República Bolivariana de Venezuela

Instituyo Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”

Materia: Sistemas de Controles Industriales

Profesora: Ranielina Rondón Mejías

Respuesta En Frecuencia

Nombre: Alexy Vargas

C.I. 7.873.814

Maracaibo, julio de 2015

R+-

C

Respuesta en frecuencia

El análisis del comportamiento de un circuito ante una señal senoidal de frecuencia variable se conoce como “respuesta de frecuencia”

La respuesta en frecuencia es un parámetro que describe las frecuencias que puede grabar o reproducir un dispositivo.

¿Análisis de la respuesta en frecuencia?

Hasta ahora se han analizado los circuitos en dos situaciones:

Régimen permanente En electrotecnia, por ejemplo, donde la frecuencia era normalmente de 50 Hz Régimen transitorio

Sabemos que los circuitos varían su respuesta dependiendo de la frecuencia de excitación

Variación de la respuesta con la frecuencia

1V Vc

Hz Vc (V)0 1,0025 0,9950 0,9575 0,90100 0,85

El conocimiento de la respuesta en frecuencia de un circuito nos permite predecir la respuesta del circuito ante cualquier señal

Este comportamiento de los circuitos puede ser utilizado para “seleccionar” frecuencias

cc

c1 c2 c1 c2

Filtros

Tipos de filtros ideales

Pasa-baja Pasa-alta

Pasa-banda Rechaza-banda

Un ejemplo: el “filtro telefónico”

El sistema telefónico constituye un filtro de las señales sonoras que retransmite Es un filtro pasa banda que deja pasar las señales de frecuencias entre 300 Hz y 3

kHz

Respuesta en frecuencia en audio.

En audio, para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20.000 Hz).Por el mismo motivo, cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo, más calidad tendrá el sonido final. Así, a los nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD, 20-100 KHz y DVD-Audio, 20-80 kHz) se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) "Alta Fidelidad".

La respuesta en frecuencia de cualquier sistema debería ser plana, lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido entrante, con lo que nos lo devuelve igual.No obstante, en la práctica, la respuesta en graves y agudos, normalmente no es la misma. Hecho que se nota más en unos equipos que en otros. (En los altavoces, por ejemplo, esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada, pudiendo estar por encima de los 10 dB de más o de menos, entre una y otra).Un equipo con una respuesta inapropiada afectará al sonido final:

Si un equipo enfatiza los agudos, el sonido resultante será "vibrante y chillón", mientras que si, por el contrario, pierde agudos, todo lo que reproduzca tendrá un "matiz oscuro".

Si un equipo enfatiza los graves, el sonido resultante resulta "atronador", mientras que si, por el contrario, pierde graves, todo lo que reproduzca tendrá un "matiz metálico".

Si se acentúan las frecuencias medias se produce un sonido "nasal".En la mayoría de equipos, en las especificaciones técnicas, además de indicar cuál es la respuesta en frecuencia típica, se indica también la variación en dB entre una y otra.Para ello, lo habitual es elegir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se le da el valor de 0 dB. Luego, los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre la frecuencia más baja y la más alta.Con esto, en las especificaciones técnicas nos dicen, por ejemplo, tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20 kHz (+/-5 dB).Salvo en los transductores (micrófonos, altavoces, etc), este margen, para asegurarnos “calidad”, debe ser:

Inferior a +/- 1 dB, si hablamos de formatos digitales. Inferior a +/- 3 dB si son equipos analógicos. Como mucho +/- 6 dB, si son micros o altavoces. En la práctica, los muchos

transductores: altavoces y micrófonos (salvo los más “profesionales”) llegan a una variación de +/- 10.

Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder, lo peor, es una respuesta desigual. Es decir, como a ciertas frecuencias sube, en otras baja, por lo que el sonido resultante sale distorsionado. Es deseable una respuesta plana en la banda de trabajo.

Bode – Traza de Bode

Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtrosy amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor  x y

desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).

Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte (“diagrama de Bode corregido”).

Pasos para construir el Diagrama de Bode

El uso de cálculo logarítmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

Supongamos que la función de transferencia del sistema objeto de estudio viene dada por la siguiente transformada de Laplace:

donde  ,   e   son constantes.

Las normas a seguir para dibujar la aproximación del Bode son las siguientes en los valores de pulsación correspondientes a un cero ( ) se tiene

que aumentar la pendiente de la recta un valor de   por década. en los valores de pulsación correspondientes a un polo ( ) se tiene

que disminuir la pendiente de la recta un valor de   por década. el valor inicial se obtiene poniendo el valor de frecuencia angular inicial ω en la

función y calculando el módulo |H(jω)|.

el valor de pendiente de la función en el punto inicial depende en el número y orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores a la inicial; se aplican las dos primeras reglas.

Para poder manejar polinomios irreducibles de segundo grado ( ) se puede

en muchos casos aproximar dicha expresión por .Nótese que hay ceros y polos cuando ω es igual a un determinado   o  . Eso ocurre porque la función en cuestión es el módulo de H (jω), y como dicha función es compleja,

.Por ello, en cualquier lugar en el que haya un cero o un polo asociado a un término

, el módulo de dicho término será

.

Ya hemos visto las representaciones gráficas del módulo y del argumento en función de la pulsación. Otro tipo de gráficas que son muy útiles son los diagramas de Bode en los que se

usan escalas logarítmicas en   y en ω. Estos diagramas tienen la misma información, pero son más sencillos de escribir, ya que se pueden aproximar mediante líneas rectas.

Si tenemos la magnitud:

Tomaremos logaritmos neperianos con el fin de acabar con los exponentes de forma que tendremos:

Lo hemos convertido en una suma de una parte real (dependiente sólo del módulo y una imaginaria (función sólo de la fase).

La transformación de ln a log es: dB = 8,6859 x neperios

Aplicación

Si tenemos la función de transferencia 

si tomamos ln:

a) si ω << z: 

b) si ω >> z: Tendremos una recta de pendiente 20 dB/década y se corta con la recta de 0

dB cuando 

Las frecuencias entre el punto B y el punto A abarcan una década. La desviación máxima entre la aproximación y la real es de 3dB.

En cuanto a la parte imaginaria de  :

Se representa como dos rectas: una a 0º para ω << z y otra a 90º para ω >> z, unidas por una recta de pendiente 45º/década, que pasa por el punto (log z, 45º).

Aplicaciones

Los diagramas de Bode son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea éste eléctrico, mecánico,... Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el empleo de redes de adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, estrechamente ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist), y porque permiten, en un reducido espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el argumento están acotadas salvo por características propias del sistema. En este sentido, sólo cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté acotada entre 0º y -180º.

Así pues, datos importantes a obtener tras la realización del diagrama de Bode para en análisis de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes:

Margen de fase: Es el ángulo que le falta a -180º para llegar a la fase cuando la ganancia es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito.

Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar (en decimal), o sumar (en dB) a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de -180º.

El sistema representado será estable si el margen de ganancia y el margen de fase son positivos.

Ejemplo

Un filtro paso bajo RC, por ejemplo, tiene la siguiente respuesta en frecuencia:

La frecuencia de corte (fc) toma el valor (en hercios):

.

La aproximación lineal del diagrama consta de dos líneas agudos y centimetricos:

para frecuencias por debajo de fc es una línea horizontal a 0 dB

para frecuencias por encima de fc es una línea con pendiente de -20 dB por década.

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de corte. Observando el gráfico se verá que a frecuencias bastante por debajo de dicha frecuencia, el circuito tendrá una atenuación de 0 decibelios. Por encima, la señal se atenuará, y a mayor frecuencia, mayor atenuación.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Ejercicio del diagrama de bode

Considere el sistema que se muestra en el que una señal de entrada x(t) es procesada por un sistema con función de transferencia G(s) para obtener y(t) que luego es amplificada por una ganancia K para obtener z(t).

La función de transferencia del sistema es:

Y

1. Dibuje el Diagrama de Bode de Magnitud y determine el ancho de banda y el punto de cruce de la ganancia

2. ¿Qué sucede con el ancho de banda y el punto de cruce si la ganancia se aumenta en 10 y se disminuye en 10?

3. ¿En qué caso es sistema es más rápido?

1.-La función de transferencia puede ser reescrita como:

Por lo que en el diagrama de Magnitud de Bode vamos a tener cambios de pendiente en w=1 y w=10.

Quedándonos el siguiente diagrama:

-Para hallar el punto de cruce igualamos la ecuación de la recta de pendiente -20 a "0".

Ec. de la recta:

20log(5)-20log(w)=0, la solución a esta ecuación es w=5.

-Para hallar el ancho de banda igualamos la ecuación de la recta dependiente -20 a 20log(5)-3

20log(5)-20log(w)=20log(5)-3, por lo tanto 20log(w)=3, y esta igualdad se cumple para w=1.413 que corresponde al ancho de banda.

Consideramos para el primer caso una ganancia 10, entonces la funcion de transferencia quedaría:

El diagrama de Bode es muy parecido al de la parte A, con la diferencia de que este último empieza en 33.98 dB. El ancho de banda es EL MISMO. Esto se debe a que la caida de 3 dB con relacion a la ganancia en o se da en el mismo punto w=1.41 . Para el punto de corte,

en éste caso debemos usar la ecuación de la recta de pendiente 13.98-60log(w/10)=0, w=16.98

Para el segundo caso, tomamos la ganancia reducida en 10 veces:

De nuevo el diagrama es muy parecido, pero en esta ocasión comienza en el semiplano inferior, específicamente en -6dB. La frecuencia de ancho de banda es la misma(w=1.41). Este diagrama no corta con el punto de ganancia 0, ya que esta es siempre negativa.

Al comparar los diagramas de fase se observa que el más rápido es el de la ganancia aumentada en 10, ya que para frecuencias más altas todavía tiene una ganancia considerable cuando los otros ya la han bajado en gran proporción.

Análisis de estabilidad utilizando el Diagrama de Bode

Las trazas de Bode de una función de transferencia son una herramienta gráfica de suma utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control lineales. Antes de la aparición de los computadores, las trazas de Bode eran a menudo conocidas como “trazas asintóticas”, debido a que las curvas de magnitud y fase se podían bosquejar de sus propiedades asintóticas sin detallar las gráficas. Las aplicaciones modernas de las trazas de Bode para sistemas de control se deben identificar con las siguientes ventajas y desventajas:

-VENTAJAS:

i) En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta.

ii) El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist.

iii) Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de Nyquist.

iv) Como ya comentamos las trazas de Bode no cambian de forma (solamente suben o bajan) cuando se modifica la ganancia del sistema (no ocurre así con las trazas de Nyquist, cuya forma cambia en ese caso.

-DESVENTAJAS:

i) La estabilidad absoluta y relativa de sistemas de fase no mínima no se puede determinar desde las trazas de Bode.

En referencia a las definiciones de margen de ganancia y de fase dadas, la figura 13 muestra la interpretación de los mismos, para una función de transferencia de lazo de fase mínima.

Figura 13

Podemos realizar las siguientes observaciones sobre la estabilidad del sistema con respecto a las trazas de Bode:

i) El margen de ganancia es positivo y el sistema es estable si la magnitud de L(jw) al cruce de fase es negativo (en db). Esto es, el margen de ganancia se mide abajo del eje 0 db. SI el margen se mide arriba del eje 0 db, será negativo y el sistema inestable.

ii) El margen de fase es positivo y el sistema es estable si la fase de L(jw) es mayor que –180º en el cruce de ganancia. Esto es, el margen de fase se mide arriba del eje –180º. Si el margen de fase se mide abajo del eje –180º, el margen de fase es negativo, y el sistema es inestable.