Revista INGENIERIA - Artículos Varios de PID POMTM

8/19/2019 Revista INGENIERIA - Artículos Varios de PID POMTM

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Sintonización de controladores PI y PID utilizandomodelos de polo doble mas tiempo muerto.

Resumen

Se presentan nuevas reglas para la sintonización de controladores PI y PID que optimizan loscriterios de error integral IAE e ITAE, con base en un modelo de segundo orden polo doble! m"stiempo muerto# $ediante comparación por simulación, se muestran las venta%as obtenidas alutilizar estas nuevas ecuaciones sobre las que emplean modelos de primer orden#

I'TR(D)**I+'

a sintonización del controlador de un lazo de control realimentado como el mostrado en la -igura&, requiere que se establezca primeramente el tipo de .uncionamiento esperado del lazo de control,esto es, si su respuesta y debe seguir los cambios en el valor deseado r servomecanismo!, o si

m"s bien es de mayor importancia su respuesta ante cambios en las perturbaciones de carga zregulador!, as/ como la .orma en que se espera realice esto# Debe, por lo tanto, establecerse elcomportamiento deseado de la salida del lazo de control, ante los cambios en sus entradas#

)na .orma 0abitual de especi.icar el comportamiento deseado del lazo de control, es requerir queel mismo optimice alguna .unción de costo dependiente del error# as m"s utilizadas son laintegral del error absoluto (IAE) y la integral del tiempo por el error absoluto (ITAE)# Adem"s,es necesario tener in.ormación del comportamiento din"mico del proceso controlado, el cualnormalmente est" representado por un modelo de orden reducido#

1-I2)RA & ($ITIR3

as reglas para la sintonización del controlador 2cs! depender"n entonces de su tipo PI o PID!,de la in.ormación del proceso contenida en el modelo 12#sub#p3s!, del /ndice de desempe4ooptimizado IAE o ITAE! y del .uncionamiento primordial del lazo de control servomecanismo oregulador!#

5# SI'T('I6A*I+' DE (S *('TR(AD(RES

En la literatura t7cnica se puede encontrar una gran cantidad de reglas para la sintonización de

12#sub#cPI3s! 8 19#sub#c3 & : &;1T#sub#i3s! &!

PID3 t1valor absoluto et!3dt @!


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a partir de un modelo de primer orden m"s tiempo muerto

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 !

como las de Al.aro 5>>=!, Arrieta Al.aro 5>>=!, 9aya S0eib &FGG!, ópez et al &FH!, yRovira et al &FF! entre otras# a mayor/a de estas son aplicables para un tiempo muertonormalizado del modelo en el "mbito >,&> 1menor que o igual a3 1t#sub#m3 ; 1tau3 1menor que o igual

a3 &,>, aunque las de Al.aro se pueden utilizar en un "mbito m"s amplio >,>@ 1menor que o igual a31t#sub#m3 ; 1tau3 1menor que o igual a35,>#

Este tipo de reglas es abundante por la .acilidad con que se puede identi.icar el modelo de primerorden m"s tiempo muerto, ya sea a partir de su curva de reacción, o con la in.ormación cr/tica dellazo de control obtenida con un controlador P#

Sin embargo, para modelos de orden superior, la cantidad de reglas de sintonización que optimizanun criterio de error integral encontradas en la literatura, es considerablemente menor# Adem"s, lasepresiones de las ecuaciones para el c"lculo de los par"metros del controlador sonsigni.icativamente m"s comple%as# Entre estas se pueden citar las reglas de JKang &FF@! y las de

Sung et al &FF! a partir de modelos de segundo orden m"s tiempo muerto#

(LDKyer 5>>>! presenta una recopilación bastante amplia de procedimientos de sintonización decontroladores a partir de diversos modelos y con criterios de desempe4o dis/miles#

=# ')EMAS RE2AS DE SI'T('I6A*I+'

*uando el proceso controlado es de orden dos o superior, y adem"s tiene dos constantes detiempo signi.icativamente mayores que las dem"s, un modelo de segundo orden de polo doble m"stiempo muerto dado por la epresión H!N

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 H!

usualmente permite una me%or representación de las caracter/sticas din"micas del proceso# Adem"s, este modelo tiene la venta%a de poderse identi.icar con la misma in.ormación con que seidenti.ica el modelo de primer orden m"s tiempo muerto, por contar con igual cantidad depar"metros#

Aprovec0ando la bondad y simplicidad del modelo de polo doble, Solera 5>>@! desarrolló unnuevo con%unto de reglas para la sintonización de controladores PI y PID operando comoservomecanismo y como regulador, para valores del tiempo muerto normalizado 11tau3L#sub#>3 81tL#sub#m3 ; 1tau3L! en el "mbito >#>@ 1menor que o igual a3 11tau3L#sub#>3 1menor que o igual a3 5#> queoptimizan los criterios de error integral IAE e ITAE# A continuación se presentan las ecuaciones del

nuevo procedimiento para el c"lculo de los par"metros de los controladores y m"s adelante secompara el comportamiento de los lazos de control sintonizados con estas reglas, con el obtenidocon los controladores sintonizados con reglas similares, pero que emplean modelos de primerorden#

=#& Ecuaciones

Identi.icado un modelo de polo doble para el proceso dado por H!, los par"metros normalizados delos controladores se obtienen con las ecuaciones G! y F!#

O *ontroladores PI

19#sub#c3 1#sub#p3 8 a : b11tau3#sup#c#sub#o3 1T#sub#i3;1tau3 8 d : e11tau3#sup#.#sub#o3 G!

O *ontroladores PID Ideal o Serie!


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1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 F!

donde las constantes a a i se muestran en el *uadro & para el caso del regulador y en el *uadro 5,para el del servomecanismo#

=#5 E%emplo

)n estudio comparativo del comportamiento din"mico de los lazos de control con un controladorsintonizado con el nuevo procedimiento, con el obtenido cuando se emplea una regla que utiliza unmodelo de primer orden, permitió comprobar sus bondades#

a planta utilizada y los modelos identi.icados para la misma se muestran en el Aneo A# A partir deestos se calcularon los par"metros de los controladores PI y PID empleando las reglas de Arrieta5>>=! con el modelo de primer orden m"s tiempo muerto, y las desarrolladas por Solera utilizandoel modelo de polo doble m"s tiempo muerto, tanto para el criterio IAE como el ITAE, para el casodel servomecanismo y del regulador#

En el *uadro = se resumen los resultados comparativos para el caso particular de los

controladores PI y PID optimizados ba%o el /ndice ITAE ante un cambio escalón en el valor deseadoservomecanismo!, y en el *uadro ?, las caracter/sticas de las respuestas a un cambio escalón enla perturbación regulador!#

os resultados muestran claramente cómo eisten di.erencias entre el comportamiento din"micoque se obtiene cuando los controladores se sintonizan utilizando la in.ormación de un modelo deprimer orden, con el logrado a partir del modelo de polo doble, as/ como entre el desempe4o dellazo con un controlador PI respecto al del lazo con un PID# *omo se observa, esta di.erencia esm"s signi.icativa en el caso del regulador# Si se comparan para las cuatro plantas de pruebautilizadas, los valores del /ndice ITAE de la respuesta del servomecanismo con controladores PI, sepuede apreciar que la disminución en este /ndice, al emplear el modelo de polo doble, es enpromedio apenas un & Q# En este caso no 0ay venta%a signi.icativa en emplear el modelo de orden

mayor# En el caso del regulador con el controlador PI, se obtienen disminuciones en el /ndice ITAEmayores, entre el 5 Q y el &= Q# *on el controlador PID, la reducción en el /ndice ITAE comoservomecanismo var/a entre un 5@ Q y un > Q y en el caso del regulador entre un 5@ Q y un G>Q# Esto representa una me%ora sustancial en el comportamiento del lazo de control#

1-I2)RA 5 ($ITIR3

1-I2)RA = ($ITIR3

*omo se puede observar en los cuadros comparativos, las respuestas obtenidas con el controlador PID sintonizado con el nuevo procedimiento, son las que tienen, en todos los casos, el menor

sobrepaso o error m"imo, el menor tiempo al pico, el menor tiempo de asentamiento y el menor/ndice de error integral# En resumen, estas son las me%ores respuestas para el regulador y para elservomecanismo, por lo que se 0an destacado ligeramente sobre las dem"s# o anterior se apreciaclaramente en las -iguras 5 y = en donde se muestran las respuestas a un cambio escalón en elvalor deseado y en la perturbación para la planta con 11tau3#sub#p3 8 >,@>#

*('*)SI('ES

os resultados de las pruebas comparativas e.ectuadas con.irman que la eactitud con que elmodelo utilizado para la sintonización de los controladores representa al proceso controlado, a.ectael desempe4o del sistema de control obtenido# Por esta razón, es recomendable emplear en loposible, un modelo de segundo orden polo doble! m"s tiempo muerto para la sintonización de los

controladores, en vez de un modelo de primer orden m"s simple#


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5# *on base en estas mismas pruebas, se puede a.irmar que esta me%ora en el desempe4o dellazo de control es mayor cuando se utiliza un controlador PID, tanto ante un cambio en el valordeseado como a uno en las perturbaciones de carga#

=# as ecuaciones deducidas para sintonizar los controladores a partir del modelo de polo doble,son muy simples y de ."cil utilización, se puede apreciar de las epresiones presentadas en laSección =#

?# Por lo tanto, como la identi.icación de los par"metros del modelo de polo doble no presentaninguna di.icultad adicional, respecto a la identi.icación de los modelos de primer orden, serecomienda el uso de las nuevas reglas presentadas para la sintonización de los controladores yen especial para la de los PID, como una manera de lograr un me%or desempe4o del lazo decontrol con base en los criterios de error integral IAE e ITAE#

SIMBOLOGÍA

e(t) señal de error

[e.sub.max] error máximo

[G.sub.c](s) u!ci"! de tra!sere!cia del co!trolador

[G.sub.#](s) u!ci"! de tra!sere!cia del modelo

[$.sub.c] %a!a!cia del co!trolador

[&.sub.#] %a!a!cia estática del modelo

IA' i!te%ral del error absoluto

IA' i!te%ral del tiem#o #or el error absoluto

[M.sub.#] sobre#aso máximo

r(t) *alor deseado

s *ariable com#le+a

[tau], [tau]- co!sta!te de tiem#o del modelo

[[tau].sub.], [[tau]-.sub.] tiem#o muerto relati*o del modelo

[t.sub.a]/ tiem#o de ase!tamie!to

[.sub.d] tiem#o deri*ati*o del co!trolador

[.sub.i] tiem#o i!te%ral del co!trolador

[t.sub.m], [t-.sub.m] tiem#o muerto a#are!te del modelo

[t.sub.#] tiem#o al #ico

0(t) *ariable co!trolada

1(t) #erturbaci"!

RecibidoN & de marzo del 5>> O AprobadoN 5& de marzo del 5>>

RE-ERE'*IAS CICI(2RB-I*AS

Al.aro, M# $# 5>>=!# (ptimización del desempe4o de los reguladores y servomecanismos PID# Ingenier/a, &=&,5!, @=


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Arrieta, (# 5>>=!# *omparación del desempe4o de los m7todos de sintonización de controladores PI y PID basados encriterios integrales# Proyecto de graduación para optar por el grado de Cac0iller en Ingenier/a El7ctrica, Escuela deIngenier/a El7ctrica, )niversidad de *osta Rica, San os7, *osta Rica#

Arrieta, (# Al.aro, M# $# 5>>=!# Sintonización de controladores PI y PID utilizando los criterios integrales IAE e ITAE#Ingenier/a, &=&, 5!, =&s3;15s : &!s : &!11tau3#sub#p3 s : &!11tau3#sup#5#sub#p3s : &!11tau3#sup#=#sub#p3s : &!3 A#&!

con 11tau3#sub#p3 8 >,5@U >,@>U >,H@ y &,>

os par"metros de los modelos de primer orden y polo doble m"s tiempo muerto identi.icados con el m7todo V&;? u =;?Vde Al.aro, se muestran en el *uadro A#&

2uadro A.3. 4arámetros de los modelos.

4la!ta 4rimer orde! 5 [t.sub.m]

[[tau].sub.#] [&.sub.#] [t.sub.m] [tau] [[tau].sub.]

,/6 3, 3,// /,73 ,63

,6 3, 3,8 /,6 ,9: ,86 3, /,;< /,8; ,:: 3, 3, ;,// ;,/9 ,


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Ingeniera El7ctrica#

Estudiante de icenciatura en Ingenier/a El7ctrica,

)niversidad de *osta Rica#

Tel7.onoN GF@

-acs/milN ??&H#=GF5

-acs/milN 5>H#=F5>

Apartado postal 5 5>>)*R, San os7, *osta

Rica#

*orreo electrónicoN val.aroWeie#ucr#ac#cr

2uadro 3. 2o!sta!tes de las ecuacio!es de si!to!i1aci"!. ?e%uladores.

@mbito a b c

,6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] ,3/;7 3,97 ,


7/40

[me!or ue o i%ual a] /,

2o!trolador 4IC Ideal u 2riterio IA'

,6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] 3,3


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@mbito a b c

2o!trolador 4I 2riterio IA'

,6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] , ,:9/< ,6:37 [me!or ue o i%ual a] ,96

,96 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] , ,:9/< ,6:38

[me!or ue o i%ual a] /,

2o!trolador 4I 2riterio IA'

,6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] , ,9788 ,7


9/40

,;6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] 3,8


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,96 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] ,79/< ,3737 3,/86 [me!or ue o i%ual a] /,

2o!trolador 4IC Serie 2riterio IA'

,6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] , 3,88 ,//36 [me!or ue o i%ual a] ,76

,96 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] , 3,88 ,//36 [me!or ue o i%ual a] /,

2o!trolador 4IC Serie 2riterio IA'

,6 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] ,873< ,;/; ,6;;9 [me!or ue o i%ual a] ,36

,36 [me!or ue o i%ual a] [[tau].sub.] ,873< ,;/; ,6;;9 [me!or ue o i%ual a] /,

=ue!te> (Solera, /6)

2uadro ;. 2om#ortamie!to di!ámico del ser*omeca!ismo.

MEtodo de Arrieta

[[tau].sub.#] 2o!t. [M.sub.#] [t.sub.#] [t.sub.a/] IA'

,/6 4I


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,/6 4I ,73 ;,;9 3/,9; 9,87 4IC ,/< /,:/ :,;9 ;,;<,6 4I ,6 7,76 39,;9 37,77 4IC ,;8 ;,8/ 3,8; 8,/,86 4I ,9 9, /3,:/ /


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a obtención de la in.ormación din"mica del proceso requiere que 7ste sea ecitado de alguna .orma y que tanto laentrada aplicada as/ como la respuesta del proceso, sean registradas# Por estas razones resulta necesario realizar unaprueba eperimental que permita identi.icar un modelo din"mico para el proceso#

as t7cnicas de identi.icación eperimental, que nos interesan, pueden clasi.icarse enN

O $7todos basados en la curva de reacción del proceso respuesta al escalón!

O $7todos de oscilación mantenida

O $7todos de realimentación con rel7

O $7todos de control P

os m7todos basados en la curva de reacción del proceso son m7todos de lazo abierto, el controlador puede o no estarinstalado y si lo est" operar" de modo VmanualV durante la prueba#

os dem"s m7todos son del tipo de lazo cerrado, en donde el controlador se encuentra operando en Vautom"ticoV#

as t7cnicas de identi.icación citadas anteriormente se basan, en consecuencia, en la curva de respuesta del proceso

obtenida a lazo abierto o lazo cerrado y son procedimientos esencialmente gr".icos# (tros procedimientos que utilizansecuencias binarias seudo


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O $7todos de control P utan y Rodr/guez, ee, uKana y Seborg!

=#& $XT(D(S PARA A (CTE'*I+' DE A I'-(R$A*I+' VZTI$AV

Se denomina in.ormación Yltima o cr/tica a la que se obtiene de la operación del sistema de control en el l/mite de suestabilidad# Esta in.ormación


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Jo utiliza la in.ormación Yltima para identi.icar un modelo con un polo doble m"s tiempo muerto dado porN

F! 1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3

$ediante las siguientes ecuacionesN

&>! 1tau3L 8 1T#sub#u3;51pi3 1ra/z cuadrada de 19#sub#cu31#sub#p3 < &3

&&! 1t#sub#m3 8 1T#sub#u3;51pi311pi3 < 51tan#sup#


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a ganancia del modelo de la planta se puede identi.icar utilizando !, y la constante de tiempo y el tiempo muertoaparente deN

&! 9 8 19#sub#c31#sub#p3

&H! 1tau3 8 1DETA3t;1pi3 11zeta31ra/z cuadrada de 9 : &3 : 1ra/z cuadrada de 11zeta3#sup#53 9 : &! : 9331ra/z cuadrada de &< 11zeta3#sup#53!9 : &!3

&G! 1t#sub#m3 8 51DETA3t 1ra/z cuadrada de & < 11zeta3#sup#53!9 : &!;1pi3 11zeta3 1ra/z cuadrada de 9 : &3 : 1ra/z cuadradade 11zeta3#sup#53 9 : &! : 933

&F! DondeN 1zeta3 8 11zeta3#sub#&3 : 11zeta3#sub#53!;5

5>! 11zeta3#sub#&3 8


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a ganancia se obtiene con ! y la constante de tiempo y el tiempo muerto deN

5H! 1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3

5G! 1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3

5F! Donde 1al.a3 8 1zeta3;1tau3L y 1beta3 8 1ra/z cuadrada de & < 11zeta3#sup#533;1tau3L

a ecuación 5H! es no lineal y debe resolverse en .orma iterativa utilizando el siguiente algoritmoN

=>! 1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3

Inici"ndolo conN

1t#sub#m#>3 8 1/psilon3 : 1pi3;?!;1beta3

)na vez que =>! conver%a, el valor obtenido del tiempo muerto 1t#sub#m3 se utiliza para calcular la constante de tiempo1tau3 con 5G!#

?# PR)ECAS *($PARATIMAS P(R SI$)A*I+'

a bondad de las t7cnicas de identi.icación descritas anteriormente se evaluó mediante la simulación digital, tanto de lasplantas de prueba como de los modelos identi.icados, para ello se utilizó el programa MisSim =#> 1&=3#

?#& PA'TAS DE PR)ECA

a selección de las plantas empleadas para las pruebas comparativas se basó en las plantas utilizadas para tal .in enotras investigaciones 1?, , H, G#@,>,@,5#>

=5! 12#sub#p53s! 8 &;>#5s:&!>,@s:&!s:&!

==! 12#sub#p=3s! 8 &;>,&s:&!>,5s:&!>,@s:&!s:&!5s:&!

=?! 12#sub#p?3s! 8 1e#sup#,==s : &!>,@ : &!s : &!

?#5 \'DI*ES DE DESE$PE](

De.iniendo el Verror de predicciónV de un modelo como la di.erencia entre la salida de la planta y la predic0a por 7ste, seestablecieron los siguientes /ndices de desempe4oN

Integral del error de predicción absoluto

=@! 1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3

Integral del error de predicción cuadr"tico

=! 1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3

En donde 1y#sub#p3t! es la salida de la planta, y 1y#sub#m3t! la del modelo identi.icado para la misma#

El /ndice IEAP representa el "rea di.erencial entre la respuesta de la planta y la del modelo, de manera que si la IEAP1.lec0a diestra3 > entonces 1y#sub#m3t! 1.lec0a diestra3 1y#sub#p3t!#

*uanto menor sea este /ndice de desempe4o me%or ser" la representación dada por el modelo#

El /ndice IE*P da mayor peso a las desviaciones grandes que a las peque4as, por ello considerando dos modelos queposean valores del IEAP similares, el que posea un menor IE*P predecir" la salida de la planta con desviacionesm"imas menores#


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*omo la evaluación 0asta el in.inito de los /ndices =@! y =! es imposible de realizar, 7stos se evaluar"n para unintervalo de tiempo

entre > y &> 11tau3#sub#T3 , siendo 11tau3#sub#T3 : 1n#suma de i8&3 11tau3#sub#i3 el

sumatorio de las constantes de tiempo de la planta#

?#= PARB$ETR(S +PTI$(S DE (S $(DE(S

os /ndices de desempe4o de.inidos en 1?#53 permiten realizar una comparación entre los di.erentes modelosidenti.icados para una planta en particular, pero m"s importante que su cuanti.icación para un modelo dado, es su valorrelativo respecto al de otro#

Para establecer un valor o /ndice de re.erencia que compare la bondad de los modelos, se identi.icaron los par"metrosdel modelo de primer y segundo orden m"s tiempo muerto que minimizan el criterio IEAP, y se de.inió el porcenta%e deerror de predicción comoN

=H! PE1P#sub#i3 8 &>> IEA1P#sub#i3 < IEA1P#sub#opt3;IEA1P#sub#opt3

En donde IEA1P#sub#i3 es el valor del /ndice IEAP para un procedimiento de identi.icación en particular, y el IEA1P#sub#opt3el del modelo optimizado para esa misma planta#

?#? RES)TAD(S DE A SI$)A*I+'

as cuatro plantas descritas en 1?#&3 se identi.icaron con los m7todos enumerados en 1=#>3 y su desempe4o .ue evaluadopor medio de los /ndices establecidos en 1?#53#

Para el caso particular de la planta 2p=, en la Tabla 'o# & se muestran los modelos óptimos de primer y segundo ordenm"s tiempo muerto identi.icados y utilizados para medir la bondad de los m7todos de identi.icación comparadosU en laTabla 'o# 5 se indican los par"metros Yltimos obtenidos con esta planta por el m7todo de oscilación mantenida y por elde realimentación con rel7U en la Tabla 'o# = los modelos obtenidos a partir de esta in.ormación y en la Tabla 'o# ? losmodelos obtenidos con las t7cnicas de control P#

?#@ A'BISIS DE (S RES)TAD(S

El an"lisis y la comparación del desempe4o de los m7todos de identi.icación estudiados, consideran los resultadosobtenidos con las cuatro plantas de prueba#

?#@#& $XT(D(S PARA A (CTE'*I+' DE A I'-(R$A*I+' ZTI$A

*omo se puede apreciar en la Tabla 'o# 5, para la planta 12#sub#p=3, los par"metros Yltimos obtenidos por ambosprocedimientos son pr"cticamente los mismos# En el valor del periodo de oscilación la di.erencia es despreciable y en elcaso de la ganancia, el error cometido al emplear el m7todo del rel7 .ue poco m"s del 5Q#

as pruebas demostraron que ambos procedimientos identi.ican casi en .orma id7ntica el periodo de oscilación, y que elerror m"imo en la estimación de la ganancia Yltima cometido con el m7todo de realimentación con rel7 .ue del orden del

?Q#

?#@#5 $XT(D(S CASAD(S E' A I'-(R$A*I+' ZTI$A

Para identi.icar un modelo de primer orden m"s tiempo muerto se utilizó el m7todo de *0en, y el de Jo et al# paraidenti.icar uno con un polo doble#

En cada caso se identi.icaron dos modelos, uno basado en la in.ormación obtenida por el procedimiento de 6iegler y'ic0ols, y el otro por la in.ormación del rel7 de Astr^m y J_gglund#

En el caso del m7todo de *0en, el PEP de ambos modelos .ue muy alto y del mismo orden de magnitud, desde H?>Q0asta m"s de & F>>Q, con una ligera venta%a en el identi.icado a partir de la in.ormación obtenida por el m7todo del rel7#

El modelo de polo doble de Jo mostró ser superior al de *0en con valores del PEP entre el 5=@ Q y el =>Q alcompararse con el modelo óptimo de segundo orden, siendo el modelo identi.icado a partir de la in.ormación del rel7ligeramente me%or en todos los casos# Es importante destacar que si se compara con el modelo óptimo de primer orden,el modelo de polo doble de Jo .ue in.erior en el caso de las dos primeras plantas y ligeramente superior en el caso de lasotras dos#


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El modelo identi.icado por el m7todo de ee y Sung, que los autores proponen emplear a partir de la in.ormación Yltimaobtenida por el m7todo del rel7, tuvo el peor desempe4o entre todos los m7todos de lazo cerrado probados, con valoresdel PEP entre & 5>>Q y 5 5>Q#

?#@#= $XT(D(S DE *('TR( P

os m7todos de utan y Rodr/guez y el de ee .ueron propuestos para me%orar los de uKana y SeborgU los resultadosmuestran que los porcenta%es de error de predicción son en promedio entre un @ Q y un &G Q menores en el caso de

utan y Rodr/guez, y entre un ? Q y un 5? Q en el caso de ee# Es importante notar que bas"ndose en los promedios delPEP, el m7todo de ee resulta ser me%or que el de utan y Rodr/guez aunque 7ste Yltimo es superior al de ee para losvalores ba%os de la ganancia del controlador, deterior"ndose a mayor velocidad con el aumento de la ganancia#

En general, los m7todos de control P mostraron /ndices de PEP altos, entre @=> Q y & F>>Q, segYn el m7todo empleadoy la ganancia del controlador utilizada en la prueba#

En la -ig# 'o# @ se muestra la curva de reacción del proceso %unto con la respuesta de los modelos identi.icados por losm7todos de *0en, utan y Rodr/guez y de Jo polo doble!#

@# *('*)SI('ES

os m7todos de sintonización de controladores parten de un modelo identi.icado para el proceso a controlarU por lo tanto,

la .idelidad con que el modelo represente su din"mica es de primordial importancia para lograr los ob%etivos de controldeseados#

Se considera que la di.erencia entre los valores obtenidos para la in.ormación Yltima 19#sub#cu3 y 1T#sub#T3, por el m7todode oscilación mantenida de 6iegler y 'ic0ols y el del rel7 de Astr^m y J_gglund no es signi.icativa, con la venta%a de queel m7todo del rel7 no requiere llevar el sistema al l/mite de la estabilidad# Este procedimiento de identi.icación 0a sidoincorporado dentro de varios controladores PID comerciales#

Aunque la in.ormación Yltima se obtiene con bastante eactitud mediante cualquiera de los dos procedimientosanteriores, los modelos identi.icados a partir de 7sta por *0en, Jo y ee mostraron resultados in.eriores a losprocedimientos de identi.icación de lazo abierto, por el 0ec0o de que sistemas con comportamientos oscilatorios a lazocerrado similares pueden tener respuestas transitorias de lazo abierto bastante di.erentes#

Para los m7todos con control P, los resultados muestran claramente que la ganancia del controlador incide sobre losresultados obtenidos, a mayor ganancia mayor es el porcenta%e de error de predicción# En conclusión, en estos m7todosdeber" utilizarse la menor ganancia del controlador que produzca una respuesta subamortiguada, en la cual se puedanidenti.icar por lo menos los dos primeros picos, y emplear el m7todo de utan y Rodr/guez para la identi.icación, por norequerir resolver una ecuación no lineal por medios iterativos#

os m7todos de control P incluyen dos aproimaciones en el procedimiento de identi.icación, primero se aproima elsistema de lazo cerrado por un modelo de segundo orden subamortiguado m"s tiempo muerto y luego, utilizando unaaproimación de Pad7 u otra similar para el tiempo muerto, se deriva el modelo del proceso# a acumulación de loserrores introducidos por estas dos aproimaciones les 0ace tener un desempe4o in.erior al de los m7todos de lazoabierto#

Si se comparan los valores de los PEP de los m7todos de identi.icación de lazo cerrado probados aqu/, con los valoresde los m7todos basados en la curva de reacción del proceso comparados por Al.aro1&3 con antelación, es evidente que

estos Yltimos son superiores, ya que en general tienen valores del PEP muc0o menores# Por e%emplo, los modelos deprimer orden m"s tiempo muerto identi.icados con los m7todos de dos puntos Jo, Al.aro, *0en y ang! tuvieron un PEPentre el =Q y el &FQ solamente, en comparación con el PEP de F>>Q del me%or modelo de primer orden identi.icado conlos procedimientos de lazo cerrado#

os resultados permiten recomendar que se emplee un m7todo de identi.icación de lazo abierto y que en los casos enque esto no sea posible, se utilice el m7todo de *0en para identi.icar un modelo de primer orden m"s tiempo muerto o elde Jo para uno de segundo orden m"s tiempo muerto, a partir de la in.ormación Yltima obtenida de la prueba del rel7#

abla Fo 34arámetros de los modelos "#timos res#ecto a la I'A4

Modelo [&.sub.#] [t.sub.m] [[tau].sub.3] [[tau].sub./]

4rimer orde! 3 /.;< 3.6


19/40

Modelo [xeta] [[ome%a].sub.!] I'A4 I'24

4rimer orde! 3.:7


20/40

[$.sub. c] [$.sub.#] [.sub.m] [tau] IA'4 IS'4 4'4

/ 3 3.869 ;./83 3.//8'5 3./;8'3 697 ; 3 3.9// ;.9:8 3.69'5 3.86'3 836 7 3 3.6;8 7.;9 3.88'5 /./7/'3 :68 6 3 3.78/ 7.;79 /.37'5 /.8


21/40

1&@#3 uKana, $# y D#E# Seborg


22/40

Evaluación de los modelos utilizados en losestudios del control PID.

I'TR(D)**I+'

Para poder estudiar el .uncionamiento de los sistemas de control y e.ectuar el dise4o de un controlador proporcionalintegral derivativo PID!, es necesario representar el proceso controlado mediante un modelo# Aunque este puedeobtenerse mediante t7cnicas anal/ticas, es m"s .recuente que sea el resultado de una prueba eperimental#

Estos estudios normalmente incluyen el an"lisis del comportamiento del proceso ante una entrada tipo escalón, ladeterminación de las caracter/sticas del sistema de control en condiciones de oscilación permanente, el an"lisis de suestabilidad y la sintonización del controlador para lograr el .uncionamiento adecuado ante cambios en el valor deseado oen la perturbación de carga#

Adem"s, dado el nYmero ba%o de par"metros variables que tienen los controladores PI y PID, estos modelos tambi7ndeben ser de orden reducido, por lo que los m"s utilizados son los de primer orden, de polo doble y de segundo ordensobreamortiguados m"s tiempo muerto, los cuales se muestran en el Aneo A#

as t7cnicas para la identi.icación de estos modelos se pueden clasi.icar en dos grandes gruposN las que utilizan la curvade reacción del proceso y las que determinan la in.ormación cr/tica del sistema# Si bien tambi7n eisten procedimientosde identi.icación de modelos param7tricos de orden alto, estos usualmente no son utilizados para la sintonización de loscontroladores PID#

Tal como lo indica Isermann &FG>!, en el proceso de identi.icación de los par"metros de los modelos, es de primordialimportancia establecer la utilización .inal que se le dar" al modelo, ya que esto detenninar" el tipo, la eactitud y elprocedimiento de identi.icación necesarios# *omo se 0a indicado, son de inter7s aqu/ solo los procedimientos deidenti.icación de los modelos simples, pues son los requeridos para realizar el estudio de los sistemas de control con loscontroladores PID#

SegYn Sung y ee &FFF! la .inalidad de la identi.icación en el control de los procesos, es la obtención de un modelo queaproime el comportamiento din"mico del mismo, el cual determinar", a su vez, el desempe4o que se pueda lograr conel controlador dise4ado, y este ser" pobre, si el modelo es ineacto# Por lo tanto, la identi.icación corresponde a laprimera etapa del proceso de dise4o del lazo de control#

Por su parte, (LDyKer 5>>@! indica que el ?HQ de las reglas de sintonización de controladores PI incluidas en surecopilación, 0an sido desarrolladas a partir de un modelo de primer orden m"s tiempo muerto y que de las de loscontroladores PID, un =HQ lo 0an sido a partir de uno de primer orden m"s tiempo muerto y un &HQ de uno de segundoorden sobreamortiguado m"s tiempo muerto# Adem"s, destaca que el @=Q de las reglas de sintonización desarrolladascon base en un modelo de primer orden m"s tiempo muerto, o no indican como se identi.ica este o presuponen que elmismo es conocido, lo cual equivale a considerar que estas parten de un modelo VeactoV#

Si bien eisten diversas .uentes sobre las t7cnicas disponibles para la identi.icación de los modelos requeridos, pore%emplo Sung y ee &FFF!, en la mayor/a de los casos estas no presentan comparaciones entre los modelos obtenidoscon los di.erentes procedimientos#

Por lo general solo destacan algunas de ellas, por e%emplo, lograr que el modelo reproduzca la curva de reacción con elm/nimo error cuadr"tico ang y *luett 5>>>!U o0nson y $orad` 5>>@!, o se limitan a indicar el uso de algYn m7todosimple como uno de dos puntos sobre la curva de reacción *orripio, 5>>&!#

Jang y *0ing &FF&! al comparar el comportamiento de los modelos de orden reducido para los sistemas de control conautosinton/a, determinaron que para lograr que los modelos re.le%en adecuadamente las caracter/sticas del procesocontrolado, debe analizarse tanto su respuesta temporal como su respuesta en .recuencia#

Es evidente que se lograr"n los resultados buscados al aplicar alguna de las reglas de sintonización de controladores, enla medida en que el modelo utilizado con la misma, provea una buena representación del comportamiento din"mico delproceso que se desea controlar ba%o condiciones de control realimentado#

Dado lo anterior, se considera importante conocer la bondad con la que los modelos identi.icados con varias de last7cnicas disponibles, permiten estimar el comportamiento del proceso ba%o di.erentes condiciones#

Este art/culo se encuentra estructurado de la siguiente .ormaN en el apartado 5 se describen las aplicaciones de inter7sde los modelos para los estudios de control y los procedimientos de identi.icación a compararU en el apartado = se


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establecen los /ndices utilizados para la medición del desempe4o de los modelos, y en el apartado ? se emplea unaplanta de orden alto para realizar las pruebas comparativas# En los Aneos C y * se presentan los procedimientos deidenti.icación comparados#

5# API*A*I('ES DE (S $(DE(S E' *('TR(

Entre las aplicaciones de los modelos utilizados para representar al proceso controlado en el dise4o de los sistemas decontrol, est" el estudio del sistema a lazo abierto, en particular la obtención de la respuesta de la planta a un cambio

escalón en la entrada curva de reacción!, el an"lisis de la estabilidad absoluta y relativa del lazo de control, el de sucomportamiento en condiciones de oscilación mantenida, y primordialmente, el dise4o del controlador, esto es, susintonización de con.ormidad con un criterio de desempe4o establecido para el lazo de control#

*on base en lo anterior, se 0ar" la siguiente de.iniciónN

V)n modelo adecuado para los estudios de control con controladores PID, ser" aquel que permita dise4ar el controlador,de manera que su comportamiento cuando se utilice con la planta real, sea similar al obtenido en el proceso de dise4ocuando se utilizó el modelo como plantaV#

Se desea, por lo tanto, comparar el desempe4o de los modelos de primer orden, polo doble y segundo orden m"s tiempomuerto, iden.i.icados a par.ir de la curva de reacción del proceso con el m7todo &5=c Al.aro, 5>>! resumidos en el Aneo C, con el de los modelos de primer orden y de polo doble m"s .iempo muerto obtenidos a par.ir de la in.ormación

cr/tca y con el del primer orden m"s tiempo muerto, calculado con el m7todo ID5u Al.aro, 5>>@!, presentados en el Aneo *#

=# \'DI*ES DE *($PARA*I+' DE (S $(DE(S

Para el establecimiento de los /ndices de error de los modelos, se consideraron tres condiciones de operaciónNreproducción de la respuesta a una entrada escalón, estimación de la in.ormación cr/tica y .uncionamiento ba%o controlrealimentado#

Se supondr" que en las pruebas se 0a colectado el con%unto de valores de la respuesta cuando se 0a empleado la planta1y#sub#p3, !, t! y con cada uno de los modelos 1y#sub#m3, 1delta3!, t!, siendo el /ndice de muestreo y 1bar#1delta33el vector de par"metros del modelo# Adem"s, se supondr" que el periodo de muestreo de las respuestas en el tiempo1DETA3t 8 t! < t


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donde 1e#sub#cm3,1bar#1delta33! es el con%unto de los errores de predicción de la respuesta a lazo cerrado y 1y#sub#cp3!, t! y 1y#sub#cm3,1bar#1delta33!, t! son los con%untos de valores de la respuesta del sistema de control a un cambioescalón en el valor deseado o en la perturbación de carga, con la planta y con el modelo respectivamente#

Si se considera solamente el comportamiento del sistema a lazo cerrado, el modelo m"s adecuado para representar unaplanta determinada en los estudios de control, ser" aquel que d7 el menor valor del /ndice de error 1S#sub#cm3# Entonces,los par"metros óptimos del modelo 1bar#1delta33#sub#o3 son tales queN

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 @!

a comparación de los /ndices establecidos permitir" determinar si es posible obtener un solo modelo que sea el m"sadecuado para realizar todos los estudios de control o si por el contrario, se debe utilizar in.ormación o modelosdi.erentes, dependiendo del estudio de inter7s#

?# PR)ECAS *($PARATIMAS

Para las pruebas comparativas de los modelos y los procedimientos para su identi.icación, se utilizó la planta general

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3

la cual permite representar procesos desde uno aproimadamente de primer orden, 0asta uno de polo mYltiple de ordenseis#

En el *uadro & se muestran los tres modelos identi.icados a partir de la curva de reacción del proceso, utilizando elm7todo &5=c y en el *uadro 5, los dos obtenidos directamente a partir de la in.ormación cr/tica y el calculado con elm7todo ID5u# Se determinaron en total treinta modelos, esto es, tres de primer orden 12#sub#m&, ?, 3!, dos de polodoble 12#sub#m5, @3! y uno de segundo orden sobreamortiguado m"s tiempo muerto 12#sub#m=3!, para cada valor de1al.a3#

En el *uadro = se muestran los /ndices de error de predicción de la respuesta temporal# *omo se aprecia, los me%oresmodelos para reproducir la curva de reacción son los de segundo orden# Entre los de primer orden, los me%ores son losidenti.icados con el m7todo &5=c, lo mismo que ocurre con los de segundo orden unas veces el de polo doble y otras elsobreamortiguado!#

os identi.icados a partir de la in.ormación cr/tica no reproducen la curva de reacción adecuadamente#

El modelo de primer orden obtenido con el m7todo ID5u es signi.icativamente me%or para reproducir la curva de reacciónque el obtenido directamente de la in.ormación cr/.ica, pero no llega a alcanzar la eactitud del modelo obtenido con elm7todo &5=c#

a ganancia y el periodo de oscilación cr/ticos predic0os con los modelos se muestran en los *uadros ? y @respectivamente, y en el *uadro se encuentran los /ndices de error de predicción de la in.ormación cr/tica#

os modelos identi.icados a par.ir de la curva de reacción, no son capaces de predecir la in.ormación cr/tica# El error delmodelo de primer orden en predecir la ganancia cr/tica va desde un &=Q 0asta un H?Q, aumentando cuando el modelo.iende a ser de primer orden# Algo similar sucede con la predicción del periodo de oscilación, cuyo error va desde el 5 Q0asta el @&Q#

a predicción de los par"metros cr/ticos con el modelo de segundo orden es bastante me%or, ya que el error en laganancia oscila ente un Q y un FQ y el del periodo entre un &Q y un ?Q, sin embargo, no se pudieron predecir lospar"metros cr/ticos para el caso de 1al.a3 8 >,5 por no tener tiempo muerto#

os modelos de primer orden obtenidos con el m7todo ID5u predicen los par"metros cr/.icos de me%or manera que losmodelos de primero obtenidos a par.ir de la curva de reacción, ecepto para el caso a 8 >,5#

El desempe4o ba%o control realimentado logrado con los di.erentes modelos, se evaluó tanto ante un cambio escalón enel valor deseado servo control! como ante uno en la perturbación de carga control regulatorio!# Para esto sedeterminaron primero los par"metros de los controladores PI que optimizan el criterio de error integral IAE, para cadauna de las plantas en los dos .ipos de .uncionamiento# Estos par"metros se muestran en el *uadro H#

El comportamiento de los modelos cuando el sistema de control es un servo control se muestra en el *uadro G y los delcontrol regulatorio en el *uadro F#

En el caso del servo control se aprecia que los me%ores resultados se obtienen con los modelos de segundo ordensobreamortiguado o de polo doble! identi.icados con el m7todo &5=c# Adem"s, para los modelos de primer orden m"s


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tiempo muerto, unas veces es me%or el modelo identi.icado a partir de la in.ormación cr/tica y en otras, el obtenido de lacurva de reacción o el determinado con el m7todo ID5u#

En el caso del control regulatorio, los me%ores modelos de primer orden m"s tiempo muerto son los obtenidosdirectamente de la in.ormación cr/tica o con el m7todo & D5u, mientras que en los de segundo orden son me%ores los depolo doble identi.icados con el m7todo &5=c, ecepto para el caso 1al.a3 8 >,5#

*omo se 0a indicado, la mayor/a de los modelos muestran di.icultades para representar el comportamiento de la planta

con a 8 >,5, esto es, en el caso de que esta se aseme%e muc0o a una de primer orden valores de

11tau3#sub#o3 8 1t#sub#m3;1tau3 >,5@!#

Adem"s, de los /ndices de desempe4o mostrados en los *uadros =, G y F es evidente que en todos los casos, eldesempe4o del me%or modelo de segundo orden es muc0o me%or que el del me%or modelo de primer orden, por lo quedebe d"rsele pre.erencia# Sin embargo, debe tenerse en cuenta que eisten muc0o menos reglas de sintonizacióndesarrolladas con base en los modelos de segundo orden#

En las -iguras & y 5 se muestran las respuestas del servo control y el control regulatorio con la planta y tres modelosdi.erentes para el caso particular de la planta con 1al.a3 8 >,H, que muestran cuan similar o di.erente pueden ser 7stas,dependiendo del modelo utilizado para realizar el estudio#

1-I2)RA & ($ITIR3

1-I2)RA 5 ($ITIR3

*('*)SI('ES

Del an"lisis de la literatura t7cnica sobre el estudio y la sintonización de los controladores PID, es evidente que se 0aceun uso mayoritario de los modelos simples de primer orden m"s tiempo muerto y que, usualmente, no se provee ningunarecomendación sobre su identi.icación# Adem"s, muc0as veces, al momento de mostrar los resultados obtenidos con elm7todo propuesto se 0ace uso eclusivamente, de los modelos supuestos en su desarrollo# Esto lleva a considerar queel modelo utilizado para el estudio debe ser el Vme%or modeloV posible de obtener, para representar el comportamientodin"mico del proceso controlado#

Sin embargo, las pruebas realizadas a los modelos, muestran claramente, que la bondad del mismo depende tanto de lat7cnica utilizada para su identi.icación, como, de la aplicación que se le d7# *on base en 7stas, se pueden 0acer lassiguientes consideraciones generales sobre la selección de los modelos m"s adecuados para los estudios de controlN

O a curva de reacción del proceso sólo es reproducida con .idelidad por los modelos identi.icados a partir de 7sta, ygeneralmente en me%or .orma por los modelos de segundo orden, ya sean sobreamortiguados o de polo doble#

O Dado que el m7todo de identi.icación &5=c permite obtener un modelo de primero orden, uno de polo doble y dos desegundo orden m"s tiempo muerto, a partir de tres puntos sobre la curva de reacción, se recomienda su utilización parala selección del me% or modelo para obtener la curva de respuesta temporal de la planta#

O Se 0a 0ec0o evidente que los modelos obtenidos a partir de la curva de reacción, no son adecuados para estimar lain.ormación cr/tica del sistema, por lo que se recomienda que 7sta sea obtenida pre.eriblemente utilizando la

realimentación con un rel7 Astróm y J"gglund, &FG?! o directamente de la oscilación mantenida con un controladorproporcional#

O Para la sintonización del controlador, el tipo de modelo necesario est" determinado por la regla o procedimiento desintonización seleccionado# Si este requiere de uno de primer orden m"s tiempo muerto, en general es recomendableu.ilizar el obtenido con el m7todo ID5u a partir de la in.ormación cr/tica# Si el modelo necesario para aplicar el m7todo desintonización es de polo doble o de segundo orden sobreamortiguado se recomienda utilizar los modelos obtenidos conel procedimiento &5=c#

O De ser posible, es conveniente comparar el comportamiento del sistema de control sintonizando el controlador a partirde dos o m"s modelos identi.icados con di.erentes procedimientos, para determinar su in.luencia sobre elcomportamiento del lazo#

O Adem"s, para representar a la planta en los estudios por simulación de los sistemas de control realimentado, serecomienda utilizar el me%or modelo de segundo orden m"s tiempo muerto obtenido con el m7todo &5=c#


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Se 0a 0ec0o evidente de los resultados obtenidos, que para la identi.icación de los modelos de orden reducido utilizadospara el estudio y dise4o de los sistemas de control con controladores PID, debe tomarse en consideración el usoespec/.ico que se les dar"#

SI$C((2\A

1al.a3 < par"metro

11bar#1delta33 < vector de par"metros del modelo

1tau3 < constante de tiempo

2s! < .unción de trans.erencia

< /ndice de muestreo

19#sub#cu3 < ganancia cr/tica

s < variable comple%a

S < /ndice de error

t < tiempo

1T#sub#u3 < periodo de oscilación cr/tico

y < respuesta de la planta o el modelo

RecibidoN &= de abril del 5>>H O AprobadoN 5G de marzo del 5>>G


Al.aro, M# $# 5>>@!# IE


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Ingeniero Electricista

*atedr".ico, Departamento de Autom"tica, Escuela de Ingenier/a El7ctrica, )niversidad de *osta Rica

Tel.onoN @>! 55>H! 55>H

Apartado postal &&@>&> )*R, San os7, *osta Rica

*orreo electrónicoNval.aroWeie#ucr#ac#cr

A'E( AN $odelos

os modelos m"s u.ilizados para representar al proceso controlado, en los estudios de control con controladores PID,sonN

O Primer orden m"s tiempo muerto P($T$!

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 A&!

O Polo doble m"s tiempo muerto PD$T$!

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 A5!

O Segundo orden sobreamortiguado m"s tiempo muerto S($T$!

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 A=!

A'E( CN Identi.icación a partir de la curva de reacción

as siguientes son las ecuaciones del m7todo de identi.icación de tres puntos &5=c de Al.aro 5>>!, el cual utiliza los

tiempos requeridos para que la respuesta del proceso a un cambio escalón en la entrada, alcance el 5@ 1t#sub#5@3!, el @>1t#sub#@>3! y el H@Q 1t#sub#H@3! de su valor .inal#

Se supone que la entrada al proceso es una se4al escalón ut! de amplitud 1DETA3u y que su respuesta es una se4alyt! con un cambio total 1DETA3y#

O P($T$

1#sub#p3 8 1DETA3y ; DETA3u C &!

1tau38>,F&>5 1t#sub#H@3 < 1t#sub#5@3!

1t#sub#m3 8 &,55> 1t#sub#5@3 < >,55> 1t#sub#H@3

O PD$T$

1#sub#p3 8 1DETA3y ; 1DETA3u C5!

1tau3 8 >,@HH 1t#sub#H@3 < 1t#sub#5@3!

1t#sub#m3 8 &,@@@5 1t#sub#5@3 < >,@@@5 1t#sub#H@3

O S($T$

$7todo simpli.icado

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 C=!

$7todo general


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1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 C?!

A'E( *N Identi.icación a partir de la in.ormación cr/tica

Tambi7n es posible identi.icar algunos de los modelos requeridos a partir de la in.ormación Yltima o cr/tica del sistema,ganancia 19#sub#cu3 y periodo de oscilación 1T#sub#u3# Esta in.ormación se puede determinar utilizando un controladorproporcional o mediante la realimentación con un rel7#

a ganancia de los modelos puede obtenerse mediante una prueba con el controlador proporcional con una gananciaarbitraria 19#sub#c3, produciendo un cambio escalón en el valor deseado de magnitud 1DETA3r y observando el cambiototal en la variable controlada 1DETA3y#

O P($T$

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 *&!

O PD$T$

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 *5!

O P($T$ a partir del de PD$T$

El siguiente procedimiento, denominado & D5u Al.aro, 5>>@!, permite identi.icar un modelo de P($T$, a partir de lacurva de reacción del modelo de PD$T$ obtenido con la in.ormación cr/tica#

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II#3 *5!

2uadro 3. Modelos a #artir de la cur*a de reacci"! (mEtodo 3/;c).

[G.sub.m3] (#omtm)

[al#Da] [$.sub.#] [t.sub.m] [tau]

,/ 3, ,/;9 3,/8,6 3, ,8:; 3,/6,8 3, 3,7:3 3,6:6,< 3, /,93/ /,;33, 3, ;,;: /,


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[al#Da] [$.su#.cu] [.su#.u] [&.sub.#]

,/ /:,


30/40

,/ 8,7:9 /3,:8:,6 ;,38: 7,:6 6,88,8 /,;9< /,8: /,869,< /,:3 /,/8< /,/:73, /,67 /,/;7 /,/7/

[al#Da] [$.sub.cum7] [$.sub.cum6] [$.sub.cum9]

,/ /:,:


31/40

,8 ,:;3 /,/9: 3,/9 /,6/7,< ,8/ ;7,7;7 ,


32/40

Se deducen ecuaciones para el c"lculo de la IAE, el 1E#sub#ma3 y el 1T#sub#a53 para estos sistemas de control# $ediantee%emplos, se demuestra la utilidad de las ecuaciones obtenidas para la estimación del comportamiento din"mico delsistema de control#

Palabras claveN controladores PID, sintonización, IAE

Abstract

JoK t0e integral o. t0e absolute error IAE, t0e maimum error 1E#sub#ma3, t0e 5 Q settling time 1T#sub#a53 and t0erobustness o. a IAE optimized PID control system, c0ange Kit0 t0e model normalized time delay, are presented ingrap0ical .orm#

Equations to obtain t0e IAE, 1E#sub#ma3 and 1T#sub#a53 are derived .or t0ese control systems# T0e eamples presentedalloK veri.ying t0e use.ul o. t0e equations .or t0e per.ormance estimation o. t0e control system#

9ey KordsN PID controllers, tuning, IAE

I'TR(D)**I+'

Eisten varias reglas para la sintonización óptima de los reguladores y servomecanismos que utilizan controladores PID-igura &!# Todas estas se basan en un modelo identi.icado para el proceso controlado y en la optimización de un criteriode desempe4o, normalmente la integral de una .unción del error# Algunas de las m"s conocidas son las reglas de ópezópez, &FH! y las de Rovira Rovira, &FF!#

1-I2)RA & ($ITIR3

Recientemente, Al.aro, 5>>=! determinó nuevas ecuaciones para el c"lculo de los par"metros óptimos de loscontroladores PID operando como reguladores cambio en la perturbación z! y como servomecanismos cambio en elvalor deseado r! ba%o el criterio IAE, a partir de un modelo de primer orden m"s tiempo muerto como planta, que ampl/anel "mbito de aplicación de este tipo de reglas#

*omo es de suponer, con la utilización de estos procedimientos de sintonización, se espera que el comportamiento delsistema sea óptimo ba%o el criterio de desempe4o utilizado# Sin embargo, es importante tambi7n, tener alguna indicaciónde cu"les podr/an ser otras caracter/sticas del comportamiento din"mico del sistema de control#

Se presenta adelante la .orma como var/a la integral del error absoluto, el error m"imo, el tiempo de asentamiento y larobustez del sistema de control, en .unción del tiempo muerto normalizado de la planta, para reguladores yservomecanismos PID optimizados con el criterio IAE# A partir de esta in.ormación, se derivaron ecuaciones para suestimación#

5# SI'T('I6A*I+' +PTI$A

5#& $odelo de la planta

El m7todo propuesto supone que la din"mica del proceso se puede representar adecuadamente por un modelo de primer orden m"s tiempo muerto de la .orma

12#sub#p3s! 8 1#sub#p31e#sup#3et!dt 5!

en donde el error est" dado por

et! 8 rt! < yt! =!

5#= Par"metros del controlador

as ecuaciones para el c"lculo de los par"metros óptimos 19#sub#c3, 1T#sub#i3, 1T#sub#d3! de un controlador PID>=!N


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O Regulador

1#sub#p319#sub#c3 8 >,5>G : &,&@FH 11tau3#sub#o#sup#&@G3 ?!

1T#sub#i3;1tau3 8 ,555G : &,=>>F 11tau3#sub#o#sup#>,@>553 @!

1T#sub#d3;1tau3 8 >,=F@= 11tau3#sub#o#sup#>,G?F3 !

O Servomecanismo

1#sub#p319#sub#c3 8 >,=5F@ : >,H&G5 11tau3#sub#o#sup#,FFH&3 H!

1T#sub#i3;1tau3 8 >,FHG& : >,=H5= 11tau3#sub#o#sup#>,G?@3 G!

1T#sub#d3;1tau3 8 ,=?& 11tau3#sub#o#sup#>,F?&?3 F!

en donde 11tau3#sub#o3 8 1t#sub#m3;1tau3 >,>@ 1menor que o igual a3 11tau3#sub#o3 1menor que o igual a3 5,>! es el tiempomuerto normalizado de la planta#

=# DESE$PE]( DE (S A6(S DE *('TR(

*omo se comentó anteriormente, las reglas de sintonización desarrolladas optimizan el criterio IAE# *omo es usual conlas reglas de sintonización, estas no dan indicación alguna sobre las caracter/sticas del desempe4o din"mico del sistemade control optimizado, por lo que se obtuvieron epresiones que permiten estimar algunas de ellas#

=#& Mariación de las caracter/sticas din"micas

$ediante una simulación digital utilizando el programa MisSim1T$3 Misual Solutions, &FFF! se determinó el valor delcriterio de desempe4o integral del error absoluto < IAE!, as/ como el error m"imo 1E#sub#ma3! y el tiempo deasentamiento al 5 Q 1T#sub#a53!, de las respuestas del regulador 1DETA3z 8 &! y del servomecanismo 1DETA3r 8 &!para un tiempo muerto normalizado variando de >,>@ a 5,> "mbito de aplicación de las ecuaciones de sintonizacióndeterminadas!#

El estudio de los resultados permitió determinar que en el caso de los reguladores, el valor de la IAEz y el tiempo deasentamiento 1T#sub#a5z3, son proporcionales a la constante de tiempo del proceso y que el valor del error m"imo1E#sub#maz3 y la IAEz son proporcionales a la ganancia de la planta#

En el caso de los servomecanismos se determinó que, el valor de la IAEr es proporcional a la constante de tiempo de laplanta, pero no depende de la ganancia de esta, como tampoco el sobrepaso m"imo 1E#sub#maz3# Igual que en el casode los reguladores, para los servomecanismos el tiempo de asentamiento 1T#sub#a5r3 es proporcional a la constante detiempo de la planta#

*onsiderando lo anterior, los resultados obtenidos se normalizaron de la siguiente .ormaN

IA1E#sub#zn3 8 IA1E#sub#z3;1#sub#p31tau3, IA1E#sub#rn3 8 IA1E#sub#r3;1tau3 &>!

1E#sub#ma zn3 8 1E#sub#ma z3;1#sub#p3, 1E#sub#ma rn3 8 1E#sub#ma r3 &&!

1T#sub#a5zn3 8 1T#sub#a5z3;1tau3, 1T#sub#a5rn3 8 1T#sub#a5r3;1tau3 &5!

a constante de tiempo, del modelo 1tau3!, se empleó para normalizar la escala de tiempo y su ganancia p! paranormalizar la magnitud del error en el caso del regulador solamente#

En la -igura 5, se muestran, identi.icados con un s/mbolo O!, los resultados obtenidos para el regulador, en la -igura =,los correspondientes

al servomecanismo, para los valores de 11tau3#sub#o3 probados#

1-I2)RA 5 ($ITIR3

*omo se puede apreciar en estos gr".icos, el tiempo muerto tiene un e.ecto adverso en todos los casos# Al aumentar eltiempo muerto se deterioran todos lo indicadores del comportamiento din"mico del sistema de controlU aumenta la IAE, elerror m"imo o el sobrepaso m"imo en el caso del servomecanismo! y el tiempo de asentamiento#


34/40

El valor óptimo de la IAE, aumenta casi en .orma lineal con el tiempo muerto relativo del proceso y en el caso de losreguladores, su magnitud es directamente proporcional a la ganancia de la planta#

El error m"imo 1E#sub#ma3! para la operación como regulador, es la caracter/stica de desempe4o que m"s se vea.ectada por el incremento en el tiempo muerto y puede ser apreciable si la ganancia de la planta es alta# En contrastecon esto, el sobrepaso m"imo de los servomecanismos, var/a entre un @ Q y un &@ Q, valores que pueden considerarseba%os#

os gr".icos anteriores tambi7n permiten sacar conclusiones sobre la incidencia de los otros par"metros del modelo, enel desempe4o del lazo de control# Es evidente que los sistemas de control evolucionan segYn la escala de tiempo delproceso controlado# Si se normaliza la escala de tiempo como tL 8 t;1tau3, las respuestas de todas las plantas con lamisma relación 11tau3#sub#o3 ser/an id7nticas#

Por e%emplo, si se considera el caso de una planta con un tiempo muerto aparente igual a la

mitad de su constante de tiempo 11tau3#sub#o3 8 >,@!, el tiempo de asentamiento, al 5 Q del sistema de control, operandocomo regulador ser/a#

1t#sub#a53 1aproimadamente igual a3 =,@1tau3#

Entonces, el sistema de control de una planta con esta caracter/stica y una constante de tiempo de dos minutos, tardar/a

siete minutos en regresar la variable controlada a su valor deseado ante un cambio en una perturbación, y el de unaplanta con una constante de tiempo de dos segundos, tardar/a siete segundos#

=#5 Ecuaciones para la estimación del desempe4o

Para poder estimar el valor de los /ndices de desempe4o de los lazos de control cuyo controlador se 0aya optimizadoempleando el criterio IAE, se realizó un a%uste de curvas mediante m/nimos cuadrados en $atlab1R3 $atKors, 5>>5!, yse determinaron las siguientes ecuacionesN

O Regulador

IAE;1#sub#p31tau31DETA3z 8 ,>@F@ : >,FFGF 11tau3#sup#o#sub#&,5@>H3 &=!

1E#sub#ma3;1#sub#p31DETA3z 8 >,>=H : >,G>@H11tau3#sub#o3 ,5>&11tau3#sup#5#sub#o3 &?!

1T#sub#a3;1tau3 8 =,HFG@11tau3#sup#&,>==5#sub#o3 1tau3#sub#o3 1menor que o igual a3 >,5 &@!

1T#sub#a3;1tau3 8 ,H5F : H,=F&511tau3#sup#>,G>H@#sub#o3, 11tau3#sub#o3 >,5 &!

O Servomecanismo

IAE;1tau31DETA3r 8 &,=H5?11tau3#sup#>,F@HH#sub#o3 &H!

1E#sub#ma3;1DETA3r 8 >,>=&& : >,>5GG11tau3#sub#o3 : >,>5>H11tau3#sup#5#sub#o3 &G!

1T#sub#a3;1tau3 8 =,G@&G11tau3#sup#>,F5>#sub#o3, 11tau3#sub#o3 1menor que o igual a3 &,>@ &F!

1T#sub#a3;1tau3 8 ?,F511tau3#sup#>,FH5@#sub#o3, 1tau3 &,>@ 5>!

En las -iguras 5 y =, se muestran mediante l/neas continuas, los valores predic0os por estas ecuaciones#

1-I2)RA = ($ITIR3

=#= \ndices de robustez

(tro aspecto que es importante considerar al momento de sintonizar un controlador utilizando una regla de sintonización,es la robustez del sistema de control resultante# Esto es, su 0abilidad para mantener una operación estable ante cambios

en las caracter/sticas din"micas del proceso controlado#

Se de.inieron los /ndices de robustez comoN

O \ndice de robustez en la ganancia


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1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3 5&!

O \ndice de robustez en el tiempo muerto

1EPRESI+' $ATE$BTI*A IRREPR(D)*ICE E' AS*II3 55!

en donde 1#sub#pa3, 1t#sub#ma3! son los valores de la ganancia y el tiempo muerto del modelo los utilizados parasintonizar el controlador! y

1#sub#pu3, 1t#sub#mu3! los valores de la ganancia y el tiempo muerto que, en .orma independiente, 0acen oscilatorio elsistema de control# En la -igura ?, se muestra como var/an los /ndices de robustez al variar el tiempo muerto aparente#

1-I2)RA ? ($ITIR3

)sualmente se considera que un sistema de control es robusto, si tiene /ndices de robustez superiores a uno# *omo sepuede apreciar, los reguladores optimizados con el criterio IAE no son robustos y los servomecanismos lo son solo para1tau3 o >,H># Al contrario de lo que sucede con las caracter/sticas din"micas, en general, al aumentar el tiempo muertoaparente, la robustez del sistema me%ora, con la ecepción del /ndice de robustez en la ganancia del servomecanismo, elcual, se mantiene aproimadamente constante#

o anterior debe tomarse muy en cuenta, especialmente para los sistemas dominados por

la constante de tiempo 1t#sub#m3 1tau3!, ya que en estos casos, el /ndice de robustez en la ganancia del regulador, pore%emplo, es in.erior a >,# Esto indica que incrementos peque4os en la ganancia de la planta, 0ar/an muy oscilatoria larespuesta del sistema#

?# EE$P(S

?#& Planta de cuarto orden

Para veri.icar la utilidad de las ecuaciones

determinadas, para la estimación de las caracter/sticas de desempe4o de los sistemas de control sintonizados con el

criterio IAE, se empleó como planta de prueba Astr^m J_gglund, 5>>>!

12#sub#p&3s! 8 5;s : &!>,@ s : &!>,5@ s : &!>,&5@ s : &! 5=!

Para esta, se obtuvo un modelo de primer orden m"s tiempo muerto 12#sub#m&3s!, identi.icado a partir de la curva derespuesta de la planta mediante el m7todo V&;? < =;?V Aneo A! y otro identi.icado a partir de la in.ormación Yltima19#sub#cu3 8 =,=H@>, 1T#sub#u3 8 5,55&?!, 12#sub#m53s! Aneo C!# os par"metros de estos modelos se muestran en el*uadro

2uadro 3. 4arámetros de los modelos

[G.sub.m3] [G.sub.m/]

[&.sub.#] /, /,[tau] 3,/78 /,;9[t.sub.m] ,9 'l autor

)tilizando los dos modelos identi.icados, se determinaron los par"metros del controlador PID para un .uncionamientocomo regulador, ecuaciones ?! a !, y para un .uncionamiento como servomecanismo, ecuaciones, H! a F!, los cualesse muestran en los *uadros 5 y =#

2uadro /. 4arámetros del co!trolador (re%ulador)

[G.sub.c3] [G.sub.c/]

[$.sub.c] 3,39 /,7[.sub.i] , 'l autor


36/40

2uadro ;. 4arámetros del co!trolador(ser*omeca!ismo)

[G.sub.c3] [G.sub.c/]

[$.sub.c] ,:3 3,66[.sub.i] 3,6 /,6<

[.sub.d] ,/7 ,//

=ue!te> 'l autor

Adem"s, utilizando las ecuaciones &=! a &! para el regulador, y las &H! a 5>! para el servomecanismo, se estimaronlas caracter/sticas del desempe4o de los lazos de control, las cuales se muestran en los *uadros ? y @#

2uadro 7. Cesem#eño estimado del re%ulador


IA' 3,7/ ,6:7['.sub.max] ,:77 ,797

[.sub.a/] 7,:3/ 7,33;

=ue!te> 'l autor

2uadro 6. Cesem#eño estimado del ser*o


IA' ,


37/40

*omparando los resultados de los *uadros y ?, se puede apreciar, que la estimación 0ec0a del desempe4o delregulador, con base en el modelo 12#sub#m53 es bastante acertada y en todo caso ligeramente conservadora#

En el *uadro H, se puede notar tambi7n que se logra un menor /ndice IAE, si se sintoniza el controlador con lospar"metros obtenidos utilizando el modelo 12#sub#m53, sin embargo en este caso, la di.erencia entre el desempe4o delos dos controladores no es signi.icativa# Se nota en cambio una di.erencia apreciable en las otras caracter/sticasdin"micas del lazo de control#

Si se comparan los resultados del *uadro H con los del *uadro @, se puede apreciar que las caracter/sticas din"micasestimadas para el servomecanismo, con los dos modelos, permiten tener una buena indicación de las caracter/sticasdin"micas de la respuesta, con ecepción del tiempo de asentamiento con el controlador 12#sub#c53#

*omo se puede apreciar en las -iguras @ y , las respuestas del sistema de control obtenidas empleando los modelos,di.ieren de las obtenidas con los mismos controladores y la planta de prueba# Esta di.erencia es mayor cuando seemplea el modelo identi.icado a partir de la curva de reacción# Esto indica, que aunque los modelos puedan representar.ielmente la respuesta de lazo abierto, en un caso y las condiciones de oscilación en el otro, no necesariamente, re.le%anel comportamiento din"mico del proceso ba%o condiciones de control en lazo cerrado#

1-I2)RA @


38/40

['.sub.max] ,8< ,86[.sub.a/] ;3,83 ;;,3;

=ue!te> 'l autor

2uadro 3/. Cesem#eño estimado del ser*o


IA' 9,8/ 9,! para los servomecanismos, permiten obtener una

estimación adecuada del /ndice de desempe4o IAE, del error m"imo 1E#sub#ma3 y del tiempo de asentamiento al 5 Q1T#sub#a53#

*omo las ecuaciones derivadas est"n basadas en los resultados determinados, utilizando un modelo de primer ordenm"s tiempo muerto, las caracter/sticas del desempe4o obtenidas con estas, deben de tomarse solo como unaaproimación de lo que se podr/a esperar obtener al poner el controlador a operar con el proceso real# a di.erencia entrelo estimado y los resultados reales obtenidos, depender" de la .idelidad con que el modelo utilizado represente lascaracter/sticas din"micas del proceso controlado#

Adem"s de lo anterior, el estudio permite tambi7n concluir, que los resultados obtenidos se ven a.ectados por el modeloutilizado para el c"lculo de los par"metros del controlador# Para el caso particular de las plantas utilizadas en lose%emplos, los me%ores resultados se obtuvieron con los modelos identi.icados a partir de la in.ormación cr/tica delsistema#

RecibidoN 5? de enero del 5>>@ ; AprobadoN 5F de setiembre del 5>>@



39/40

Al.aro, M# $# 5>>?!# IE


40/40

r(t) *alor deseados *ariable com#le+a[.sub.a/] tiem#o de ase!tamie!to[.sub.d] tiem#o deri*ati*o[.sub.i] tiem#o i!te%ral[t.sub.m] tiem#o muerto a#are!te[.sub.u] #eriodo de oscilaci"!0(t) *ariable co!trolada

1(t) #erturbaci"!

S(CRE E A)T(R

M/ctor $# Al.aro Ruiz

Pro.esor Asociado, Departamento de Autom"tica, Escuela

de Ingenier/a El7ctrica, )niversidad de

*osta Rica

Apartado postal 5, 5>>, San os7, *osta Rica

Tel7.ono 5>H#??H5

-acs/mil 5>H#?&=F

*orreo electrónicoN val.aroWeie#ucr#ac#cr

El presente traba%o .ue realizado como parte

del proyecto 'o =55H inscrito en la

Micerrector/a de Investigación de la )niversidad

de *osta Rica#

http://www.allbusiness.com/information/publishing-industries/"!404"-1.html

Revista INGENIERIA - Artículos Varios de PID POMTM

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