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Respuesta en frecuencia• Función periódica es aquella que
cumple que x(t+T)=x(t) (fo=1/T)• Cualquier función periódica puede
expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo
Respuesta en frecuencia• Cualquier función periódica puede
expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo
x(t)=∑n [ansin(nωt)+bncos(nωt)]
2
F(t)=a0sin(wt)+b0cos(wt)+a1sin(2wt)+b1cos(2wt)+a3sin(3wt)+b3cos(3wt)+a4sin(4wt)+b4cos(4wt)+..
-1,27 0
0
0
00 0
-0,424
F(t)=-1,27sin(wt)-0,424sin(3wt)-0,254sin(5wt)-0,1819sin(7wt)-0,1414sin(9wt)-0,11sin(11wt) …
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Transformada de Fourier
Frecuencia
an
Coeficientes bn=0
Función de transferenciaUn circuito lineal estará definido por unafunción de transferencia dependiente de lafrecuencia de la señal de entrada H(s=jω)
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Función de transferencia
PROPIEDAD vIN H(jw) vOUT
Amplitud A |H(!)| A•|H(w)|Fase ø ß(!) ø+ßFrecuencia ! !
Ejemplo: Circuito RC
!
VOUT =VIN
" j1
C#
R " j1
C#
=VIN
1+ jRC#=V$ø
1
1+ R2C2# 2$"arctan RC#( )
vOUT (t) =Vo1
1+ R2C2# 2cos #t + ø " arctan RC#( )[ ]
5
Ejemplo: Circuito RC
!
H( j") =VOUT
VIN
= H#ß
=1
1+ R2C
2" 2#$arctan RC"( )
VOUT =VoH#ø+ ß
vOUT (t) =VoH cos "t + ø + ß[ ]
vOUT (t) =Vo1
1+ R2C
2" 2cos "t + ø $ arctan RC"( )[ ]
!
H( j") =1
1+ jRC"
Circuito RL
!
H( j") =VOUT
IIN= R + jL" = H
#ß= R
2 + L2" 2# arctan L" /R( )
VOUT = IoH#ø+ ß
vOUT (t) = IoH cos "t + ø + ß[ ]
vOUT (t) = Io R2 + L2" 2
cos "t + ø + arctan(L" /R)[ ]
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Variación en frecuencia
• En función de la frecuencia deexcitación ω:– Varían las impedancias capacitativas e
inductivas del circuito (jωL i -j/(Cω) )– Varia por tanto H(jω)
• Varia el módulo |H| y por tanto la amplitud dela señal de salida
• Varia la fase β de H y por tanto la fase de laseñal de salida
Representación de H(jω)
• H(jω)=|H|<ß|H| representa la atenuación/amplificación de la
señalß representa el desfase de la salida
Representación completa con frecuencias:|H(ω)|ß(ω)
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Representación logarítmicade H(jω)
Octava: Multiplicación por dosDécada: Multiplicación por 10
Posibles funciones |H(jω)|
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Ejemplo de aplicación
Circuito RC
!
H(s) =VOUT
VIN
=1
1+ sRC" H(s = j#) =
1
1+ j# /# p
# p =1
RC
H =1
1+# 2 #0
2 $ = %arctan # #
0( )
H(s) presenta un polo p=-1/RC. Definiemos la frecuencia depolo ωp como ωp=-p=1/RC
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Circuito RC: Módulo
Aproximación de Bode: A partir del polo, la funcióndecae a razón de una década de |H| (ó 20 dB) por cadadécada de frecuenciaMayor divergencia: En el polo |H| decae a |H(0)|/√2(baja 3dB)
Circuito RC: Desfase
Aproximación de Bode: Inicialmente el desfase es cero (fase para ω=0),a partir de una década anterior al polo 0.1ωp el desfase empieza adecrecer a razón de -45˙ por década. Una vez bajados 90˙ (una décadaposterior al polo 10ωp) la función se hace constante
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Filtropasa-bajos
!
T(s) =VOUT
VIN
=K
s+"
T(s = j#) =K
" + j#
T =K /"
1+# 2 " 2=
T(0)
1+# 2 " 2
$ =%K & arctan # "( )
Problema propuesto 4.7Dibujar el diagrama de Bode deun circuito LR (módulo y fase)
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Representación de la funciónde transferencia
!
H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pm( )
m Polos#" p1, " p2
, " p3,...," pm
n Ceros#"z1, "z2, "z3
,...,"zn
POLO CERO
|H|A partir del Polo !p
-1 Década/década
A partir del cero !z
+1 Década/década
ßDesciende 90˙
durante dos décadas alrededor del polo
Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero
Representación de la funciónde transferencia
POLO CERO
|H|A partir del Polo !p
-20 dB/década
A partir del cero !z
+20 dB/década
Div. Función cae 3dB Función sube 3dB
ßDesciende 90˙
durante dos décadas alrededor del polo
Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero
!
H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pm( )
m Polos#" p1, " p2
, " p3,...," pm
n Ceros#"z1, "z2, "z3
,...,"zn
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Circuito CR
!
V2
= V1
R
R+1
Cs
H (s) =R
R+1
Cs
=RCs
1+ RCs
H (s = j" ) =j"RC
1+ j"RC
Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RC
Circuito CR
!
H(s) =s
s+1
RC
"j#
j# +1
RC
Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RCPara ω=0 tenemos que |H|=0Para ω=∞ tenemos que |H|=1
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Filtropasa-alta
!
T(s) =VOUT
VIN
= Ks
s+"
T(s = j#) = Kj#
" + j#
T = K#
" 2 +# 2= T($)
#
" 2 +# 2
% =&K + ' 2 ( arctan # "( )
Filtropasa-banda
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Ancho de banda:BW=wp2-wp1
Factor calidadQ=f/BW
Filtropasa-banda
!
Si R = RL
= RC
H(s) =VOUT
VIN
=R
L
s
s2
+ sR
L+
1
RC
"
# $
%
& ' +
2
LC
15
Filtropasa-banda
!
RC = RL = R = 50" C = 20nF L = 0.1H
H(s) =VOUT
VIN
=500s
s2
+106s+10
9
# p1 =103
# p2 =106
!
RC = RL = R = 50" C = 20nF L = 0.1H
Dibujar el diagrama de Bode de H*(s)
H*(s) =
VOUT +VL
VIN
Problemapropuesto 4.8