3.er grado: Matemática

SEMANA 4

Resolvemos situaciones empleando funciones cuadráticas

DÍA 4

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 3_día 4, las páginas 35, 36, 37 y 38.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.Días 3 y 4:

Estimadas(os) estudiantes iniciaremos el desarrollo de las situaciones de las páginas 35, 36, 37 y 38 de tu cuaderno de trabajo Resolvamos problemas 3 (disponible en la sección

“Recursos” de esta plataforma)

Situación 1 – Página 35

A Rubén le gusta jugar tiro al blanco y quiere saber cómo podría calcular el área de cada círculo del tablero. Su profesor le dice: “El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio de la circunferencia y el valor de pi (π) sería la constante”. A partir de esta información, ¿cuál es la representación matemática de la función área del círculo A(c) que Rubén debe emplear para encontrar el área de cada círculo?

a) A(r) = πr2 b) A(r) = πr3 c) A(x) = 2π d) A(x) = πr3

Solución

A partir de la afirmación del texto: “El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio de la circunferencia y el valor de pi (π) sería la constante”. Representamos la expresión de la siguiente manera: A(r) = πr2.

Respuesta: La representación matemática es: A(r) = πr2.

Por lo tanto, la alternativa correcta es la clave a).

Situación 2 – Página 36

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función cuadrática: g(x) =𝟏

𝟐𝒙𝟐?

g(x) = 1

2𝑥2

Si x = 0:

g(0) = 1

2∙ 02

g(0) = 0

a) b) c) d)

g(x) = 1

2𝑥2

Si x = 2:

g(2) = 1

2∙ 22

g(2) = 2

g(x) = 1

2𝑥2

Si x = –2:

g(–2) = 1

2∙ (−2)2

g(– 2) = 2

Solución

Damos 3 valores a x, por ejemplo, cuando x = 0, cuando x = –2 y cuando x = 2. A este proceso se denomina evaluar una función g(x).

Respuesta: Algunos puntos de la parábola son: (0; 0), (2; 2) y (–2; 2).

Por lo tanto, la alternativa correcta es la clave b).

Recuerda:

Para cualquier valor de x, positivo o negativo, x2, siempre será positivo.

Ejemplo:

(–5)2 es positivo

(+5)2 es positivo

!

Situación 3 – Página 37

Identifica la tabla o tablas de valores que pueden ser funciones cuadráticas. Justifica tu respuesta.

1.°

→ tenemos: ax2 + bx + c = y; x = 0, y = 3

→ a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 3

→ c = 3

Reemplazamos los valores obtenidos en la función cuadrática: f1(x) = ax2 + bx + c, obtenemos: f1(x) = 2x2 – 3x + 3.

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6

Gráfica de la función

Encontramos los coeficientes a, b y c de la función cuadrática f1(x) = ax2 + bx + c que corresponde a la Tabla a).

Y = {3; 2; 5; 12; 23}

A B

C

D

E

Tabla a)

2.°

x = 1, y = 2, c = 3, entonces:

a ∙ 12 + b ∙ 1 + 3 = 2

a + b = − 1 → b = − 1 − a

Además, como x = 2, y = 5, c = 3, entonces:

a ∙ 22 + b ∙ 2 + 3 = 5

4a + 2b = 2 → 2a + b = 1

Reemplazamos el valor de b y tenemos:

2a + (− 1 − a) = 1 → 2a − 1 −a = 1

a = 2

3.° Como b = − 1 − a y a = 2

→ b = − 1 − 2 ⟶ b = –3

f1(x) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c = y;

X 0 1 2 3 4f1(x) 3 2 5 12 23

A = (0,3)B = (1,2)C = (2,5)D = (3,12)E = (4,23)

Situación 3 – Página 37

Reemplazamos los valores obtenidos en la función cuadrática:

resulta que es una función lineal: f2(x) = – 4x + 1.

Gráfica de la función

Encontramos los coeficientes a, b y c de la función cuadrática f2(x) = ax2 + bx + c

que corresponde a la Tabla b).

Tabla b)

1.°

→ tenemos:

ax2 + bx + c = y; x = 0, y = 1

→ a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 1

c = 1

2.°

x = 1, y = –3, c = 1, entonces:

a ∙ 12 + b ∙ 1 + 1 = –3

a + b = − 4 → b = − 4 − a

Además, como x = 2, y = –7, c = 1, entonces:

a ∙ 22 + b ∙ 2 + 1 = – 7

4a + 2b = – 8 → 2a + b = – 4

Reemplazamos el valor de b y tenemos:

2a + (− 4 − a) = –4 → 2a − 4 −a = – 4

a = 0

3.° Como b = − 4 − ay a = 0

→ b = − 4 − 0 → b = –4

f2(x) = ax2 + bx + c

X 0 1 2 3 4f2(x) 1 –3 –7 11 –15

F = (0,1)G = (2,7)H = (3,-7)I = (3,-11)J = (4,-15)

ax2 + bx + c = y;

ax2 + bx + c = y,

CV

CV

Situación 3 – Página 37

Respuesta: Solo la Tabla a) es una función cuadrática (parábola).

Sin embargo cuando x = 3, f3(x) = (3)2 – 2(3) + 5 = 8 y no cumple con el dato que dice que es – 4.

También cuando x = 4, f3(x) = (4)2 – 2(4) + 5 = 13 y no cumple con el dato que dice que es – 11.

Encontramos los coeficientes a, b y c de la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + cque corresponde a la Tabla c).

Tabla c)

2.°

x = 1, y = 4, c = 5, entonces:

a ∙ 12 + b ∙ 1 + 5 = 4

a + b = –1 → b = − a – 1

Además, como x = 2, y = 5, c = 5,

entonces:

a ∙ 22 + b ∙ 2 + 5 = 5

4a + 2b = 0 → 2a = –b

Reemplazamos el valor de b y tenemos:

2a = −( −a – 1 ) → 2a = a + 1

→ a = 1

3.° Como b = − a − 1y a = 1 → b = − 1− 1

→ b = –2

Reemplazamos los valores obtenidos en la función cuadrática:

obtenemos: f3(x) = x2 – 2x + 5.

X 0 1 2 3 4f3(x) 5 4 5 –4 –11

1.°

tenemos:

ax2 + bx + c = y; x = 0, y = 5

→ a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 5

→ c = 5

f3(x) = ax2 + bx + c

ax2 + bx + c = y;

f3(x) = ax2 + bx + c,

Situación 4 – Página 37

Dada la siguiente función:

donde a es un número real mayor

que 𝟕

𝟑pero menor que 100,34, ¿hacia dónde

sería la orientación de la parábola?, ¿por qué?

Solución

Dada la función:

Recuerda el trinomio cuadrado perfecto:

(p + q)2 = p2 + 2pq + q2

Tenemos: donde: 7

3< a < 100,34.

Es equivalente a:

Los valores de a2 , que es el coeficiente de la función cuadrática, están entre:

(7

3) 2 < a2 < (100,34) 2 Respuesta: La orientación de la función f(x) es hacia arriba.

Análisis:• Recordar que todo número

real (positivo o negativo) elevado al cuadrado es positivo.

• No interesa el valor que toma a, igual al elevar al cuadrado será positivo. Entonces:

Cuando es positivo el valor que acompaña al x2, la parábola se abre hacia arriba.

f(x) = (ax + m) 2 ,

f(x) = a 2 x 2 + 2axm + m 2,

f(x) = a 2 x 2 + 2axm + m 2 ,f(x) = (ax + m) 2 ,

Situación 5 – Página 38

¿Qué sucedería con la gráfica de una función cuadrática

sabiendo que n es un número natural, si aumentáramos el valor de n en cinco unidades?

a) El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia abajo en el eje de las ordenadas.

b) El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas.

c) El vértice de la parábola se desplazaría una unidad hacia la derecha en el eje de las abscisas.

d) El vértice de la parábola se desplazaría una unidad hacia la izquierda en el eje de las abscisas.

g(x) = (x + 1) 2 + n,

x g(x) = x2 + 2x + 1 g(x) = x2 + 2x + 1+ 5

–5 16 21

–4 9 14

–3 4 9

–2 1 6

x = –1 y = 0 y = 5

0 1 6

1 4 9

2 9 14

3 16 21

4 25 30

5 36 41

Gráfica de las funciones

Respuesta: El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas.

Alternativa b).

Damos valores para x:

Resolución

n = 0 n = 5

g(x) = x2 + 2x + 1 + n g(x) = x2 + 2x + 1 + 0

g(x) = x2 + 2x + 1

g(x) = x2 + 2x + 1 + 5

g(x) = x2 + 2x + 6

En la función g(x) = (x + 1)2 + n = x2 + 2x + 1+ nAnalizamos cuando n = 0 y luego cuando n = 5, para ver qué sucede con la función.

g(x) = x2 + 2x + 1 g(x) = x2 + 2x + 6

Situación 6 – Página 38

Con 40 m de malla metálica se quiere cercar un terreno que tiene forma de un rectángulodonde se construirá una casa. ¿Cuál es la mayor área que podría tener la casa?

a) 40 m2 b) 80 m2 c) 100 m2 d) 120 m2

Ancho del terreno: xLargo del terreno: y

El área: A = x ∙ y

Perímetro: 2x + 2y

2x + 2y = 40

x + y = 20

y = 20 – x

Solución

Respuesta: La mayor área que podría tener la casa es 100 m2, y esa área se produce si el ancho x = 10 m.

La alternativa correcta es la clave c).

Área como notación funcional:

A = x(20 − 𝑥)

A(x) = x(20 − 𝑥).

A(x) = – x2 + 20x

Se pide hallar el área máxima. Entonces, como estrategia utilizaremos la fórmula para hallar el vértice, ya que este punto será el valor máximo de la función: si a = –1, b = 20 y c = 0.

V = (−𝑏

2𝑎;

−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎)=(

−(20)

2∙(−1);

−202+4(−1)(0)

4(−1)) = (10; 100 )

x

y

Lado

Área

¿Qué procedimiento realizaste para dar respuesta a las preguntas de las situaciones?

Respuesta libre:

Comprendí e identifiqué los desafíos o preguntas que debo responder en cada

situación.

Identifiqué los datos principales para responder a las

preguntas.

Seleccioné y apliqué estrategias, procedimientos y

operaciones, de acuerdo a cada situación.

Utilicé tablas, representaciones numéricas y otros que me

ayudaron a resolver las situaciones.

Identifiqué mis errores, dudas y aciertos, los corregí al momento

de verificar las respuestas en las seis

situaciones.

Registré todos mis trabajos o

producciones en mi portafolio.

Gracias