Ejercicio 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su

respuesta.

a) Sea una función real definida por

, entonces

VERDADERO

b) Sea una función real definida por luego la variación real de cuando t cambia de 9,5 a 10, es 4.

[ ] [ ]

FALSO

c) Si √ , luego el valor de , en y cuando es .

(

√ )

(

√ )

FALSO

d) Dada la ecuación , entonces

.

Derivación implícita:

VERDADERO

Ejercicio 2.

a) Dada la siguiente función modelada por las ecuaciones paramétricas

{

Determine

Primera derivada:

Segunda derivada:

b) Determine la derivada , si se sabe que

Ejercicio 3. Responda según sea el caso. a) La producción diaria de una fábrica es determinada mediante la función de producción:

√

(unidades), donde L denota el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-hombre diarias. Actualmente la fábrica utiliza diariamente 512 horas-hombre. Estime la variación aproximada en la producción diaria si la fábrica disminuye en 2 horas-hombre por día su fuerza laboral.

√

La producción diaria disminuye en 9 830 400 unidades aproximadamente.

b) Un fabricante de celulares determina que con al vender unidades de un nuevo modelo,

el precio por unidad (en dólares) será – . El costo total de producir unidades del celular es dólares. Modele las funciones, ingreso marginal y utilidad marginal del fabricante.

Función ingreso:

–

Ingreso marginal:

Función utilidad:

Utilidad marginal:

Ejercicio 4.

El departamento de ventas de la empresa pesquera AUSTRAL S.A. tras un estudio del mercado

ha determinado que la demanda que relaciona la cantidad demandada de cajas de

conservas, al precio en nuevos soles por caja de conservas, es √ .

a) Los agentes de venta han indicado que si el precio de venta disminuye de 150 a 148 entonces se produce un aumento en el ingreso”. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? Justifique su respuesta.

Función ingreso:

( √ )

√

Para

√

Para

√

√

Variación en el ingreso:

Cuando el precio de venta disminuye de 150 a 148 no existe variación en el ingreso.

b) Determine la expresión que permita calcular la elasticidad de la demanda en función de .

Derivada implícita:

√

√

√

Elasticidad demanda:

√ (

√

)

Ejercicio 5.

Considere la curva definida por las ecuaciones paramétricas

{

a. Modele la ecuación de la recta tangente a la curva en

Para

|

Ecuación de la recta tangente:

b. Modele la ecuación de la recta normal a la curva en

Ecuación de la recta tangente:

Ejercicio 6.

DECOR LAMP SRL es una empresa que cuenta con dos modelos de lámparas decorativas, de

tipo PLASMA y de tipo LED. El departamento de marketing determina que cuando se

produzcan y vendan lámparas de tipo plasma diarias, y lámparas de tipo LED diarias,

entonces se puede generar utilidad diaria definida por

Dólares.

En la actualidad, se venden diariamente unidades del tipo plasma y unidades del tipo

led.

a. Determine la función que modela la fórmula de la utilidad marginal con respecto a la

cantidad de lámparas producidas y vendidas del tipo led. Derivada parcial con respecto a N:

b. Determine la expresión que modela la variación aproximada de la utilidad al aumentar el

número de lámparas del tipo plasma en unidades y disminuir el número de lámparas del tipo led, en .unidades Diferencial total:

c. Determine la expresión que modela la variación real de la utilidad al disminuir dos lámparas del tipo plasma, y aumentar una unidad las del tipo led con respecto a lo que se tiene en la actualidad. Variación real:

(

) (

)

Ejercicio 7.

Elija convenientemente una de las expresiones contenidas en la primera columna y complete las proposiciones presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.

a) Luego de derivar la función definida por , se obtiene

b) Si entonces la variación real de al pasar de a

es:

c) Consideremos que la variable , representa la cantidad de cierto artículo medido en

toneladas, la función ingreso , obtenido por las ventas de dicho artículo (en cientos de

dólares) es definida en términos de la cantidad mediante

, luego el

ingreso marginal para 2 toneladas vendidas, nos resulta un valor:

POSITIVO

Ejercicio 9

Para fabricar una unidad de cierto artículo, la empresa Luyorius puede utilizar la máquina A o la

máquina B. La función costo total de la compañía es

96210);(

32 yxyxC

Donde x es el número de unidades fabricadas con la máquina A, y es el número de unidades

fabricadas con la máquina B. Actualmente se fabrican 40 unidades por la máquina A y 40

unidades por la máquina B; si solo puede producir una unidad más de A o B, use el análisis

marginal para determinar que le conviene más a la empresa.

Derivada parcial con respecto a :

Cuando :

Derivada parcial con respecto a :

Cuando :

Haciendo un análisis marginal, le convendría producir una unidad del producto A, pues

el costo adicional por producir dicha unidad es menor que producir una unidad

adicional de B.

Ejercicio 10

La fábrica Castel que fabrica y empaca líquido refrigerante los hace en dos tipos según la

presentación, el tipo A y B; Las funciones de demanda de A y B están dadas respectivamente

por , , donde y son los precios unitarios de A y B

respectivamente, yx, son las correspondientes cantidades demandadas de A y B.

Determine las derivadas parciales

y

e interprete sus resultados.

Derivada parcial de con respecto a :

Derivada parcial de con respecto a :

Cuando aumenta en un dólar el precio de B, aumenta en 4 unidades la demanda de A Cuando aumenta en un dólar el precio de A, aumenta en 4 unidades la demanda de B En conclusión podemos decir que los productos A y B son sustitutos.

Ejercicio 11.

Una empresa fabrica los artículos A y B; los respectivos costos unitarios de producción son S/.

50 y S/.80. Las funciones de demanda de A y B están dadas respectivamente por

pqypqx 35320,)(3 , donde qp, son los precios unitarios de A y B

respectivamente, yx, son las correspondientes cantidades demandadas de A y B.

a) Halle la función de utilidad );( qpU

b) Determine

e interprete su resultado.

Derivada parcial:

Evaluando en (4;5)

Al aumentar en un dólar el precio del producto A, la utilidad aumenta en 396 dólares.

c) Determine

e interprete su resultado.

Derivada parcial:

Evaluando en (4;5)

Al aumentar en un dólar el precio del producto B, la utilidad aumenta en 544 dólares.

Ejercicio 12

Calcule el determinante de las siguientes matrices

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Ejercicio 13.

La función de costos mensual, en cientos de soles, de cierta fábrica es

1009),( 33 yxyxyxf .

Donde yx, representan las cantidades de los insumos A y B utilizados, determine las

cantidades de A y B que minimizan el costo. ¿Cuál es el costo mínimo?

Hallando puntos críticos:

De (i) y (ii):

Puntos críticos: (0;0) y (1;1)

Comprobando con la segunda derivada parcial:

Para (0;0) y . NO ES MÁXIMO NI MÍNIMO

Para (1;1) y . ES UN MÍNIMO

En (1;1) se obtiene el costo mínimo.

El costo mínimo será S/.9 300

Ejercicio 14.

Una empresa dedicada a la comercialización de productos de tecnología visual está planeando

introducir dos nuevos sistemas A y B. Se estima que si el modelo A se vende en x cientos de

dólares por sistema, y el modelo B se vende en y cientos de dólares por sistema, se venderán

yx 5840 sistemas tipo A mientras que del tipo B se venderán yx 7950 sistemas. El

costo de fabricación de un sistema A es de 1000 dólares y el costo del sistema B es de 3000

dólares por sistema.

a) Determine la función utilidad

[ ]

[ ]

b) Utilice el hessiano y determine el precio unitario de cada modelo de sistema a fin de generar la mayor utilidad. Hallando puntos críticos:

De (i) y (ii):

Punto crítico: (30;45)

Comprobando con el hessiano:

| | |

|

ES UN MÁXIMO

Para maximizar la utilidad precio de A será S/.30 y el precio de B será de S/.45

Ejercicio 15.

Una fábrica de producción y venta de artículos de limpieza ofrece los artículos A y B; los

respectivos costos unitarios de producción son S/. 60 y S/.90. Las funciones de demanda de A

y B están dadas respectivamente por pqypqx 35320,)(3 , donde qp, son

los precios unitarios de A y B respectivamente, yx, son las correspondientes cantidades

demandadas de A y B.

Determine los precios de A y B a fin de que la empresa obtenga el máximo beneficio.

Hallando puntos críticos:

De (i) y (ii):

Punto crítico: (337.5;487.5)

Comprobando con el hessiano:

| | |

|

ES UN MÁXIMO

Para maximizar el beneficio el precio de A será S/.337.5 y el precio de B será de

S/.487.5