UNIVERSIDAD CATLICA LOS ANGELES DE CHIMBOTE

FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES I

Dr. Ing. Wilson Gernimo Sancarranco Crdova MSc.

PIURA PER

RESISTENCIA DE MATERIALES

DEFINICION : Es la ciencia que estudia las relaciones de las cargas externas a un cuerpo y sus efectos que stos producen al interior de los mismos. Se diferencian de la esttica o la mecnica por que no considera a los cuerpos lo suficientemente rgidos o indeformables. PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES : a) Resistencia en la oposicin que ofrece el material a la accin de cargas externas, cuanto mayor sea la resistencia mayor carga se requiere para que falle el material, puede ser e traccin, compresin dependiendo del sentido de las cargas aplicadas. b) Deformacin : Es la intensidad de cambios geomtricos originado por la accin de las fuerzas aplicadas, cuando ste es lineal, se determina mediante una ecuacin experimental. = PL EA donde : P = es la carga resultante L = longitud inicial del cuerpo E = Mdulo elstico A = Seccin transversal del cuerpo c) Elasticidad .- Es la capacidad de un material de deformarse bajo la accin de una carga y recuperar la accin de esta al cesar la accin de sta. (E) d) Plasticidad.- Es la deformacin permanente de un cuerpo por la accin de cargas aplicadas, no recuperando sus condiciones iniciales deformndose con cargas relativas bajos pero sin fallar. e) Dureza.- Es el grado de oposicin que ofrece un cuerpo a dejarse rallar por otro

f) Tenacidad.- Es la capacidad de un material de absorber energa e meno o mayor cantidad . De acuerdo algunas propiedades de los cuerpos estos se clasifican : A) Frgiles o Quebradizos : Aquellos materiales que para valores de esfuerzos tienen pequeos valores de deformacin, falla bruscamente Ej., las rocas, el vidrio, el hormign. etc., B) Dctiles : Son materiales considerados elsticos con fluencia pronunciada y la falla se produce con contraccin de la seccin transversal, ejemplo el acero dulce y todas sus aleaciones. C) Plsticos : Aquellos materiales que tienen grandes deformaciones permanentes y pequeo grado de elasticidad. Ej. El Plomo, arcilla, asfalto. Ejemplo Para un material que tenga la siguiente curva de deformacin :

DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACION

ANALISIS DE FUERZAS INTERNAS

- Fuerza Axial (Pxx): realiza la accin de tirar y se representa por la fuerza de traccin (tendencia al alargamiento) y de compresin (tendencia a acortarlo). Se simboliza por P (vase Figura 3 a y b).

- Fuerza Cortante (Pxy, Pxz): realiza la accin de deslizamiento de una porcin

de la seccin respecto a la otra.

Se simboliza por V (vase Figura 4).

- Momento flector (Mxy, Mxz): realiza la accin de curvar el cuerpo o flexionarlo respecto a los ejes Y o Z. Se simboliza por My o Mz (vase Figura 5).

- Momento torsor (Mxx): realiza la torsin sobre el slido (vase Figura 6). Se simboliza por T o Mt (Singer y Pytel, 1982).

ESFUERZOS 1. E. NORMALES (TENSIN) 2. E. CORTANTES 3. E. APLASTAMIENTO O DE APOYO 1. E. NORMAL ( ) .- La carga es axial al rea

................(1)

Traccin Compresin

2. E. CORTANTE ( ).- La carga es paralela al rea.

= P A

= x sen 2 N = x cos2 2

3. DEFORMACIONES ( ) (2)

Reemplazando (1) en (2) = L (3) E EJERCICIOS 1) La barra que se muestra entre acero como mdulo elstico 2.1 x 106 Kg/cm2, est solicitada por las cargas que se muestran en la fig. Determinar los esfuerzos en cada tramo y la deformacin total resultante. A = 80 mm2

TRAMO AB

FH = 0

-5000 + A = 0

= 5000 kg / 8 cm2 = 625 kg /cm2 (+)

5 TM A

= PL EA

TRAMO BC

FH = 0

-3500 + A = 0

= 3500 kg / 8 cm2 = 437.5 kg /cm2 (+) TRAMO CD

FH = 0

-4500 + A = 0

= 4500 kg / 8 cm2 = 562.5 kg /cm2 (+)

DEFORMACION TOTAL : T = AB + BC + CD T = PAB .LAB + PBC. LBC + PCD. LCD EA EA EA

T = 1 ( AB.LAB + BC .LBC + CD.LCD) E T = 1 (625 x 300 + 437.5 x 500 + 562.5 x 800 ) = 0.41 mm 2.1 x 106 2.- Para la barra que se muestra, Calcule los esfuerzos en cada material, calcule adems la deformacin total. EAl = 1 X 10

6 Kg/cm2 EBr = 1.4 x 10

6 Kg/cm2 EAC = 2.1 x 10

6 Kg/cm2

Clculo de Esfuerzos

FH = 0

20 + A = 0

= 20000N / 700 x 10-6 m2 = 28.57 x 106 Pascal = 2.86 Mpascal (-)

3.5 TM A

5 TM A

BRONCE 20KN A

FH = 0

5 + A = 0

= 5000N / 1000 x 10-6 m2 = 5 x 10 6 Pascal = 5 M Pascal (-)

FH = 0

10 + A = 0

= 10000N / 800 x 10-6 m2 = 12.5 x 106 Pascal = 12.5 Mpascal (+)

Clculo de Deformaciones : - Necesitamos convertir Pascal a Kg/cm2

BRONCE : 28.57 x 106 N x 1 kg-f x 1 m

2 291.23 kg/cm2

m2 9.81 N (100 cm)

2

ALUMINIO : 50.96 Kg/cm2

ACERO : 127.42 Kg/cm2

Segn Ecuacin = L (3) E

BRONCE = 291.23 kg/cm

2 x 500mm = 0.104 mm 1.4 x 106 Kg/cm2 ALUMINIO = 50.96 Kg/cm

2 x 600 mm =0.030 mm. 1 X 106 Kg/cm2 ACERO = 127.42 Kg/cm

2 x 700 mm = 0.042 mm. 2.1 x 106 Kg/cm2

ALUMINIO

5KN A

ACERO 10KN A

3.- la lmpara de la fig. pesa 80 Kg y est soportada por los cables AB y BC, los dimetros son de 10 mm y 8 mm respectivamente Calcular los esfuerzos que soportan cada cable. Dim AB = 10 mm Dim BC = 8 mm. W L = 80 Kg.

FH = 0 F V = 0 AB cos 60 = 4/5 BC ......(1) AB sen 60 + 3/5BC = 80 ........(2) AB = BC 4/5 = 1.16 BC Cos 60

Reemplazando en (2) 1.16 BC . sen 60 + 3/5 BC = 80 Tenemos : BC= 40.4 AB =64.4 A = d2 4 ABC= (1)

2 = 0.78 cm2 AAB= (0.8)2 = 0.50 cm2

4 4

Reemplazando en la Ec. ( 1) BC = 40.4 Kg = 80.4 Kg /cm

2

0.78 cm2

AB = 64.6 Kg = 82.25 Kg /cm

2

0.50 cm2

4.- Calcular el mximo peso que se puede suspender en el sistema mostrado para que los tensores admisibles en los cables AB y AC sean 100 MPascal y 50 MPascal respectivamente. La seccin transversal de AB es de 400 mm2 y la de AC es de 200 mm2.

AB = 400 mm2. AB = 100 MPascal BC = 200 mm2. BC = 50 MPascal

FH = 0 FV = 0 AC cos 45 = AB cos 30 ......(1) AC sen 45 + AB sen 30 = W ........ (2) AC = AB Cos 30 = 1.224 AB Cos 45 Reemplazando en (2) tenemos : 1.224 AB. sen 45 + AB sen 30 = W W = 1.366 AB ...........(3)

AB = P/A . BC = P/A 100 x 106 N/m2 = P/ 400 x 10-6 m2 5 0 x 106 N/m2 = P/ 200 x 10-6 m2

PAB = 40000 N PBC = 10000 N Reemplazando en (3) : W = 1.366 (40000) W = 1.224 (10000) W = 54640 N W = 12240 N

Problema 5 Tenemos una barra rgida que est suspendida por dos cables de igual dimetro 4 mm , y cuyos mdulos de elasticidad son: E1=2.1x105 MPa y E2=0.7x105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra est sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posicin x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.

Problema 6.- Una barra de aluminio con una seccin transversal de 0,5 in2 lleva la carga axial aplicada en las posiciones se muestra en la Fig. Calcular el cambio total en la longitud de la barra si E = 10 106 psi. Supongamos que la barra est adecuadamente braceada para evitar el pandeo lateral.

7.- Una varilla de aluminio es rgidamente fijado entre una varilla de acero y una varilla de bronce, como se muestra en la fig. Cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Encontrar el mximo valor de P que no excedan de un estrs en acero de 140 MPa, en aluminio de 90 MPa, o de bronce de 100 MPa.

6

DIAGRAMAS DE ESFUERZOS NORMALES 1.- Trazar el diagrama de esfuerzo normal.

TRAMO AB : 00 < X < 0.4 B

FV = 0

A -5 = 0 5T = 5 / 1 = 5 T / m2 (+)

A

TRAMO BC 0.4 < X < 1.10 C 3

FV = 0

A +3 -5 = 0 5T = 2 / 1 = 2 T / m2 (+) TRAMO CD 1.1 < X < 1.4 C 3

FV = 0

A +2+3 -5 = 0 = 0 / 1 = 0 T / m2 (+) 5T 2.- Trazar el Diagrama de Esfuerzo Normal y Calcular la deformacin absoluta A= 2 cm2 E = 2 x 104 Kg/cm2

TRAMO AB : 00 < X < 0.2 20 Kg B

FV = 0

- A -20 = 0 = -20 / 2 = -10 Kg / cm2 (-)

B

3T

2T

3T

A

TRAMO BC 0.2 < X < 0.6 20 Kg C 3

FV = 0

- A -20+40 = 0 = 20 / 2 = 10 Kg / cm2 (+) TRAMO CD 0.6 < X < 1.0 D D

FV = 0

A -20+40-40 = 0 =- 20 / 2 = 10 Kg / cm2 (-) C

T = AB + BC + CD T = 1 ( AB.LAB + BC .LBC + CD.LCD) E T = 1 (-10 x 20 + 10 x 40 - 10 x 40 ) = -0.01 cm. 2 x 104 Kg/cm2 3.- Hallar los esfuerzos y Trazar el Diagrama de Esfuerzo Normal

D 0.2 L (cm) C 0.5 B 0.5 A 200 0 100 600 Kg/cm2 6 T q= 20 Kg/cm A= 10 cm2 F = Resultante P = Cargas puntuales q = Cargas distribudas A = Area

B

40

40

40 40

2 T

4 T

F = + P + qx.dx

T= + P + qx A

En A : A = 6000 - 20 (0) = 600 Kg/cm

2 10 10 En B : A = 2000 - 20 (50) = 100 Kg/cm

2 10 10 En C : A = 0 - 20 (100) = -200 Kg/cm

2 10 10 En D : A = 0 - 20 (120) = -240 Kg/cm

2 10 10 4.- Hallar los esfuerzos y trazar el Diagrama de Esfuerzo Normal

3Kg (-) L (+)

A q=0

0.5 x B qx 0.3

q=6Kg/cm C 1.4 0 0.06 2.06 3 Kg/cm2

F = + P + q x. d x 0.8 = x => qx = 6x 6 qx 0.8

F = + 3 - 6x. d x Resolviendo F = 3 3x2 0.8 0.8 TRAMO AB 00 < X < 0.5 (X=0 y X=0.5) F = 3 3(0) 3 Kg. /cm2 0.8 F = 3 - 3(0.5)2 AB = F = 2.06 Kg = 2.06 Kg./cm

2 0.8 A 1 cm2 TRAMO BC 0.5 < X < 0.8 (X=0.5 y X=0.8) F = 1 - 3(0.5)2 BC = F = 2.06 Kg = 0.06 Kg./cm

2 0.8 A 1 cm2 F = 1 - 3(0.8)2 BC = F = -1.4 Kg = -1.4 Kg./cm

2 0.8 A 1 cm2

2Kg

5.- Trazar el Diagrama Esfuerzo Normal y Calcular la deformacin absoluta (-) (+) E 0.4 A= 6 cm2 D 0.4 C A= 5 cm2 0.4 B A= 2 cm2 0.8 A 2T 166.6 0 400 1000 TRAMO AB AB = 2000 = 1000 Kg/cm

2 (+) 2 TRAMO BC BC = 2000 = 400 Kg/cm

2 (+) 5 TRAMO CD CD = 5000 = 1000 Kg/cm

2 (+) 5 TRAMO DE DE = -1000 = - 166.6 Kg/cm

2 (-) 6

T = AB + BC + CD + DE T = 1 ( AB. LAB + BC .LBC + CD. L CD - CD .L CD) E T = 1 (1000 x 80 + 400 x 40 + 1000 x 40 166.67 x 40) = 0.065 cm. 2 x 104 Kg/cm2

ESFUERZOS DE ORIGEN TRMICO

Donde : T = Variacin de temperatura L= Longitud = Coeficiente de dilatacin lineal C-1

T0TAL = deformacin por temperatura

Si un cuerpo tiene cargas externas y hay T0 T = p + T0TAL

TOTAL = T L

T = PL/EA + T0 L

6T

3T

DEFORMACIN POR PESO PROPIO: = L

2

2 E = peso por unidad de volumen L= longitud E= modulo elstico 1.- Hallar la deformacin total en el sistema que se muestra, sabiendo que el peso especifico de la barra es 3.2 gr/cm3 y la barra BC es 2.5 gr/cm3. El modulo de young para la barra CD es 2.1X106 kg/cm2 y de la barra BC 8X105

kg/cm2

Solucin: T = BC + CD WBC = Vol. WBC =12 x 140 x 2.5 = 4202 gr = 4.2 Kg BC = PL = (2004.2) (140) EA (0.8X105) (12) BC =0.29 cm. WCD = Vol . WCD =20 x 120 x3.2 = 7680 gr = 7.68 Kg

CD = (2011.88)(120) (2.1X106 )(20) CD =0.005745 cm T =0.295745 cm. T = Carga + Peso propio Tramo BC: Carga = (2000) (140) = 0.2916 cm. (0.8X105) (12) Peso propio = (2.5) (140)

2 x 1 Kg .=0.2919 cm 2(0.8) x 105 103 gr. Tramo CD: Carga = (2000) (120) = 0.005714 cm (2.1X106) (20). Peso propio =(3.2) (120)

2 x 1kg = 5.72X10-3 cm. 2 (2.1x106 ) 103 gr. T =0.297625 cm

2.- Los extremos inferiores de las tres barras en la figura. P-238 se encuentran al mismo nivel antes de que el bloque rgido uniforme de peso de 40 Kips se adjunta. Cada barra de acero tiene una longitud de 3 pies, y rea de 1,0 in.2, y E = 29 106 psi. Para la barra de bronce, la zona es de 1,5 in.2 y E = 12 106 psi. Determinar (a) la longitud de la barra de bronce para que la carga en cada barra de acero sea el doble de la carga en la barra de bronce, y (b) la longitud de la de bronce que har hincapi en el doble de la de acero.

3.- El bloque de la figura pesa 50 TM y es repartido por 3 varillas simtricamente colocadas como se muestra. Inicialmente los extremos de la varilla al mismo nivel, calcular los esfuerzos en cada varilla luego de colgar el bloque y de un incremento de T0 de 60 0C.

Solucin: Fv=0

2TA + TB = 50,000 ......... (1)

A = Carga + T A = (TA)(LA) + T0 LA

E AA B = Carga + T B = (TB)(LB) + T

0 LB E AB Como A = B (TA)(LA) + T

0 LA = (TB)(LB) + T0 LB

E AA E AB 60 T A + 11.7 x 10

-6 (60) (60) = 90 TB + 18.9 x 10-6 (60) (90)

2.1x10-6 (5) 8.3x10-6 (9) 1.2 x 10-5 TB 5.71 x 10

-6 TA = -0.06 ............ (2) Resolviendo tenemos : TB = 692.22 Kg TA = 24653.96 Kg A = TA 24653.95 Kg = 4930.8 Kg / cm

2

AA 5 cm2

B = TB 76.9 Kg = 76.9 Kg / cm

2

AB 9 cm2

4.- Con los mismos datos del problema anterior encontrar el incremento de T necesario para que la carga sea soportada nicamente por las varillas de acero.

A = Carga + T B = T 25000 (60) + 11.7 x 10-6 ( T0) (60) = 18.9 x 10-6 ( T0) (90) 2.1x10-6 (5) T0 = 140.14 C

Acero Bronce

E=2.1x10-6 kg/cm2 E=8.3x10-6 kg/cm2

L=0.6 m L=0.9 m

A=500 mm2 A=900 mm2

=11.7x10-6 0C-1 =18.97x10-6 0C-1

5.- Un pilar de concreto armado se refuerza axialmente con 6 barras e acero de 600 mm cada una de seccin colocadas simtricamente en crculo alrededor del eje del pilar, segn se muestra en la fig. Se aplica una carga de 100 kN, apoyndose con una placa de acero indeformable, determinar los esfuerzos ene. En concreto y en el acero sabiendo que : Eac = 200 x 109 n/m2 y Ec= 14 x 109 n/m2

FH = 0 P c + P a = 1000 . (a) Area del concreto A = Area del concreto - Area del acero A = (300 x 300) - 6 ( 600 x 106 ) A = 0.0864 m

P c L c = P a La simplificando la ecuacin E c A c E a A a P c = P a . (14 x 109 )(0.0864) (200 x 109 )(3.6 x 10-3) P a = 0.595 P c ............. (b) Reemplazando (b) en ecuacin (a) P c = 626.81 KN P a = 373.19 KN 6.- Una columna de hormign armado de 200 mm de dimetro est diseado para transportar una carga axial de compresin de 300 kN. Determinar el rea de acero de refuerzo si las tensiones admisibles son de 6 MPa y 120 MPa para el hormign y el acero, respectivamente. Eco uso = 14 GPa y Est. = 200 GPa.

7.- Para el sistema que se muestra Calcular las longitudes finales despus de actuar las cargas indicadas sabiendo que el mdulo elstico es 2 x 106 Kg/cm2 y el mdulo de Poisson es (0.25)

= 0.25 E = 2 x 106

Frmulas de Lam

= L

Resolviendo tenemos :

x = 0 ; y =12000 = -40 kg/cm

2

30x100

z =60000 = 100 kg/cm2

20x100

x = 1 [ 0 0.25 (-40 + 100) ] = - 7.5 x 10-6

2 x 10 6

x = 1 [-40 0.25 (0 + 100) ] = -3.25 x 10-5

2 x 10 6

x = 1 [ 100 0.25 (0 + 40) ] = 5.5 x 10-5

2 x 10 6

L f x = 30 (1 7.5 x 10-6 ) = 29.9975 cm

L f y = 20 (1 -3.25 x 10-5) = 19.99935 cm

L f z = 100 (1 + 5.5 x 10-5) = 100.0055 cm

ESFUERZOS INERCIALES

Si consideramos la barra de rea = A ; longitud = L, Peso especfico = ; mdulo elstico = E y que tiene una velocidad angular = r dr

L

.. (1) (2) .. (3) .. (4)

L f x = l i x +( 1 + ex ) L f y = l i y +( 1 + ey ) L f z = l i z +( 1 + ez )

Fy = 2 A ( l2- y2 ) 2g

y = 2 ( l2- y2 )

2g

FMAX = 2 A l2

2g

MAX = 2 l2

2g

DEFORMACIONES (5)

Ejemplo Calcular el alargamiento producido en la barra AB debido a la fuerza centrfuga en el momento en que el esfuerzo unitario mximo de traccin es 1000 Kg/cm2, sabiendo que el mdulo elstico es de 2 x 106 Kg/cm2 y la densidad del material es de 752 Kg/cm2

= 1000 Kg/cm2 E = 2 x 10

6 Kg/cm

2

= 752 Kg/cm2

Despejando Ecuacin (4)

2 = 1000 . 2g Reemplazando en la ecuacin (5) tenemos : l2

= ( 1000 . 2 g ) l3 / 3gE l2

= 0.0133 cm

DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO En la figura que se muestra Calcular el desplazamiento lineal del punto y su direccin, sabiendo que ambas barras tienen una seccin de una pulg2 y el mdulo elstico es 0.9 x 106 Kg/cm2

Fx = 0 Fy = 0 TAB Cos 60 = TAC cos30 TAB sen 60 +TAC sen 30 = 6 TAB =3/2 TAC ...... (1) TAC = 3T . (2)

= 2 l3 3g E

I = TAB . LAB I = 33 (0.43) = 3.6 TM / m EA EA EA II = TBC . LBC II = 3(0.4) = 1.2 TM / m EA EA EA I = 3.6 TM/m x 1000 Kg . = 0.64 mm 0.9 x 106 Kg/cm2 x 1 pulg2 (2.54)2 cm2 X 1 TM 1 pulg2

II = 1.2 TM/m x 1000 Kg . = 0.2066 mm 0.9 x 106 Kg/cm2 x 1 pulg2 (2.54)2 cm2 X 1 TM 1 pulg2

X= II cos 60 0.1032 mm. y = I cos 30 0.5558 mm. y = x + y = 0.659 mm a = I sen30 = 0.3209 mm y b= II cos 30 = 0.1789 mm T x = a b = 0.142 mm x T2 = x2 + y2 T = (0.6591)2 + (0.142)2 T = 0.674 mm tg = x/ y 0.659 / 0.142 tg = 12.16

ESFUERZOS O TENSIONES COMBINADAS

fig.(d)

Aplicando condiciones de equilibrio a la fig d. tenemos

Esfuerzo normal y Esfuerzo cortante

Esfuerzos Principales :

a) Normales ( )

X

x

Y

y

Z

nx nx

xy

xz

xz

xy

y x n y

yz

nz

zy zx

1,2 = X + y / 2 + 1 (X + y)2 + 4 (xy )2 2

b) Cortantes ( )

CIRCULO DE ESFUERZOS DE MOHR

TRAZADO :

)+( (- )

(+) (-)

MAX = + (X - y)2 + (xy )2 MIIN 2

1.- Construir el crculo de Mohr, determine los esfuerzos principales normales y cortantes, los esfuerzos normales correspondiente.

Tenemos entonces : X = 500 Kg/cm

2

y= -100 Kg/cm2

=yx 400 Kg/cm2

(200, 0)

1 = OM = 700 Kg/cm2

2 = 0N = - 300 Kg/cm2

= CR = +- 500 Kg/cm2

Donde : 2 = 53 = 26.5 2c = 37 c = -18.5

M N

YX

X

O0

22

2

C

S

400 Kg/cm2

500 Kg/cm2

100 Kg/cm2

R

2.- Construir el crculo de Mohr, determine los esfuerzos principales normales y cortantes, los esfuerzos normales correspondiente.

600 Kg/cm2

300 Kg/cm

2

200 Kg/cm

2

Tenemos entonces : X = - 600 Kg/cm

2

y= 200 Kg/cm2

- =yx 300 Kg/cm2

(-200, 0)

1 = OM = 300 Kg/cm2

2 = 0N = - 700 Kg/cm2

= CR = +- 500 Kg/cm2

GRAFICANDO EL CIRCULO DE MOHR TENEMOS

R

Donde : 2 = 37 = 18.5

M N

O0

22

2

C

S

Xy

X

2c = 53 c = 26.5

3.- Para el estado plano esfuerzo que se muestra hallar los esfuerzos principales

normales y esfuerzos mximos y mnimos as como sus respectivas direcciones

300 Kg/cm2 600 Kg/cm2 Tenemos entonces : X = - 500 Kg/cm

2

y= 600 Kg/cm2

- =yx 300 Kg/cm2

Esfuerzos Principales :

1,2 = X + y / 2 + 1 (X + y)2 + 4 (xy )2 2

1,2 = -500 +600 / 2 + 1 (-500 - 600)2 + 4 (-300 )2 2 1,2 = 50 + 626.4 1 = 676.4 Kg/cm

2 y 2 = -576.4 Kg/cm2

Esfuerzos Cortantes Mximos y Mnimos :

MAX = + (X - y)2 + (xy )2 MIIN 2

MAX = + (-500 -600)2 + (-300 )2 MIIN 2

MAX = + 850 Kg/cm2

MIIN

500 Kg/cm2

Direcciones de los esfuerzos

tan 2 = 2 (-300 ) = > 1 = 14.3 y 2 = 104.3 -500 600 DEFORMACIONES UNITARIAS

En la siguiente figura : Calcular :

a) Calcular los esfuerzos principales normales y las deformaciones unitarias normales b)) Calcular las direcciones de los esfuerzos normales y las direcciones de las deformaciones unitarias. c) Los esfuerzos cortantes mximos y mnimos, las direcciones de estos esfuerzos, las deformaciones unitarias cortantes y las direcciones de estas deformaciones d) El esfuerzo normal promedio y la deformacin unitaria ligada. e) El esfuerzo normal el esfuerzo cortante , la deformacin unitaria normal y la deformacin unitaria cortante por un plano cuya normal hace un ngulo de 30 medido en sentido antihorario.

X = 600 Kg/cm2 ; y= -900 Kg/cm

2 ;

- =yx 400 Kg/cm2

560 Kg/cm2

600 Kg/cm2

400 Kg/cm2

900 Kg/cm2

E = 2 x 102 Kg/cm2

u = 0.3

a)

1,2 = X + y / 2 + 1 (X + y)2 + 4 (xy )2 2

1,2 = 600 -900 / 2 + 1 (600+900)2 + 4 (-400 )2 2 1,2 = -150 + 850

x = 1 [ X - u y ] 1 [600 0.3 (-900) ] E 2 x 102 Kg/cm2

x = 4.35 x 10-4

y = 1 [ X - u y ] 1 [-900 0.3 (600) ] E 2 x 102 Kg/cm2

y = -5.4 x 10-4 Kg/cm2

G = E . 2 x 102 Kg/cm2 2( 1+ ) 2 ( 1 + 0.3) G = 769230.77

x y = yx G

x y= -044 769230.77

x y = -5.2 x 10 -4

1 = 700Kg/cm2 y 2 = -1000 Kg/cm

2

1,2 = 4.35 x 10-4 + -5.4 x 10-4 + (4.35 x 10-4 + 5.4 x 10-4) + (-5.2 x 10 -4)2

2 2

b)

tan 2 = 2 (-400 ) = > 500 + 900

tan 2 = xy . x - y

tan 2 = -5.2 x 10 4 .--> 4.35 x 10-4 + 5.4 x 10-4 c)

MAX = + (X - y)2 + ( xy )2 MIIN 2

MAX = + ( 600 + 900 )2 + ( -400 )2 MIIN 2

= + ( X - y)2 + ( x y ) 2 2 2 2

= + (4.35 x 10-4 + 5.4 x 10-4)2 + (-5.2 x 10 4 ) 2 = + 5.57 x 10 -3 2 2 2 2

tan 2c = x - y x y tan 2c = 4.35 x 10

-4 + 5.4 x 10-4

-5.2 x 10 4

1 = 5.025 x 10-4

2 = 6.074 x 10-4

1 = -14.3 y 2 = 75.96

1 = -14.3 y 2 = 75.96

MAX = + 850 MIIN

= + 1.115 x 10 -3

d) X = X + y = 600 - 900 2 2 ligada = x + y = 4.35 x 10

-4 - 5.4 x 10-4 2 2

e)

= ( x + y ) + (x - y ) cos 2 + xy sen 2 2 2

= (4.35 x 10-4 - 5.4 x 10-4) + (4.35 x 10-4 + 5.4 x 10-4 ) cos 60( -5.2 x 10 4)) sen 60 2 2

ESFUERZOS EN EL ESPACIO

El esfuerzo es un tensor de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede expresar como la matriz:

c1 = 31 y = 121

ligada = - 5.25 x 10 -5

X = -150

= 2.328 x 10-4

(1) S1 , S2 , S3 Son Esfuerzos Principales

S1 > S2 > S3

I3 = IJ

I1 = X + Y+ z .(2)

I2 = X y + X z + y z - x2 y - x2 z - y2 z (3)

..(5)

COSENOS DIRECTORES ......(6)

S1 : ( S1 - X ) l - x y m - x z n = 0 S2 : ( S2 - X ) l - x y m - x z n = 0

- x y l + ( S1 - y ) m - yz n = 0 - x y l + ( S2 - y ) m - yz n = 0

- zx l - zym + (S1 - z )n = 0 - zx l - zym + (S2 - z )n = 0

S3 : ( S3- X ) l - x y m - x z n = 0

- x y l + ( S3 - y ) m - yz n = 0

- zx l - zym + (S3 - z )n = 0

Ejemplo 1.

Calcular el mximo esfuerzo cortante para un punto medio como el mostrado en la figura (unid(unidades Kg/cm2)

S3 I1S2 + I2S I3 = 0

MAX = S1 -S2 / 2 = S1 -S3 / 2 = S2 -S3 / 2

FL-2.(4)

ij =

X = 8 y= 8 z= -12

x y= 2 z y= 2 x y= 0

El tensor de esfuerzos es :

0 2 0 2 8 2 0 2 -12 Hallando los esfuerzos principales = 0

I1 = -4 z segn ecuacin.(2)

I2 = -204 segn ecuacin .(3) I3 = 48 segn ecuacin (4) Segn ecuacin (5)..Tenemos : f ( Sn-1) S3 4S2 + 104S 48 = 0 derivando la ecuacin f ( Sn-1) 3S2 8S 104 = 0 Por aproximaciones sucesivas reemplazando valores en f ( Sn-1) y f ( Sn-1) :

Sn (Sn-1) f ( Sn-1) 8.3 -63.85

8.5 -28.87 183.85

8.7 9.26

Sn = 8.5 (-28.87) 183.85 Sn = 8.657 Por Ruffini :

Sn = (Sn -1) - f (Sn-1) f ( Sn-1)

8.657 1 4 -104 -48 8.657 109.57 48.233 1 12.657 5.57 0.233 S2 +12.657S + 5.57 Resolviendo por la frmula cuadrtica tenemos :

X = - b + b2 4ac => -12.65 + (12.65)2 4(1)(5.57) 2a 2 X = -0.455 y -12.197 S1 = 8.657 ; S2 = -0.425 ; S3 = -12.201 Reemplazando en la ecuacin (5)

Ejemplo 2.- Determinar los esfuerzos principales y los ngulos directores para cada plano principal

X = 0 y= 0 z= -1 0 x y= 52 z y= 2 x y= -5

ij= 0 5 5 FL-2 5 0 5 5 -5 -10 Segn ecuacin 2, 3 y 4

I1 = -10

I2 = -75

I3 = 0 Segn ecuacin (1) reemplazamos

S3 10S2 - 75S = 0 S(S2 + 10S -75) S1 = 5 S2 = 0 S3 = -15

MAX = 10.42 FL-2

- Determinacin de los ngulos directores para S1 (l, m, n), reemplazando datos en la ecuacin (6) tenemos :

l - m - n = 0 -l - m - n = 0 -l m + 3n = 0 de donde obtenemos : n =0, l=m y m= 2/2

l2 + m

2 + n

2 = 1

l = 2/2 l = cos 2/2 = 45 m= cos 2/2 = 45 n= cos 0 = 90 - Determinacin de los ngulos directores para S2 (l, m, n), reemplazando datos en la ecuacin (6) tenemos :

- m - n = 0 l + n = 0 -l + m + 2n = 0 de donde obtenemos : n=1/3 , l=1/3 y m= -1/3 l2 + m

2 + n

2 = 1

l = 1/3 l = cos 1/3 = 54.75 m= cos -2/2 = 125.26 n= cos 1/3 = 54.75 - Determinacin de los ngulos directores para S3 (l, m, n), reemplazando datos en la ecuacin (6) tenemos :

- 3l - m - n = 0 - l - 3m + n= 0 - l + m - n = 0 de donde obtenemos :

l2 + m

2 + n

2 = 1

l = 6/6 l = cos - 6/6 = 114.09 m= cos 6/6 = 65.90 n= cos 1/3 = 35.26

TORSION HIPTESIS : a. las secciones circulares permanecen circulares despus de la torsin b. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean despus de la torsin. c. La proyeccin sobre una seccin transversal de una lnea radial de una seccin permanece radial despus de la torsin. d. El rbol o eje est sometida a la accin de pares torsores que actan en planos perpendiculares a su eje. e. Los esfuerzos no sobrepasan el lmite de proporcionalidad.

M = Fuerza x Distancia

MOMENTO TORSOR O MOMENTO TORSIONANTE

Es la suma algebraica de los momentos producidos en la seccin considerada. Donde: T = Momento torsor

G = Mdulo elstico = Angulo de torsin J = Momento Polar de inercia L = Longitud del eje

. (1) (2)

b

R

L

max

a

T

T = G J L

= TL JG

ESFUERZO CORTANTE POR TORSIN

.. (3)

MOMENTO POLAR DE INERCIA

ARBOL MACIZO

.(3)

(4)

MAX = TR J

J = R4 = d4 2 32

MAX = 2T = 16 T R3 D3

ARBOL HUECO

(5) ..(6) RELACIN ENTRE TORSIN Y POTENCIA

Donde: P es Potencia. es la frecuencia de rotacin . T es la torsin (un par). w velocidad angular.

DEFORMACIN DEL RESORTE

J = (R4 r4) = (D4 d4) 2 32

MAX = 2TR = 16 TD . (R4 r4) (D4 d4)

T=PR MAX = 16PR (4m-1) + (0.615) d3 (4m-4) m

= 64 PR3n Gd4

Donde : R = radio espira n = nmero de espiras d = dimetro del resorte G = mdulo elstico P = Carga

G = E .

2( 1+ )

m = R = D donde R = radio espira

r d r = radio resorte

TUBOS DE PARED DELGADA

T = 2 Aq donde : q = flujo cortante A= Area t= espesor = q t ACOPLES PARA BRIDAS

n= nmero de pernos EJEMPLO 1.- Un rbol macizo de un tren de iluminacin tiene que trasmitir una potencia de 20 Kw y 2 rev/sg. Determinar su dimetro de manera que el esfuerzo cortante mximo no exceda el 40MN/m2 y que el ngulo de torsin sea como mximo 6, la longitud del eje es de 3 m y su mdulo elstico 8.3 GN/m2. P= 20 KN/m2

Acoplamiento fijo de Plato Acoplamiento fijo de Brida

T = d2 . R n

4

Para satisfacer rigidez

T = PTn

T = 2 Aq = T 2At

f= 2 rev/sg. = 40 MN/m2 = 6 G = 83 GN /m2 L = 180 d = ? Despejando T y reemplazando T = 20 x 103 = 1591.5 N.m 2 (2) Para que satisfaga resistencia : J = = d4 d4 = J.32 = TL J = TL 32 JG G d4= 32 (1591.5)(3)(180) (83 X 109 ). 6

MAX = 16 T = 16 (1591.5) d3 40x106 d3 = 2.026 x 10 -4 d = 0.0587 m = 58.7 mm Ejemplo 2.- Un rbol de la fig. tiene un mdulo G = 8.4 x 10-5 Kg/cm2, despreciando la concentracin de esfuerzos producido por el cambio brusco de seccin, determine la traccin cortante mxima en cada parte del rbol, los ngulos de torcin en las secciones b y c y el ngulo de torcin resultante.

B = 50,000-80,000 B= -30,000

MAX En C MAX = 16 T = 16 (50000) d3 (7.5)

MAX = 603.6 Kg/cm2 = TL= 50000(60)(32) JG (7.5)3 (8.4x105)

P = T w P = T 2 f

d=10 cm

= 0.011497 = 0041.39

MAX En B MAX = 16 T = 16 (-30000) d3 (10)3

MAX = -152.5 Kg/cm2 = TL= 30000(90)(32) JG (7.5)3 (8.4x105) = 0.0033 rad = 0 0 11.8

total = 0041.39 - 0 0 11.8 total = 0 0 29.59 Ejemplo 3.- Dos resortes de hacer dispuestos en serie soportan una carga W como se indica en la fig. El resorte superior tiene 20 espiras de alambre de 20 mm y un dimetro medio de 150 mm. El resorte inferior tiene 15 espiras de alambre de 10 mm y con dimetro medio de 130 mm. Calcular el esfuerzo cortante mximo en cada resorte si la deformacin total es de 80 mm, constante del resorte G es igual a 83 GN/m2.

RESORTE SUPERIOR n = 20 Espiras D espira = 150 mm d resorte= 20 mm m = D => 150 = 7.5 d 20 RESORTE INFERIOR n = 15 espiras D espira= 130 mm d resorte= 10 mm

m = D => 130 = 13 d 10

R. SUPERIOR

MAX = 16PR [ (4m-1) + (0.615) ] =16 (223.27)(75x10-3) 4(7.5) -1 + 0.615 d3 (4m-4) m (20x10-3)3 4(7.5) -4 7.5

MAX = 12.76 MN/m2

R. INFERIOR

MAX = 16 (223.27)(65x10-3) 4(13) -1 + 0.615 (10x10-3)3 4(13) -4 13

MAX = 82 MN/m2

= 64 PR3n Gd4

Tot = R. sup. + R. inf. 80 x 10-3 = 64 P (75x10-3)3(20) + 64 P (65x10-3)3 (15) (83 x 109) (20 x 10-3)4 (83 x 109) (10 x 10-3)4

P = 223.27 N

4.- Determinar el mximo de cizalladura el estrs y la elongacin de un resorte helicoidal de acero, compuesto de 20 vueltas de 20-mm de dimetro del alambre en una media de 90 mm de radio de la primavera cuando est apoyando una carga de 1,5 kN. Utilice Eq. (3-10) y G = 83 GPa.

5.- Dos resortes de acero dispuestos en serie como se muestra en la fig. P-347 soporta una carga superior P. La primavera tiene 12 vueltas de 25-mm de dimetro, cable de radio de una media de 100 mm. La parte inferior de primavera consiste en 10 vueltas de 20-mm dimetro cable de radio de una media de 75 mm. Si el mximo de cizalladura del estrs, ya sea en la primavera no debe exceder de 200 MPa, calcular el valor mximo de P y el alargamiento total de la asamblea. Utilice Eq. (3-10) y G = 83 GPa. Calcular el equivalente de primavera

constante de dividir el total de carga por el alargamiento.

Ejemplo 6.- Un acoplamiento por medio de bridas tiene 8 pernos de 20 mm de dimetro equidistantemente esparcidos en un crculo de 300 mm de dimetro Determinar el par torsor que puede trasmitir si el esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 40 MN/ m2.

= 40 MN/ m2 R= 150 mm n= 8 d = 20 m

T = d

2 . R n 4 T = (20 x 10 -3)2 (40 x 106) (150 x 10-3) (8) 4 T = 15,079.6 N-m

Ejemplo 7.- Un perno de acoplamiento de brida se compone de diez 20-mmdiameter pernos espaciados uniformemente alrededor de un crculo de pernos de 400 mm de dimetro. Determinar el par de la capacidad de acoplamiento si la tensin admisible de la esquila en los pernos es de 40 MPa.

Ejemplo 8.- Un tubo de pared delgada tiene la forma de un semicrculo de 2 mm de espesor y 50 mm de dimetro, despreciando la concentracin de esfuerzos que se produce en las esquinas Calcular el momento torcionante que se produce cuando est soportando un esfuerzo cortante de 40 MN/ m2

= 40 MN/ m2

2 mm 50mm

= T T = 2A t 2At T= 2 ( (25 x 10 -3)2 (40 x 106) ( 2x10-3) 2 T = 157.07 N.m