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Un algoritmo Branch & Cut para un problema de asignación de frecuencias en redes de telefonía

celular

Resumen

Un algoritmo Branch & Cut para un problema de asignación de

frecuencias en redes de telefonía celular

Modelado del problema

Conceptos básicos

Estudio Poliedral

Branch & Cut

Resultados computacionales

Introducción al problema

Modelos de PLE

Conclusiones y trabajo futuro

Tesis de Licenciatura de Diego Delle Donne

Director: Dr. Javier Marenco

Departamento de Computación, FCEN, Universidad de Buenos Aires.


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Redes de telefonía celular: ¿Cómo funcionan las comunicaciones?

Hand-over


celular


Posibles problemas:

Co-canalización (mismo canal)

Interferencia por canales adyacentes


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Tendido de una red para cubrir una zona:

… pero la cantidad de canales disponibles es muy limitada…


celular


Objetivos de una asignación de frecuencias:

1. Asignar un canal a cada antena de manera tal que no se produzcan co-canalidades.

2. Minimizar la interferencia generada por canales adyacentes en las antenas.


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Consideraciones:

Antenas habituales de 120 grados y más de una por sector

Canales de control (BCCH) Vs. canales de transferencia (TCH)

Problema muy estudiado heurísticamente pero muy poco estudiado de manera exacta.

Omitimos otras características del problema: Canales bloqueados, distancias mínimas, etc.


celular



Conceptos básicos

Modelos de PLE

Estudio poliedral

Branch & Cut




celular


G = (V, E)

C = {c1, c2, … , ct}

Objetivo: Colorear G usando colores de C, de manera tal que el coloreo minimice la cantidad de vértices adyacentes que reciben colores adyacentes (NP-H).


celular

Conceptos básicos


Modelos de PLE

Estudio poliedral

Branch & Cut

Nuevos resultados



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Conceptos básicos

Programación lineal

Hallar que maximice { ctx / Ax ≤ b }

Ejemplo: x = (x1,x2)

Maximizar x1 + x2

x1 + 3 x2 ≤ 12

3 x1 + 4 x2 ≤ 20

x1, x2 ≥ 0

Sujeto a

nx


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Conceptos básicos

x1

x2

Maximizar x1 + x2

x1 + 3 x2 ≤ 12

3 x1 + 4 x2 ≤ 20

x1, x2 ≥ 0

Sujeto a

2

12+1 = 3

1

2 1+2 = 3

x1+x2 = 3

x1+x2 = 5


celular

Conceptos básicos

x1

x2

Maximizar x1 + x2

x1 + 3 x2 ≤ 12

3 x1 + 4 x2 ≤ 20

x1, x2 ≥ 0

Sujeto a

16/5

12/5x1+x2 = 28/5


celular

Conceptos básicos

Programación lineal entera

Hallar que maximice { ctx / Ax ≤ b }nx

x1

x2

Planos de corte

x1+x2 = 5

1 2 3 4

1

2

3

4

5


celular

Conceptos básicos

Programación lineal entera

Branch & Bound

x1

x2

x2 ≥ 3

x2 ≤ 2

Branch & Cut = Branch & Bound + Planos de corte

1 2 3 4

1

2

3

4

5


celular

Conceptos básicos

Complejidad

Programación lineal P

Programación lineal entera NP-C


celular

Modelos de PLE

Conceptos básicos

Estudio poliedral

Branch & Cut




celular

Modelos de PLE

Modelos considerados:

Orientation model (Grötschel et. al., 1998)

Distance model

Representatives model (Campêlo, Corrêa y Frota, 2004)

Stable model (Méndez Díaz y Zabala, 2001)


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Modelos de PLE: Stable model

1vcc C

x

v V

xvc indica si el vértice v está pintado con el color c

zvw indica si los vértices v y w reciben colores adyacentes

min vwvw E

z

1vc wcx x , ,vw E v w c C

1 21 vc wc vwx x z ,vw E v w

1 2 1 2,| - | 1c c C c c

{0,1}vcx , v V c C {0,1}vwz ,vw E v w


celular

Estudio poliedral

Modelos de PLE

Branch & Cut




celular

Teorema: La 3-Colors Inner Clique Inequality es válida para

PS(G,C) y, si |C| > y |C| > |K| + 4, además define facetas de

PS(G,C).

Definición: Sea una clique de G y un vértice de la

clique. Sea un conjunto de colores consecutivos.

Definimos la 3-Colors Inner Clique Inequality como:

Estudio poliedral

Q = {c1, c2, c3}

K V k K

1 2 3}Q {c ,c ,c

1 2 3 2 ( ) 1vk kc kc kc vc

v K v Kv k v k

z x x x x

k

( )G


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Teorema: La 3-Colors Outer Clique Inequality es válida para


PS(G,C).



Definimos la 3-Colors Outer Clique Inequality como:

Estudio poliedral

Q = {c1, c2, c3}

K V k K

1 2 3}Q {c ,c ,c

1 2 3 1 3 ( 2 ) ( ) 2vk kc kc kc vc vc

v K v Kv k v k

z x x x x x

k

( )G


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Teorema: La 4-Colors Vertex Clique Inequality es válida para


PS(G,C).



Definimos la 4-Colors Vertex Clique Inequality como:

Estudio poliedral

Q = {c1, c2, c3 ,c4}

K V k K

1 2 3 4}Q {c ,c ,c ,c

1 2 3 4 2 3( 2 2 ) ( ) 2vk kc kc kc kc vc vc

v K v Kv k v k

z x x x x x x

k

( )G


celular

Teorema: La Consecutive Colors Clique Inequality es válida

para PS(G,C) y, si |C| > , |C|>|Q|, |C|>|K|+4, |K|> y |

C| > 2|K|-|Q|+2, además define facetas de PS(G,C).

Definición: Sea una clique de G y Q = {c1,…,cq} un conjunto

de colores consecutivos. Definimos la Consecutive Colors Clique

Inequality como:

Estudio poliedral

Q =

K V

1

1

,,

2 ( - 1) +q

q

vc vc vc vwv K c Q v w K

c c c

x x x q z

c1 cqc2 ……x x x x x x x

q-1 adyacencias

Resta 2 adyacencias

Resta 1 adyacencia

( )G2

|Q|


celular

Teorema: La Multi Consecutive Colors Clique Inequality es válida

para PS(G,C).

Definición: Sea una clique de G y ,

Estudio poliedral

C =

K V

1

1

1 1 ,,

2 ( - 1) +h hqh h

h hqh

p p

vc h vwvc vch v K h v w Kc Q

c c c

x x x q z

1

1 1 11{ ,..., }qQ c c

p conjuntos no adyacentes de

colores consecutivos. Definimos la Multi Consecutive Colors Clique

Inequality como:

2

2 2 21 1{ ,..., },..., { ,..., }

p

p p pq qQ c c Q c c

1Q 2Q pQ

…


celular

Teorema: Las Clique Inequalities son válidas para PS(G,C) y, si K

es una clique maximal y |C| > , entonces también definen

facetas de PS(G,C).

Definición: Sea una clique de G y un color

disponible. Definimos la Clique Inequality (Méndez Díaz y Zabala,

2001) como:

Estudio poliedral

K V c C

1vcv K

x

( )G


celular

Branch & Cut

Estudio poliedral




celular

Branch & Cut

Planos de corte: Algoritmos de separación

Técnicas usadas:

Cotas primales: Redondeo de soluciones

Reducción de subproblemas por implicaciones lógicas

Selección de variable para el branch


celular

Branch & Cut: Algoritmos de separación

Dada una solución fraccional y* = (x*,z*), buscamos cliques que violen la 3CIK Inequality:

1 2 3 2 ( ) 1vk kc kc kc vc

v K v Kv k v k

z x x x x

2

* *( )k vc vkv x z

Elegimos un vértice k y definimos el peso de un vértice v adyacente a k como:

El objetivo ahora es encontrar una clique K N(k) de manera tal que

1 2 3

* * *( ) 1 ( )k kc kc kcv K

v x x x

valor a superar


celular


Sea N(k) = {v1, v2, … , vp} tal que vi vi+1 i = 1,…,p-1 )ω()ω( Búsqueda por Backtracking:

v1

v2

…

vp

<maxω ω maxω


celular


Sea N(k) = {v1, v2, … , vp} tal que vi vi+1 i = 1,…,p-1 )ω()ω( Búsqueda por Backtracking:

Conjunto de vértices y pesos de los mismos

Adyacencias entre los vértices

Qué cliques devolver: N primeras, N mejores, todas.

Límite de nodos del árbol a inspeccionar.

Valor a superar por el peso de las cliques

Lista de cliques que violan la restricción, ordenada por los pesos de las cliques en forma decreciente

Datos de entrada:

Parametrización:

Salida:


celular

K = {v1}

para i = 2 hasta p

si K U {vi} es una clique

K = K U {vi}

fin para

si K supera el valor a superar

devolver K

si no

devolver {}

Datos de entrada:

Conjunto de vértices y pesos de los mismos

Adyacencias entre los vértices

Parametrización:

Cantidad de cliques a devolver (una para cada vi inicial)

Valor a superar por el peso de las cliques

Salida:

Lista de cliques que violan la restricción, ordenada por los pesos de las cliques en forma decreciente


Sea N(k) = {v1, v2, … , vp} tal que vi vi+1 i = 1,…,p-1 )ω()ω( Búsqueda por heurística golosa:

)ω(

Algoritmo:


celular

)x2x(x2(v) *kc

*kc

*kc

Kvk 321

ω


Podemos ahora utilizar los mismos métodos de separación para la 3COK Inequality:

Al igual que antes, elegimos un vértice k y en este caso definimos el peso de un vértice v adyacente a k como:

El objetivo ahora es encontrar una clique K N(k) de manera tal que

valor a superar

1 2 3 1 3 ( 2 ) ( ) 2vk kc kc kc vc vc

v K v Kv k v k

z x x x x x

*vk

*vc

*vck z )x(x(v)

31ω


celular

)x2x2x(x2(v) *kc

*kc

*kc

*kc

Kvk 4321

ω


Repetimos el mismo procedimiento de separación para la 4CVK Inequality:

En este caso el peso de cada vértice v adyacente a k se deine como:

Y el objetivo ahora es, nuevamente, encontrar una clique K N(k) de manera tal que

valor a superar

*vk

*vc

*vck z )x(x(v)

32ω

1 2 3 4 2 3( 2 2 ) ( ) 2vk kc kc kc kc vc vc

v K v Kv k v k

z x x x x x x


celular


Veamos ahora el caso de la CCK Inequality:

No podemos definir el peso de un vértice sin especificar antes K!

1

1

,,

2 ( - 1) +q

q


c c c

x x x q z


celular

Dado Q={c1, … , cq}, definimos el “peso estimado” de cada vértice v V como:


Veamos ahora el caso de la CCK Inequality:

q1

q1

c,ccQc

*vc

*vc

*vcQ 2xxx(v)ω~

1

1

,,

2 ( - 1) +q

q


c c c

x x x q z

Y usamos estos pesos para ordenar los vértices en un algoritmo similar al explicado (tanto en el backtracking como en la heurística), pero en el cual el valor a superar depende de los vértices utilizados en la clique.


celular


Extendiendo intervalos para la MCCK Inequality:

1

1

1 1 ,,

2 ( - 1) +h hqh h

h hqh

p p

vc h vwvc vch v K h v w Kc Q

c c c

x x x q z

1Q

C =21c 2

q2c

2Q


celular

Branch & Cut: Redondeo de soluciones

Cotas primales: Redondeo de soluciones

Algoritmo:

mientras queden xvc fraccionarias

elegir (v,c) tal que xvc = max{xvc : 0 < xvc < 1}

fijar xvc = 1

fijar xvc’ = 0 para todo c’ c

fijar xwc = 0 para todo w, vw E

fin mientras

Si para todo v

solución encontrada

1vcc C

x


celular

Branch & Cut: Implicaciones lógicas

Reducción de subproblemas por implicaciones lógicas:

Algoritmo:

Si

fijar para todo c’ c

fijar para todo w, vw E

Si y para vw E

fijar si

fijar si no

1vcx

' 0vcx

0wcx

11vcx

21wcx

1 2| | 1c c 1vwz

0vwz


celular

Branch & Cut: Selección de variable de branch

Selección de variable para branch:

Se elige la variable xvc cuyo valor esté más cercano a 0.5


celular


Branch & Cut



celular


Instancias de prueba extraídas del proyecto EUCLID CALMA.

Conjunto de prueba de 30 instancias (escogidas de la experimentación preliminar)

Pentium IV con 1Gb de memoria RAM y un microprocesador de 1.8 Ghz.

Contexto:

Las familias de desigualdades parecen no funcionar muy bien cuando se las utiliza por separado.

La combinación de las desigualdades MCCK y K brindan una fuerte fase de planos de corte para el branch & cut


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Este gráfico muestra los tiempos de ejecución promedio para diferentes combinaciones de familias utilizando como base la combinación MCCK+K.

También se muestra el tipo de separación utilizada para buscar las cliques.


celular


Visualizando en detalle los tiempos obtenidos por el backtracking podemos ver que la mejor combinación para este conjunto de pruebas resulta ser la combinación base (MCCK+K), utilizando el criterio “best” para la búsqueda de cliques.


celular


Luego se testearon diferentes valores para la cantidad de cliques devueltas por el backtracking (con MCCK+K y devolviendo las “mejores” cliques).

También se muestra el límite de nodos para la exploración del árbol de backtracking: 150, 300, 450 y 600 nodos.


celular


Analizando en detalle nuevamente podemos ver que los mejores tiempos se obtienen usando un número entre 14 y 22 cliques (en particular el mejor caso se obtuvo usando 20 cliques) con un límite de 150 nodos.


celular


Finalmente se experimentó con diferentes valores la cantidad de rondas de cortes utilizadas durante las fases de planos de cortes.

A su vez, se varía el skip factor con valores entre 1 y 5.


celular


En este caso, viendo en detalle, se nota que la diferencia entre los valores para el skip factor utilizando infinitas rondas es despreciable, aunque para los demás valores de rondas no lo es.


celular


El agregado de las demás familias a la combinación base de MCCK+K sólo empeora los tiempos de resolución.

Resultados:

La mejor elección de parámetros para el Branch & Cut se logra utilizando el backtracking con un límite de 150 nodos en la exploración del árbol de bactracking y devolviendo las mejores 20 cliques halladas. Además de un skip factor de 1 y la utilización de infinitas rondas de cortes.

Ahora con esta combinación de desigualdades válidas y la mejor parametrización hallada comparamos los tiempos obtenidos contra la ejecución de CPLEX sobre el modelo original.


celular



celular


El poliedro asociado al problema tiene una estructura combinatoria muy interesante.

El Branch & Cut parece ser muy eficiente y las desigualdades válidas propuestas parecen ayudar en forma decisiva.

La experimentación muestra que la combinación “MCCK+K+best 20” parece ser la mejor parametrización para el algoritmo branch & cut.

Conclusiones:


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Profundizar el estudio sobre los otros modelos.

Incorporar a este modelo los aspectos dejados de lado al comienzo.

Trabajo Futuro:

Adaptar el algoritmo para intentar la resolución de instancias más grandes.



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¡¡Muchas gracias!!

Diego Delle Donne

Departamento de Computación, FCEN, Universidad de Buenos Aires.

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