Introduccin a la Respuesta en

Frecuencia de los Sistemas

Electrnicos Fundamentos de Ingeniera Electrnica

Departamento de Tecnologa Electrnica

Universidad Carlos III de Madrid

u(t) i(t)

Z

Resistencia: Inductancia: Condensador:

Repaso de teora de circuitos

Ley de Ohm: relacin entre la corriente a travs de un componente de dos terminales (dipolo) y la tensin entre ellos

+

-

U(s) I(s)

Z

+

-

Z

+

-

()=() =

=

=

=

=

=

= ()

=

=

=

=

=1

= ()

=1

Ecs. diferenciales (dominio del tiempo)

Ecs. algebraicas en s (dominio de Laplace)

RSP, ecs. en j (dominio de la frecuencia)

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Repaso de teora de circuitos: rgimen sinusoidal

permanente

Lj)j(ZL

C

j

Cj)j(ZC

1

(fasor, numero

complejo)

(fasor, nmero complejo)

Z

RjZR )(

Ley de Ohm en RSP

Ecuaciones en rgimen sinusoidal permanente: ecuaciones en el dominio de la frecuencia

En RSP no nos fijamos en la evolucin de las formas de onda en el tiempo, sino slo en su amplitud y en el desfase con la que consideramos como referencia.

)(

)()(

Z

VI

)(

)()(

Z

VI

))(arg())(arg())(arg( ZVI

fasor

fasor amplitud

amplitud

modulo

desfase desfase argumento

Resistencia: Inductancia: Condensador:

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Ejemplo

Z R jL Z

jL

R

jZ Z e

donde: 22Z R L

Larctg

R

Expresada con fasores

La tensin del generador se toma como referencia para los fasores.

donde:

==

0

=

=

2 + 2

= atan

L Vgsen(t)

+

VRED

-

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Sistemas lineales

Sistema lineal: es aquel en el que la respuesta a la combinacin lineal de

excitaciones es igual a la misma combinacin lineal de las respuestas

individuales a cada una de las excitaciones.

Circuitos lineales: circuitos elctricos con elementos lineales (R,L,C, fuentes

dependientes lineales). Se puede aplicar el principio de superposicin

CIRCUITO LINEAL

X1 Y1

Excitacin Respuesta

CIRCUITO LINEAL

X2 Y2

CIRCUITO LINEAL

K1X1+K2X2 Y3=K1Y1+K2Y2

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6

Sistemas dinmicos

SISTEMA DINMICO (ecuacin diferencial en t)

)()( txdt

daty

dt

db

n

n

nm

m

m

x(t) y(t)

FUNCIN DE TRANSFERENCIA EN S

(ecuaciones algebraicas en s)

i

i

j

j

sa

sbsXsY

)()(

X(s) Y(s)

Ecuaciones diferenciales: difciles de manejar a nivel de sistema

Transformada de Laplace

Ecuaciones algebraicas: fciles de manejar

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Sistemas lineales

Sistemas lineales en RSP:

La respuesta a una excitacin sinusoidal en tambin sinusoidal de la misma frecuencia, con diferente amplitud y desfase

CIRCUITO LINEAL

Acos(1t) Bcos(1t+)

Excitacin Respuesta

Dado que el sistema es lineal, si consideramos slo excitaciones de

tipo sinusoidal, la respuesta slo depende de la frecuencia

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Funcin de transferencia

La respuesta de un sistema ante entradas sinusoidales se puede calcular muy fcilmente a partir de la funcin de transferencia.

La funcin de transferencia de un sistema es la relacin entre la salida y la entrada. Se expresa como un cociente de polinomios en los que la

variable es j (1), donde =2f

La respuesta ante una seal sinusoidal de pulsacin se calcula hallando el mdulo y argumento de la funcin de transferencia del

sistema en .

CIRCUITO LINEAL f.d.t. H(j)

Acos(t) Bcos(t+)

= ( ) =

= arg ( ) = arg

Excitacin Respuesta

(1) Dado que todava no se ha tratado la transformada de Laplace en Calculo III, se omite en la definicin de f.d.t. toda referencia a la variable s

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Ejemplo

=

= +

=

+

= =

2 + 2

Trabajo personal: hallar el desfase entre Vo y Vin

L

R iL

Vgsen(t)

+

Vin

-

+

Vo

-

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Inters del dominio de la frecuencia

Gran parte de la informacin en un sistema electrnico reside

en la frecuencia de las seales

En el sonido la frecuencia de la onda define el tono que se escucha

En la luz la frecuencia es el color

Muchas de las seales de un sistema electrnico son

peridicas

Una seal es peridica si:

= +

T= periodo (se mide en segundos)

f=1/T=frecuencia (se mide en hercios, Hz)

Todas las seales peridicas quedan definidas por su contenido

frecuencial

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Seales peridicas

Cualquier seal peridica se puede descomponer como suma de seales sinusoidales (series de Fourier):

v t =02+ cos

=1

+ sin

=1

=2

cos

0

=2

sin ( )

0

0

2=valor medio

Analoga geomtrica: cmo aproximar cualquier

figura mediante la suma de unas figuras base

de diferentes tamaos (ej. crculos).

El cuadrados es la seal peridica, el conjunto de

todos los circulitos es la serie de Fourier.

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Ejemplos: reconstruccin de una

seal peridica

http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html

1 armnico

5 armnicos

21 armnicos

Magnitud en funcin de la

frecuencia

Fase en funcin de

la frecuencia

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Ejemplos: representacin de seales en

frecuencia

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-20

-10

0

10

20

0 0.005 0.01-10

-5

0

5

10

0 0.5 1

x 10-3

-2

0

2

Ampl=10

Frec=50 Hz

Ampl=5

Frec=500 Hz

Ampl=1

Frec=5 KHz

Seal total

(suma de todas)

0.053 0.054 0.055 0.056

-15

-10

-5

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Ejemplos: representacin de seales en

frecuencia

14

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-10

-5

0

5

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-20

-10

0

10

20

Ampl=10

Frec=50 Hz

Ampl=5

Frec=500 Hz

Ampl=1

Frec=5 KHz

Seal total

(suma de todas)

frecuencia A

mpl

itud

50 Hz 500 Hz 5000 Hz

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Inters de la respuesta en frecuencia

La informacin a veces se codifica en frecuencia

Muchas seales de los sistemas con los que se trabaja son peridica y

stas se describen mejor en frecuencia que en el tiempo

Disponemos de la herramienta matemtica para estudiar fcilmente los

circuitos ante seales sinusoidales: RSP y principio de superposicin

Es interesante describir el comportamiento de un circuito mediante su

funcin de transferencia en el dominio de la frecuencia

CIRCUITO LINEAL f.d.t. H(j)

+ vin -

+ vout -

=

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Diagrama de Bode

Representa grficamente la funcin de transferencia de un sistema utilizando como variable independiente la pulsacin =2f o directamente la frecuencia f

Como H es un nmero complejo, se representa mdulo y argumento en dos trazos separados, con el eje horizontal en escala logartimica

el mdulo se representa en decibelios (dB): |H|dB=20log(|H(j2f)|)

La fase se representa en grados

log(f)

log(f)

|H(j2f)|

El trazado se puede hacer con ordenador (exacto) o a mano alzada (aproximado)

El trazado aproximado se realiza trazando las asntotas del diagrama

Se parte de la funcin de transferencia factorizada en forma de ceros y polos

Ceros: races del numerador

Polos: races del denominador

Los polos y ceros complejos conjugados se dejan como un polinomio de 2 grado

La fdt se analiza considerando en cada cero o polo el caso de frecuencias mucho mayores o mucho menores que la

frecuencia del cero o del polo

Diagrama de Bode

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Filtro: Circuito que impide el paso de un rango determinado de frecuencias. Eliminar componentes de frecuencia no deseadas en una

seal.

Aplicacin: Filtros

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Filtro Pasobajo

fC frecuencia

gana

ncia

Slo deja pasar las bajas frecuencias (< fc)

Filtro Pasoalto

Slo deja pasar las altas frecuencias (> fc)

fC

gana

ncia

frecuencia

Entrada Entrada Salida Salida

= 1

2 =

1

2

Frecuencia de Corte Frecuencia de Corte