Resp. Calculo Integral
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MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
161
CAPITULO 1: La Integral Indefinida
Ejercicios Propuestos 1.1
1. 3 101
14
1 28
3 101 1 3
ex x xx x C
e
2. 2
32
84
3 2
xx x C
3. 7 5 3
2 2 22 4 2
7 5 3x x x C
4. 7
3 5927 95 7
xx x x C
5. 3 29
27 27ln3 2
x xx x C
6. 13 9 5 1
2 2 2 22 2 6
213 3 5
z z z z C
7. Cxx
41
47
74 4
8. 9 7 5 3
4 4 4 4 48 2 24 12 2 4
59 7 5 3
x x x x C
9. 13 7 1
3 3 33 3
613 7
x x x C
10. 3
cos 2lnx x Cx
11. 2ln ln sec tanxe x x x C
12. 8
sinln8
xxe x C
13. 1 3tan 2ln cosxe x x C
14. 1 8
4ln csc8 ln8
x
x C
15. Cxx
44
1ln
16. 100 20
2 4ln 2 ln 4
x x C
17.
1 2
5 ln 55 2 ln 2xx
C
18. 1
cos sec7
x arc x C
19. arcsin 5 arctan7
ex x C
20. ln cscx x C
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
162
Ejercicios Propuestos 1.2
1.
C
x
23
2515
2
2. Cxx 3844
1 2
3.
5 32 22 1 2 1
10 6
x xC
4. Cxc 4
2tg2
1
5. cos sin 1 sin 2x x C x C
6. 2
2ln 12
xx x C
7. Cxx 21ln 8. 2arctan x C
9. 2
arctan x C
10. Cx
x
1
1ln
4
1 2
11. Cxx
2
32
311
3
1
12. Cxx 21arcsen
13. Cxx ln1ln23
2
14. Cx lnlnln
15. Caxaa
x arcsen22
16. Cba
xbxa
22
2222 cossen
17. 3
44
cot3
C
18. Cxx
22
31ln
3
2
19.
Cxx
xx
23
23ln
2ln3ln2
1
20. Cx 2112
Ejercicios Propuestos 1.3
1. Ce
ex xx
93
33
2.
Ceex xx
42
1 22
3. Cxxx 3sin9
2
3
3cos12
4.
Cxx
x
9
13sin
3
13cos
5. Cxxex
1224
22
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
163
6. 2
22 8 84
xex x C
7. Cxxxxx 2
ln2
2
8. 3
222 4 8
ln ln3 3 9x x x C
9. Cxx
3
2ln
3
22
3
10. csc ln csc cotx x x x C
11. 2 2 2
2arctan arctan 1arctan ln 12 2 2
x x xx x C
12. Cex x 12 13. Cxxxx 22 11ln
14. Cxxx 21arcsin
15. Cxxx 21ln2
1arctan
16. 1 arctanx x x C
17. Cxxx lncoslnsen2
18. Cxxx sen2cos2
19. Cxxx lncoslnsen2
20. cos ln tan ln csc cotx x x x C
Ejercicios Propuestos 1.4
1. 3
sin 42 8
xx C
2.
Cxx
9
3cos
3
3cos 3
3. Cxxxx
2sen
6
14sen
8
32sen2
2
5
8
1 3
4. 3 7 11
2 2 22 4 2
sen sen sen3 7 11
x x xC
5. Cxx 8sen16
12sen
4
1
6. Cx x 3
cos2
3cos
2
1
7. Cxx 1212
5cos2
15cos
10
1
8. Cxxx 5sen20
17sen
28
1sen
2
1
9. Cxx 2cos20
12cos
16
1 108
10. Cxxxx 6sen24
14sen
16
12sen
8
1
4
1
11. 4 21 1
tan tan ln cos4 2
x x x C
12. 5 3cot cot
cot5 3
x xx x C
13. 1
tan 5 55
x x C
14. 5 31
2 2 22 2
sec 4sec sec5 3
x x x C
15. 2cot 2x C
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
164
16. 2tan 2ln csc cot2
xx x C
17. 31
2 tan tan cot3
x x x C
18. 2 2
ln sec tan ln csc cot2 2
x x x x C
19. ln sec tan cscx x x C
20. 1 1
csc cot ln csc cot2 2
x x x x C
Ejercicios Propuestos 1.5
1.
2 281 9 2arcsen 1
8 3 9 9
x x x xC
2. 21
xC
x
3. Cx
x
x
arcsin
1 2
4.
29 9arcsen
2 3 2
x x xC
5.
22arcsen
22
x x xC
6. Cx
x
39ln
3
1 2
7.
2
2
1 3 3 9arccos
54
xC
x x
8.
32 21 1 1
3
x xC
x x
9.
2 22 2ln
2 2
x x xC
x
10. 2 22 426arcsin 4 4
2 2
x x xxx x C
11. 2
2
9 4 13
xC
x x
12. 2 16
ln4
x xe eC
13. Ce
ex
x
11
ln2
14.
2
tan 2 tan 2ln 1
3 3
x xC
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
165
15. Cxx
3
sensen9ln
2
1 24
16. 2 2arctan 1 ln 1x x x x C
17. Cex
x x
arctg212
1
18. 3 2 3
21 1arccos 13 3 9
x xx x C
19. 2 ln 21 4ln ln 2arcsin
5
xx x C
20.
2
4
1
2 1
xC
x
Ejercicios Propuestos 1.6
1. Cx
x
3
1ln
4
1
2. ln ln 2 2ln 1x x x C
3.
1 7 3ln 1 2ln 2 ln 3
4 4 2 3x x x C
x
4. Cxx
x
23ln
2
5. 21 1
ln 2 3 ln 4 arctan2 2 2
xx x C
6. 2ln 1 arctan 2ln 1x x x C
7. 2 8 1
ln 2 ln 12 3 3
xx x x C
8.
2
1 1 1ln 2 ln 3
3 3 2 2 2x x C
x x
9. 2
2
1 1ln arctan 2arctan 1
2 2 2
xx x C
x x
10. 3
2ln 4ln 93
xx x C
11. 2arctan ln 1 ln 1x x x C
12. 2ln 2 arctan 1x x C
13. 2
2
2
84ln 4
2 4
xx C
x
14. 2
2 2
2 2ln arctan
2 4 2 2
x xx C
x x
15. 21
ln 1 ln 1 2arctan2
x x x C
16. 7 9
ln ln 2 1 ln 2 14 16 16
xx x x C
17. 1 cos 3
ln5 cos 2
xC
x
18. tan 2
lntan 1
xC
x
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
166
19. 1 1 1
ln 2 cos ln 1 cos ln 1 cos3 6 2
x x x C
20. 6 6333ln 1 ln 1 3arctan2
x xx
x e e e C
Ejercicios Propuestos 1.7
1. 22 tan 11
arctan5 5
x
C
2. 22
2
4tan 82ln
5 316 tan 25
4
x
x
C
3. 22
2
4tan 22ln
5 316 tan 25
4
x
x
C
4. 2 arctan 2 tan2
x x C
5. 22 2
1 1ln tan tan
2 4
x x C
6. 2
2ln tan 1x x C
7. 22 2
3ln tan 1 ln 1 tan
2 2
x x x C
Miscelneos
1. 2ln 4ln 1
arctan4 8 2 2
xx xC
2. 2
2
1 1 1cos
2 2
xarc C
x x
3.
5 32 22 29 9
5 3
x xC
4. 2 2 2 21 1 33 2 3 12 2 4
x x xx x e x e e C
5. 10 164
3 3 33 3 3
sin 2 sin 2 sin 28 10 32
x x x C
6. 22ln 1 ln 1 4arctanx x x C
7. 1 sin
arctan2 2
xC
8. 2
2 2 21 15 3 2 52 4 4
xx x ex x e x e C
9. 2ln 2 4 1 ln 3x x xe e e C
10. 2cosh x xx C e e C
11. 21 2 1
ln 4 5 arctan 2 ln 110 5 5
x x x x C
12. 2 2ln 1 1 ln 1x x x C
13. 3 54 4
sin sin3 5
x x C
14. 2 arcsin 2 sin2
x C
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
167
15. sin 10 sin 420 8
x xC
16.
241 6 41 174 1ln 2 ln 2 3 arctan121 11 2 242 121 2 2
xx x x C
x
17. 21
ln cos 1 ln cos2
x x C
18. 2 21 ln 1 1 lnx x x C
19. 3
ln 33
x Cx
20.
3
2 21
2 225
25 253
xx C
21. 23 arctan 22
x C
22. 23 2 ln 1
arctan3 6 6
xx xx C
23. 2 2ln 1 1 4 ln 2 1 4x x x C
24. 2 21 2 sin cos5
x xe x e x C
25. ln sec tan ln secx x C
26. 21 4
4
x
x
eC
e
27. 4 ln 1x x C
28.
5 32 22 1 2 1
10 3
x xC
29. 2
2 12
xex C
30. 2 1 ln x C
31. 1 5 3
ln ln 3 ln 13 12 4
x x x C
32. 2 1
2 2ln 32 1
xx x C
x
33. 166arctan x C
34. 2 17
ln 3 16 9 27
x xx C
35. 1 3
3 1 sin 2 cos22 4
x x x C
36. 3
ln 2 32
x x x C
37. 7ln 2 5ln 1x x C
38. 2ln 4ln
2arctan4 8 2
xx xx C
39. ln cosx x C
40. 22 tan 1
1 1 2 5 2cos sin cos arctan
10 2 5 2 2 25 5
x
x x xC
41. arcsin 2 27 3
arcsin 1 8 12 2
xe x x x x C
42. 22
4 2arccosx Cx
43. sin 2 sin 4
4 4 16
x x xC
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
168
44. 5 3 1 1 1
4 4 2 4 44 4
2 4 4ln 15 3x x x x x x C
45. ln tan 12
xC
46. 3 2
3 2 5 ln 53 2
x xx x x x x C
47. 2
ln2
xx xe e e C
48. 4 23
52x x C
49. 41 arctan4
x C
50. 3 2 2 212 2 3 2 arctan 2 ln 12
x x x x x x x C
51. 3tan
tan3
xx C
52. 2 27 7
ln sec ln tan 6 tan 140 2 40 40 2 2
x x x xC
53. 2 sin 2cosx x x C
54. 21 1 2 1
ln 1 ln 1 3 arctan3 2 3
xx x x C
55. 21 1 1
ln ln 4 arctan4 8 2 2
xx x C
56. 21 3
2ln ln 1 2arctan2
x x x Cx
57. 21
ln 4ln 18
x C
58. 51
cot arcsin45 3
xC
59. 22ln 1 ln 2 2 3arctan 1x x x x C
60. 23 3
ln ln 4 arctan4 8 2
xx x C
61. 3 1
2 22 1 2 13
x xe e C
62. 21
arctan ln 12
x x C
63. 21 1
arcsin 12 2
x x x C
64. 2 3 1
ln 1 arctan3 3
xx C
65. 2
2 21 1624ln 16 24ln 4 162
xx x x x C
x
66. 27
4ln tan 1 ln sec2 2 2 2
x x xC
67. 3sec 4sinx x C
68. ln ln 3x C
69. 21
ln ln 12
x x C
70. 21 7 2 1
ln 2 3 arctan3 6 2
xx x C
71. 2 21 1
arcsin arcsin 12 2
x x x x x C
72. 1
22 tan x C
73. 2sin 1
arcsin3
xC
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
169
74. 5 3
2 24 41 1
5 3x x C
75. 21
ln 1 ln 2 22
x x x C
76. 2
41 3 5ln 5 arctan4 10 5
xx ee C
77. cos7 cos
28 4
x xC
78. 1 13 33 3arctanx x x C
79. 1
ln csc 2 cot 22
x x C
80. ln 1 cosc C
81. 2
21 1ln ln 12 1 2
x xx x C
x
82. 2 21 cos ln cos 12
x x C
83. 31 sin 2
sin cos4 8 6
x xx x x x C
84. 2 1 ln 1 1 ln 1 1x x xe e e C
85. 1
ln sin ln sin 1sin 1
x x Cx
86. 2
arctan 1
2 2 1
x xC
x
87. 3 7
2 21 1
cos 4 cos 46 14
x x
88. sin 2 sin 4 23 1
4 4 8 4
x xx C
89. sintan xx e C
90. arctan 21
2
te C
91. 2 21
ln2
x xe e C
92.
2sin3
arcsin2 7
xC
93. tan 4
5
5ln 5
x
C
94. 2
ln sec tan tan tan2 2
x x C
95. 3 3ln10 ln csc log cot log3 3
x x C
96. ln cot ln ln csc lnx x x C
97.
4 1
2 1 111
2
x
x xx ex e e C
98. 322cos cos3
x xe e C
99. 3 52 1
sin ln sin ln sin ln3 5
x x x x x x C
100.
24 21 1 2 1ln 2 arctan
4 2 3 3
xx x C
101.
44 41 ln 1 ln 2
4 11
xx x C
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
170
CAPITULO 2: La Integral Definida
Ejercicios Propuestos 2.1
1.- a) 6 b) 52
3 c)
2 2
2
b a d)
3 3
3
b a
2.-
1. 13
3 2.
5
12 3.
1
4.
3 3
2 3
sen
5. 23
ln 22
6. 5 7
ln 22 4
7. 13
21ln 23
8. ln 2
9. 3 22 1 47
9 2 18e e 10. e 11.
3 2
24
12. 31 37ln2 13. 9 3 5
ln 2 ln3 ln54 8 8
14. 1
12
e
15. 2ln2 1 16. 9 5
arcsin 52 3
Ejercicios Propuestos 2.2
1.
1. 0 2. 14
3 3.
28
3 4. 5 5.
29
2
6. 85
3 7.
9
2 8.
115
3 9.
13
2 10.
41
2
11. 45 12. 2 13. 0 ; es impar 14. 0 ; es impar
2. 6
3. 10
4. a) F b) V c) V d) V e) V f) F g) V h) V
5. a) sincos ln
1 sin ln
xx xx
x x
b) 3 15 5 2 3 5 5 2tan
1 32 sec 6 sec 2 sec tan 1 ln tan ln secx
x x x x x x x x x x xx
c)
secsec tan ln3 1 ln3
2 ln sec2 3
x
x
e xe x x xe x
e x xe
d)
3 32
45 1024
2 sen 43 cos
1sen 1
x x xx x
xx x
e)
3 29 3 2 3 2
3 3 2 2
1 ln 1 21 sin tan 3 sin tan cos tan sec
cos sin tan sin sin tan cos ln 1 sin ln 1
x xx x x x x x x
x x x x x x
f)
2 232
3
12 1 sin 6log 2 1 sin
1 cosln 3 1 cos 6log
x x x
xx x
6. a) 3
1 b) 1sen c)
2
2 4
0
4.
1 5 1 5
x
dt x
t x
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
171
Miscelneos
1. a) V b) F c) F d) V e) V f) F g) V h) V i) F j) F k) V l) F m) V n) F o) F p) F q) V r) F s) F t) F u) F v) V w) V x) V y)F z)V
2. a) 6
1 b)
5
52
6
1 c)
152
d) 233 arctgarctg
e) 3
1 f) 6 g) 3
29 h) 4ln4
i) 75
516
j) 2041
21
25 lnln
4
3 k) 334 l)
277
m) 2 n) 0 o) 9 5
1 11
2 2e e p) 22 1e
3. Es cncava hacia arriba para 2x y 4x
4. 7
CAPITULO 3: Aplicaciones de la Integral
Ejercicios Propuestos 3.1
1) 92
2) 3
22 3) 3
16 4) 2
9 5) 3
32
6) 12.25 7) 4
131 8) 6
71 9) 8 10) 6
125
11) 3
8 12) 22
Ejercicios Propuestos 3.2
1). 4
2a 2) 3
3
8 3)
4
2729 4) 33 5)
62
38
6) 28 7) 2
32718 8) 1
2
9) 339
Ejercicios Propuestos 3.3
1). a) 6
5 b)
28 15 17 arctan 4 c) 3
11
2) a)
12
72ln22 b)
30
12ln2
3) 3
500 4)
32
875 5)
5
128 6) 13
7) a) 48
625 b)
4
125
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
172
Ejercicios Propuestos 3.4
1) 12ln2 2) 16 3) a 4) 133
Ejercicios Propuestos 3.5
1). 4
5A 4P
2) a) 6a b) 68
Ejercicios Propuestos 3.6
1). a) Divergente b) 2
c)
2
1 d) 0
e) Divergente f) Divergente
2) 2
1 3) 6 4)
3
4
5) a) 3 b) divergente
6) Diverge para 1p , converge a p1
1 si 1p
Miscelneos
1. a) 2e b) 2 32
e
2. a) 13
3 b)
214
15
c)
40
3
3. 992
3
4. 2
33
5. 32 2 2 1.48 6. 32 2 2 1.48
7. 14
3
8. 9
2
9. 2
10. 4 12 3 11. 16
12. a) 8 b) 160
3
13. 4
14. 5
3
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
173
15.
1.33
4
3
0
3.74 11
xP dx
x
16. 64
15V
17. a) 44
3 b)
32
3 c)
1312
15
18. 24
19. 318 9e
20. 16
5
21. 8 2
22. 1114
5
23. 8
3
24. 8
25. 4
2 33
26.
23
4
a
27. 69
10
28. 40
3
29. 4
30. a) 2 23 1
ln 22 8
e e e e
b) 2ln 2 2 ln 2 1e e e e
31. 2 1e
32. 992
5
33. 36
34. 11
3
35. 2
36. a) No es posible. Diverge. b)
37. 5
2
38. 92
39. Diverge.
40. 2
41. 42. Diverge
43. 1
ln 2
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
174
44. 56
45.
46.
1;
2 1 2
1;0
2
cc
V
c
47. a) e b) 2
2
e
48. 5 2P
CAPITULO 4: Sucesiones y Series
Ejercicios Propuestos 4.1
1). a) converge a 2
3 b) Diverge c) no converge d) converge a
3e
e) converge a 0 f) converge a 0 g) converge a e
2) a) Creciente b) Decreciente c) Creciente
d) no montona e) Creciente para 2n
Ejercicios Propuestos 4.2
1. a) 1
12
1 ; 22nn
a
a n
;Serie convergente, 0S
b)
1 ln 3
2 1ln ; 2
2 1n
a
na n
n
; Serie divergente
2. a) 1
11
nSn
, converge, 1S
b) 5 5
13 2
n
nS
, diverge.
c)
1 1
6 3 3 2nS
n
, converge,
1
6S
d) 1 1
3 22 3
n n
nS
, converge, 3S
e) 1 1
2 3nS
n
, converge,
1
2S
Ejercicios Propuestos 4.3
1. Serie convergente 2. Serie convergente 3. Serie divergente
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
175
Ejercicios Propuestos 4.4
a. Serie convergente b. Serie convergente c. Serie convergente d. Serie divergente e. Serie divergente f. Serie convergente h. Serie divergente i. Serie convergente j. Serie divergente
Ejercicios Propuestos 4.5
a. Condicionalmente convergente b. Divergente c. Absolutamente convergente d. Absolutamente convergente e. Divergente f. Absolutamente convergente
Ejercicios Propuestos 4.6
a.
b.
c. e x e
d. 1 1x
e. 4 8x
Ejercicios Propuestos 4.7
1. a)
352tan
3 15
xx x x b) 2 2 4
2sec 1
3x x x
c) 2 4 6
ln cos2 12 45
x x xx
2. a) 2 31 1
ln 1 1 12 3
x x x x b) Intervalo 0 2x
3. a. 1
0
1ln 1
1
n n
n
xx
n
; 1x
b.
2
2 1
0
1
2 1 !
n n
x
n
xe dx C
n n
; x
c. 3
0
1
1
n n
n
x
n
; 1x
d. 2 1
0
1
2 1
n n
n
x
n
; 1x
e. 2 2
0
1
2 1
n n
n
x
n
; 1x
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
176
f.
2 1
0
1
2 1 2 1 !
n n
n
xC
n n
; x
g. 2 1
0
1n n
n
x
; 0 1x
h.
4 3
0
1
2 !
n n
n
x
n
; x
i.
0
1 1
2 !
n n
n
x
n
; x
4. a.
0
1
! 2 1
n n
n
x
n n
b.
c.
0 0
1 1 1
2 ! 1
n
n n
n n n
d.
3
2
0
11
2
32 1 !
2
nn
n n n
e.
4 3
0
11
2
4 3 2 1
nn
n
n n
f.
0
1 1
2 !
n
n
n n
5. a. 2 1
0
1
2 1
n n
n
x
n
; 1x
b.
0
14
2 1
n
n
n
6. a. 2 1
0
1
!
n n
n
x
n
7. 1
4 4 8 1221 1 1
2 2 21 11 2 2
x x x x
8. a.
1
1
1
!
x n
n
e x
x n
b.
1
11 !
n
n
n
9. a. 22
1
1
!
n n
x
n
xx e
n
b.
1
1
2 24
!
n
n
n
n
-
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
177
10. a. 2
2
1
ln 1n
n
xx
n
b. 1 1x c. 1
1 8ln
99nn
n
11. a.
1
0
1 21
2
n n
n
n
x
x
b. 0 4x c. 1
2
1 11
42
n
n
n
n n
12.