Respuesta y parametros de Sistemas de 1° y 2° orden

8/16/2019 Respuesta y parametros de Sistemas de 1° y 2° orden

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SISTEMAS DE PRIMER

ORDEN


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Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a

una ecuación diferencial de primer orden

)()()(

00 t r bt cadt

t dc=+

La función de transferencia es:

0

0

)(

)(

as

b

s R

sC

+

=

reacomodando términos también se puede escribir como:

1)(

)(

+=

s

K

s R

sC

τ

donde0

0abK = , es la ganancia en estado estable,

0

1

a=τ , es la constante de tiempo del sistema.

el valor τ

1

0 −=−=

as se denomina polo.


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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso

)()(0

0 s Ras

bsC

+= 1)( =s R

+= −

0

10

1)(

asbt c L

t aebt c 00)( −

=

La salida en Laplace es

Utilizando transformada inversa de Laplace

Se obtiene la salida en función del tiempo

se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de τ


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)(t ct

0τ

0367879.0 b

0135335.0 b

0b

τ 2

τ 3

τ 4

0049787.0 b

0018315.0 b

respuesta al impulso

0b

t

0367879.0 b

τ


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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón de

magnitud A

)()(0

0 s Ras

bsC

+=

s

As R =)(

+= −

)(

1)(

0

10

ass Abt c L

)1()( 0t a

e AK t c −−=




Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de τ


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respuesta al escalón

AK

t

AK 632120.0

τ

AK 981684.0

τ 4

)(t ct

0τ AK 632120.0

0

τ 2

τ 3

τ 4

AK 864664.0

AK 950212.0

AK 981684.0

Comentarios:

•La constante de tiempo ( τ ) es igual al tiempo que tarda la salida enalcanza un 63.212% del valor final.

•Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito,

pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se

considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje

del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%( ) y el del 95% ( )τ 4 τ 5


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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de

magnitud A



)()(0

0 s Ras

bsC

+= 2)(

s

As R =

+= −

)(

1)(

02

10

ass Abt c L

t ae AK t AK t c 0)()(

−+−= τ τ


At t r =)(


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respuesta a la rampa

AKt

t τ


t ae AK t AK t c 0)()( −+−= τ τ

τ AK

τ

error en

estado estable

Nota:

Es importante aclarar que laentrada es de pendiente A,

mientras que la salida presenta

pendiente AK desfasada seg.

En otras palabras siempre que laganancia en estado estable (K) del

sistema no sea igual a uno,

existirá un error en estado estable

infinito.

τ


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Ejercicio:

Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente:

1. De la función de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida.

2. De una gráfica (o datos) de respuesta de salida obtener la función detransferencia.

Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.

L Rs

LsV

s I

+=

1

)(

)(

Desarrollo:

No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta

normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:

cuando se aplica una entrada escalón de)(t i volt1Determinar la corriente


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entonces directamente se obtiene la ecuación:

)1(1

)( t

L

R

e R

t i −

−=

t

R

L

R

1

R

L2

R

L3

R

L4

1

1

)(

)(

+=

s R L

R

sV

s I K R =1 Ganancia en estado

estable

τ = R

L Constante de tiempo


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Ejercicio:

Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts.

Alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarde 130 segundos en

alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de

primer orden que represente mejor esta respuesta.

Desarrollo:Se define la ganancia en estado estable:

559.2127

325===

entradadeVoltaje

estableestadoenaTemperatur K

Se determina la constante de tiempo:Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la

salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la

constante de tiempo.

5.32

4

130==τ


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por último se sustituye en la forma:

1)(

+=

s

K sG

τ

15.32

559.2

)(

)(

+=

ssV

sT

La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es

30769.0

078738.0

)(

)(

+= ssV

sT


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SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN


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Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a

una ecuación diferencial linea de segundo orden

)()()(

)()()(

212

2

0212

2

0 t r bdt

t dr b

dt

t r d bt ca

dt

t dca

dt

t cd a ++=++

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

.0,,,1 102210 ====== bbK ba paa

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

)( pssK +

)(s R )(sC )(s E K

p

donde

es una const.que representa

una ganancia.

es una const. real

representa al polo

del sistema.


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Su función de transferencia de lazo cerrado es:

K pss

K

s R

sC

++= 2)(

)(

Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos


−−+

−++

=

K p p

sK p p

s

K

s R

sC

4242

)(

)(22

1. Reales diferentes si: K p

>

4

2K

p=

4

2

K p <4

2

, 2. Reales iguales si:

3. Complejos si

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables

2nK ω = σ ζω 22 == n p


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22

2

2)(

)(

nn

n

sss R

sC

ω ζω

ω

++= forma estándar del sistema

de segundo orden.

donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina

atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento

dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los

parámetros y .ζ nω

Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10(


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Utilizando fracciones parciales

2222 )()(

1

)(d n

n

d n

n

ss

s

ssC ω ζω

ζω

ω ζω

ζω

++−++

+

−=

y conociendo que

t e

s

sd

t

d n

n n ω

ω ζω

ζω ζω cos

)(

22

−=

++

+1 - L

t senes

d t

d n

d n ω ω ζω

ω ζω −=

++ 22)(

1 - L

Se obtiene la salida en el tiempo

)0(1

tan1

1)(2

1

2 ≥

−+

−−= −

−

t t sene

t cd

t n

ζ

ζ ω

ζ

ζω


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(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1( =ζ

)(sC

sssC

n

n

2

2

)()(

ω

ω

+=

)0()1(1)( ≥+−= − t t et cn

t n ω ω

la transformada inversa arroja

en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es


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sss

sC

nnnn

n

)1)(1()(

22

2

−−+−++=

ζ ω ζω ζ ω ζω

ω

t

t

n

n

e

et c

ω ζ ζ

ω ζ ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

)1(

22

)1(

22

2

2

)1(12

1

)1(12

11)(

−+−

−+−

−−−−

−+−+=

en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es

(3) Caso sobreamortiguado :)1( >ζ

)(sC

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es


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Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

sa1>ζ

ca1=ζ

0=ζ

2.0=ζ

4.0=ζ

7.0=ζ 8.0=ζ

Figura. Respuesta

al escalón de

diferentes sistemas

de segundo orden.


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Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

22

2

2)(

nn

n

sssC

ω ζω ω

++=

)10( ζ

)0()( 2 ≥= − t tet c t nn

ω ω

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(t c

para


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0 2 4 6 8 10 12

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1>ζ

ca1=ζ

0=ζ 2.0=ζ

4.0=ζ

7.0=ζ

Figura. Respuesta

al impulso de

diferentes sistemas

de segundo orden.


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Definición de los parámetros de la respuesta transitoria

Las características de desempeño de un sistema de control se comparan

basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característicatransitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de

responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La

respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes

parámetros.

1. Tiempo de retardo

2. Tiempo de crecimiento

3. Tiempo pico

4. Sobreimpulso máximo

5. Tiempo de establecimiento

r t

d t

pt

p M

st

a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t )

1

0

st

p M

r t

p t


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Tiempo de retardo

, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del

valor final por primera vez.


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Sistemas de segundo orden2.- Tiempo de crecimiento

2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta

aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del

10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.

r t

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación

de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

1)

1

(cos1)(2

=−

+−= −r d r d

t t sent et c r n ω

ζ

ζ ω

ζω

01

cos2

=−

+ r d r d

t sent ω ζ

ζ ω


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0tan11costancos1cos 22 =

−+=−+ r d r d r d r d r d t t t t t ω ζ

ζ

ω ω ω ζ

ζ

ω

o bien

σ

ω β

ω

β π

σ

ω

ω d

d

d

d r t

11 tan,tan1 −− =

−=

−

=

σ

ω

ζ

ζ ω d r d t =

−−=

21tan

el tiempo de crecimiento es

β

σ

d ω


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3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el

primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación

de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene

pt

01

)(2

=−

− pnt n pd et sen

ζω

ζ

ω ω

d

p pd

pd

t t

sosobreimpul primer eleligese

sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslost sen

ω

π π ω

π π π

ω

=⇒=

=.,,3,2,,0

,0

SOBREPASO M


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Sistemas de segundo ordenSOBREPASO

1)( −= p p t c M

−+−= −

d d

d d sene

d n

ω

π ω

ζ

ζ

ω

π ω

ω π ζω

2

)(

1cos

( ) ( )π ω σ π ω ω ζ d d n

ee

−−

==

π ζ ζ 21−−= e M p

st

4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la

unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la

respuesta evaluada en el tiempo pico.

p M


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5.- Tiempo de establecimiento,

5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva derespuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,

generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para

sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%

después de 4 constantes de tiempo:

σ ζω

444 ===

ns T t


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Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

)34(

75

+ss

)(s R )(sC

Desarrollo:

La función de transferencia de lazo cerrado es

7534

75

)(

)(2 ++

=sss R

sC

Se utiliza la siguiente igualdad

22

2

2 27534

75

nn

n

ssss ω ζω

ω

++=

++


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se obtiene

3752 =nω

342 =nζω

375=nω

877876.03752

34==ζ

17=σ

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

segundost d

r 2849.0=−

=ω

β π

86=d ω

.499.0tan 1 rad d == −σ

ω β

segundost d

p 33876.0==ω

π

( )%315.000315.0 === − π ω σ d e M

p

segundost s 23529.04==

σ

Nota: Analizar porque pr s t t t


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Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener

la función de transferencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t )

127

0

142

0.75

Desarrollo: de la gráfica

1181.0127

127142=

−= p M segundost s 75.0=

Estos dos

Parámetros

Son suficientes

Si d d d


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De st

3333.544==→=

s

s

t

t σ

σ De y conociendo p M σ

( )84335.7

ln=

−=→= −

pd p

M e M d

σπ ω

π ω σ

Entonces

3333.5=σ

84335.7=d ω

48486.922 =+= d n ω σ ω

56229.0==→=n

nω

σ ζ σ ζω

96256.89666.10

96256.89

2)(

222

2

++=

++=

sssssG

nn

n

ω ζω

ω

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