RESULTADOS

Actividad 2. Analicemos otro problema similar al que vimos en la Actividad 4 de la Unidad 1, con la pretensión de abordar la aceleración.

En un juego de béisbol uno de los jugadores lanza una pelota a otro jugador con una velocidad inicial de 80 m/seg. Consideramos que la altura a la que se lanza la pelota es cero, la función que describe la trayectoria de la pelota es:

1. Explica cómo se obtuvo esta función.

Como recordarás, la aceleración es un concepto que podemos concebir como el cambio (o variación) de la velocidad con respecto al tiempo. Como la velocidad es en sí un cambio de la distancia con respecto al tiempo, la aceleración es el cambio del cambio, esto quiere decir que la pelota cuando cae va incrementando su velocidad 9.8 m/seg cada segundo, por eso las unidades de la aceleración son en segundos al cuadrado. Claro que cuando la pelota se va elevando va disminuyendo su velocidad en 9.8 m/seg cada segundo.

Completa la tabla siguiente:

t s (t)= 80t - 4.9t2 Variación (cambio) de la

altura: ∆sn = s(tn) – s(tn-1)

Variación (cambio) del

cambio de la altura

t0 =0 s(t0) = 0 ∆s0 = s(t0) – s(t-1) =0 ∆s0 - ∆s-1 = 0

t1 =1 s(t1) = 75.1 ∆s1 = s(t1) – s(t0) = 75.1 ∆s1 - ∆s0 = 75.1

t2 = 2 s(t2) = 140.4 ∆s2 = s(t2) – s(t1) = 65.3 ∆s2 - ∆s1 = -9.8

t3 = 3 s(t3) = 195.9 ∆s3 = s(t3) – s(t2) = 55.5 ∆s3 - ∆s2 = -9.8

t4 = 4 s(t4) = 241.6 ∆s4 = s(t4) – s(t3) = 45.7 ∆s4 - ∆s3 = -9.8

t5 = 5 s(t5) = 277.5 ∆s5 = s(t3) – s(t2) = 35.9 ∆s5 - ∆s4 = -9.8

t6 = 6 s(t6) = 303.6 ∆s6 = s(t6) – s(t5) =26.1 ∆s6 - ∆s5 = -9.8

t7 = 7 s(t7) = 319.9 ∆s7 = s(t7) – s(t6) =16.3 ∆s7 - ∆s6 = -9.8

t8 = 8 s(t8) = 326.4 ∆s8 = s(t8) – s(t7) = 6.5 ∆s8 - ∆s7 = -9.8

t9 = 9 s(t9) = 323.1 ∆s9 = s(t9) – s(t8) = -3.3 ∆s9 - ∆s8 = -9.8

t10 = 10 s(t10) = 310 ∆s10 = s(t10) – s(t11) = -13.1 ∆s10 - ∆s9 = -9.8

t11 = 11 s(t11) = 287.1 ∆s11 = s(t11) – s(t10) =-22.9 ∆s11 - ∆s10 = -9.8

Después de completar la tabla, se observa que la variación de la variable independiente (∆t ) es constante, es decir, el cambio que resulta ser constante es el segundo cambio, en resumen, el cambio del cambio es constante.

Como ya hemos visto, la velocidad promedio de la pelota del tiempo t1 al tiempo t2, está dada por

3. Traza la gráfica de la función s(t).

4. ¿Cuál es la velocidad de la pelota durante sus primeros 3 segundos, esto es, en el intervalo de 0 a 3 segundos? ¿Y en el intervalo de 2 a 3 segundos?

Velocidad en los primeros tres segundos =

V=s(t 3)−S (t 0)t 3−t 0

V=195.9−03−0

= 65.3

65.3

Velocidad de 2 a 3 segundos =

V=s(t 3)−S (t 2)t 3−t 2

V=195.9−140.43−2

= 55.5

55.5

5. Interpreta geométricamente las velocidades promedio que determinaste en la pregunta 4, para ello, traza las rectas correspondientes que contribuyen a la interpretación. Ubica en la gráfica a ∆s y a ∆t

para cada velocidad promedio encontrada. ¿Qué representa en cada caso ∆ t∆ s?

Si no te queda claro como hacer lo anterior revisa lo que hicimos en la Unidad 1, Actividad 4. La revisión que hagas también te servirá para entender mejor lo que sigue.

6. Ahora determina la velocidad instantánea, o razón de cambio instantáneo cuando t = 3. Con este fin trata de establecer un proceso infinito que nos permita dar el resultado. Para ello completa la tabla siguiente:

2.9 190.791 -5.109 -0.1 51.092.99 195.39351 -0.50649 -0.01 50.649

2.999 195.8493951 -0.0506049 -0.001 50.60492.9999 195.89494 -0.0050600490 -0.0001 50.60049

2.99999 195.899494 -0.0005060005 -0.0000100000 50.600049

2.999999 195.8999494 -0.0000506000 -0.000001000050.6000049

2

2.9999999 195.8999949 -0.0000050600 -0.000000100050.6000004

3

2.99999999195.899999494

0 -0.0000005060 -0.000000010050.6000023

6

2.999999999195.899999949

4 -0.0000000506 -0.000000001050.6000177

6

2.9999999999195.899999994

9 -0.0000000051 -0.000000000150.6000177

62.9999999999900

0195.899999999

5 -0.0000000005 0.000000000050.6020072

82.9999999999999

0195.900000000

0 -0.000000000005-

0.0000000000001050.6311111

1

.99999999999900195.899999999

9 -0.000000000051-

0.0000000000010050.6145648

3

Intervalo de tiempo

De 2.9 a 3 51.09

De 2.99 a 3 50.649

De 2,999 a 3 50.6049

De 2.9999 a 3 50.60049

De 2.99999 a 3 50.600049

De 2.999999 a 3 50.60000492

De 2.9999999 a 3 50.60000043

De 2.99999999 a 3 50.60000236

De 2.999999999 a 50.60001776

De 2.9999999999 a 3 50.60001776

De 2.99999999999 a 3 50.60200728

De 2.999999999999 a 3 50.63111111

De 2.9999999999999 a 3 50.61456483

Si utilizas calculadora, uno de los problemas a los que te enfrentarás es que llega el momento, en que el dispositivo no puede trabajar de manera exacta con tantos decimales. Afortunadamente, observando el patrón que se va generando en la sucesión infinita correspondiente a la velocidad promedio, puedes decir cuál es la respuesta. A 50.6

La tabla nos muestra que conforme t se acerca cada vez más y más a 3 en este proceso infinito, la velocidad promedio se va aproximando cada vez más y más a un valor límite L, es decir,

Es pertinente aclarar que este límite que acabas de determinar es un límite que se llama límite por la izquierda, pues el proceso infinito que se realizó fue con valores que están a la izquierda del 3. Si se hubiese hecho el proceso infinitocon valores que están a la derecha del 3 y se fueran acercando tanto

como quisiéramos a 3, entonces tendríamos un proceso infinito en el que nos acercamos por la derecha, por esta razón se le llama límite por la derecha de la función. Cuando los valores de ambos límites coinciden, se dice que el límite de la función existe para el valor considerado, en nuestro caso

para t = 3. Lo anterior se puede sintetizar como sigue:

Es muy importante resaltar el resultado anterior (llamado teorema bilateral) pues hay casos, que veremos posteriormente, en donde no coinciden los límites por la izquierda y por la derecha, por esta razón el límite no existirá.

7. Pasemos ahora a verificar que el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda, es decir que

Para lo cual te invitamos a completar la siguiente tabla.

3.1 200.911 5.011 0.1 50.113.01 196.40551 0.50551 0.01 50.551

3.001 195.9505951 0.0505951 0.001 50.59513.0001 195.90506 0.0050599510 0.0001 50.59951

3.00001 195.900506 0.0005059995 0.0000100000 50.599951

3.000001 195.9000506 0.0000506000 0.000001000050.5999951

13.000000100000000 195.9000051 0.0000050600 0.0000001000 50.5999993

3.000000010000000 195.9000005060 0.0000005060 0.000000010050.5999995

2

3.000000001000000 195.9000000506 0.0000000506 0.000000001050.5999893

4

3.000000000100000 195.9000000051 0.0000000051 0.000000000150.6000177

6

3.000000000010000 195.9000000005 0.0000000005 0.000000000050.5991651

1

3.000000000001000 195.9000000001 0.000000000051 0.00000000000100050.5861456

5

Intervalo de tiempo

De 3.1 a 3 50.11

De 3.01 a 3 50.551

De 3.001 a 3 50.5951

De 3.0001 a 3 50.59951

De 3.00001 a 3 50.599951

De 3.000001 a 3 50.59999511

De 3.0000001 a 3 50.5999993

De 3.00000001 a 3 50.59999952

De 3.000000001 a 3 50.59998934

De 3.0000000001 a 3 50.60001776

De 3.00000000001 a 3 50.59916511

De 3.000000000001 a 3 50.58614565

8. La siguiente es la gráfica de la función s con respecto a t, te pedimos que en ella realices la interpretación geométrica de la velocidad promedio de: 0 a 3 segundos, de 1 a 3 segundos, de 2 a 3 segundos, de 2.5 a 3 segundos, de 3 a 4 segundos, de 3 a 3.5 segundos y la velocidad instantánea cuanto t = 3.

v=S (t 0 )−S (3 )

0−3

v=0−195.90−3

v=195.93

v=195.93

v=65.3

v=S (t 1 )−S (3 )

0−3

v=75.1−195.91−3

v=120.82

v=60.4

v=S (t 3.5 )−S (3 )

3.5−3

v=219.975−195.93.5−3

v=24.0750.5

v=48.15

v=S (t 4 )−S (3 )

3.5−3

v=241.6−195.94−3

v=45.71

v=45.7

En conclusión podemos afirmar que las pendientes de las rectas secantes se identifican con velocidades promedio, o razones de cambio promedio, y que en general la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (t,s(t)) equivale a la velocidad o razón de cambio instantáneo de s con respecto a t.

Las pendientes de las rectas secantes a la curva que representan a una función son, equivalentes a la razón de cambio promedio y en nuestro problema se identifican con las velocidades promedio. En general, a partir de

un proceso infinito podemos determinar la razón de cambio instantánea de una función f(x), en x = a, representado por:

En caso de que este límite exista, se le llama derivada de f en x = a, la cual se denota por f’(a), se le interpreta como la razón de cambio instantánea y geométricamente representa la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a)) de la gráfica de f(x).

Así pues, la derivada de la función s cuando t = 3 se simboliza como

Y representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la gráfica de s en el punto (3,s(3)).

Tal y como hicimos en la Actividad 4 de la Unidad 1, podemos simplificar el proceso infinito para determinar la velocidad instantánea cuando t = 3seg, mediante el procedimiento siguiente:

Hecho lo anterior, podemos preguntarnos qué ocurre con el cuando nos acercamos a 3, ya sea por la izquierda o por la derecha. La pregunta se puede contestar si entendemos lo que ocurre con -4.9t conforme t tiende a 3, por la izquierda o por la derecha, porque como 65.3 es una constante, esa cantidad no variará conforme t se acerque a 3.

Claro que el

10. Utilizando las ideas anteriores determina la velocidad instantánea de la pelota cuando t = 5 seg, es decir encuentra s’(5) = v(5).

limt →5

80 t−4.9 t 2−¿¿¿

limt →5

80 t−4.9 t2−277.5t−5

limt →5

(t−5 )(−4.9 t+55.5)t−5

limt →5

(−4.9 t+55.5)=31m /seg

Siguiendo el procedimiento simplificado, podemos seguir encontrando la velocidad instantánea para diferentes valores de t, pero te pedimos que ahora lo hagas no para un valor particular de t, sino en general, para cualquier valor de t, es decir para t = T.

Para encontrar el resultado, además de efectuar correctamente la división indicada cuando se calcula la derivada de una función, deberás resolver adecuadamente y comprender lo que sigue.

Actividad 3

Responde a las preguntas siguientes:

A) =3

B) =5

C) = a

D) = 5 t=5 (3 )=15

E) = 4 t=5 (x )=4 x

F) = t2=(32 )=(9 )

G) 5 t2=5 ( 42 )=(5 ) (16 )=80

H) 7 t 2=7 (b2)=(7 )b2=7b2

Ejercicios. 1.- f ´ (−1 )=−2x2+5

f ´ (−1 )=−2 x2+5−(−2 x2+5)x+1

´ (−1 )=−2 x2+5−(−2(1)+5)x+1

f ´ (−1 )=−2 x2+5−(−2+5)x+1

f ´ (−1 )=−2 x2+5−(3)x+1

f ´ (−1 )=−2 x2+5−3x+1

f ´ (−1 )=−2 x2+2x+1

f ´ (−1 )=−2(x¿¿2 –1)x+1

¿

f ´ (−1 )=−2(x¿¿+1)(x−1)

x+1¿

f ´ (−1 )=−2(x−1)

f ´ (−1 )=−2(−1−1)

f ´ (−1 )=−2(−2)

f ´ (−1 )=4

17. Utilizando la definición de derivada y determinar:

f ´ (2 )=3 x−2−(3 x−2)x−a

f ´ (2 )=3 x−2−(3 (2)−2)x−2

f ´ (2 )=3 x−2−(6−2)x−2

f ´ (2 )=3 x−2−(4)x−2

f ´ (2 )=3 x−2−4x−2

f ´ (2 )=3 x−6x−2

f ´ (2 )=3 (x−2)x−2

f ´ (2 )=3(1)

f ´ (2 )=3

Graficador: Se utilizo un software para la graficar de las funciones

Nombre: “Sketchpad” Software de Geometría Dinámica para explorar matemáticas

Versión: 4.05

PRESENTAN:

SARAHY JOFFRE BARCENAS

MATRICULA: 42800244