Resumen Unidad 3 Calculo

8/19/2019 Resumen Unidad 3 Calculo

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

“Unidad iii”Límites y continuidad

DOCENTE:

Salvador Zamora Garza

INTEGRANTES:

García Antonio Rosa Anel

Arenas Gonzales Karla Judith

Hernández Franco Jairely Sarahi

García Martínez Fernando Euenio

GRUO: ! SALON: G"#



Límites y continuidad

El conce$to de límite en Matemáticas tiene el sentido

de %luar& hacia el 'ue se dirie una (unci)n en un

determinado $unto o en el in*nito+

De!nici"n: ,ada una (unci)n (-./ y un $unto . 0 a1

se dice 'ue el límite de (-./ cuando . se acerca a %a&

es 21 y se e.$resa como3

2í4m .5a (-./ 0 2

Cuando:,ado 6 71 e.iste 8 6 7 tal 'ue siem$re 'ue 9.: a9 ;

81 entonces 9(-./: 29 ;

2o 'ue viene a e.$resar esta (ormulaci)n matemática

es 'ue si . está %Su*cientemente cerca& de a1

entonces su imaen (-./ tam<i=n está muy $r).ima a

2+

En la $ráctica en muchas ocasiones es necesario

calcular los llamados límites laterales1 'ue como

recordaremos se de*nen de la siuiente (orma3

Se de*ne el límite lateral $or la derecha de a de la

(unci)n (-./1 y se e.$resa como3

2ímite .5a> (-./ Al límite al 'ue se acerca (-./ cuando . se acerca a %a&

y toma valores mayores 'ue a+

,e iual modo1 el límite lateral $or la iz'uierda de %a&

de la (unci)n (-./ se e.$resa como3



2ím .5a: (-./

? se de*ne como el límite al 'ue se acerca (-./ cuando

. se acerca a %a& y toma valores menores 'ue %a&+

Ti#os de Límites

• 2imites in*nitos en un $unto *nito3 Se dice 'ue el

limite cuando x se acerca $or la derecha de a es

>@1 $es a medida 'ue la x se acerca a a1 la

(unci)n se hace cada vez mayor+

2ím .5a> (-./0>@ y

.

• 2imites *nitos en el in*nito3 Se dice 'ue una

(unci)n tiene límite < cuando . tiende a >@

cuando la (unci)n se acerca a < cuando la . sehace cada vez mayor1 es decir32ím .5@(-./ 0 < (



B

.

En este caso el límite es C cuando . tiende a >@+

,e iual modo se de*ne el límite *nito cuando .tiende a :@+

• 2imites in*nitos en el in*nito3 A$arece este caso

cuando si . tiende a >@ la (unci)n se hace cada

vez mayor o menor -lo mismo si . tiende a :@/+

Dn eBem$lo rá*co de este ti$o de límites sería3

y

lím .5@(-./ 0 :@

.



Limite de una $unci"n de %a&ia'(e

&ea(Se le llama (unci)n real de varia<le real a toda la

(unci)n de*nida de un su<conBunto , de los

nmeros reales1 en el conBunto R de los nmeros

reales1 tal 'ue a cada elemento . de , le

corres$onde uno y s)lo un elemento y de R3

ara 'ue una (unci)n 'uede correctamente de*nida

es necesario determinar3

• El conBunto inicial o dominio de la (unci)n• El conBunto *nal o imaen de la (unci)n

• 2a rela $or la cual se asina a cada elemento del

conBunto orien un solo elemento del conBunto

imaen+

iene $or conBunto orien o cam$o de e.istencia todoslos nmeros reales1 $ues dado cual'uier nmeroreal x 1 siem$re es $osi<le calcular su cuadrado1 siendoel resultado otro nmero real+

iene $or conBunto imaen todos los nmeros reales$ositivos1 $uesto 'ue el cuadrado de un nmerosiem$re es $ositivo+



2a rela de asinaci)n es3 %,ado cual'uier nmeroreal x, calcular su cuadrado $ara o<tener la imaen&+

C)(cu(o de Límites

El conce$to de límite es 'ue al llear más y más cercade un valor es$ecí*co de .1 el valor de la (unci)ntam<i=n comienza a resolverse en torno a un valores$ecí*co+ ,e este modo $odemos calcular el valor dela (unci)n $ara alunos valores 'ue están muy cercade cero+

Esto $ro$orcionará un resultado de valor a$ro.imado$ara la (unci)n dada y $or tanto no o<tendremos unvalor inde*nido como valor de salida de la (unci)n+

• 2ímites en el n*nito3

Límites de #o(inomios: El límite de cual'uier$olinomio cuando . tiende a @ siem$re es >@ o :@1de$endiendo del coe*ciente del t=rmino de mayor

rado del $olinomio3

2ím .5@-C. : I.C > / 0 >@

2ím .5@-:I. :.C > !.: / 0 :@

ues en el $rimer caso el coe*ciente de . es $ositivo1y en el seundo caso el coe*ciente de . es neativo+

Límite en un #unto:Si f(x) es una (unci)n usual -$oli n)micas1 racionales1radicales1 e.$onenciales1 loarítmicas1 etc+/ y estáde*nida en el $unto a1 entonces se suele cum$lir 'ue3



Es decir3 $ara calcular el límite se sustituye en la(unci)n el valor al 'ue tienden las .+

Lo $odemos calcular $or'ue el dominio dede*nici)n está en el intervalo 71 @/1 $or tanto no

$uede tomar valores 'ue se acer'uen a :C+

Sin em<aro sí $odemos calcular 1 $or'ueaun'ue I no $ertenezca al dominio1 ,0 : NC1 IO1 sí$odemos tomar valores del dominio tan $r).imos a Icomo 'ueramos+

Límite en una $unci"n de!nida a t&o*os:

En $rimer luar tenemos 'ue estudiar los límiteslaterales en los $untos de uni)n de los di(erentestrozos+

Si coinciden1 este es el valor del límite+

Si no coinciden1 el límite no e.iste+

+



En . 0 :P1 los límites laterales son3

or la iz'uierda3

or la derecha3

Qomo en am<os casos coinciden1 e( (ímite e+iste y%a(e ,-

En . 0 P1 los límites laterales son3

o& (a i*.uie&da:

o& (a de&ec/a:

Qomo no coinciden los límites laterales no tiene límiteen . 0 P+

&o#iedades de (os (ímitesP/+ El límite de una (unci)n siem$re es nico y es $oresta raz)n 'ue siem$re se re*ere a estos como %El2ímite& y no sim$lemente límite+ Esta $ro$iedad<ásica se $uede demostrar como3

Si y1 Entonces1 2P 0

2C

C/+ El límite de la sumatoria de dos (unciones es iuala la suma de los límites de las dos (unciones $orse$arado+



I/+ ,el mismo modo1 el límite de la resta de dos(unciones es iual a la resta de los límites de las dos(unciones $or se$arado+

!/+ El caso similar se $uede demostrar con lamulti$licaci)n1 es decir1

/+ ara la divisi)n1 la rela <ásica es similar a la de lasuma y la resta+ Sin em<aro1 en el caso de la

divisi)n1 esto es1 se de<e tener cuidado $ara 'ue eldenominador no se convierta en 7 ya 'ue dará luar aun %error cero&+

/+ Dna constante 'ue se multi$lica con el límite1 se$uede tomar (uera del límite sin a(ectar el resultado+

Es decir1

/+ El límite de un nmero *Bo o inmuta<le es unnmero *Bo en sí mismo+

/+ El límite lo<al de la $ro$orci)n -cociente/ de dos(unciones es la $ro$orci)n del límite de las dos(unciones $or se$arado+



#/+ 2ímite de la Funci)n E.$onencial3 ,e acuerdo aesta $ro$iedad1

P7/+ 2ímite de una Funci)n 2oarítmica3 ,e acuerdo aella1

PP/+ eorema de Estricci)n3 Qonsiderando el caso ( h $ara r acercarse a . +Si

Limites (ate&a(es

El límite cuando3 . 5 .7> T . 5 .7"+ or lo tanto1 ellímite cuando . 5 .7 no e.iste+

,e manera similar1 . $uede a$ro.imarse a c tomandovalores más randes 'ue =ste -derecha/3



U tomando valores más $e'ueVos -iz'uierda/1 en cuyocaso los límites $ueden ser escritos como3

Si los dos límites anteriores son iuales3

Entonces 2 se $ueden re(erir como el límite de (-./ en

c+ ,icho de otro modo1 si estos no son iuales a 2entonces el límite1 como tal1 no e.iste+

ara calcular el límite de una (unci)n en un $unto1 nonos interesa lo 'ue sucede en dicho $unto sino a sualrededor+

Qomo no coinciden los (ímites (ate&a(es1 la (unci)nno tiene límite en . 0 7+

Limites in!nitos y (imites a( in!nito



Quando se calcula el límite de una (racci)n1 en la 'ueel numerador se acerca a una cantidad $ositiva oneativa1 si el denominador se mueve hacia 71entonces en ese caso se dice 'ue el límite es

ine.istente+ Qon el *n de e.$licar el com$ortamientode tales (unciones1 decimos 'ue3

Esto indica 'ue el límite de Fr es un nmerodesconocido de ran tamaVo+ Este ti$o de límites es

conocido como Límite In!nito+ 2os límites in*nitossini*can <ásicamente 'ue el límite es imainario1 esdecir1 el valor de la (unci)n se $uede hacer tan randecomo 'ueramos tomando los valores de %r&su*cientemente cerca de 7+

El conce$to $rinci$al de (ímites a( in!nito yace endos $untos+

P/+ Quando W es un nmero no neativo1

entonces

C/+ Quando W es un nmero no neativo1

entonces

Dna rela sencilla $ara determinar el límite al in*nitode tales nmeros es considerando la varia<le1 tanto enel numerador y en el denominador1 'ue tena elmayor e.$onente+

Asíntotas



Dna $rimera a$licaci)n del cálculo de límites consisteen el cálculo de las asíntotas de una (unci)n+

0ay t&es ti#os de asíntotas:

1e&tica(es

Dna asíntota vertical de una (unci)n (-./ es unarecta vertical . 0 W tal 'ue se cum$le3

lím

.5W> (-./ 0 X@

U <ien

lím

.5W: (-./ 0 X@

2as $osi<les asíntotas verticales de una (unci)n

se encuentran entre los $untos 'ue no están en el

,ominio de la (unci)n1 a'uellos 'ue anulan eldominador en las (unciones racionales1 etc+

0o&i*onta(es

2as asíntotas horizontales1 si e.isten1 indican elvalor al 'ue se acerca la (unci)n cuando lavaria<le

nde$endiente . se hace muy rande o muy$e'ueVa+



,icho en (orma de límites1 una (unci)n tiene unaasíntota horizontal en y 0 W cuando $ara alunode los dos límites3

lím.5@(-./ 0 W

U <ien

lím .5:@(-./ 0 W

• O'(icuas

Dna recta y 0 m Y.> n es una asíntota o<licua dela (unci)n (-./ cuando e.isten y son *nitos los

límites3

m 0lím .5@(-./

n 0lím.5@-(-./:m Y ./

2as asíntotas horizontales son un caso $articularde las o<licuas $ara el caso en 'ue m 07+

2unciones continua y discontinuaen un #unto y en un inte&%a(o

Dna (unci)n continua es a'uella 'ue res$onde a lasvariaciones de cada minuto en la entrada de la

(unci)n $or lo 'ue muestra variaci)n en la salida de la(unci)n+

Dna de*nici)n (ormal de una (unci)n continua es %Dna(unci)n (3 5 ? se dice 'ue es continua1 si la imaen



inversa de todos los conBuntos a<iertos en el rano dela (unci)n son a<iertos en el dominio de la (unci)n&+

ara 'ue una (unci)n continua sea continua en un

$unto es$ecí*co1 de<e cum$lir tres condiciones3

P+ El $unto s de<e estar en el dominio de la (unci)n1en otras $ala<ras la (unci)n (-s/ de<e tener un valorde*nido+

C+ ara un $unto a en el dominio de la (unci)n1

de<e mantenerse verdadero en eldominio de la (unci)n

dada

I+ 2a ecuaci)n de<e mantenerse verdadera $ara la(unci)n y los $untos dados+

Dna (unci)n 'ue no es continua es llamada (unci)ndiscontinua+

Dna (unci)n $uede ser discontinua en un $unto o $araun intervalo com$leto+

Dna (unci)n 'ue es discontinua en un $unto de<ecum$lir dos re'uisitos3

[ anto del lado iz'uierdo así como del derecho de<ee.istir un límite $ara la (unci)n en el $unto dado+

[ Am<os límites de<en ser *nitos naturales+



Si la discontinuidad $uede ser eliminada entonces esde $rimer orden1 mientras 'ue si no $uede sereliminada se conoce como discontinuidad de seundoorden+

Ti#os de discontinuidades

E.iste (-a/ y los límites laterales1 'ue son iuales y*nitos1 $ero distintos del valor de (-a/+ Dnadiscontinuidad de este ti$o se denomina

discontinuidad evitable.

y

.

E.iste (-a/ y los límites laterales e.isten y son *nitos1aun'ue distintos+ Estamos ante una discontinuidad desalto *nito+

y



.

"P

En este caso el límite $or la derecha es P1 el iz'uierdoes 7 y (-7/ 0 :PC 1 hay una discontinuidad

Evita<le en . 07+

E.iste (-a/ y aluno de los límites laterales es in*nito+En este caso hay una discontinuidad de salto in*nito+

y

.

Ahora (-7/ 0P1 el límite $or la iz'uierda vale P tam<i=n

y el límite lateral $or la derecha vale >@+

,iscontinuidad de salto in*nito en . 07+

Lo e.iste (-a/ o aluno de los límites laterales+ Se trata

de una discontinuidad esencial+

y



.

2os límites laterales1 am<os1 son >@1 $ero (-7/ no

e.iste+ Hay una discontinuidad esencial en . 07+

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