Resolución de Algunas Inecuaciones

Matemticas Superiores

Prof.: Carvajal G. Luis G.

INECUACIONES

Problemas resueltos de inecuaciones Cuadrticas:

Problema Justificacin

2 2 2( 6) ( 2) ( 4)2

4 3

x x xx

Desarrollo de los productos notables.

2 2 212 36 4 4 8 1( ) 62

4 3

x x x x x xx

Eliminar de parntesis.

2 2 2 8 162

4 3

36 412 4x xx

x xx x

Suma algebraica.

28 32

4

8 162

3

x xx

x

Suma de fracciones

28 32 16

4

6

3

8x x x x Suma algebraica.

28 32 2

4 3

16x x x Despejar.

2(8 32) ( 2 13 4 6)x x x Propiedad distributiva.

224 96 8 64x x x Despeje.

20 8 64 24 96x x x Suma algebraica.

2 160 32x x Simplificar por 4 y ordenar la desigualdad.

2 4 8 0 1 4 8x x a b c Aplicar la resolvente.

2

1,2

1,2

( 4) ( 4) 4(1)( 8) 4 16 32

2(1) 2

4 48 122 12

4 2

22

x

x

En esta parte puede usar su calculadora y obtener esos

resultados sin ningn tipo de problema.

Aclaratoria:

1,2

4 4

2

4 48 32 2 3 2 12

2x



1 22 1 2 22 1x x

Sol: Grfica

Como el problema nos pide los valores de x menores a

cero, entonces tomamos la parte interna, por ser una

inecuacin cuadrtica.

2 12,2 12x

Grado Superior:


8 7 6 5 4 3 213 58 82 119 491 516 180 0x x x x x x x x

Ntese que es un polinomio de grado 8 y que no posee trmino independiente, lo que implica que debemos factorizar usando factor comn.

7 6 5 4 3 213 58 82 119 491 516 180 0x x x x x x x x Ahora al resto del polinomio le aplicamos Ruffini.

1 13 58 82 119 491 516 180

1 1 12 46 36 155 336 180

1 12 46 36 155 336 180 0

1 1 11 35 1 156 180

1 11 35 1 156 180 0

2 2 18 34 66 180

1 9 17 33 90 0

2 2 22 78 90

1 11 39 45 0

3 3 24 45

1 8 15 0

3 3 15

1 5 0

5 5

1 0

Reescribir la nueva inecuacin a partir de los resultados obtenidos en el proceso de Ruffini.



2 2( 1) ( 2)( 3) ( 5)( 2) 0x x x x x x Construimos la recta con los valores obtenidos.

Ahora realizamos el anlisis de los intervalos por signos.

2

2

2,0 2,3 3,5, 2 0,1 1,2 5,

( 1)

2

( 3)

5

2

x

x

x

x

x

x

Resultado

Ahora tomamos los intervalos para los cuales el resultado fue negativo, ya que el problema nos seala los menores e iguales.

2,0 2,5x

Racionales:


2

12 6 3 3

8 2 48 6

x x x

x x x x

Vamos a trasladar todos los trminos a la

izquierda y factorizamos la segunda

fraccin.

8 ( 8)

12 6 3 3

( 60

6)x

x x x

x xx

Ntese que el mnimo comn mltiplo

entre los polinomios denominadores es

( 8)( 6)x x ya que se encuentra

incluido en el resto

( 6) ( ( 8)

( 8

6)

( 6)

( 12) (30

)

3)x xx x

x

x

x

Desarrollamos los productos notables del

denominador, teniendo cuidado con los

signos negativos.

2 26 72 6 (3 24 3 24)0

( 8)( 6)

x x x x x x

x x

Terminamos de desarrollar todo el

numerador.

2 272 6 240

( 8)( 6)

6 3 24 3x x x

x x

xx x

Suma algebraica de todos los trminos del

numerador.

Sacamos factor comn 2.

3



22

2 42 ( 8 21)0 0

( 8)( 6) ( 8)(

2

6)

16 2factor comn x x

x x

x

x

x

x

Despejamos al 2 y cambiamos la

desigualdad ya que el signo cambia cuando

despejamos un nmero negativo.

2 2( 8 21) 0 8 210

( 8)( 6) 2 ( 8)( 6)

1 8 21

x x x x

x x x x

a b c

Aplicamos Ruffini al numerador.

2

1,2

8 (8) 4(1)(21) 8 64 84 8 20

2(1) 2 2x

Ahora acabamos de obtener una raz que

no pertenece a los nmeros reales; Lo que

implica que slo vamos a analizar los

nmeros que tenemos en dicha inecuacin.

2

8 6

8 210

( 8)( 6)

No posee races

x x

x x

Nota: Como el numerador no posee races

reales y el coeficiente que acompaa a la

variable de mayor grado es positivo,

entonces el numerador siempre es positivo.

Realizamos el anlisis de los intervalos por

signos.

2

8,, 8 6,

8

6

21

8

6

x x

x

x

Resultado

Ahora tomamos los intervalos para los

cuales el resultado fue negativo, ya que el

problema nos seala los menores e iguales.

8,6x

Observe que la solucin al problema es abierta, aunque el problema el problema dice que son los menores o iguales

Esto se debe a que el denominador no puede valer cero Lo que obliga a retirar de la solucin a dichos valores.

La sabidura es un adorno en la prosperidad y un refugio en la adversidad. Aristteles (384 AC - 322 AC) Filsofo griego.

Es mejor saber despus de haber pensado y discutido, que aceptar los saberes que nadie discute para no tener que pensar.

Fernando Savater (1947-?) Filsofo espaol.

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