2, por lo que la funcion generadora es ex:

k∑r=0

arxr

r!=

(x

1!+x3

3!+x5

5!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Escoge los 0′s

(1 +

x2

2!+x4

4!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Escoge los 1′s

(1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Escoge los 2′s

=

(ex − e−x

2

)(ex + e−x

2

)(ex)

=1

4

(e3x − e−x

)=

1

4

∞∑r=0

(3r − (−1)r)xr

r!

Por lo tanto, ar =1

4(3r − (−1)r).

PROBLEMA 5.2[IMO 2008, problema 5] Sean n y k enteros positivos tales que k ≥ n. Se tienen 2nlamparas numeradas 1, 2, . . . , 2n, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada.Inicialmente todas las lamparas estan apagadas. Se consideran sucesiones de pasos : Encada paso, se selecciona exactamente una lampara y se cambia su estado (si esta apagadase enciende, si esta encendida se apaga).Sea N el numero de sucesiones de k pasos al cabo de los cuales las lamparas 1, 2, . . . , nquedan todas encendidas, y las lamparas n+ 1, n+ 2, · · · , 2n quedan todas apagadas.Sea M el numero de sucesiones de k pasos al cabo de los cuales las lamparas 1, 2, . . . , nquedan todas encendidas, y las lamparas n + 1, n + 2, . . . , 2n quedan todas apagadas sinhaber sido nunca encendidas.Determine el cociente N

M.

Solucion. Note para que una lampara quede apagada, su estado debe haber cambiadouna cantidad par de veces; en cambio, para que una lampara quede encendida, su esta-do debe haber sido cambiado una cantidad impar de veces. Denote por N(x) y M(x) alas funciones generadoras exponenciales (importa el orden de los pasos) que modelan lassituaciones de N y M , respectivamente.

N(x) esta compuesto de 2n factores, uno por cada lampara; los primeros n deben estarcompuestos por terminos de potencias impares (las lamparas deben quedar encendidas),mientras que los siguientes n factores estan compuestos por terminos de potencias pares(las lamparas quedan apagadas). Como se buscan las sucesiones de k pasos, N es el coe-

ficiente dexk

k!en la siguiente expresion:

16

5 Aplicaciones

N(x) =

(x

1!+x3

3!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Lampara 1

· · ·(x

1!+x3

3!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Lampara n

(1 +

x2

2!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Lampara n+1

· · ·(

1 +x2

2!+ · · ·

)︸ ︷︷ ︸

Lampara 2n

=

(x

1!+x3

3!+ · · ·

)n︸ ︷︷ ︸

Lamparas 1,...,n

(1 +

x2

2!+ · · ·

)n︸ ︷︷ ︸

Lamparas n+1,...,2n

=

(ex − e−x

2

)n(ex + e−x

2

)n=

1

2n

(e2x − e−2x

2

)nPara M(x) el analisis es similar, pero como las lamparas desde la n+ 1 hasta la 2n nuncacambiaron de estado, la funcion generadora exponencial asociada a cada lampara es (1).

Ası, M es el coeficiente dexk

k!en la siguiente expresion:

M(x) =

(x

1!+x3

3!+ · · ·

)n︸ ︷︷ ︸

Lamparas 1,...,n

(1 + 0

x

1!+ 0

x2

2!+ · · ·

)n︸ ︷︷ ︸

Lamparas n+1,...,2n

=

(ex − e−x

2

)nAunque el problema esta planteado de manera sistematica, el calculo de los coeficientesrequeridos N y M no es tarea facil; sin embargo, lo que se pide es el cociente N

M, por lo

que se buscara una relacion entre ellos en lugar de calcularlos directamente.

Se tiene que M es el coeficiente de xk

k!en M(x). Para la funcion generadora exponencial

N(x), tome el cambio de variable y = 2x, y defina la funcion

N∗(y) = N(y

2

)=

1

2n

(ey − e−y

2

)nEl coeficiente de yk

k!en N∗(y) es M/2n, pero como yk = 2kxk, entonces el coeficiente de

xk/k! en N(x) es N = 2k/2n ·M . Por lo tanto

N

M=

2k/2n ·MM

= 2k−n

17

5 Aplicaciones

Bibliografıa

1. Chuan-Chong, C., Khee-Meng, K., Principles and Techniques in Combinatorics, Ed.World Scientific, 1999.

2. Vilenkin, N. Ya., Combinatorics. Ed. Academic Press, 1971.

3. Wilf, H., Generatingfunctionology. Ed. Academic Press, 1990.

18

2011 APMO PROBLEMS

Time allowed: 4 hours Each problem is worth 7 points*The contest problems are to be kept confidential until they are posted on the offi-cial APMO website (http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO). Please do notdisclose nor discuss the problems over the internet until that date. Calculators arenot allowed to use.

Problem 1. Let a, b, c be positive integers. Prove that it is impossible to haveall of the three numbers a2 + b + c, b2 + c + a, c2 + a + b to be perfect squares.

Problem 2. Five points A1, A2, A3, A4, A5 lie on a plane in such a way that nothree among them lie on a same straight line. Determine the maximum possiblevalue that the minimum value for the angles ∠AiAjAk can take where i, j, k aredistinct integers between 1 and 5.

Problem 3. Let ABC be an acute triangle with ∠BAC = 30◦. The internal andexternal angle bisectors of ∠ABC meet the line AC at B1 and B2, respectively, andthe internal and external angle bisectors of ∠ACB meet the line AB at C1 and C2,respectively. Suppose that the circles with diameters B1B2 and C1C2 meet insidethe triangle ABC at point P . Prove that ∠BPC = 90◦.

Problem 4. Let n be a fixed positive odd integer. Take m + 2 distinct pointsP0, P1, · · · , Pm+1 (where m is a non-negative integer) on the coordinate plane insuch a way that the following 3 conditions are satisfied:(1) P0 = (0, 1), Pm+1 = (n + 1, n), and for each integer i, 1 ≤ i ≤ m, both x- andy- coordinates of Pi are integers lying in between 1 and n (1 and n inclusive).(2) For each integer i, 0 ≤ i ≤ m, PiPi+1 is parallel to the x-axis if i is even, andis parallel to the y-axis if i is odd.(3) For each pair i, j with 0 ≤ i < j ≤ m, line segments PiPi+1 and PjPj+1 shareat most 1 point.

Determine the maximum possible value that m can take.

Problem 5. Determine all functions f : R → R, where R is the set of all realnumbers, satisfying the following 2 conditions:(1) There exists a real number M such that for every real number x, f(x) < M issatisfied.(2) For every pair of real numbers x and y,

f(xf(y)) + yf(x) = xf(y) + f(xy)

19

XVIIa

OLIMPÍADA de MAYO Primer Nivel

Mayo de 2011 Duración de la prueba: 3 horas. Cada problema vale 10 puntos. No puedes usar calculadora; no puedes consultar libros ni apuntes. Justifica cada una de tus respuestas.

Al participar te comprometes a no divulgar los problemas hasta el 25 de mayo.

PROBLEMA 1 Las 4 palabras codificadas

∗⊗ ⊕#• ∗ • ⊗♦⊕

son en algún orden AMO SUR REO MAS.

Descifrar ⊗♦ ∗⊕# •⊗.

PROBLEMA 2 Utilizando una sola vez cada uno de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se escriben el cuadrado y el cubo de un número entero positivo. Determinar cuánto puede valer dicho número.

PROBLEMA 3

En el rectángulo ABCD, BC

= 5, EC

=

13

CD y F es el

punto donde se cortan AE y BD. F

ECD

BAEl triángulo DFE tiene área 12 y el triángulo ABF tiene área 27. Hallar el área del cuadrilátero BCEF.

PROBLEMA 4

Utilizando varios cubitos blancos de arista 1 Guille arma un cubo grande. Luego elige 4 caras del cubo grande y las pinta de rojo. Finalmente desarma el cubo grande y observa que los cubitos con al menos una cara pintada de rojo son 431. Hallar la cantidad de cubitos que utilizó para armar el cubo grande. Analizar todas las posibilidades.

PROBLEMA 5 Consideramos todos los números enteros positivos de 14 dígitos, divisibles por 18, cuyos dígitos son exclusivamente 1 y 2, pero no hay dígitos 2 consecutivos. ¿Cuántos de estos números hay?

20

XVIIa

OLIMPÍADA de MAYO Segundo Nivel Mayo de 2011

Duración de la prueba: 3 horas. Cada problema vale 10 puntos. No puedes usar calculadora; no puedes consultar libros ni apuntes. Justifica cada una de tus respuestas.

Al participar te comprometes a no divulgar los problemas hasta el 25 de mayo.

PROBLEMA 1 Hallar un número entero positivo x tal que la suma de los dígitos de x sea mayor que 2011 veces la suma de los dígitos del número 3x (3 por x).

PROBLEMA 2 Decimos que un número de cuatro dígitos abcd ( 0a ≠ ) es porá si se cumplen las siguientes condiciones: a b≥ ; ab cd cd ba− = − . Por ejemplo, 2011 es porá porque . 20 11 11 02− = −Hallar todos los números porá.

PROBLEMA 3

En un triángulo rectángulo ABC tal que AB = AC, M es el punto medio de BC. Sea P un punto de la mediatriz de AC que pertenece al semiplano determinado por BC que no contiene a A. Las rectas CP y AM se cortan en Q. Calcular el ángulo que forman AP y BQ.

PROBLEMA 4

Dados n puntos en una circunferencia se escribe al lado de uno de ellos un 1 y al lado de cada uno de los otros un 0. La operación permitida consiste en elegir un punto que tenga un 1 y cambiar el número de ese punto y también los números de sus dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha (donde hay 1 se escribe 0 y donde hay 0 se escribe 1). a) Si n = 101, mostrar que se puede lograr, mediante una sucesión de operaciones permitidas, que cada uno de los n puntos tenga escrito un 0. b) Si n = 102, demostrar que es imposible lograr todos 0.

PROBLEMA 5 Determinar para qué números naturales n es posible cubrir completamente un tablero de n×n, dividido en casillas de 1×1, con piezas como la de la figura, sin huecos ni superposiciones y sin salirse del tablero. Cada una de las piezas cubre exactamente seis casillas. Nota: Las piezas se pueden girar.

21

XIII Olimpiada Matematica de Centroamericay El Caribe

Colima, Mexico, 21 de junio de 2011

Primer dıa

Problema 1En cada uno de los vertices de un cubo hay una mosca. Al sonar un silbato, cadauna de las moscas vuela a alguno de los vertices del cubo situado en una mismacara que el vertice de donde partio, pero diagonalmente opuesto a este. Al sonarel silbato, ¿de cuantas maneras pueden volar las moscas de modo que en ningunvertice queden dos o mas moscas?

Problema 2Sean ABC un triangulo escaleno, D el pie de la altura desde A, E la intersecciondel lado AC con la bisectriz del ∠ABC, y F un punto sobre el lado AB. Sea Oel circuncentro del triangulo ABC y sean X , Y , Z los puntos donde se cortan lasrectas AD con BE, BE con CF , CF con AD, respectivamente. Si XY Z es untriangulo equilatero, demuestra que uno de los triangulos OXY , OY Z, OZX es untriangulo equilatero.

Problema 3Aplicar un desliz a un entero n ≥ 2 significa tomar cualquier primo p que divida an y reemplazar n por n+p2

p.

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual a 5 y se le aplica un desliz. Alnumero ası obtenido se le aplica un desliz, y ası sucesivamente se siguen aplicandodeslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algun momento seobtiene el numero 5.

Cada problema vale 7 puntos.Tiempo maximo del examen: 4 horas y media.

22

XIII Olimpiada Matematica de Centroamericay El Caribe

Colima, Mexico, 22 de junio de 2011

Segundo dıa

Problema 4Encuentra todos los enteros positivos p, q y r, con p y q numeros primos, que satis-facen la igualdad

1

p+ 1+

1

q + 1− 1

(p+ 1)(q + 1)=

1

r.

Problema 5Los numeros reales positivos x, y, z son tales que,

x+y

z= y +

z

x= z +

x

y= 2.

Determina todos los valores posibles de x+ y + z.

Problema 6Sea ABC un triangulo acutangulo y sean D, E y F los pies de las alturas desdeA, B y C, respectivamente. Sean Y y Z los pies de las perpendiculares desde B yC sobre FD y DE, respectivamente. Sea F1 la reflexion de F con respecto a E ysea E1 la reflexion de E con respecto a F . Si 3EF = FD + DE, demuestra que∠BZF1 = ∠CY E1.Nota: La reflexion de un punto P respecto a un punto Q es el punto P1 ubicadosobre la recta PQ tal que Q queda entre P y P1, y PQ = QP1.

Cada problema vale 7 puntos.Tiempo maximo del examen: 4 horas y media.

23

Language: Spanish

Day: 1

Lunes, 18 de julio de 2011

Problema 1. Para cualquier conjunto A = {a1, a2, a3, a4} de cuatro enteros positivos distintos sedenota la suma a1 + a2 + a3 + a4 por sA. Sea nA el número de parejas (i, j) con 1 ≤ i < j ≤ 4 paralas cuales ai + aj divide a sA. Encontrar todos los conjuntos A de cuatro enteros positivos distintospara los cuales se alcanza el mayor valor posible de nA.

Problema 2. Sea S un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En S no hay tres puntoscolineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta ` que pasa por un único punto Pde S. Se rota ` en el sentido de las manecillas del reloj con centro en P hasta que la recta encuentrepor primera vez otro punto de S al cual llamaremos Q. Con Q como nuevo centro se sigue rotandola recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de S. Esteproceso continúa indefinidamente.Demostrar que se puede elegir un punto P de S y una recta ` que pasa por P tales que el remolinoque resulta usa cada punto de S como centro de rotación un número infinito de veces.

Problema 3. Sea f una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface

f(x+ y) ≤ yf(x) + f(f(x))

para todo par de números reales x, y. Demostrar que f(x) = 0 para todo x ≤ 0.

Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutosCada problema vale 7 puntos

24

Language: Spanish

Day: 2

Martes, 19 de julio de 2011

Problema 4. Sea n > 0 un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de n pesas cuyospesos son 20, 21, . . . , 2n−1. Debemos colocar cada una de las n pesas en la balanza, una tras otra, demanera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cadapaso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en elplatillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas.Determinar el número de formas en las que esto se puede hacer.

Problema 5. Sea f una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Sesupone que para cualesquiera dos enteros m y n, la diferencia f(m)− f(n) es divisible por f(m−n).Demostrar que para todos los enteros m y n con f(m) ≤ f(n), el número f(n) es divisible por f(m).

Problema 6. Sea ABC un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es Γ. Sea ` unarecta tangente a Γ, y sean `a, `b y `c las rectas que se obtienen al reflejar ` con respecto a lasrectas BC, CA y AB, respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulodeterminado por las rectas `a, `b y `c es tangente a la circunferencia Γ.

Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutosCada problema vale 7 puntos

25

Martes 27 de setiembre de 2011

Prueba

Dıa 1

Problema 1. En la pizarra esta escrito el numero 2. Ana y Bruno juegan alterna-damente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el numero escritopor el que se obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones:multiplicarlo por 2, o multiplicarlo por 3, o sumarle 1. El primero que obtenga unresultado mayor o igual que 2011 gana. Hallar cual de los dos tiene una estrategiaganadora y describir dicha estrategia.

Problema 2. Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales existen tresnumeros enteros no nulos x, y, z tales que

x+ y + z = 0 y1

x+

1

y+

1

z=

1

n.

Problema 3. Sea ABC un triangulo y sean X, Y, Z los puntos de tangencia de sucircunferencia inscrita con los lados BC,CA,AB, respectivamente. Suponga queC1, C2, C3 son circunferencias con cuerdas Y Z,ZX,XY , respectivamente, talesque C1 y C2 se corten sobre la recta CZ y que C1 y C3 se corten sobre la rectaBY . Suponga que C1 corta a las cuerdas XY y ZX en J y M , respectivamente;que C2 corta a las cuerdas Y Z y XY en L e I, respectivamente; y que C3 cortaa las cuerdas Y Z y ZX en K y N , respectivamente. Demostrar que I, J , K, L,M , N estan sobre una misma circunferencia.

Tiempo: 4 horas y 30 minutosCada problema vale 7 puntos

26

Miercoles 28 de setiembre de 2011

Prueba

Dıa 2

Problema 4. Sea ABC un triangulo acutangulo, con AC = BC, y sea O sucircuncentro. Sean P y Q puntos tales que BOAP y COPQ son paralelogramos.Demostrar que Q es el ortocentro de ABC.

Problema 5. Sean x1, . . . , xn numeros reales positivos. Demostrar que existena1, . . . , an ∈ {−1, 1} tales que

a1x21 + · · ·+ anx

2n ≥ (a1x1 + · · ·+ anxn)

2.

Problema 6. Sean k y n enteros positivos, con k ≥ 2. En una lınea recta se tienenkn piedras de k colores diferentes de tal forma que hay n piedras de cada color.Un paso consiste en intercambiar de posicion dos piedras adyacentes. Encontrarel menor entero positivo m tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo mpasos, que las n piedras de cada color queden seguidas si:a) n es par.b) n es impar y k = 3.

Tiempo: 4 horas y 30 minutosCada problema vale 7 puntos

27

Columna de Problemas No. 6 (Soluciones)

Problema 27

Considerar las permutaciones

σ1 =(

1 2 3 4 · · · 19 20a1 a2 a3 a4 · · · a19 a20

)σ2 =

(1 2 3 4 · · · 19 20a19 a20 a17 a18 · · · a1 a2

).

Mostrar que si σ1 tiene a lo sumo 100 inversiones, entonces σ2 tambien tiene a lo sumo 100 inver-siones.

Nota: Una inversion en una permutacion σ es un par (i, j) tal que i < j y σ(i) > σ(j).

Fuente: Olimpiada Rumana, 1979.

Solucion de Daniel Campos (Universidad de Costa Rica)

Sean i, j enteros positivos, 1 ≤ i < j ≤ 20. Note que si i es impar entonces (i, j) es una inversionde σ2 si y solo si j = i + 1 y el par (i, j) es una inversion de σ1 o si (i, j) no es una inversion de σ1.Si i es par entonces (i, j) es una inversion de σ2 si y solo si (i, j) no es una inversion de σ1. De estamanera la maxima cantidad de inversiones para σ2 es((

202

)− 100

)+ 10 = 100,

y ası concluye la prueba.

28

Problema 28

Demostrar que todo numero perfecto divisible por 2011 debe ser divisible por 20112.

Fuente: Original de Daniel Campos (Universidad de Costa Rica)

Solucion del autor

Suponga que existe un numero perfecto n que es divisible por 2011 pero no por 20112. Sea n =2011pα1

1 · · · pαmm , con pi primo y αi entero positivo, 1 ≤ i ≤ m. Un numero perfecto satisface queσ(n) = 2n, donde σ es la suma de todos los divisores positivos de un numero. De esta manera laecuacion se reescribe como

2 =(

1 +1

2011

) m∏i=1

(1 +

1pi

+ ...+1pαii

).

Note que 1+ 12011 = 22·503

2011 , de manera que 2·503 divide a n. Supongamos sin perdida de generalidadque p1 = 2 y p2 = 503. Esto implica que

2 ≥(

1 +1

2011

)(1 +

1503

)(1 +

12

+ ...+1

2α1

)=

2012 · 5042011 · 503

(2− 1

2α1

),

o bien 2α1 ≤ 10085 < 28, y ası se sigue que 1 ≤ α1 ≤ 7. Si α1 es impar se sigue que 3 divide al numerador

de(1 + 1

2 + ...+ 12α1

), y por lo tanto 3 divide a n. Esto implica que

2 ≥(

1 +1

2011

)(1 +

12

)(1 +

13

)= 2

(1 +

12011

),

lo cual es una contradiccion. Por lo tanto α1 ∈ {2, 4, 6}. Para α1 igual a 2, 4, 6 se obtiene que 7, 31, 127dividen a n, respectivamente. Para α1 = 2 se tiene que

2 ≥(

1 +1

2011

)(1 +

12

+14

)(1 +

17

)= 2

(1 +

12011

),

lo cual es una contradiccion. Los casos α1 = 4 y α1 = 6 se descartan de la misma forma y ası concluyeel problema.

29

Solucion de Jose Madrid y Gerardo Urbina (El Salvador)

Supongamos que el numero perfecto que cumple ser divisible por 2011 es par. Es conocido que todonumero perfecto par es de la forma n = 2p−1(2p − 1) con p primo. Entonces 2011|2p−1(2p − 1), peromcd(2011, 2) = 1 de donde 2011|2p − 1, es decir 2p ≡ 1 (mod 2011).

Claramente p 6= 2 ası que podemos tomar p = 2k+ 1: 22k · 2 ≡ 1 (mod 2011). Pero 2011 es primoy ademas

(22k

2011

)= 1 y

(1

2011

)= 1, donde el parentesis denota el sımbolo de Legendre. Y como el

producto de un residuo por un no residuo es un no residuo, y el producto de dos residuos es un residuomodulo un primo, queda

(2

2011

)= 1.

Pero es conocido que:(

2p

)= 1 si y solo si p = 8k′ ± 1 para algun k′. Ya que 2011 = 8 · 251 + 3,

esto es una contradiccion. Entonces el numero perfecto debe ser impar. Ahora, es conocido que todonumero perfecto impar es de la forma n = qαp2e1

1 · · · p2ekk , con q ≡ α ≡ 1 (mod 4) y q, pi primos.

Ahora, si 2011|n, como 2011 = 4 · 503− 1 esto implica que 2011 6= q, ası que 2011 es alguno de los pi,haciendo que su exponente sea par, o sea 20112|n.

Recibida tambien una solucion de Ervin Ramırez (National Taiwan University)

N. del E.: Observar que la solucion de Campos es mas elemental puesto que utiliza unicamente ladefinicion de numero perfecto y no requiere de las propiedades satisfechas por numeros perfectos parese impares.

30

Problema 29

Probar que la serie∞∑n=3

1(log log n)logn

es convergente.

Fuente: Gelca, Andreescu, Putnam and Beyond, Springer, 2007.

Solucion de Daniel Campos Salas (Universidad de Costa Rica)

Note que los terminos de la serie forman una sucesion decreciente. Por el criterio de condensacionde Cauchy la serie converge si y solo si la serie

∞∑k=2

1log(k log 2)k log 2

es convergente. Note que la desigualdad log 2 > 12 implica que

log(k log 2) = log k + log(log 2) ≥ log k − 1,

y ası para k ≥ 3 se cumple que

1log(k log 2)k log 2

<1

(log k − 1)k/2.

Por lo tanto es suficiente demostrar que la serie

∞∑k=3

1(log k − 1)k/2

es convergente. Este resultado se sigue del criterio de la raız, y ası concluye la prueba.

Recibida tambien una solucion de Ervin Ramırez (National Taiwan University)

31

Problema 30

Si p es un primo, probar que todo grupo finito de orden p2 es necesariamente abeliano.

Fuente: Folclor

Solucion de Daniel Campos (Universidad de Costa Rica)

Es claro que si G es cıclico entonces es abeliano. Luego, suponga que G no es cıclico, y por lotanto todo elemento no trivial de G tiene orden p. Sean a, b ∈ G tales que 〈a〉 ∩ 〈b〉 = 1, donde 1 es elelemento neutro de G. Es facil demostrar que los conjuntos

G1 = {ambn : 0 ≤ m,n ≤ p− 1} y G2 = {bman : 0 ≤ m,n ≤ p− 1}

son en efecto G, pues contienen p2 elementos distintos de G. Note que es suficiente demostrar que a yb conmutan, ya que todo elemento de G se puede escribir como un producto de ellos.

Llamaremos n-esima fila de los conjuntos G1 y G2 a los subconjuntos

{abn, a2bn, ..., ap−1bn} y {bna, bna2, ..., bnap−1}, 1 ≤ n ≤ p− 1

respectivamente. Se va a probar que existe un entero k tal que b−1ab = ak, con 1 6= a ∈ 〈a〉, y en estecaso k = 1.

Si las primeras filas de G1 y G2 no son disjuntas el resultado es claro. Si las primeras filas de G1 yG2 son disjuntas, entonces al menos dos elementos distintos de la primera fila de G2 pertenecen a unamisma fila de G1. En este caso supongamos que se tiene

bak1 = am1bn y bak2 = am2bn,

para ki,mi, n (i = 1, 2) enteros positivos entre 1 y p− 1. De lo anterior se obtiene que

bak1−k2b−1 = (bak1)(bak2)−1 = (am1bn)(am2bn)−1 = am1−m2 ,

como se querıa.

Por induccion se puede demostrar que b−1arb = akr y b−sabs = aks

. Tomando s = p en la identidadanterior se obtiene que

a = b−pabp = akp

= ak,

pues kp ≡ k (mod p), por el pequeno teorema de Fermat. Lo anterior implica que b−1ab = a, que eralo que se querıa.

Finalmente, como a 6= 1, existe un entero m tal que a = am. Esto implica que

b−1ab = (b−1ab)m = am = a,

de donde resulta que a y b conmutan y ası concluye la prueba.

32

Solucion de Ervin Ramırez (National Taiwan University)

Sea G un grupo finito de orden p2. Si G no es abeliano, su centro Z(G) es un subgrupo propio talque |Z(G)| = 1 o p, de acuerdo al teorema de Lagrange. Pero, por teorema, G es un p-grupo y todop-grupo con mas de un elemento cumple que su centro Z(G) es diferente de uno. Entonces |Z(G)| = p.

El centro siempre es un subgrupo normal, entonces el cociente G/Z(G) esta definido y como es deorden p, entonces G/Z(G) es cıclico y, por teorema, G es abeliano. Contradiccion. Deducimos que Ges abeliano.

Notas del editor:

El resultado utilizado en la ultima parte dice que si G es un grupo tal que G/Z(G) es cıclico, Ges necesariamente abeliano. Este es un ejercicio sencillo para el lector.

Como se vio arriba, todo grupo de orden p2 es isomorfo a Z/pZ o bien a Z/pZ⊕ Z/pZ. Este esun caso particular del problema mas general de la clasificacion de grupos finitos.

33

Columna de Problemas No. 7

26A. Sea D un punto en el lado AB del triangulo no obtusangulo ABC tal que AD = CB y ademas3∠CBA = 2∠ACD. Probar que AC es perpendicular a CB.

Sugerido por Rufo Casco, Universidad Nacional de Ingenierıa (Nicaragua)

31. Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuacion y2 = x3 + 7.

Sugerido por el editor

32. Se define la sucesion {xn}n≥0 como sigue: x0 = x1 = 1 y para todo n ≥ 1

xn+1 =x2n

xn−1 + 2xn.

Hallar xn en funcion de n.

Original del editor

33. Sea ABC un triangulo de incentro I. Las perpendiculares trazadas por I a IA, IB, IC cortan auna tangente dada a la circunferencia inscrita en P , Q, R respectivamente. Demostrar que AP ,BQ y CR son concurrentes.

Original de Rufo Casco, Universidad Nacional de Ingenierıa (Nicaragua)

34. Sea a > 1 un numero real positivo. Determinar el valor de a de modo que la grafica de la funcionf(x) = ax sea tangente a la grafica de la funcion inversa de f .

Original de Oscar Olmedo, Instituto Nacional Jorge Eliseo Azucena Ortega, Chalchuapa

35. Demostrar la identidad

d

dx

n−1∏k=0

(a− 2

√x cos

2k + 12n

)= −n

n−2∏k=1

(a− 2

√x cos

kπ

n− 1

).

Sugerido por Ervin Ramırez, National Taiwan University

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Cafe Matematico No. 7Curiosidades del mes

El cubo de Metatron

Este misterioso diagrama esta formado por 13 circunferencias junto con las lıneas que unen suscentros. Tiene la interesante propiedad de “contener” los 5 solidos platonicos: tetraedro, cubo, octaedro,dodecaedro e icosaedro (hablando en rigor, contiene las proyecciones de los primeros tres, mas no las delresto). Metatron es un arcangel mencionado en algunas fuentes ocultas del cristianismo y judaısmo, ysupuestamente ocupa uno de los puestos mas altos de la jerarquıa celestial. Ademas los 13 cırculos (sinlas lıneas) forman una configuracion especial llamada flor de la vida. Al parecer estas figuras poseenun fuerte significado esoterico y son consideradas por algunos como “geometrıa sagrada”.

La ley de grupo

¿Sabıa que es posible sumar puntos sobre la grafica de una ecuacion cubica, al igual que en larecta real? La operacion, en un caso particular, consiste en unir dos puntos cualesquiera de la graficamediante una recta, tomar el punto de interseccion de dicha recta con la grafica y luego reflejarlo sobreel eje x, tal y como se muestra en la figura. Por cierto, la ecuacion debe satisfacer ciertas propiedadesespeciales (concretamente ser una curva elıptica: una curva proyectiva regular de genero 1).

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La justificacion de este hecho es la llamada ley de grupo de las curvas elıpticas: Toda curva elıpticaes isomorfa a su variedad de Jacobi, que es un grupo abeliano, y hereda de esta una operacion que laconvierte en un grupo (y de hecho en una variedad abeliana).

El fiasco de los trierniones

En un hecho que puso en duda la divulgacion de las matematicas en esta parte del mundo, la prensamexicana retomo el mes anterior el supuesto descubrimiento de un “nuevo sistema matematico” quegeneraliza los numeros complejos a tres dimensiones. Los trierniones, como fueron bautizados por sudescubridor, tendrıan una parte real y dos imaginarias y formarıan un cuerpo de dimension real 3 quecontiene a C.

Lamentablemente los trierniones tal y como los definio su autor no existen: Es imposible encontraruna extension finita F/C con [F : R] > 2, ya que C es algebraicamente cerrado y automaticamenteF = C. Mas aun, la idea de un numero con “una parte real y dos imaginarias” no es nueva; estosya habıan sido estudiados en 2002 por el matematico rumano Silviu Olariu. Al ser definidos correcta-mente, los numeros tricomplejos de Olariu forman un algebra asociativa, conmutativa y de dimensionreal 3.

En cualquier caso no tendremos la oportunidad de observar a los trierniones en el plano de Argand-Morales del Rıo, o mejor dicho en C. El editor opina que El Salvador deberıa de unirse a esta carrerade reclamaciones territoriales en la matematica (¿que tal la geometrıa de Euclides-Aguilar?)

Mas informacion

The flower of life, World-Mysteries.com, consultado el 19/12/ 2011.http://www.world-mysteries.com/sar sage1.htm

Silverman, J.H., The arithmetic of elliptic curves, GTM, 2a ed., Springer, 2009.

Mexicano descubre nuevo sistema matematico, El Universal, 18/11/2011, consultado el 19/12/2011.http://www.eluniversal.com.mx/articulos/67301.html

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