Resumen Segundo Parcial Logica

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Resumen Segundo Parcial “Lógica y Metodología de las CienciasLógica de Funciones Proposiciones singulares Para analizar la estructura interna de las proposiciones, ésta lógica comienza distinguiendo por un lado individuos y por otro lado propiedades . Por ejemplo tenemos la oración: “Pedro trabaja”. En lógica de funciones, el individuo (sujeto gramatical) es Pedro (nombre propio) y “trabaja” es la propiedad atribuida al individuo asignada por los predicados (trabaja). Este tipo de proposiciones en que se atribuye una propiedad a un individuo determinado se denomina proposición singular. Los nombres propios van simbolizados con las letras minúsculas ( constantes de individuos) “a”, “b”. También las palabras “yo”, “tú”, pueden ser simbolizadas de la misma manera. Los predicados son simbolizados mediante letras mayúsculas ( constantes de predicados) “F”, “G”, “H”. Ejemplo Práctico de Proposición Singular Sócrates es filósofo” Abstracción lógica (lógica de funciones): Fa, donde F representa es filósofo y a es Aristóteles. Las proposiciones pueden estar negadas: basta con colocarles delante del enunciado “-“. Entonces en nuestro ejemplo quedaría –Fa. También, no sólo aparecen proposiciones singulares. También formamos proposiciones compuestas, en cuyo caso recurrimos a las conectivas proposicionales para simbolizarlas. Ejemplo práctico de Proposición Compuesta Sócrates es filósofo y Marx es economista” Abstracción lógica: Fa.Gb Funciones proposicionales Cuando varios individuos tienen un mismo predicado, podemos reemplazarlos a ellos por una variable denominada “x”. Ahora el individuo está indeterminado. Y por esta razón, por ejemplo “x es mecánico”, ya no es más un proposición, ya que no es ni verdadera ni falsa, está indeterminada por un individuo. A estos tipos de enunciado los denominamos funciones proposicionales. Simbolizado quedaría Mx.

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Resumen Segundo Parcial Lgica y Metodologa de las CienciasLgica de FuncionesProposiciones singularesPara analizar la estructura interna de las proposiciones, sta lgica comienza distinguiendo por un lado individuos y por otro lado propiedades.Por ejemplo tenemos la oracin: Pedro trabaja. En lgica de funciones, el individuo (sujeto gramatical) es Pedro (nombre propio) y trabaja es la propiedad atribuida al individuo asignada por los predicados (trabaja). Este tipo de proposiciones en que se atribuye una propiedad a un individuo determinado se denomina proposicin singular.Los nombres propios van simbolizados con las letras minsculas (constantes de individuos) a, b. Tambin las palabras yo, t, pueden ser simbolizadas de la misma manera.Los predicados son simbolizados mediante letras maysculas (constantes de predicados) F, G, H.

Ejemplo Prctico de Proposicin Singular

Scrates es filsofo

Abstraccin lgica (lgica de funciones): Fa, donde F representa es filsofo y a es Aristteles.Las proposiciones pueden estar negadas: basta con colocarles delante del enunciado -. Entonces en nuestro ejemplo quedara Fa.

Tambin, no slo aparecen proposiciones singulares. Tambin formamos proposiciones compuestas, en cuyo caso recurrimos a las conectivas proposicionales para simbolizarlas.

Ejemplo prctico de Proposicin Compuesta

Scrates es filsofo y Marx es economista

Abstraccin lgica: Fa.Gb

Funciones proposicionalesCuando varios individuos tienen un mismo predicado, podemos reemplazarlos a ellos por una variable denominada x. Ahora el individuo est indeterminado. Y por esta razn, por ejemplo x es mecnico, ya no es ms un proposicin, ya que no es ni verdadera ni falsa, est indeterminada por un individuo. A estos tipos de enunciado los denominamos funciones proposicionales. Simbolizado quedara Mx. Las variables pueden entenderse como espacio vacos que, al ser ocupados por nombres propios o constantes, se convierten en proposiciones. Las variables pueden ser x, y, z.Las funciones proposicionales pueden estar negadas. Ejemplo: -Fx. Tambin pueden aparecer unidas mediantes las conectivas proposicionales. Por ejemplo: x es un nmero par e y es un nmero primo. Esto se simboliza: Fx.Gy

Proposiciones generales simples. Se denominan proposiciones generales simples las proposiciones que tienen un nico predicado, y son universales o existenciales.

Cuantificador universalAlgunas proposiciones estn precedidas por palabras todos, cualquier. La lgica simboliza a las palabras mediantes los signos (x), (y), (z), que son variables llamadas cuantificadores universales. Las proposiciones ahora son llamadas proposiciones universales.

Ejemplo tpicoTodo es negro.

Se simboliza: (x)Fx y se lee para todo x, ese x es negro. F es negro y x es la variable. El cuantificador universal se antepone a la funcin proposicional Fx, y se dice que la variable x cae bajo el alcance del cuantificador (x).

Las palabras ninguno,nada, simbolizan negaciones. Por lo tanto va a tener la forma (x) Fx. Un ejemplo de este tipo sera Nada es negro (para todo x, ese x no es negro).

Cuantificador existencialOtras proposiciones van precedidas por las palabras algn, algunas cosas. Estas expresiones son simbolizadas mediante los signos (Ex), (Ey), (Ez), los cuales son llamados cuantificadores existenciales, y a este tipo de enunciados se los denomina proposiciones existenciales.

Ejemplo tpicoAlgo es rojo

Se simboliza: (Ex)Fx y se lee hay por lo menos un x, tal que ese x es rojo.

Las proposiciones existenciales pueden estar negadas. Por ejemplo: Algo no es mortal, que se simboliza (Ex)-Fx (existe al menos un x que no es mortal).Proposiciones generales compuestasSon aquellas proposiciones universales o existenciales que poseen ms de una letra de predicado bajo el alcance de un cuantificador universal o existencial.Hay 4 tipos de proposiciones categricas:a) Universales afirmativas: por ejemplo Todas las hormigas son insectos. Se simboliza de la siguiente manera: (x)(Fx Gx). Se lee: para todo x, si ese x es hormiga, entonces ese x es insecto.b) Universales negativas. Por ejemplo Ninguna hormiga es insecto. Se simboliza: (x)(Fx -Gx). Se lee: para todo x, si ese x es hormiga, entonces ese x no es insecto.c) Particulares afirmativos: por ejemplo Algunos perros son negros. Se simboliza: (Ex)(Fx.Gx).Se lee: Existe por lo menos un x, tal que ese x es perro y es negro.d) Particulares negativos: por ejemplo: Algunos perros no son negros. Se simboliza: (Ex)(Fx.-Gx).Se lee: existe al menos un x, tal que ese x es perro pero no es negro.

Grficos

Grfico de Aristteles

Variables libres y ligadas: alcance de un cuantificadoLas variables ligadas son aquellas que caen bajo el alcance de un cuantificador. Por ejemplo: (x)(Fx -Gx), aqu el cuantificador alcanza a toda la expresin ejemplificada. En cambio las variables libres son aquellas que o bien no tienen un cuantificador correspondiente, o bien no caen bajo el alcance de un cuantificador. Por ejemplo: (x)Fx -Gx, el cuantificador llega hasta la x de Fx, y no a la x de Gx.

Lgica de ClasesVamos a considerar dos enunciados:1) Aristteles es filsofo.2) Aristteles es un filsofo.

Mientras el primero pone el acento en la llamada connotacin (intensin o sentido) del trmino filsofo, el segundo elude a la denotacin o extensin del trmino (Aristteles se haya dentro del conjunto de individuos denotados por filsofo).Slo en algunos pocos casos el lenguaje indica claramente un uso extensional o intensional de los trminos. La mayora de las proposiciones admiten por igual una u otra interpretacin, como por ejemplo Todo ateniense es griego.La lgica de funciones corresponde a un punto de vista intensional, mientras que la lgica de clases pone atencin en la vinculacin entre los individuos y los conjuntos a los cuales stos pueden o no pertenecer. Las clases son conjuntos, colecciones de cosas (que pueden ser objetos materiales, seres vivos, entes ideales, etc) que tienen alguna propiedad en comn, por ejemplo todos los planetas, todos los hombres famosos de la historia. En fin una clase es una entidad ideal. Esto es debido a que por ejemplo tenemos la clase de los planetas y esta clase es una entidad abstracta, no puede ser destruida; lo que puede ocurrir en el caso de que no haya planetas, es que ella no tenga elementos (clase nula o conjunto vaco).

Clasificacin de las clasesa) Clases unimembres: son aquellas que contienen un solo individuo. Ej: la clase de satlites naturales de la Tierra, que el nico es la Luna.b) Clases vacas: son aquellas en donde no hay individuos. Ej: los economistas egresados en 2015.c) Clases finitas: son aquellas en donde hay un fin determinado. Ej: los pases latinoamericanos.d) Clases infinitas: son aquellas donde el fin es indeterminado. Ej: nmeros primos.

La vinculacin que existe entre un individuo y la clase de la cual l es un miembro se denomina relacin de pertenencia; cuando un individuo es miembro de una clase se dice que es un elemento de ella, que pertenece a ella. Esta relacin es expresada en lgica de clases mediante el smbolo . Para negar pertenencia se simboliza . Como smbolo de clases se utiliza A, B, C, D. Y para simbolizar a los individuos se utilizan las letras minsculas a, b, c. Por ejemplo Aristteles es un filsofo. En lgica de clases se simboliza: a A. Tambin podemos encontrarnos con vinculacin de proposiciones; basta con utilizar las conectivas proposicionales (Compuestas).Operaciones con clasesCada una de las operaciones que se practican puede definirse en forma precisa recurriendo al concepto de pertenencia y conectivas proposicionales, del siguiente modo:a) Complemento: el complemento de una clase A ( es la clase formada por todos los individuos que no pertenecen a A. Por lo tanto ( A. Se simboliza con la letra V que es el universo de discurso.Esta operacin presupone la nocin de clase universal; la clase ( ser exactamente igual a lo que queda del universo una vez que se ha restado o quitado de ste los miembros de A. Por eso es necesario, cuando se realiza esta operacin con una clase determinada, hacer explcito el universo del discurso.

Representacin de la operacin:

El rea del rectngulo representa la clase universal (V), el crculo la clase A y el rea sombreada el complemento de sta, es decir (.

Ejemplo de esta operacin: el complemento de provincias recias, son las provincias pobres (Universo de discurso: provincias).

b) Interseccin: la interseccin (llamada tambin producto lgico) de dos clases A y B (AB) es la clase formada por todos los individuos que pertenecen a A y a B. Por ejemplo la interseccin de la clase de los mamferos y la de los animales acuticos es igual a la clase de los mamferos acuticos. El operador de interseccin es binario, se aplica a dos clases.

El rea sombreada representa la interseccin de las dos clases.Cuando dos conjuntos no tienen ningn miembro en comn se dice que son conjuntos disyuntos; la interseccin entre stos conjuntos es igual a la clase nula. Por definicin toda clase y su complemento son conjuntos disyuntos; por lo tanto la interseccin de cualquier clase con su complemente es igual a la clase nula.

c) Unin: la unin (llamada tambin suma lgica) de dos clases A y B (A B) es la clase formada por todos los individuos que pertenecen a A o (en sentido inclusivo) B. Por ejemplo: la unin de la clase de los animales unicelulares y la de los animales pluricelulares es igual a la clase de los animales.

El rea sombreada representa la unin de A y B.De acuerdo con las definiciones de unin, complemento y clase universal, la unin de cualquier clase con su complemento da como resultado la clase universal.

Relaciones entre clasesa) Inclusin: decir que una clase A est incluida en una clase B (A B) equivale a afirmar que todo elemento de A es tambin elemento de B. Por ejemplo: la clase de los nmeros racionales est incluida en la clase de los nmeros.Para negar que entre dos clases A y B se d esta relacin, puede apelarse a la conectiva - (- ( A B)) o testarse el smbolo de inclusin: C

Inclusin y pertenenciaLa pertenencia se predica de un individuo con respecto a una clase o conjunto (Juan es hombre). La inclusin, en cambio, slo puede darse entre clases (Los cuadrados son cuadrilteros).Es cierto que siempre que una clase A est incluida en otra B, cada uno de los individuos de A pertenece tambin a B; pero sera errneo considerar que cada miembro de A est incluido en B.

Grficos

Segundo Grafico:a) A c B: todo cuervo es negro. b) A c : ningn cuervo es negro.c) A c : algn cuervo es negro.d) A c B: algn cuervo no es negro.

Tercer grfico:a) (x) x A: todo es negro (para todo X, ese X pertenece a la clase del negro).b) (x) x A: nada es negro. (para todo X, ese X no pertenece a la clase del negro).c) (Ex) x A: algo es negro. (hay por lo menos un X, tal que ese X pertenece a la clase del negro).d) (Ex) x A: algo no es negro. (hay por lo menos un X, tal que ese X no pertenece a la clase del negro).

Lgica de relacionesLa lgica de relaciones presenta una simbologa. Una relacin binaria se expresa: xRy, que debe interpretarse como X tiene relacin R con Y, donde x es el referente e y es el relato.Dominio: es el conjunto de individuos que satisfacen la relacin como referentes.Codominio: es el conjunto de individuos que satisfacen la relacin como relatos.Campo: se llama campo de R a la unin (suma lgica) del dominio y el codominio de R.

Propiedades formales de las relaciones

1) Reflexividad

a) Reflexiva: una relacin es totalmente reflexiva si y slo si todo individuo, que pertenece al campo de la relacin, tiene esa relacin consigo mismo. Representacin: x R x. Ejemplo: ser igual a.b) No reflexiva: una relacin es no reflexiva cuando puede darse o no la relacin del individuo consigo mismo. Por ejemplo: herir a (que alguien se hiere a s mismo no es lgicamente necesario, pero es lgicamente posible). c) Irreflexividad: una relacin es irreflexiva si y slo si ningn individuo tiene esa relacin consigo mismo. Representacin: (x) x R x. Ejemplo: ser padre de.

2) Simetra

a) Simtrica: una relacin R es simtrica si y slo si para todo par de valores x e y, si x tiene relacin R con y e y tiene relacin R con x. Representacin: x R y. Ejemplo: ser colega de.b) No simtrica: una relacin es no simtrica cuando un individuo (x) tiene relacin con otro individuo, pero ste ltimo individuo a veces mantiene relacin con el otro (x), o viceversa. Ejemplo: admirar a.c) Asimtrica: una relacin es asimtrica si y slo si para todo par de valores x e y se cumple que si x tiene la relacin R con y, entonces y no tiene la relacin R con x. Ejemplo: Ser mayor que.

3) Transitividad

a) Transitiva: una relacin R es transitiva si y slo si para todo conjunto de valores x, y, z se cumple que, si x tiene relacin R con y, e y tiene relacin R con z, entonces x tiene relacin R con z. Ejemplo: Ser descendiente de.b) No transitiva: una relacin es no transitiva si x se relaciona con y, e y con z, pero a veces x mantiene relacin con z. Ejemplo: Ser tan generoso como.c) Intransitiva: una relacin R es intransitiva si y slo si para todo conjunto de valores x, y, z se cumple que, si x tiene relacin R con y, e y tiene relacin R con z, entonces x no tiene relacin R con z. Ejemplo: Ser nieto de.Tipos de relacionesa) Uniunvocas: se presenta cuando la relacin se establece solamente entre un referente y un relato. Ejemplo: Ser la Carta Orgnico del municipio de.b) Unimultvocas: se presenta cuando a un referente le corresponde 1 o ms relatos en una relacin. Ejemplo: Ser padre de.c) Multiunvocas: para cada elemento del dominio hay uno y slo un elemento del codominio, es decir a varios referentes le corresponden un relato. Ejemplo: Tener por padre a.d) Multimultvocas: para cada elemento del dominio le corresponden muchos elementos del codominio, es decir a varios referentes le corresponden varios relatos. Ejemplo: Ser nietos de.

Representacin grfica de los tipos de relaciones

Uniunvocas

Unimultvocas

Multiunvocas

Multimultvocas