RESUMEN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 1
CONCEPTOS BÁSICOS
I. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
II. DIVISIÓN DE UN SEGEMENTO EN UNA RAZÓN
DADA
�(�; �)
� = � + ���1 + �
� = � + ���1 + �
III. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
�(��; ��)
�� = � + ��2
�� = � + ��2
IV. PENDIENTE DE UNA RECTA
DADO EL ÁNGULO DADOS 2 PUNTOS
� = ����
� = �� − ��� − �
V. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS DADAS SUS
PENDIENTES
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
VI. CONDICIONES DE PARALELISMO
VII. CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD
ECUACIONES DE LA RECTA
VIII. PUNTO PENDIENTE
IX. CARTESIANA Ó DADOS 2 PUNTOS
�� = ��
�� ∙ �� = −�
� = �(�� − �)� + (�� − �)�
� = ������ � �� − �1 + �� ∙ �
� − � = �(� − �)
� − � = �� − ��� − � (� − �)
�� − �
� �� − �
�
���
��
� ��
� �
�
�� − �
� �� − �
�
���
��
� ���
� �
!
�
!���
� = ��
�
�
!
�
!�
��! ⊥ !�
�
�
� = ��##########���#####
RAZÓN DADA
�
�
��
���
�
��
�
�
�
�
! � !� ��
�
�
���
�
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 2
X. ORDINARIA Ó PENDIENTE INTERCEPTO EN Y
XI. SIMÉTRICA Ó DADOS LOS INTERCEPTOS
XII. FÓRMULA GENERAL $� + %� + & = 0
PENDIENTE DE LA RECTA
INTERCEPTO EN EL EJE Y
� = − $% ( = − &%
XIII. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
XIV. DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
ÁREA DE UN POLIGONO
$ = ))� �� �...�+ �+� �
))=
� , (��� + ���- + ⋯ + �+�)−(��� + �-�� + ⋯ + ��+)/
CÓNICAS
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
DATOS: Centro y radio
ECUACIÓN CANÓNICA
ECUACIÓN ORDINARIA
�� + �� = �� (� − ℎ)� + (� − 1)� = ��
XV. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
RECTAS PARALELAS !: $� + %� + & !�: $� + %� + &�
3(!; !�) = |&� − &|√$� + %�
$�� + %�� + �� + 6� + 7 = 0
IDENTIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS
DISCRIMINANTE: 8 = 9� − :;<
ELIPSE: PARÁBOLA: HIPÉRBOLA:
%� − 4$& < 0 negativo %� − 4$& = 0 cero %� − 4$& > 0 positivo
�� + �� + �� + 6� + 7 = 0
Centro Radio
&(ℎ; 1) = &(− �2 ; − 62) � = √�� + 6� − 472
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
� = �� + (
�� + �( = 1
3(�; !) = |$�@ + %�@ + &|√$� + %�
�(�@; �@)
�@
� �@
�
$� + %� + & = 0
�(�; �)
1
ℎ
&(ℎ; 1)
�
�
7A&A 1
ℎ
B(ℎ; 1)
C
� DIRECTRIZ
C
�
VÉRTICE
LADO RECTO
EJE FOCAL
�(�; �)
7
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 3
DATOS IMPORTANTES B(ℎ; 1): �DD�3EF�3�G 3EH Ié��K�E C: 3KG��F�K� 3EH Ié��K�E �H LD�D
PARÁBOLA HORIZONTAL(Eje Focal // al eje X)
ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN ORDINARIA
�� = 4C� (� − 1)� = 4C(� − ℎ)
Vértice: B(0; 0) Foco : 7(C; 0) Directriz: � = −C Long. Recto: !M = |4C| Eje focal: � = 0
Vértice: B(ℎ; 1) Foco : 7(ℎ + C; 1) Directriz: � = ℎ − C Long. Recto: !M = |4C| Eje focal: � = 1
PARÁBOLA VERTICAL(Eje Focal // al eje Y)
ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN ORDINARIA
�� = 4C� (� − ℎ)� = 4C(� − 1)
Vértice: B(0; 0) Foco : 7(0; C) Directriz: � = −C Long. Recto: !M = |4C| Eje focal: � = 0
Vértice: B(ℎ; 1) Foco : 7(ℎ; 1 + C) Directriz: � = 1 − C Long. Recto: !M = |4C| Eje focal: � = 1
XVI. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
DATOS IMPORTANTES &(ℎ; 1): �DD�3EF�3�G 3EH �EF��D �: HDF�K�N3 3EH GE�KEOE ���D� (: HDF�K�N3 3EH GE�KEOE �EFD� �: 3KG��F�K� 3EH �EF��D �H LD�D $3E�áG: � > ( ∧ � > � �ED�E�� 3E �K�á�D��G: �� = (� + ��
ELIPSE HORIZONTAL(Eje Focal // al eje X)
ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN ORDINARIA
���� + �(�� = 1
(� − ℎ)��� + (� − 1)(�� = 1
Centro: &(0; 0) Vértices: B(±�; 0) Focos: 7(±�; 0)
Lado recto: �STU
Centro: &(ℎ; 1) Vértices: B(ℎ ± �; 1) Focos: 7(ℎ ± �; 1)
Lado recto: �STU
ELIPSE VERTICAL(Eje Focal // al eje Y)
ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN ORDINARIA
��(� + ���� = 1
(� − ℎ)�(� + (� − 1)��� = 1
Centro: &(0; 0) Vértices: B(0; ±�) Focos: 7(0; ±�)
Lado recto: �STU
Centro: &(ℎ; 1) Vértices: B(ℎ; 1 ± �) Focos: 7(ℎ; 1 ± �)
Lado recto: �STU
X
y
V F
X
y
VF
y
X
F
F
y
V X
V
PARÁBOLA HORIZONTAL PARÁBOLA VERTICAL �� + �� + 6� + 7 = 0 �� + �� + 6� + 7 = 0 � = −4C 6 = −21 7 = 1� + 4Cℎ
V = −2ℎ W = −4C X = ℎ� + 4C1
7A&A B�
�
EJE MAYOR= 2�
(
�
DISTANCIA FOCAL = 2�
EJE NORMAL
�(�; �) 7
B
(
7�
EJE FOCAL
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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XVII. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
DATOS IMPORTANTES &(ℎ; 1): �DD�3EF�3�G 3EH �EF��D �: HDF�K�N3 3EH GE�KEOE ���FGIE�GD (: HDF�K�N3 3EH GE�KEOE �DFON��3D �: 3KG��F�K� 3EH �EF��D �H LD�D $3E�áG: � > ( ∧ � > � �ED�E�� 3E �K�á�D��G: �� = (� + ��
HIPÉRBOLA HORIZONTAL(Eje Focal // al eje X)
ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN ORDINARIA
���� − �(�� = 1
(� − ℎ)��� − (� − 1)(�� = 1
Centro: &(0; 0) Focos : 7(±�; 0)
Asíntotas: YU + ZS = 0
YU − ZS = 0
Centro: &(ℎ; 1) Focos : 7(ℎ ± �; 1)
Asíntotas: Y[\U + Z[]S = 0
Y[\U − Z[]S = 0
HIPÉRBOLA VERTICAL(Eje Focal // al eje Y)
ECUACIÓN CANÓNICA ECUACIÓN ORDINARIA
���� − �(�� = 1
(� − 1)��� − (� − ℎ)(�� = 1
Centro: &(0; 0) Focos : 7(0; ±�)
Asíntotas: ZU + YS = 0
ZU − YS = 0
Centro: &(ℎ; 1) Focos : 7(ℎ; 1 ± �)
Asíntotas: Z[]U + Y[\S = 0
Z[]U − Y[\S = 0
XVIII. ECUACIÓN GENERAL DE LA HIÉRBOLA
;^� − 9_� + V^ + W_ + X = `
HIPÉRBOLA HORIZONTAL HIPÉRBOLA VERTICAL $ = (� ; = −�� & = −�� < = (� � = −2(�ℎ V = 2��ℎ 6 = 2��1 W = −2(�1 7 = (�ℎ� − ��1� − ��(� X = ��ℎ� − 1� − ��(�
$�� + %�� + �� + 6� + 7 = 0
ELIPSE HORIZONTAL ELIPSE VERTICAL $ = (� ; = �� & = �� < = (� � = −2(�ℎ V = −2��ℎ 6 = −2��1 W = −2(�1 7 = (�ℎ� + ��1� − ��(� X = ��ℎ� + (�1� − ��(�
6a6 &Abacd$�A
1
ℎ
�
ASÍNTOTAS
�
EJE FOCAL
B
B�
7
7�