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i REPÚBLICA DE PANAMÁ UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA DE PANAMÁ UNIEDPA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACION MODELO DE APERCEPCIÓN GEOMÉTRICA COMO ELEMENTO INTEGRADOR DE LOS PROCESOS DE VISUALIZACIÓN, CONSTRUCCIÓN Y DISCURSIVOS DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Autor: M. Sc. Moisés A. Zambrano M. Tutora: Dra. Darly Rincones Panamá, Marzo de 2010
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REPÚBLICA DE PANAMÁ UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE EDUCACIÓN
A DISTANCIA DE PANAMÁ UNIEDPA
VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACION
MODELO DE APERCEPCIÓN GEOMÉTRICA COMO ELEMENTO INTEGRADOR DE LOS PROCESOS DE VISUALIZACIÓN,
CONSTRUCCIÓN Y DISCURSIVOS DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
Autor: M. Sc. Moisés A. Zambrano M.
Tutora: Dra. Darly Rincones
Panamá, Marzo de 2010
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DEDICATORIA
A mi esposa Belkys, mi luz.
A mis hijos, Rafaelito y Goyito, mi realidad.
A mis padres, Benjamín y Teresa, mi inspiración.
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RECONOCIMIENTO
A la UNIEDPA, institución promotora de la excelencia.
A la UNEG, por apoyar la formación académica de sus profesores.
A la Dra. Elena Adam de Guevara, ejemplo de constancia y fortaleza.
A la Dra. Aura Marina Reveron, por su sapiencia y respeto.
A la Dra. Darly Rincones, por su calidad humana, solidaridad y entrega.
A Esperanza, Humberto y Carlos, por su amistad.
A mis compañeros de estudio del Programa Doctoral.
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ÍNDICE GENERAL
DEDICATORIA……………………………………………………………..…
RECONOCIMIENTOS……………………………………………………….
INDICE GENERAL …………………………………………………………..
ÍNDICE DE CUADROS …………………………………………………….
ÍNDICE DE GRÁFICOS ……………………………………………………
RESUMEN ……………………………………………………………………
INTRODUCCIÖN …………………………………………………………….
CAPITULO I EL PROBLEMA …………………………………………………….......
Planteamiento del Problema ………………………………...……..
Preguntas de Investigación ………………………………………...
Objetivos de la Investigación ……………………………………….
Justificación …………………………………………………….........
Delimitación …………………………………………………………..
II MARCO TEÓRICO ……………………………………………………..
La Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría …………………...
El Modelo de Pensamiento Geométrico de Van Hiele …………..
El Pensamiento Geométrico, sus Procesos y sus Niveles ……...
La Educación Matemática…………………………………………..
III MARCO METODOLÓGICO ……………………………………………
Paradigma de Estudio ………………………………………………
El Método …………………………………………………………….
Tipo de Investigación ………………………………………………..
Diseño de Investigación …………………………………………….
Unidades de Análisis ……………………………………………….. Instrumentos y Técnicas …………………………………………...
Procedimiento ………………………………………………………..
Validez ………………………………………………………………..
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Confiabilidad …………………………………………………………
Etapas de la Investigación ………………………………………….
IV ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS ………………………..
Caracterización y Ubicación en los Niveles de
Razonamiento Geométrico de Van Hiele de los Sujetos de
Estudio en Base al Test TRGCTe y la Entrevista EPDCT …….
Caracterización y Ubicación en los Niveles de
Razonamiento Geométrico de Van Hiele de los Sujetos
de Estudio en Base al TRGCTs y la Entrevista EPDCT ………..
Análisis del Proceso Didáctico …………………………………….
V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ……………………….
VI EL MODELO DE APERCEPCIÓN GEOMÉTRICA (MAG)………..
La Geometría y su Contexto de Aplicación ………………………
El Modelo de Apercepción Geométrica …………………………..
Fundamentos del Modelo de Apercepción Geométrica ………..
El Pensamiento Geométrico ……………………………………….
Procesos que Involucran el Conocimiento de la Geometría …...
Niveles de Pensamiento Geométrico …………………………….
Consideraciones Finales …………………………………………..
REFERENCIAS ……………………………………………………………..
ANEXOS A Test sobre Razonamiento Geométrico en el Contenido
Triángulos (TRGCTe) ………………………………………………
B Test sobre Razonamiento Geométrico en el Contenido
Triángulos (TRGCTs) ………………………………………………
C Entrevista para Determinar Nivel de Razonamiento Geométrico
en cuanto a los Procesos Discursivos (EPDCT) ………………...
D Instrumento de Observación Fases de Aprendizaje del Modelo
de Van Hiele (IOFA) …………………………………………………
E Respuestas a la Entrevista EPDCT ……………………….
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F Programa Instruccional de la Asignatura Geometría de la
Carrera de Educación Integral de la UNEG …………………….
CURRICULUM DEL AUTOR ……………………………………………….
CURRICULUM DE LA TUTORA …………………………………………..
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ÍNDICE DE CUADROS No. pp.
1. El Conductismo ……………………………………………………...
2. El Constructivismo …………………………………………………..
3. El Enfoque Sociocultural ……………………………………………
4. Paradigmas de Investigación ………………………………………
5. Respuestas Test de entrada de Razonamiento Geométrico
del Contenido Triángulos (TRGCTe)……………………………...
6. Ítems Acertados/Nivel de Van Hiele ………………………………
7. Clasificación de los ítems del Test de Razonamiento
Geométrico del Contenido Triángulos (TRGCTe Y TRGCTs)
en Base a los Procesos Geométricos que Involucran ………….
8. Ubicación de Cada Item del Test de Razonamiento Geométrico
del Contenido Triángulos (TRGCTe y TRGCTs) en los Niveles
de Razonamiento Geométrico según la Teoría de Van Hiele…..
9. Etapas del Trabajo de Campo …………………………………….
10. Contenido Triángulos ……………………….………………………
11. Planificación de la Instrucción………………………………………
12. Etapas de la Investigación …………………….…………………...
13. Resultados Test de entrada de Razonamiento Geométrico del
Contenido Triángulos (TRGCTe) de los Alumnos Sujetos en
Estudio ……………………………………………………………….
14. Resultados del Test de salida de Razonamiento Geométrico
del Contenido Triángulos (TRGCTs)………………………………
15. Actividades de las Fases de Aprendizaje ………………………..
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ÍNDICE DE GRÁFICOS
No. pp.
1. Modelo de Van Hiele ……………………………………………
2. Nivel 1 Reconocimiento ………………………………………..
3. Nivel 2: Análisis ………………………………………………....
4. Nivel 3: Clasificación ……………………………………………
5. Nivel 4: Deducción Formal ……………………………………..
6. Fases de Aprendizaje …………………………………………..
7. Modelo de Apercepción Geométrica ……………………….…
8. Fundamentos del Modelo de Apercepción Geométrica …....
9. El Pensamiento Geométrico …………………………………...
10. Procesos de Visualización ……………………………………..
11. Procesos Discursivos …………………………………………..
12. Procesos de Construcción ……………………………………..
13. Niveles de Pensamiento Geométrico …………………………
14. Mapa Conceptual del Modelo de Apercepción Geométrica ..
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REPÚBLICA DE PANAMÁ UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE EDUCACIÓN
A DISTANCIA DE PANAMÁ UNIEDPA
VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACIÓN
MODELO DE APERCEPCIÓN GEOMÉTRICA COMO ELEMENTO INTEGRADOR DE LOS PROCESOS DE VISUALIZACIÓN, CONSTRUCCIÓN Y
DISCURSIVOS DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Autor: M. Sc. Moisés A. Zambrano M.
Tutora: Dra. Darly Rincones Año: 2009
RESUMEN
Los resultados y recomendaciones de diversos estudios sobre el desempeño geométrico de estudiantes de diferentes niveles de educación donde se evidencia su preocupante situación generó esta investigación, la cual se centró en el pensamiento geométrico de los alumnos como objeto de estudio. Para abordar el mismo se procedió a realizar un análisis de las habilidades geométricas de estudiantes de Educación Integral de la UNEG a la luz de la Teoría de Van Hiele. El objetivo general fue diseñar un modelo de apercepción geométrica como elemento integrador de los procesos de visualización, construcción y discursivo del pensamiento geométrico, la fundamentación teórica se centró en la educación matemática, la enseñanza y aprendizaje de la Geometría y la teoría de Van Hiele. La investigación se enmarca en el paradigma sociocrítico, el método es la investigación colaborativa, de tipo explicativa con un diseño de campo de estudio de caso cualitativo, apoyado en una revisión documental y una aproximación a un diseño experimental de pre-prueba y post-prueba; fueron diseñados instrumentos que permiten ubicar cada sujeto de estudio en el nivel de razonamiento respectivo y el grado de adquisición. Como técnicas se emplearon la entrevista, el cuestionario y la observación participante. El análisis e interpretación de los datos permitieron concluir que los presupuestos teóricos del modelo de Van Hiele no incluyen las categorías que permitan determinar el grado de apropiación de los conocimientos geométricos de un individuo en concordancia con el nivel de razonamiento geométrico donde se ubica, por lo cual se recomienda estructurar el pensamiento geométrico en función de los procesos que involucra el conocimiento de la Geometría. Se propone el Modelo de Apercepción Geométrica, fundamentado en la socioepistemología, el enfoque histórico cultural y la educación matemática realista, donde el pensamiento geométrico se estructura en niveles con movimiento espiralado, en función de los procesos de visualización, construcción y discursivos DESCRIPTORES: Apercepción Geométrica, Pensamiento Geométrico, Procesos de Visualización, Procesos de Construcción, Procesos Discursivos.
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INTRODUCCIÓN
La cotidianidad de nuestra existencia nos lleva a veces a pasar
inadvertido que estamos en un mundo que el hombre ha esculpido
siguiendo los principios geométricos, es suficiente con estar en una cola de
vehículos, tan común en cualquier parte, para ver representadas las
condiciones de paralelismo, así como la distribución de las ciudades en
calles y carreteras, la curvatura de un puente, la tierra misma con su
aproximación a un esferoide achatado, etc. Inclusive de noche, la
disposición de los edificios nos evocan los cuadriláteros y sólidos
geométricos y si ponemos a volar nuestra imaginación, miramos al cielo y
unimos imaginariamente “dos puntos” que son tan o más grandes que
nuestro sol y tratamos de formar la constelación de nuestro signo.
La naturaleza en sí misma ha sido “cuadrada” mediante la geometría.
La geometría, tal como lo anuncia su etimología (griego "geo" tierra y
"metría" medir, literalmente, “medición de la tierra”), invade todos los
espacios del mundo. Solo basta con mirar a nuestro alrededor y veremos
que estamos rodeados de formas y cuerpos geométricos: un monitor
cuadrado, panales de miel hexagonales, gusanos cilíndricos, naranjas
esféricas, etc., sin darnos cuenta, utilizamos una gran variedad de términos
pertenecientes a esta rama de las Matemáticas, que hasta podríamos llegar
a afirmar que no es posible hablar sin geometría.
Recientes investigaciones e informes nacionales e internacionales
destinados a evaluar la enseñanza de la Matemática evidencian el estado
crítico en que ésta se encuentra, destacándose como indicadores el bajo
rendimiento académico a nivel general en dicha asignatura y la deficiente
preparación pre-universitaria, de un alto porcentaje de estudiantes que
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ingresan a la Educación Superior, en todas las áreas que abarca la
Matemática. Esto sugiere que las metodologías aplicadas en la enseñanza
de la Matemática no están siendo las más adecuadas, posiblemente porque
no se toma en cuenta que cada área de la Matemática requiere de un tipo
de razonamiento distinto para su estudio debido a las notables diferencias
que existen entre ellas. Lobo (2004).
Para Rivero (1997) la Geometría es una de las áreas más afectada
por la situación antes descrita, con frecuencia se observa que los
contenidos geométricos se presentan mecánicamente mediante un enfoque
axiomático en el que se enfatiza desde un primer momento el desarrollo de
habilidades para hacer demostraciones formales, las cuales exigen que la
comprensión del individuo se ubique en un nivel de desarrollo mental muy
alto y éste no siempre ha sido alcanzado. Se considera que uno de los
aspectos a ser considerados para aliviar la problemática de la enseñanza y
aprendizaje de la geometría en la Escuela Básica estriba en la forma
abstracta de demostrar las propiedades geométricas, por lo cual se hace
necesario desarrollar metodologías que promuevan actividades destinadas
a la construcción del conocimiento geométrico por parte del estudiante, que
le permita extrapolar los aprendizajes del área de la Geometría a la solución
de problemas prácticos.
En los programas de Matemática de nuestro país, la Geometría ha
sido desplazada a un segundo plano, por lo cual es común que un alto
porcentaje de profesores considere los contenidos de Geometría menos
importantes que el resto de los contenidos de la asignatura Matemática o
se plantee que debido a lo extenso de los programas, no cubren en su
totalidad las unidades correspondientes a Geometría. Rivero (op. cit) Las investigaciones relacionadas a la enseñanza y aprendizaje de la
Geometría han tenido en el Modelo de Pensamiento Geométrico de Van Hiele un referente muy frecuente, pues se considera como un modelo
posible para interpretar el aprendizaje de la Geometría. Pero también ha
sido frecuente el desarrollo de investigaciones que han ido generando una
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serie de interrogantes que abarcan una diversidad de aspectos, que
refuerzan aún más el interés por la Teoría de Van Hiele, en función de
mejorarla o inclusive proponer puntos de vista diferentes a partir de los
“vacíos” que pudiese presentar.
Esta investigación tiene su origen en reflexión teórica crítica sobre la
práctica educativa que permitió modelar la realidad concreta de la Teoría de
Van Hiele, donde se evidenció que esta no permite explicar ciertos aspectos
fenoménicos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría. En
este sentido, siendo ésta teoría muy conocida y estudiada, adolece de
elementos de control de los procesos geométricos que desarrolla el alumno,
lo que se traduce en una ausencia muy sentida de descriptores
característicos de cada nivel de razonamiento, así como el grado de
apropiación del nivel respectivo y una escala valorativa de su desempeño
geométrico.
En el CAPÍTULO I, se desarrolla el planteamiento del problema y su
contexto, apoyado en investigaciones e informes nacionales e
internacionales sobre la problemática de la enseñanza y aprendizaje de la
geometría, las preguntas de investigación, los objetivos y la justificación.
En el CAPÍTULO II, se analizan la base referencial, teórica y
conceptual de la investigación conformada por: la enseñanza y aprendizaje
de la geometría como antecedentes; el modelo de pensamiento geométrico
de Van Hiele como teoría existente; el pensamiento geométrico y sus
procesos, como la elaboración conceptual de los constructos pensamiento
geométrico, procesos de visualización, construcción y discursivos y la
educación matemática, como disciplina científica donde se circunscribe el
estudio.
En el CAPÍTULO III se establece el marco metodológico de la
investigación conformado por paradigma de estudio, el método, el tipo de
investigación, el diseño de investigación, las unidades de análisis, los
instrumentos y técnicas, el procedimiento del trabajo de campo, la validez,
la confiabilidad y las etapas del trabajo de investigación.
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En el CAPÍTULO IV se presenta el análisis e interpretación de los
datos a través de la ubicación en los niveles de razonamiento
geométrico de la teoría de Van Hiele de los sujetos de estudio, la
caracterización y ubicación inicial en los niveles de razonamiento
geométrico de Van Hiele de los sujetos de estudio en base al TRGCTe y la
entrevista EPDCT, la caracterización y ubicación final en los niveles de
razonamiento geométrico de Van Hiele de los sujetos de estudio en base al
TRGCTs y la entrevista EPDCT y el análisis del proceso didáctico.
En el CAPÍTULO V se presentan las conclusiones y
recomendaciones de la investigación.
En el CAPÍTULO VI, fruto del trabajo investigativo, se describe el
Modelo de Apercepción Geométrica, concebido como el conjunto de niveles
del pensamiento geométrico de un individuo en correspondencia con las
habilidades geométricas expresadas en los procesos que involucra el
conocimiento de la geometría. Se establecen los fundamentos
epistemológicos, psicológicos y pedagógicos del modelo, las definiciones a
los constructos pensamiento geométrico, procesos de visualización,
procesos de construcción y procesos discursivos, la interpretación de los
niveles de pensamiento geométrico y la estructuración y movilidad del
modelo.
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CAPITULO I
EL PROBLEMA
Este capítulo tiene como propósito describir el problema y abarca: (a)
planteamiento del problema, (b) preguntas de investigación; (c) objetivo
general y objetivos específicos; (d) justificación y (e) delimitación.
Planteamiento del problema
La Geometría constituye una herramienta para el entendimiento, por
su carácter intuitivo, concreto y ligado a la realidad; como disciplina se
apoya en un proceso extenso de formalización, el cual se ha venido
desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes de rigor,
abstracción y generalidad; como campo de investigación se ha enriquecido
desde el interior de las matemáticas y otras disciplinas, incluyendo las
ciencias de la computación.
La geometría ha tenido diversas fuentes o ámbitos para su desarrollo,
siendo los mas representativos, la solución de problemas, pues desde los
albores de la humanidad en Egipto y en Mesopotamia, los antiguos
pensadores tuvieron que resolver problemas netamente prácticos como la
división de las tierras, formar parcelas iguales para su distribución, crear
instrumentos para trazar ángulos rectos en grandes extensiones, etc.
Otro ámbito corresponde a las interrogantes que se formulan desde
otras ciencias o disciplinas como la química, la física, la economía, la
biología, la astronomía o la psicología, las cuales recurren a la matemática y
a la geometría como instrumento de modelización de los fenómenos y
situaciones que estudian.
6
Un tercer ámbito está representado por la propia exigencia de la
matemática y la geometría como ciencias, las preguntas que sólo tienen
sentido dentro de ella, ya que diversas investigaciones en estas áreas solo
lograr aplicarse y desarrollarse en el futuro, como el caso de las geometrías
no euclideanas, que en su momento fueron desvirtuadas a favor de los
planteamientos de Euclides, pero fueron el fundamento de los postulados
de Albert Einstein.
Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo
muy difundido según el cual, debido a la diversidad de aspectos que
encierra la geometría y su altísima aplicabilidad al entorno real del
individuo, su enseñanza puede empezar en una edad temprana y continuar
en forma apropiada a través de todo el currículo matemático, lo que ha
generado fuertes desacuerdos con respecto a como llevar a cabo dicha
enseñanza, en función de los propósitos, contenidos y métodos en los
diversos niveles, desde la educación básica hasta la universidad.
Un punto de inflexión en la enseñanza de la matemática y la
geometría lo constituyó la crisis de los fundamentos de principio de siglo
XX, la cual impulsó al matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis en el
rigor y la demostración, lo cual generó la llamada matemática moderna.
Esta visión conjuntista de la matemática como ciencia fue
considerado por muchos también adecuado para la transmisión de
conocimientos. Las consecuencias para la enseñanza de las matemáticas
en general fueron negativas, pero en el caso de la geometría, caracterizada
por la permanente visualización de los objetos geométricos, esa idea de ir a
los fundamentos, a la teoría de conjuntos y a la búsqueda del rigor, precipitó
un impacto perjudicial, ya que en la geometría a nivel elemental, es difícil
formalizar adecuadamente. Esto generó el menosprecio al pensamiento
geométrico, a la intuición espacial y la fuente más importante que por
muchos siglos ha tenido la matemática, como son los problemas
contextualizados e interesantes, que puedan se abordados con un número
pequeño de herramientas fácilmente asimilables.
7
El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometría
elemental, del tipo de geometría al que tradicionalmente se dedicaba la
enseñanza inicial de la matemática, que vivía a la sombra de creaciones
muy interesantes y muy de moda de la matemática superior tales como la
geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética y
geometrías no euclídeas.
El mismo sentido geométrico que estimuló los desarrollos
espectaculares del siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como
la teoría de grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria o la
teoría de optimización, de la topología. Como rasgos comunes a todos estos
desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la intuición espacial,
una cierta componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de desarrollos
analíticos excesivos.
Tanto en la década de los años 50, representada por la matemática
moderna, como en los siguientes períodos, se ha estudiado el rendimiento
y el desempeño matemático de los alumnos de la educación formal,
encontrándose serias dificultades que han sido analizadas y se han
promovido acciones para subsanarlas, pero el problema pareciera
enraizarse cada vez más.
El Informe del Programa Internacional para la Evaluación de
Estudiantes o Informe PISA por sus siglas en inglés (Programme for
International Student Assessment) se basa en el análisis del rendimiento de
estudiantes a partir de exámenes mundiales que se realizan cada tres años
y que tienen como fin la valoración internacional de los alumnos. Este
informe es llevado a cabo por la Organización para la Cooperación y el
Desarrollo Económico (OCDE, 2004), la cual es una organización de
cooperación internacional, compuesta por 30 Estados, cuyo objetivo es
coordinar sus políticas económicas y sociales, y se encarga de la
realización de pruebas estandarizadas a estudiantes de 15 años.
Hasta el momento se han hecho tres investigaciones (pruebas) PISA:
en los años 2000, 2003 y 2006. Aunque en las tres versiones se han
8
evaluado Matemáticas, Lectura y Ciencias, cada una de ellas ha tenido un
énfasis especial. La primera en Lectura; la segunda en Matemáticas; y la
última en Ciencias. En el informe realizado en 2006 participaron 62 países,
y en cada país fueron examinados entre 4500 y 10.000 estudiantes.
De acuerdo con los estudios mundiales llevados a cabo, el nivel de
competencia en Matemática es insuficiente. Para evaluar el nivel de
competencia matemática de los alumnos, OCDE / PISA se basa en las ocho
competencias matemáticas específicas identificadas por Niss (1999), a
saber, pensar y razonar, argumentar, comunicar, modelar, plantear y
resolver problemas, representar, utilizar lenguaje y operaciones simbólicas,
formales y técnicas y utilizar ayudas y herramientas.
El conocimiento y las habilidades matemáticas de los alumnos se
evaluaron en PISA 2003 de acuerdo con tres dimensiones: el contenido al
que se refieren los problemas y las preguntas de matemáticas; los procesos
que deben activarse para conectar los fenómenos observados con las
matemáticas y resolver así los problemas correspondientes; y, por último,
las situaciones y los contextos utilizados como fuente de materiales de
estímulo y en los que se plantean los problemas.
A la luz de estos informes a escala mundial y regional, el desempeño
en matemática no se corresponde con lo esperado. Como muestra OCDE
(2004) los resultados del Informe PISA 2003, concluye:
1. Entre los cuarenta y un países participantes, los tres
latinoamericanos (Uruguay, México y Brasil) obtuvieron rendimientos en
Matemática muy por debajo de la media fijada en 500; así la media de
Uruguay fue de 422 puntos, y las de México y Brasil, fueron 385 y 356,
respectivamente; desde este punto de vista los lugares ocupados por
Uruguay, México y Brasil fueron 36º, 38º y, 41º, respectivamente.
2. En cuanto a los rendimientos por dominio en Matemática, los
países latinoamericanos, sistemáticamente, ocupan las posiciones más
bajas entre los cuarenta y un países participantes. La puntuación más alta la
obtuvo Uruguay en Estadística (419; 82 puntos por debajo del promedio
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fijado en 502); México alcanzó su más alta puntuación en Aritmética (394
puntos; 105 puntos por debajo del promedio fijado en 501); en tanto que
Brasil alcanzó su más alta puntuación en Estadística (377; 125 puntos por
debajo del promedio fijado en 502).
3. Un porcentaje considerable de los alumnos de los tres países
latinoamericanos participantes quedaron ubicados por debajo del nivel 1
(nivel < 1), el cual agrupa a aquellos alumnos con un rendimiento tan bajo
que PISA no es capaz de describirlo adecuadamente, o que sólo son
capaces de realizar acciones matemáticas obvias, explícitamente indicadas
en el enunciado de la situación problemática que deben abordar; así, la
distribución de alumnos latinoamericanos ubicados en el nivel < 1, es la
siguiente: Uruguay, 26%; México, 36%; y, Brasil, 53%. El porcentajes de
alumnos de estos países que se ubica en el nivel 1 es: 22, 28 y 22,
respectivamente; por tanto, cerca de la mitad (48%) de los alumnos
uruguayos tienen un desempeño en Matemática realmente bajo (Nivel < 1,
Nivel 1), en tanto que los resultados de los mexicanos y brasileños es de
64% y 75%, respectivamente.
Recientes investigaciones destinadas a evaluar la enseñanza de la
Matemática a nivel nacional, evidencian el estado crítico en que ésta se
encuentra, destacándose como indicadores el bajo rendimiento académico
a nivel general en dicha asignatura y la deficiente preparación pre-
universitaria, de un alto porcentaje de estudiantes que ingresan a la
Educación Superior, en todas las áreas que abarca la Matemática. (Lobo,
2004).
Cabe resaltar que la Geometría es una de las áreas más afectada por
la situación antes descrita, frecuentemente se observa que los contenidos
geométricos se presentan mecánicamente mediante un enfoque axiomático
en el que se enfatiza desde un primer momento el desarrollo de habilidades
para hacer demostraciones formales, las cuales exigen que la comprensión
del individuo se ubique en un nivel de desarrollo mental muy alto y éste no
siempre ha sido alcanzado (Hoffer, 1990).
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Para Viedman (citado por Lobo, 2004) la falla en la enseñanza de la
geometría en la Educación Básica estriba en la forma abstracta de
demostrar las propiedades geométricas. Tales metodologías de enseñanza
carecen de actividades destinadas a la construcción del conocimiento
geométrico por parte del estudiante, lo cual conlleva al desarrollo de un
pensamiento rígido que impedirá extrapolar los aprendizajes del área de la
Geometría a la solución de problemas prácticos (Bravo, 1999).
En los programas de Matemática en Venezuela, la Geometría ha sido
desplazada a un segundo plano, por lo cual es común que un alto
porcentaje de profesores considere los contenidos de Geometría menos
importantes que el resto de los contenidos de la asignatura Matemática
(Rivero, 1997); otro porcentaje plantea que debido a lo extenso de los
programas, no cubren en su totalidad las unidades correspondientes a
Geometría.
En tal sentido Rodríguez (1995) plantea que la enseñanza de la
Matemática en Venezuela se ha convertido en una actividad vacía, en la
cual no se toma en cuenta que la Geometría ayuda al individuo a entender,
describir e interactuar con el espacio que lo rodea.
En algunos escenarios donde se discuten estos aspectos, como el
Foro Tendencias en Enseñanza de la Matemática Asovac (2007), se
destacó la necesidad de los docentes en formarse para enseñar la
geometría vinculada a la vida cotidiana y comprender el significado de los
conceptos y procedimientos en esta temática.
El Sistema Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje
(SINEA) de Venezuela, cuyos propósitos generales son proporcionar
información válida y confiable de los diferentes niveles de competencias de
los alumnos de la Educación Básica en diferentes áreas del conocimiento,
realizó estudios en 1998 en veintitrés entidades federales en las áreas de
Lengua y Matemática de tercero, sexto y noveno grado. Los mismos
arrojaron como resultados que los alumnos no alcanzaron a responder
correctamente la mitad de las preguntas de la prueba, lo cual pone en
11
evidencia que al finalizar la tercera etapa de Educación Básica, los alumnos
no lograron los niveles de ejecución requeridos en los tópicos del área de
Matemática ni en los tópicos del área de Lengua, específicamente en
Nociones Lingüísticas. (SINEA, 1999, p.131-132).
Asimismo, en lo que respecta a la enseñanza de la Geometría, el
informe revela que los alumnos, en general, se ubican en el nivel de No
Logro (menos del 25% respondieron correctamente las preguntas). El
análisis de este tópico indica que la mayor dificultad que se presenta en
tercer grado se encuentra en la interpretación de las características de las
figuras y en la identificación de los cuerpos geométricos; en sexto grado se
encuentra comprometido el dominio de relaciones espaciales y su
expresión en términos matemáticos; mientras que en noveno grado hay
dificultades en la comprensión y aplicaciones de los teoremas geométricos
de Euclides y Pitágoras.
El Ministerio del Poder Popular de Educación y Deportes (MEPPD), a
través del SINEA , aplicó una prueba en junio de 2002 a 19212 estudiantes
del tercer grado y 14782 estudiantes de sexto grado, de las escuelas
públicas oficiales en sectores rurales, ubicadas en sectores populares,
como las escuelas bolivarianas y algunas escuelas privadas, para
ponderar las destrezas de los alumnos en las áreas de lengua, comprensión
lectora, nociones de lingüística, matemáticas, números, operaciones,
geometría, medidas, estadísticas y probabilidades.
Los resultados reportados indicaron que en estadística y
probabilidades se alcanzó un nivel de logro del 24,38% y 29,51%
respectivamente y en el área de matemática hubo un logro del 14,20%,
Por otro lado, se señala "los resultados nacionales en las áreas de
Lengua y Matemática indican que los alumnos no alcanzaron a responder
correctamente la mitad de las preguntas". Más adelante se puntualiza que
"en Geometría en general los alumnos se ubican en el nivel de no logro,
similar a la situación evidenciada a través del SINEA 1998”.
12
Es importante destacar los resultados de estudios adelantados por el
Centro de Investigaciones Culturales y Educativas (CICE), fundado en
Venezuela en 1986 como una asociación sin fines de lucro, dedicada a la
investigación educativa y a asesorar a escuelas públicas y privadas en
Proyectos de Mejora Escolar (PME), que permiten tener una idea de las
tendencias nacionales.
Para Herrera (2006) los reportes anteriores coinciden con los
resultados obtenidos en el CICE, por alumnos de la escuelas donde se
aplicaron pruebas de rendimiento en Matemática, los colegios privados no
muestran un resultado satisfactorio, puesto que el promedio es de 43,2
puntos sobre 100, pero es un puntaje muy superior al promedio de las
escuelas públicas, que es de 23,78. La muestra de colegios privados no es
representativa de todos los colegios privados sino de los más conocidos y
solicitados de Caracas. La muestra de escuelas oficiales incluye a los
estados Anzoátegui, Apure, Barinas, Lara, Trujillo y Sucre.
En la actualidad existe un consenso expresado en los diferentes foros
de la comunidad de Educación Matemática de los últimos 5 años
(ASOVAC, RELME, ICME, CIBEM) sobre la necesidad de garantizar en los
alumnos una buena formación en Geometría. Sin embargo, la ausencia de
tal formación durante muchos años ha producido en el alumno y en el
docente inseguridad y a la vez cierto desinterés por la enseñanza y
aprendizaje de la geometría (Alsina, 1997).
Galindo (1996), señala que la enseñanza de la geometría se ha ido
desplazando a un segundo plano por la falta de materiales didácticos, la
carga horaria dedicada a la geometría, la integración con la aritmética y el
álgebra dentro del programas, la formación del docente y la dificultad que
tienen los maestros de proponer actividades que ayuden a los alumnos a
construir su conocimiento geométrico, aunado al hecho de que
tradicionalmente la enseñanza de la geometría se le presenta a los alumnos
como algo terminado, estático, con un excesivo enfoque racional y
13
axiomático, poco motivante, fomentando exclusivamente el aprendizaje
memorístico de conceptos, teoremas y formulas
Graterol y Andonegui (2003), reportaron dificultades de los alumnos
en el dominio de los conceptos, la manipulación de los objetos geométricos
y la capacidad de comunicación utilizando el lenguaje geométrico.
De igual manera, Planchart, Orellana y Moya (citados por Rojas y
Andonegui, 2003), reportaron una profunda falta de madurez matemática de
los alumnos, debido al escaso tratamiento que se le da a esta área de las
matemáticas en los niveles de Educación Básica y Diversificada
La situación en la Universidad Nacional Experimental de Guayana
(UNEG), en la asignatura Geometría, de la carrera de Educación Integral es
preocupante, según se desprende de los resultados de las diferentes
evaluaciones realizadas durante el semestre 2005 I-II, 2006-I-II y 2007-I por
los docentes que imparten la asignatura, quienes en los respectivos
informes finales de semestre, expresan claramente su preocupación por el
desempeño geométrico de los alumnos en aspectos cómo la visualización,
la manipulación de instrumentos de dibujo, la construcción de
demostraciones, el manejo de un vocabulario geométrico y en particular al
manejo de estrategias y metodologías de enseñanza aprendizaje por parte
de los alumnos que en un futuro cercano se desempeñaran como docentes
de educación básica.
Sobre la base de los presupuestos anteriores, se llevó a cabo un
estudio de la caracterización del razonamiento geométrico de los
estudiantes de la UNEG de la carrera de Educación Integral en la asignatura
Geometría, para establecer el dominio, presencia y manipulación que
poseen los alumnos de los procesos geométricos que involucran el
conocimiento de la geometría, a la luz de los planteamientos de la teoría de
Van Hiele.
Las dos posturas psicopedagógicas, cuyos aportes han influenciado
de manera fundamental al estudio de la enseñanza y aprendizaje de la
Geometría, han sido la escuela piagetiana y la de los esposos Van Hiele.
14
Esto se manifiesta en numerosos trabajos de investigación que se han
realizado sobre esta teoría, algunos de los cuales se presentan en las
páginas siguientes.
Todas estas investigaciones han ido generando una serie de
interrogantes que abarcan una diversidad de aspectos, que refuerzan aún
más el interés por la Teoría de Van Hiele, en función de mejorarla o
inclusive proponer puntos de vista diferentes a partir de los “vacíos” que
pudiese presentar.
Entre las interrogantes que han generado y siguen generando
discusiones e investigaciones, tenemos: ¿es posible con esta teoría
estratificar el pensamiento de los estudiantes en cada nivel?, ¿puede ser
caracterizado el pensamiento de los estudiantes como de un solo nivel?,
¿pueden ser los niveles propiamente descritos como etapas?,¿podemos
estructurar los niveles en función de los procesos cognitivos que encierra el
conocimiento de la geometría?, ¿de qué depende la transición de un nivel a
otro y qué factores curriculares ayudan a facilitar transiciones de un nivel al
siguiente?
Preguntas de Investigación
En atención a la problemática expresada en los párrafos anteriores,
surgieron las siguientes interrogantes:
¿Describen los niveles Van Hiele de forma precisa el
pensamiento geométrico de los estudiantes?
¿Es posible, a partir de la Teoría de Van Hiele, establecer un
modelo de pensamiento geométrico que integre los procesos discursivos,
visuales y constructivos que involucra el conocimiento de la geometría,?
Entendiendo la apercepción como el proceso del individuo que le
permite desarrollar la capacidad de interiorizar, reflexionar y reproducir las
propiedades geométricas observadas, ¿es conveniente emplear el término
Apercepción Geométrica para definir los constructos Razonamiento
15
Geométrico Discursivo, Razonamiento Geométrico Visual, Razonamiento
Geométrico Constructivo?
¿Cómo potenciar la habilidad del docente para determinar de
manera precisa el nivel de razonamiento geométrico de sus alumnos?
¿De que manera el dominio por parte del docente de los
procesos que involucran el conocimiento de la geometría, pueden
determinar su acción educativa para promover actividades significativas de
aprendizaje en sus alumnos?
Para atender estas interrogantes se plantearon los siguientes
objetivos de investigación.
Objetivo General
Diseñar un modelo de apercepción geométrica como elemento
integrador de los procesos de visualización, construcción y discursivo del
pensamiento geométrico, que permita la descripción del razonamiento
geométrico alcanzado por los estudiantes.
Objetivos Específicos
1. Caracterizar los niveles de razonamiento geométrico del Modelo
de Van Hiele en estudiantes universitarios.
2. Establecer los lineamientos generales de la visualización
geométrica como proceso fundamental del conocimiento de la Geometría.
3. Analizar los procesos de construcción geométrica en la
manipulación de instrumentos y en el razonamiento lógico de la
demostración geométrica.
4. Analizar los procesos geométricos discursivos orales y escritos
que involucra el conocimiento de la Geometría.
5. Definir el pensamiento geométrico en función de los procesos
geométricos que se desarrollan en el trabajo geométrico.
16
6. Elaborar el Modelo de Apercepción Geométrica para la ubicación
precisa de los alumnos en cuanto a sus conocimientos geométricos y la
descripción los procesos geométricos desarrollados.
Justificación
La Geometría es una parte importante de la Matemática en la que se
debe poner mucho énfasis, pues sabemos que su aprendizaje, representa
un período a estudiar para un buen número de profesores y alumnos, pero,
al mismo tiempo, se puede considerar como una de las partes de la
Matemática que influye considerablemente en el aspecto formativo de su
propia actividad, favoreciendo la intuición y el razonamiento espacial de los
alumnos, el razonamiento intuitivo de los mismos y sus métodos. También
incide en la construcción del conocimiento matemático en su etapa final,
con los procesos de generalización y formalización, teniendo en cuenta que
la formalización, el rigor, la coherencia, la ausencia de ambigüedad y las
otras características del conocimiento matemático, no son el punto de
partida, sino más bien, el punto de llegada de un largo proceso de
construcción.
Al interés tradicional por transmitir los conocimientos científicos se ha
unido en los últimos años una preocupación creciente por los métodos de
enseñanza y aprendizaje. La razón de ello está, por una parte, en el escaso
rendimiento escolar que obtiene esta disciplina, y, por otra, en la incidencia
probada que los métodos ejercen en los procesos de enseñanza y
aprendizaje. De aquí se desprende el impacto social que esta investigación
genera, al proponer alternativas en el campo de la enseñanza y aprendizaje
de la Geometría.
Este trabajo promueve un modelo teórico de pensamiento
geométrico que integra los procesos discursivos, visuales y constructivos
que involucra el conocimiento de la geometría, y se constituye en un aporte
fundamental desde el punto de vista teórico, ya que integra los principios de
17
la socioepistemología, el enfoque histórico cultural y la educación
matemática realista.
Desde el punto de vista de la planificación de la instrucción, esta
propuesta teórica se convierte en una herramienta de gran utilidad, ya que,
permitirá al docente de matemática tener una información concreta,
ordenada y estructurada de las habilidades y destrezas de sus alumnos en
los contenidos geométricos, lo que determinará una ubicación precisa y
detallada del alumno en un nivel de pensamiento geométrico, lo cual
permite una planificación de actividades geométricas en función del nivel de
pensamiento geométrico de cada alumno y del grupo en general.
La Geometría puede jugar un papel más determinante en la
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, si además de colaborar en el
desarrollo de la intuición espacial y de su utilidad práctica, establece
patrones de razonamientos en situaciones geométricas que puedan ser
extrapoladas a situaciones no geométricas, es decir, si permite desarrollar
una actividad mental que tienda a analizar situaciones, a generalizar
relaciones, a cuestionar conjeturas, a expresarlas clara y exactamente, etc.,
con ideas no geométricas al igual que con ideas geométricas.
Delimitación
La presente investigación fue desarrollada en su trabajo de campo en
la Universidad Nacional Experimental de Guayana en la sede de Puerto
Ordaz, Estado Bolívar, Venezuela; en la carrera de Educación Integral, la
cual forma y capacita a los futuros Licenciados en Educación Integral. El
estudio se llevó a cabo en una sección de la asignatura Geometría del
pensum de estudios del quinto semestre Cohorte 2007-I. Desde la
perspectiva del conocimiento científico en la educación, el pensamiento
geométrico, sus procesos y niveles tienen espacios teóricos de desarrollo
importante en lo conceptual y procedimental. La presentación lógica,
impecablemente formal, de una teoría matemática puede no estar en
18
correspondencia con el desarrollo cognitivo del aprendiz. En este aspecto,
el alcance de esta investigación supone que el conocimiento de los niveles
de pensamiento, sus procesos y etapas, pueden ser de gran utilidad desde
el punto de vista didáctico para el mejoramiento de las actividades del
docente ya que este ubica claramente el punto de partida del cual debe
iniciar la enseñanza.
19
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
El propósito de este capítulo es establecer las bases referencial,
teórica y conceptual que sustentan la investigación, las cuales se apoyan
en: (a) la enseñanza y aprendizaje de la geometría como antecedentes; (b)
el modelo de pensamiento geométrico de Van Hiele como teoría existente;
(c) el pensamiento geométrico y sus procesos, como la elaboración
conceptual de los constructos pensamiento geométrico, procesos de
visualización, construcción y discursivos y (d) la educación matemática,
como disciplina científica donde se circunscribe el estudio.
La Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría
La interpretación de los procesos de aprendizaje, las concepciones,
creencias y paradigmas, cambian en su devenir histórico y se adecúan al
contexto, de ahí la importancia de tener una visión general y aproximada de
la evolución de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Desde tiempos remotos se manifestó preocupación por cómo se
aprendía. Platón concebía que el origen de todo aprendizaje (este término
no fue empleado por él) está en el alma y el alma proviene del reino de las
ideas, en tanto que el maestro ayuda al alma. Aristóteles, por su parte,
interpreta que el fortalecimiento de los hábitos intelectuales se logra a
fuerza de ejercicios, de manera que todo acto repetido un número
suficiente de veces se instala como hábito en el ser humano.
Ya en la era cristiana, Tomás de Aquino también se preocupa de dar
una respuesta a la pregunta de ¿cómo aprende el hombre?, y en tiempos
20
cercanos, Pavlov y Thorndike dan un paso adelante hacia lo que se llegó a
convertir en una nueva propuesta científica: las Teorías del Aprendizaje a
principios del siglo XX.
El Behavorismo o Conductismo, entendía el aprendizaje como una
serie de conexiones de diversa complejidad entre estímulos y respuestas,
dando origen a diversas corrientes, como la de Guthrie, quien partía de las
experiencias del condicionamiento clásico; la de Hull, que destacó la
importancia del reforzamiento del hábito, entendido como una conexión
estímulo-respuesta en la cual la recompensa constituye un elemento
esencial; y la de Skinner, quien cuestionó la utilidad de elaborar teorías del
aprendizaje e investigó las condiciones que producen y controlan el proceso
(condicionamiento operante).
Para la Gestalt (escuela de la forma), el aprendizaje implica la
reorganización de percepciones en el sistema nervioso central: el sujeto
aprende específicamente “qué conduce a qué” y desarrolla expectativas que
dependen de la sucesión o contigüidad de los hechos. Intentar proponer y
sustentar una explicación concreta y coherente de los fenómenos del
aprendizaje, ha generado un sin número de corrientes, tendencias, teorías,
como la escuela nueva, el cognoscitivismo, el aprendizaje liberador, el
constructivismo, la teoría de la actividad y la cognición situada solo por
mencionar algunas.
Entender el hecho educativo y ante todo, el concerniente a la
educación de los individuos implica un abordaje desde varias disciplinas
debido a su complejidad; recurrir a la psicología, permite explicar los
procesos de desarrollo y de aprendizaje de los estudiantes. Por lo tanto, es
importante mencionar que una concepción sobre el desarrollo de carácter
integral no puede dejar de revisar aspectos como el socio-cultural, el
histórico, el psíquico, el biológico, el afectivo, entre otros.
No se pretende en esta fundamentación teórica de la investigación,
establecer un análisis exhaustivo de todas las teorías con vigencia de
aplicación en el contexto educativo. Por el interés que representan en este
21
estudio y por su impacto en el desarrollo histórico cultural de las ciencias de
la educación, en los siguientes cuadros se presenta de una manera precisa
una descripción de El Conductismo (ver Cuadro 1), el Constructivismo (ver
Cuadro 2) y el Enfoque Sociocultural (ver Cuadro 3).
Se establecen como criterios para su estudio las raíces filosóficas
que lo soportan, el paradigma epistemológico en el que se inscribe, las
concepciones sobre las metas de la educación que propone, la concepción
del aprendizaje que maneja, la concepción del rol del docente que propone,
la concepción de estudiante, los principios de la metodología de enseñanza
que la caracteriza, las formas de evaluación y su función y los principales
representantes.
Cuadro 1 El Conductismo
CRITERIOS
CONDUCTISMO
RAÍCES FILOSÓFICAS Empirismo Positivismo
PARADIGMA
EPISTEMOLÓGICO
OBJETIVISMO La realidad existe fuera del individuo. El conocimiento es una copia fiel de la realidad. Modelo Mecanicista: Conocemos a través de los sentidos
METAS DE LA
EDUCACIÓN
Controlar las conductas de las personas. Transmitir las pautas culturales. Propiciar la reproducción y cambio para la innovación. En la instrucción se pretende lograr del estudiante la respuesta deseada cuando se presenta un estímulo.
CONCEPCION DEL
APRENDIZAJE
(Factores y conceptos
básicos)
Modificación relativamente permanente del comportamiento observable de los organismos, producto de la práctica. El aprendizaje se logra cuando se demuestra o se exhibe una respuesta apropiada a continuación de la presentación de un estímulo ambiental específico. Las condiciones ambientales son las que determinan el aprendizaje.
Transferencia: consiste en la aplicación del conocimiento aprendido en nuevas formas o nuevas situaciones. Adquisición de la conducta: depende de la especie, del tiempo y tipo de reforzamiento
Extinción: es el debilitamiento de un reflejo condicionado, cuando la presentación del Estímulo Condicionado (EC) no va seguida del Estímulo Incondicionado (EI). Es la reducción en la fuerza de una operante condicionada, mediante la suspensión del reforzamiento.
22
Resistencia a la extinción.
Generalización del Estímulo: se presenta cuando las respuestas condicionadas a un estímulo pueden ser provocadas también por otros estímulos en la misma dimensión.
Discriminación: ocurre cuando el aprendizaje está bien asentado, es el fortalecimiento diferencial de una respuesta con respecto a la propiedad de un estímulo. Se dice que el organismo discrimina cuando responde más rápidamente en presencia de la propiedad correlacionada con el reforzamiento. Principio de Premak actividades que no son favoritas se asocian con otras que si lo son para reforzar su aparición.
ROL DEL DOCENTE Es un tecnólogo, ingeniero conductual. Aplica contingencias de
reforzamiento, monitorea el comportamiento, corrige. Papel directivo.
CONCEPCIÓN DEL ESTUDIANTE Receptor-pasivo,Receptor-activo
METODOLOGÍA
DE LA
ENSEÑANZA
Se parte de la especificación de las conductas de entrada para determinar desde donde debe comenzar la instrucción. Se describe la conducta terminal en términos observables.
Se determinan las pistas o indicios que pueden provocar la respuesta deseada.
Se organiza el ambiente para que los estudiantes den las respuestas esperadas o "correctas" en presencia de los estímulos correspondientes. Se ofrecen consignas verbales.
Se realiza un análisis de tareas, programación por pasos cortos, con énfasis en el dominio de los primeros pasos antes de pasar a niveles más complejos de desempeño. Se organizan secuencias de presentación de los estímulos. Interesa el aprendizaje para el dominio. Interesa en producir resultados observables (productos) y mensurables en los estudiantes.
Se utilizan procedimientos específicos para favorecer el aprendizaje, por lo que se aplican incentivos o refuerzos (tangibles o sociales) para impactar el desempeño. El aprendizaje se logra por: 1. Moldeamiento: se refuerzan las conductas de aproximación sucesiva a la conducta deseada 2.Imitación o reproducción de un modelo. 3.Por descubrimiento.
EVALUACION Instrumentos objetivos, es continua. Función: identificar la problemática
psicoeducativa del alumno para programar la secuencia instrucción al pertinente. Prefiere la evaluación referida a criterios y no a normas. Énfasis en la evaluación final a los fines de comparar el dominio
REPRESENTANTES Precursores: PAVLOV, WATSON, THORNDIKE Desarrollos
posteriores: GUTRHRIE, TOLMAN, HULL, SKINNER, BIJOU.
Fuente: Fuentes (2003)
23
Cuadro 2 El Constructivismo
CRITERIOS
CONSTRUCTIVISMO
RAÍCES FILOSÓFICAS Idealismo, racionalismo-dialéctico, empirismo, positivismo
lógico, fenomenología y hermenéutica.
PARADIGMA
EPISTEMOLÓGICO
SUBJETIVISMO La realidad se descubre, se construye. El conocimiento es una construcción humana, se negocia, se consensúa. Modelo organicista: Conocemos fundamentalmente a través de la razón
METAS DE LA
EDUCACIÓN
Potenciar el desarrollo del alumno y promover su autonomía moral e intelectual. Formar mentes críticas, que puedan verificar y no aceptar todo lo que se les ofrezca. Alcanzar el pensamiento racional. Favorecer en el estudiante la construcción significativa y representativa de la estructura del mundo, que pueda elaborar e interpretar la información existente.
CONCEPCION DEL APRENDIZAJE
(Factores y conceptos básicos)
Consiste en la construcción de nuevos conocimientos a partir de los conocimientos previos, del desarrollo y de la maduración. Los procesos involucrados son la asimilación, acomodación y equilibrio, procesos de cambios cualitativos.
Implica estructuración de esquemas cognitivos, confrontación con nuevos conocimientos, obstáculos cognoscitivos, búsqueda de equilibrios hasta alcanzar el Cambio Conceptual.
El aprendizaje consiste en la creación de significados a partir de las propias experiencias del estudiante y de su nivel de maduración. Reconoce que las experiencias individuales y directas con el medio ambiente son críticas. En el aprendizaje entran en juego el estudiante, las condiciones ambientales (que incluyen al docente) y la interacción entre estos componentes. Los conceptos cambian y evolucionan continuamente.
Interesa la creación de herramientas cognitivas que reflejen la sabiduría de la cultura en la cual se utilizan, así como los deseos y experiencias de los individuos. El aprendizaje debe incluir actividad (ejercitación), concepto (conocimiento) y cultura (contexto). La transferencia se basa en cuán efectiva es la estructura del conocimiento del estudiante para facilitarle el pensamiento y el desempeño en el sistema en el cual realmente se utilizan esas herramientas.
24
ROL DEL DOCENTE Acompaña al educando en la construcción de los conocimientos, promueve una atmósfera de reciprocidad, respeto y autoconfianza para el aprendiz. Es un facilitador, respeta las estrategias de conocimiento del educando, los errores que se suceden en la aproximación a la construcción de "conocimientos acordados" y sabe hacer uso de ellos para profundizar en el aprendizaje. No usa recompensa ni castigo.
CONCEPCIÓN DEL ESTUDIANTE
Son creativos e inventivos, constructores activos de su propio conocimiento: matemático, físico y social, convencional y no convencional. Proactivo
METODOLOGÍA
DE LA
ENSEÑANZA
La enseñanza debe ser: (a) apropiada al nivel de desarrollo del educando; (b)indirecta, el análisis está puesto en la actividad, la iniciativa y la curiosidad del aprendiz ante los distintos objetivos del conocimiento; (c)debe facilitar la auto-dirección y la autoconstrucción del aprendizaje.
Diagnosticar los conocimientos previos, conocer la etapa de desarrollo del pensamiento, jerarquizar el aprendizaje, favorecer la contradicción o tematización consciente, promover desequilibrios o conflictos cognoscitivos.
Énfasis en la identificación del contexto en el cual las habilidades serán aprendidas y subsecuentemente aplicadas a los estudiantes. Se les motiva a construir su propia comprensión y luego validar, a través de negociaciones sociales, esas nuevas perspectivas.
Estrategias mayormente utilizadas: situación de las tareas en contextos del "mundo real", uso de pasantías cognitivas, presentación de perspectivas múltiples (aprendizaje cooperativo para desarrollar y compartir puntos de vista alternativos), negociación social (debate, discusión, presentación de evidencias), uso de ejemplos como partes de la vida real, uso de la conciencia reflexiva.
EVALUACION
Se interesa por el estudio de los procesos cognoscitivos y los cambios que se originan (cambios conceptuales y socioafectivos). En contra de los exámenes. Debe ser integral. Sirve de fundamentación a la evaluación cualitativa, y está dirigida igualmente al aprendizaje. Estrategias: (a) el Registro Anecdótico; (b) el Análisis de errores, (c) cuestionarios de autoevaluación y entrevistas; (d) Diarios y (e) Evaluación de portafolio.
REPRESENTANTES J. PIAGET, INHELDER., KOHLBERG, KELLY, GOODMAN,
AUSUBEL, BRUNER, FLAVELL, LERNER, NOVAK.
Fuente: Fuentes (2003)
25
Cuadro 3 El Enfoque Sociocultural
CRITERIOS ENFOQUE SOCIOCULTURAL
RAÍCES FILOSÓFICAS
Materialismo dialéctico, reflexología, neurofisiología, consideración del constructivismo de Piaget
PARADIGMA
EPISTEMOLÓGICO
OBJETIVISMO-SUBJETIVISMO
La realidad se construye de afuera hacia adentro
Modelo Pragmatista: experiencia y razón originan el conocimiento
METAS DE LA
EDUCACIÓN
Promover el desarrollo sociocultural e integral del alumno. La educación es un hecho consubstancial al desarrollo humano en el proceso de la evolución histórico cultural del hombre. Los procesos de desarrollo no son autónomos de los procesos educacionales.
CONCEPCION DEL APRENDIZAJE
(Factores y conceptos básicos)
Cultura, aprendizaje y desarrollo se influyen entre sí, existe unidad pero no identidad entre ambos. Interés por los procesos de cambio. Asume postulados marxistas: el ser humano transforma la naturaleza, y mediante esta acción, se transforma a sí mismo.
Zona de desarrollo próximo: distancia existente entre el nivel real de desarrollo del niño expresada en forma espontánea y/o autónoma y el nivel de desarrollo potencial manifestado gracias al apoyo de otra persona o mediador. Esta noción implica que el nivel de desarrollo no está fijo, existe una diferencia entre lo que puede hacer el niño solo y lo que puede hacer con la ayuda de un compañero o de un adulto.
El aprendizaje colaborativo ayuda a la asimilación del conocimiento.
La formación de conceptos se inicia en la pubertad, previamente el niño ha pasado por las etapas de sincretismo (colección de objetos en cúmulos desorganizados), de ensayo y error (organización en función del campo visual), organización de colecciones según la consideración de varias características, formación de pseudoconceptos (organizados por rasgos comunes pero basados en aspectos concretos, visibles y asociativos). Los pseudoconceptos se transforman en conceptos psicológicos, conformados por categorías que usa el adulto.
26
ROL DEL DOCENTE
Es un experto que guía y mediatiza los saberes socioculturales con los procesos de internalización subyacentes a la adquisición de los conocimientos por parte del alumno.
El desarrollo humano ocurre de afuera hacia adentro por medio de la internalización de procesos interpsicológicos. Al principio su rol es muy directivo, posteriormente es menos participativo hasta retirarse.
CONCEPCIÓN DEL
ESTUDIANTE
Es un producto de procesos sociales y culturales gracias a los procesos educacionales sustentados en procesos sociales de interactividad consigue aculturarse y socializarse y al mismo tiempo se individualiza y autorrealiza. Es una persona que internaliza o reconstruye el conocimiento, primero en el plano interindividual y posteriormente en el plano intra-individual. Ley de la doble formación del desarrollo.
METODOLOGÍA
DE LA
ENSEÑANZA
Principios de sus investigaciones: análisis de procesos, la explicación en contra de la descripción, la consideración de las conductas "fosilizadas".
Método de análisis dinámico, experimental-desarrollista: provoca en forma artificial un proceso de desarrollo psicológico. Se busca establecer la relación pensamiento y lenguaje.
La creación de la Zona de Desarrollo Próximo. El Profesor, se asume como un experto en el dominio del conocimiento particular y en el manejo de procedimientos instruccionales óptimos para facilitar la negociación de las zonas. Contexto de interactividad entre maestro-alumno, experto-novato, actividad extrarreguladora al principio. Modelamiento, provisión de retroalimentación, instrucciones verbales, moldeamiento, formulación de preguntas, contexto y explicaciones del profesor.Las funciones psicológicas superiores (conciencia, planeación intención, voluntad) dependen de procesos de aprendizaje. Los procesos de aprendizaje inician los procesos de desarrollo. La única enseñanza buena es la que adelanta el desarrollo
EVALUACION
De los productos, del nivel de desarrollo real del niño, uso de tests, pruebas de rendimiento, determinación, amplitud de la competencia cognitiva. Evaluación dinámica. Se evalúan procesos y productos.
REPRESENTANTES
VYGOTSKY, LURIA, LEONTIEV, BOZHOVICH, ZAPOROZHETZ, KHARKOV, GALPERIN, ZINCHENKO.
Fuente: Fuentes (2003)
27
Mediante los cuadros anteriores se tiene una percepción específica
de cada una de estas posturas, las cuales han tenido en la matemática en
general y en la geometría en particular, una fuente permanente de
experimentación.
La importancia de la geometría en los procesos de aprendizaje es tan
aceptada, que Galileo Galilei lo expresó de manera magistral cuando
escribió:
La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto. (Escorza, 2005) Pero si la geometría es fundamental para entender el mundo físico,
su enseñanza y aprendizaje se constituyen en el puente que comunica este
mundo con el mundo abstracto de la matemática.
El aprendizaje de las matemáticas supone la presencia de procesos
de tipo lógico, como el razonamiento deductivo e inductivo, y éstos deben
basarse en las estructuras cognitivas de los estudiantes. Estas estructuras
cambian conforme va madurando psicológica y neurológicamente y a la vez
que se adquieren las experiencias necesarias en el mundo físico.
Los procesos cognoscitivos del individuo según Mensías (2003), se
dan a través de las sensopercepciones, las cuales son una actividad de los
sentidos que acaba por transformarse en fenómeno consciente. Para este
conocimiento no solo intervienen los órganos sensoriales, sino también el
pensamiento, las reacciones afectivas y el conjunto de experiencias
acumuladas en las diversas etapas de la vida.
Las sensopercepciones involucran los tres fenómenos; la sensación,
la percepción y la apercepción. Mensías (op. cit)
28
1. La Sensación: es entendido como el proceso psíquico más
sencillo y consiste en el reflejo de las propiedades aisladas de los objetos
del mundo material, así como del estado interno del organismo, por medio
de la acción directa de los estímulos materiales en los receptores
correspondientes. La sensación es esencialmente un proceso biológico,
ante los estímulos del medio, el aparato receptor da una señal que depende
directamente del órgano sensorial, de esta manera, es más reacción
biológica que un conocimiento. Es decir, las sensaciones son imágenes
subjetivas del mundo objetivo, mediante las sensaciones se aprecian las
propiedades de los objetos (luminosidad, color, peso, consistencia, etc), se
entiende así que esta información que aporta la sensación deba ser
interpretada.
Estas cualidades de los objetos se denominan estímulos sensoriales
y deben poseer una intensidad mínima o máxima, adecuada para que se
produzcan las sensaciones. Como lo señala Mensías (op. cit), además de
las sensaciones obtenidas por los cinco sentidos: oído, olfato, gusto, tacto y
vista, hay otras especiales: (a) el sentido cinestésico o de movimiento, que
se percibe por las terminaciones nerviosas de los músculos, huesos y
articulaciones, (b) el sentido cenestésico, integrado por las sensaciones
viscerales y (c) el sentido de equilibrio corporal, dado por el laberinto del
oído medio.
2. La Percepción: es un concepto que desde la filosofía designa la
acción por medio de la cual el espíritu capta intuitivamente las
representaciones exteriores. Para Descartes es percepción todo acto de
inteligencia, para Leibniz es el acto pasajero que envuelve la multiplicidad
de la unidad, para Hamilton, Spencer y Bergson es el medio por el cual el
espíritu tiene conciencia inmediata de la realidad exterior. Desde la
Psicología, la percepción es entendida como el proceso de discriminación
entre los estímulos y la interpretación de sus significados. Desde este punto
de vista la actividad perceptiva consta de dos procesos: el sensorial, donde
juegan un papel primordial los órganos de los sentidos y el intelectivo, ya
29
que la percepción ejerce sobre los estímulos una selección donde
intervienen factores internos como la motivación y la disposición del sujeto y
externos como la intensidad y tamaño del estímulo, el contraste con otros,
la repetición y el movimiento.
En general se llama percepción a la organización, interpretación,
análisis e integración de los estímulos, captados por nuestros órganos
sensoriales y procesados por nuestro cerebro (Feldman, 1999). En este
proceso se realiza el ordenamiento y la asociación de las distintas
sensaciones en imágenes integrales de cosas y hechos.
En síntesis, la percepción es la imagen psíquica de un objeto, donde
la realidad está en un proceso de construcción. Se construye una
interpretación del objeto, se obtiene un tipo de información básica externa, y
sobre esto, se construye una hipótesis sobre el estado del medio externo.
De toda la información recibida del exterior, se capta lo que nos es útil
como humanos, y la forma de interpretarlo, en esencia, va a responder a las
necesidades biológicas y a las motivaciones.
Como dice Lersch, (1962) no es lo mismo el mundo de una mosca,
compuesto de luz, sombra y movimiento, que el mundo de un humano. Las
necesidades son distintas, la captación es distinta, el umbral, el límite de
sensibilidad es distinto, las armas de sobrevivencia son distintas. No todos
los individuos perciben de la misma forma; amén de la sensibilidad innata,
existe el entrenamiento que permite que, por ejemplo, un botánico perciba
una gama amplísima de vegetales en el mismo lugar donde los demás sólo
ven pasto.
De acuerdo a lo anterior, la percepción es un proceso que da como
resultado un precepto. A éste, convencionalmente, y de acuerdo con el
receptor predominante, se le denomina visual, auditivo, táctil, gustativo,
olfativo. Si la percepción es concebida como un mecanismo regulador de la
acción adaptativa, debe tener en cuenta todos los aspectos del contexto en
los cuales se incluye esa acción.
30
En este sentido, las constantes en la percepción son: (a) el todo es
más que la suma de las partes: el conjunto de lo percibido es más que la
suma de las percepciones elementales. La percepción de un paisaje es
cualitativamente distinta si se percibe cada uno de sus componentes (árbol,
montaña, cielo) por separado, (b) tendencia a la estructuración: los
elementos perceptivos aislados tienden espontáneamente a la organización
de formas, (c) tendencia a la generalización perceptiva: se percibe la forma
y un significado. Si se percibe una cruz, más tarde la reconoceremos como
cruz, aunque varíe su tamaño o el material con que está hecha, (d)
tendencia a la pregnancia: es la facilidad con que un objeto es percibido
como figura respecto del fondo. Las figuras simétricas y completas tienen
más pregnancia que las asimétricas e incompletas, y (e) principio de
constancia: las figuras tienden a ser percibidas como completas y simétricas
aunque no lo sean. (Mensías, 2003)
3. La Apercepción: es el nombre que recibe la percepción atenta, la
percepción acompañada de conciencia. Tiene sus orígenes en dos grandes
matemáticos y filósofos. Esta palabra fue usada por primera vez por
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), considerado junto con Sir Isaac
Newton, el padre del Calculo Diferencia e Integral, el cual distingue
percepción de apercepción, en el sentido que la percepción es simplemente
el hecho representativo, interno y psicológico y la apercepción no es sólo, la
reflexión o el estado del espíritu que vuelve sobre percepciones conscientes
para conocerlas mejor, refiriéndolas a ideas o principios generales, sino que
es más bien la conciencia en el sentido que hoy se le atribuye o el estado
del espíritu que conoce lo que pasa en él. De esta manera la apercepción
es entendida como la percepción consciente, en oposición a la inconciente.
Por su parte Enmanuel Kant (1724-1804), empleó en su Crítica a la
Razón Pura de 1781, la palabra apercepción, en el mismo sentido que
Leibniz, refiriéndola, según su concepto especial del conocimiento, a
aquellos elementos ideales, a priori, o formales que el entendimiento añade
31
a la materia de la experiencia. (Diccionario Enciclopédico Hispano-
Americano, 2003).
Estos autores distinguen implícitamente la apercepción empírica (de
los fenómenos que ofrece la sensibilidad que, una vez percibidos,
constituyen materia para el ejercicio de la conciencia reflexiva) de la
apercepción pura o unidad sintética de la conciencia (esencia pura del
pensamiento o fondo común de las categorías).
Existe sin embargo una diferencia muy acentuada entre el sentido y
alcance atribuidos respectivamente a la apercepción por Leibniz y Kant.
Para el primero, que la considera desde el punto de vista psicológico como
cualidad de cada uno de los seres indivisibles, pero de naturaleza distinta,
que componen el universo, la apercepción es la percepción misma en su
estado más perfecto de conocimiento reflexivo, que presta, mediante el
trabajo y elaboración intelectuales, precisión y luz a la idea del yo y a la de
los objetos percibidos. Para Kant, fiel a su idealismo crítico y subjetivo,
desde el punto de vista lógico y ontológico o formal y real, la apercepción es
el acto fundamental del pensamiento, la concepción primaria de las formas
a priori, subjetivo e independiente de la sensibilidad.
Francois-Pierre Maine de Biran (1766-1824), llamó a la conciencia la
apercepción inmediata interna, que ha servido a algunos psicólogos para
intentar la prueba de la objetividad de los conocimientos sensibles.
Wilhelm Wundt (1832-1920), atribuye a la palabra apercepción el
significado de todos aquellos elementos ideales que, latentes en la
tendencia unificadora del entendimiento, surge como la percepción sensible
y sirve como síntesis y soporte para la objetivación del conocimiento
empírico.
Más recientemente Manjón (2003), establece que se puede describir
la apercepción como la percepción estimulada por las relaciones o
vinculaciones entre un objeto o causa desconocido y otros objetos o causas
conocidas, es decir, la comprensión de las vinculaciones y analogías entre
32
un objeto o causa nuevamente percibido y otro que ya se percibió. Es la
combinación de la percepción y las analogías.
En el marco del estudio de los procesos cognoscitivos, hay que
destacar que en las tres últimas décadas se ha intentado describir y
explicar cualitativamente los diferentes niveles de desarrollo cognitivo. Entre
las diferentes teorías sobre el nivel del desarrollo cognitivo, una de las más
elaboradas es la teoría de Piaget y la teoría de los niveles de pensamiento
geométrico de Van Hiele. Veamos algunos aspectos fundamentales de
estas teorías que nos acercan a la descripción de la enseñanza y
aprendizaje de la Geometría.
Los planteamientos de Piaget (1983) ponen de manifiesto que en el
razonamiento de los niños hay unas estructuras lógicas y coherentes que
son diferentes a las de los adultos. Propuso que las estructuras internas que
organizan la inteligencia y las formas en que la inteligencia se manifiesta,
difieren con la edad. Clasificó los niveles de pensamiento infantil en cuatro
períodos principales que agrupó por edades: el sensoriomotor, hasta los dos
años de edad; el preoperacional, desde los dos hasta los siete años de
edad; el operacional concreto, desde los siete a los once años de edad; y el
operacional formal, desde los once a los quince años de edad, que se
considera un nivel para adultos. Estos niveles de pensamiento son
cualitativamente distintos. El niño progresa de un nivel al siguiente, y las
estructuras cognitivas del nivel precedente son reorganizadas y extendidas,
a través de la capacidad de adaptación del niño, para formar las estructuras
que caracterizan el próximo nivel.
De acuerdo con Piaget, un individuo que se encuentra en el nivel
operacional formal presenta unas estructuras cognitivas más complejas que
le permite, entre otras cosas, hacer uso de razonamientos hipotético-
deductivos (capacidad de, a partir de premisas concretas, casos particulares
o específicos, llegar a deducir conclusiones generales) o ser capaz de
generar y considerar todas las combinaciones posibles de un conjunto de
33
variables dadas, lo que supone un gran avance sobre las capacidades del
individuo que se encuentra en un nivel operacional concreto
Los modelos matemáticos fueron los instrumentos usados por Piaget
para describir el esquema de desarrollo en el niño. Las estructuras lógico-
matemáticas se usaron como modelos de estructuras cognitivas. Piaget
(op cit), cuando analizó el nivel final de desarrollo o el nivel formal-
operacional, utilizó un sistema de 16 operaciones binarias para describir la
estructura básica del razonamiento.
Con dos proposiciones cualquiera serán posibles 16 diferentes
combinaciones, las cuales constituyen una estructura de conjunto que
supone16 operaciones mentales que representan la capacidad de un
individuo de contemplar todas las posibles relaciones entre los elementos
de un problema; las 16 operaciones posibles del caso de dos proposiciones
de la forma p y q son: afirmación completa, negación de la afirmación
completa, conjunción, incompatibilidad, disyunción, negación conjuntiva,
implicación, no implicación, implicación recíproca, negación de la
implicación, equivalencia, exclusión recíproca, afirmación de p, negación de
p, afirmación de q y negación de q. (Carretero, 1985).
De esta manera se forma un enrejado con las 16 operaciones
binarias. Cuatro transformaciones pueden llevarse a cabo para cada una de
las 16 operaciones binarias. Las transformaciones son las llamadas:
identidad, negación, reciprocidad y correlatividad. Las transformaciones
forman un grupo matemático y representan el razonamiento disponible para
el razonamiento formal-operacional. (Carretero, op cit).
Piaget no se interesó tanto por el razonamiento individual de los
seres humanos, como por la trayectoria general del desarrollo desde una
perspectiva epistemológica. Esta opción le llevó a centrarse en el estudio de
los principios generales del razonamiento humano, excluyendo de sus
consideraciones aspectos tales como el contexto social y cultural del
razonamiento, así como las experiencias autobiográficas de los individuos
en los que fundamentaba sus estudios. (Venn y Walkerdine ,1977).
34
Piaget (1983) establece que la disponibilidad del razonamiento
hipotético, el análisis combinatorio (sistema que permite agrupar y ordenar,
en diversas formas, los elementos de un conjunto, siendo los tres
principales tipos las permutaciones, las variaciones y las combinaciones)
y, el razonamiento proposicional, permiten al alumno disociar variables y
tratar con proposiciones, y, que la habilidad del individuo de relacionar
términos en una forma combinatoria, está unida a una nueva habilidad para
razonar acerca de lo posible y no sólo de lo real.
La Teoría de Niveles Pensamiento Geométrico de Van Hiele, fue
desarrollada en Holanda en 1957 por Pierre Maria Van Hiele y Dina Van
Hiele-Geldof, a partir de su práctica diaria como docentes, donde detectaron
que en algunos casos la enseñanza arrojaba limitados resultados, ya que
los niños no entendían los argumentos y explicaciones que se les ofrecía,
además, cuando debieron enseñar Geometría a personas de 30 años que
nunca antes habían recibido una formación formal en Geometría, se
sorprendieron al determinar que tenían las mismas dificultades que jóvenes
menores de 20 años. Esto los llevó a adentrarse en los estudios de Piaget,
con lo cual reorganizaron lo que ellos llaman espacios oscuros y
descubrieron lo que en adelante se denominaría los Niveles de Van Hiele.
Esta teoría establece que el aprendizaje de la geometría se produce
en el transito por niveles de pensamiento que no van asociados a la edad,
donde el progreso en la comprensión de los conceptos geométricos siempre
se produce de manera ordenada. Para que los estudiantes se desempeñen
adecuadamente en uno de los niveles avanzados deben haber dominado
los anteriores. No es posible alterar el orden de adquisición, ya que cada
uno de ellos lleva asociado un lenguaje y el paso al siguiente se produce en
forma continua y pausada.
Tanto para Piaget como para Van Hiele se admite la existencia de
varios niveles de pensamiento, pero también existen diferencias relevantes,
tales como:
35
1. Piaget sostiene que el paso de un nivel de pensamiento a otro es
función del desarrollo físico; Van Hiele establece que este tránsito es
función del aprendizaje; la preocupación de éste estriba en cómo estimular
el progreso de un nivel al siguiente.
2. Piaget no establece la existencia de estructuras (entendidas como
el conjunto de respuestas que tienen lugar luego de que el sujeto de
conocimiento ha adquirido ciertos elementos del exterior) en un nivel
superior como resultado del estudio de un nivel inferior. En el modelo de
Van Hiele sólo se alcanza el nivel superior si las reglas que dirigen el nivel
inferior han sido hechas explícitas y estudiadas, convirtiéndose así en una
nueva estructura.
3. Piaget no da importancia al lenguaje en el paso de un nivel al otro.
En Van Hiele, cada nivel desarrolla su propio lenguaje característico.
La Teoría sobre los Niveles de Pensamiento Geométrico de Van
Hiele y los aspectos generados de la Teoría de Desarrollo Cognitivo de
Piaget, no son teorías contrapuestas y permiten establecer semejanzas y
diferencias entre ellas. Por ejemplo, para ambas teorías el papel del alumno
es esencial en la construcción de su propio conocimiento; Van Hiele indica
que el estudiante no aprende hechos, nombres o reglas, sino conjuntos de
relaciones que permiten enlazar conceptos y procesos que son poco a poco
organizados, así que los alumnos son los que abstraen los conceptos
matemáticos de sus propias actividades; para Piaget el aprendizaje del
alumno es en definitiva un proceso continuo de equilibración ( adaptación,
asimilación y acomodación) que se produce entre el sujeto cognoscente y el
objeto por conocer.
Ambas teorías consideran que el rol del profesor se centra en
escuchar las argumentaciones y razonamientos de sus alumnos para dirigir
su aprendizaje más que en explicar los contenidos. Piaget destaca el papel
que juega el desequilibrio y la resolución de conflictos cognitivos en el
aprendizaje y Van Hiele en las dificultades de los alumnos y las crisis de
pensamiento, que facilitan la transición hacia un nivel superior. Van Hiele
36
afirma que el proceso de enseñanza aprendizaje es independiente de la
edad y señala que los estadios y períodos descritos por Piaget no están
conectados esencialmente con una edad particular, sino que son
característicos de muchos procesos de aprendizaje independientemente de
la edad en la que tiene lugar. (Huerta, 1997).
En referencia a las comparaciones entre estas teorías, Denis (1987)
llevo a cabo una investigación con 156 alumnos que habían recibido un
curso de Geometría Euclideana, con edades comprendidas entre los 15 y
19 años, de los que seleccionó 40 para las entrevistas clínicas en las que 20
fueron clasificados en el nivel operacional concreto y lo otros 20 en el nivel
operacional formal. Encontró que solamente el 36% de los alumnos había
alcanzado el estadio operacional formal, que para los 40 alumnos
entrevistados los niveles de Van Hiele forman una jerarquía tanto para los
que están en el nivel operacional concreto como para los que están en el
nivel operacional formal, que el nivel de Van Hiele más alto alcanzado por
los alumnos del nivel operacional formal fue significativamente mayor que el
nivel de Van Hiele más alto, alcanzado por los alumnos del nivel operacional
concreto.
Este estudio concluyó que cuando un sujeto está en un nivel
operacional formal de desarrollo piagetiano, hay mayor posibilidad de que
sea capaz de alcanzar los niveles más altos de razonamiento geométrico de
Van Hiele que un sujeto que está en el concreto operacional de desarrollo,
además, los resultados indican claramente que las etapas piagetianas de
desarrollo se manifiestan como un posible predictor de la potencialidad de
los sujetos para alcanzar el razonamiento geométrico descritos por Van
Hiele. Lo que permite inferir una estrecha relación entre las consideraciones
de niveles o etapas descritas por Piaget y Van Hiele.
Clements y Battista (1992), señalan que los esquemas de Piaget, los
Niveles de Van Hiele, y el conjunto de relaciones más explícitas de la
ciencia cognitiva, poseen algunos aspectos comunes (ya indicados) en sus
visiones sobre la estructura del conocimiento, y es posible que una síntesis
37
de estos pudiera dar lugar a un modelo más rico y verídico. En el mejor de
los casos, tal modelo tendría su explicación desde la perspectiva de la
ciencia cognitiva y los aspectos evolutivos de la perspectiva de Piaget y Van
Hiele.
Dado que el desarrollo de las funciones psíquicas superiores permea
los trabajos de Piaget y Van Hiele, los aportes de Vigostky son
fundamentales, pues centra su interés en el desarrollo integral del individuo
y sus fundamentos descansan en la tesis de que los diferentes
componentes de la actividad psíquica del sujeto no son hechos dados de
manera acabada, sino resultado del uso de las herramientas producidas por
la cultura y el desarrollo social.
Vigotsky realizó una profunda valoración de la relación entre la
enseñanza y el desarrollo como procesos que interactúan, considerando el
primero como uno de los mecanismos fundamentales para lograr el
segundo, en su opinión, la mejor enseñanza es la que se adelanta al
desarrollo.
En el modelo de aprendizaje que aporta, el contexto ocupa un lugar
central y la interacción social se convierte en el motor del desarrollo.
Vigotsky define el concepto de zona de desarrollo próximo como la
distancia entre el nivel real de desarrollo y el nivel de desarrollo potencial,
fundamentado en la importancia del contexto social y en la capacidad de
imitación, por lo cual el aprendizaje escolar ha de ser congruente con el
nivel de desarrollo del niño, y potenciando el hecho de que el aprendizaje se
produce más fácilmente en situaciones colectivas.
La teoría de Vigotsky toma en cuenta la interacción sociocultural, de
la cual se nutre el individuo, donde influyen mediadores que lo guían a
desarrollar sus capacidades cognitivas. A esto se refiere la ZDP, lo que el
individuo pueda realizar por sí mismo, y lo que pueda hacer con el apoyo de
un adulto, la distancia que exista entre uno y otro.
Vygotsky rechaza totalmente los enfoques que reducen la psicología
y el aprendizaje a una simple acumulación de reflejos o asociaciones entre
38
estímulos y respuestas. Existen rasgos específicamente humanos no
reducibles a asociaciones, tales como la conciencia y el lenguaje, que no
pueden ser ajenos a la Psicología. A diferencia de otras posiciones (Gestalt,
Piagetiana), Vygotsky no niega la importancia del aprendizaje asociativo,
pero lo considera claramente insuficiente, señala además, que el desarrollo
intelectual del individuo no puede entenderse como independiente del medio
social en el que está inmersa la persona, ya que, el desarrollo de las
funciones psicológicas superiores se da primero en el plano social y
después en el nivel individual. De esta manera, concibe que el
conocimiento no es un objeto que se pasa de uno a otro, sino que es algo
que se construye por medio de operaciones y habilidades cognoscitivas que
se inducen en la interacción social. (González, 1990)
La amplia aplicación de las ideas de Vigotsky ha tenido diversos
seguidores como lo son A. N Leontiev, S. L Rubinstein, A. Luria, V. Davidov
, Y. A. Galperin, N. F. Talízina entre otros, que continuaron desarrollando
dichas ideas. Estos han enriquecido los supuestos teóricos que sustentan el
trabajo de Vigotsky, a la vez, se establecen principios rectores de las
propuestas teóricas y metodológicas que constantemente surgen en la
investigación educativa y se han generado posiciones psicopedagógicas
que establecen, que el aprendizaje, concebido como desarrollo a partir
de la actividad social, donde el niño se apropia de la experiencia histórico-
cultural y asimila modelos sociales de actividad. (Talizina, 1987).
Una de estas posiciones psicopedagógicas, lo constituye el modelo
de pensamiento geométrico de Van Hiele, conocida como la teoría de Van
Hiele, la cual plantea que a través de un proceso instructivo desarrollado
por el docente se puede lograr que el pensamiento geométrico del alumno
transite por una serie de niveles, claramente definidos, que van a permitir
caracterizarlo en función de la presencia de los descriptores característicos
en el alumno para cada nivel.
Los esposos holandeses Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-
Geldof, elaboraron un modelo que trata de explicar por un lado cómo se
39
produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y por
otro cómo puede un profesor ayudar a sus alumnos para que mejoren la
calidad de su razonamiento, siendo los componentes principales del Modelo
de Van Hiele, los niveles de razonamiento (visualización, análisis,
clasificación, deducción formal y rigor), que explica cómo se produce el
desarrollo en la calidad de razonamiento geométrico de los estudiantes
cuando éstos aprenden geometría, y las fases de aprendizaje (información,
orientación dirigida, explicación, orientación libre e integración), que
constituye su propuesta didáctica de actividades de enseñanza-aprendizaje
ejecutadas por el docente en el aula, con el objeto de facilitar el ascenso de
los estudiantes de un nivel de razonamiento al inmediatamente superior.
Las investigaciones realizadas a nivel mundial y nacional sobre la
Teoría de Van Hiele, han abarcado diferentes aspectos de la misma, lo que
ha provocado que incluso se haya extendido el modelo a conceptos de
análisis matemático, que se estudian en los programas de los últimos años
de bachillerado y los primeros semestres de la Universidad. (Navarro y
Pérez, 2003).
Uno de los planteamientos de Van Hiele considera la discretitud de
los niveles, lo que ha propiciado investigaciones como las de Shaughnessy
y Burger (1985), Fuys y otros, (1988) que evidencia la existencia de
alumnos que razonan en dos niveles consecutivos. Por su parte Clements y
Battista (1992) y Jaime (1993) consideraron la existencia de períodos de
transición en los niveles y Gutiérrez y otros (1991), introducen el concepto
de “Grado de Adquisición” de los niveles, lo que supone el dominio de
competencias específicas para cada nivel.
Otras investigaciones determinaron en qué niveles se ha venido
realizando habitualmente la enseñanza-aprendizaje de la Geometría,
mediante el estudio de los libros de texto. En este sentido Graterol y
Andonegui (2003), comprobaron que la enseñanza de la Geometría recibida
por sus alumnos, solamente les ha permitido alcanzar el nivel 3 de
pensamiento geométrico y una de las justificaciones surge en el análisis
40
semiótico de los libros de texto, donde se puede observar la cantidad de
saltos de niveles que surgen para el tratamiento de los distintos conceptos
de Geometría.
En torno a la cantidad de niveles existentes, para Clements y
Battista (1992) existen evidencias sobre la existencia de un nivel de
pensamiento geométrico anterior (nivel 0 de pre-reconocimiento) al primer
nivel. Por su parte Gutiérrez y otros (1991), cuestionan la existencia del
quinto nivel, ya que el mismo no está al alcance de los alumnos en la
educación matemática escolar.
También el propio Van Hiele (1986) considera en sus últimos
trabajos que en lugar de los cinco niveles sólo se deben considerar tres
niveles de razonamiento y caracteriza nuevamente su modelo en estos
términos. Considera de esta forma un nivel que él llama “visual” (nivel 1,
correspondiente al mismo, en el modelo original), un segundo nivel que
denomina “descriptivo” (equivalente al nivel 2 original) y finalmente el nivel
“teórico” (nivel 3, y correspondiente al 3, 4 y 5 original).
Considerando estas propuesta de modificación de niveles, Anne
Teppo (1991) sugiere reexaminar la teoría de los niveles de pensamiento
geométrico de Van Hiele, no solo en la cantidad de niveles, sino en las
competencias, habilidades y destrezas que involucra cada nivel y plantea
que es necesario tomar en cuenta el currículo de Geometría, recomendado
para las matemáticas escolares por los “estándares” sobre el Currículo y la
Evaluación propuestos por el Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas de USA (NCTM, 2003).
El Modelo de Pensamiento Geométrico de Van Hiele
El modelo de Van Hiele abarca los componentes descriptivo e
instructivo. El descriptivo, permite identificar diferentes formas de
razonamiento geométrico de los individuos y se puede valorar el progreso
de estos y el instructivo, marca pautas a seguir por los profesores para
41
favorecer el avance de los estudiantes en su nivel de razonamiento
geométrico. (ver Gráfico 1).
TEORIA DE VAN HIELE
PENSAMIENTO GEOMETRICO
NIVELES DE PENSAMIENTO
FASES DE APRENDIZAJEComponente Instructiva
Componente Descriptiva
Pierre Van Hiele y Dina Van Hiele Geldof
VisualizaciónAnálisis
ClasificaciónDeducción Formal
Rigor
InformaciónOrientación Dirigida
ExplicitaciónOrientación Libre
Integración
se organiza en
es
es
se apoya en
son
son
elaborada por
establece
Gráfico 1. Modelo de Van Hiele
La idea central del componente descriptivo, es que a lo largo del
proceso de aprendizaje de la geometría, los estudiantes, pasan por una
serie de niveles de razonamiento, que son secuenciales y ordenados de tal
manera que no se puede saltar ninguno. Cada nivel supone la comprensión
y utilización de los conceptos geométricos de una manera distinta, lo cual se
refleja en una manera diferente de interpretarlos, definirlos, clasificarlos,
hacer demostraciones y sobre todo una manipulación de los símbolos y del
lenguaje geométrico.
El componente instructivo del modelo, se basa en las fases de
aprendizaje, éstas constituyen unas directrices para fomentar el desarrollo
de la capacidad de razonamiento matemático de los estudiantes y su paso
de un nivel de razonamiento al siguiente, mediante actividades y problemas
42
particulares para cada fase. Se pretende que esta secuencia lógica de
actividades promuevan un aprendizaje desarrollador en los alumnos, que
los incentive a alcanzar los niveles superiores del pensamiento geométrico.
A continuación se presenta una descripción y análisis detallado de los
dos componentes del modelo de Van Hiele, a saber los niveles de
razonamiento y las fases de aprendizaje.
Los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de
pensamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación
matemática, que va desde el razonamiento intuitivo de los niños de
preescolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades
de Ciencias.
El razonamiento geométrico se desarrolla en una secuencia de
niveles, en la que cada nivel es un refinamiento del anterior y está
caracterizado por un lenguaje particular, por unos símbolos y unos métodos
de inferencia específicos.
Debido a las particularidades de cada nivel, la instrucción es más
efectiva si está cuidadosamente dirigida a cada uno.
Los niveles se clasifican, según Gutiérrez y Jaime, (1996), como
sigue:
Nivel 1: Reconocimiento Visual o Visualización, donde las figuras son
juzgadas por su apariencia; Nivel 2: Análisis o Descripción, donde as figuras
son mensajeros de sus propiedades; Nivel 3: Clasificación y Relación o
Teórico, donde las propiedades son ordenadas lógicamente; Nivel 4:
Deducción Formal o Lógica Formal: la Geometría es entendida como un
sistema axiomático y Nivel 5: Rigor, donde se estudian y desarrollan los
sistemas axiomáticos
Cada nivel de razonamiento incluye una serie de característica, las
cuales se detallan a continuación:
Nivel de Reconocimiento: los objetos geométricos son
considerados como entes globales más que como entes con componentes y
atributos. Las figuras geométricas se reconocen por su forma, por su
43
apariencia física y no por sus partes y propiedades. El alumno aprende algo
de vocabulario, identifica diferentes figuras y reproduce una figura dada. Por
ejemplo, un alumno reconocerá el dibujo de un rectángulo pero quizás no
sea consciente de muchas propiedades de los rectángulos. (ver Gráfico 2)
RECONOCIMIENTO
PERCEPCIÓN GLOBAL
FIGURAS GEOMETRICAS
FORMA
PARTES
APARIENCIA
PROPIEDADES
es
en base adesconoce
de
sin
Gráfico 2. Nivel 1 Reconocimiento
Nivel de Análisis. En este nivel los estudiantes comienzan a analizar
los conceptos geométricos, toman conciencia de las propiedades que
permiten conceptuar los tipos de figuras (ver Gráfico 3). Se reconoce que
las figuras geométricas tienen partes o elementos, e incluso las figuras
pueden ser reconocidas por sus partes, aunque no identifican las relaciones
entre ellas. El razonamiento propio de este nivel incluye el descubrimiento y
la generalización de propiedades a partir de la observación de unos pocos
casos. La deducción de las propiedades se hace mediante la
experimentación. Se generalizan dichas propiedades a todas las figuras de
una misma familia.
44
ANALISIS
FIGURAS
DESCUBRIMIENTOPARTES O ELEMENTOS
PROPIEDADES
las
incluye
de
RAZONAMIENTO
el
GENERALIZACIÓN
EXPERIMENTACIÓN
tienen
de
Se deducen
Gráfico 3. Nivel 2: Análisis
Nivel 3 (Clasificación). En este nivel se realizan clasificaciones
lógicas de los objetos y se descubren nuevas propiedades con base en
propiedades o relaciones ya conocidas y por medio de razonamiento
informal (ver Gráfico 4). Se entiende y se puede reproducir una
demostración formal, no compleja, pero no se comprende en su totalidad el
significado de la deducción de las demostraciones o el papel de los
axiomas.
CLASIFICACIÓN
RAZONAMIENTO MATEMATICO
ESTRUCTURA AXIOMATICA
DEFINICIONES
los alumnos inician
danno reconocen
Gráfico 4. Nivel 3: Clasificación
45
Nivel 4 (Deducción Formal). En este nivel se comprende ahora la
relación existente entre términos indefinidos, axiomas, postulados,
definiciones, teoremas y demostraciones, así como el papel que
desempeñan dentro de la geometría (ver Gráfico 5). Aquí el estudiante tiene
capacidad para realizar razonamientos lógicos formales, construye sin tener
que memorizar las demostraciones a las que desarrolla de más de una
forma, entiende la interacción de las condiciones necesarias y suficientes.
Asimismo puede comprender la existencia de diferentes definiciones de una
figura, analizarlas y relacionarlas.
DEDUCCION FORMAL
TERMINOS INDEFINIDOS
DEMOSTRACIONES
AXIOMAS
TEOREMAS
POSTULADOSSe relacionan
Para realizar
Gráfico 5. Nivel 4: Deducción Formal
Nivel 5 (Rigor). En este último nivel, se entiende y se trabaja en
distintos sistemas axiomáticos; pueden ser estudiadas las geometrías no
Euclídeas y se pueden comparar los diferentes sistemas. La Geometría se
estudia desde un punto de vista totalmente abstracto.
46
En el modelo de Van Hiele, si el aprendiz es guiado por experiencias
instruccionales adecuadas, avanza a través de los cinco niveles de
razonamiento, empezando con el reconocimiento de figuras como todos
(nivel 1), progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las
figuras y hacia el razonamiento informal acerca de estas figuras y sus
propiedades (niveles 2 y 3), y culminando con un estudio riguroso de
geometría axiomática (niveles 4 y 5). (Usiskin, 1991)
Los alumnos perciben los objetos observados a medida que se
familiarizan con la estructura de los objetos manipulados. Esta relación
entre objetos manipulados y observados tiene varias implicaciones; lo que
era intrínsico en un nivel se convierte en extrínseco en el siguiente nivel, por
lo cual la relación entre los niveles es secuencial, lo que hace imposible
saltar niveles o pasar a través de ellos en un orden diferente, además, cada
nivel posee sus propios símbolos lingüísticos, su propio lenguaje, lo cual
hace que la comunicación entre personas operando a diferentes niveles sea
difícil. Es preciso destacar que en esta investigación la habilidad de
comunicación del alumno denominado proceso discursivo es entendido
como la competencia para leer, interpretar y comunicar con sentido, en
forma oral y escrita, información (en este caso geométrica), usando el
vocabulario y los símbolos del lenguaje matemático en forma adecuada.
De hecho, si el profesor está hablando de propiedades, intentando
mostrar sus relaciones lógicas (nivel 3), pero el lenguaje que el estudiante
posee sólo le permite entender la manipulación de figuras (nivel 2), Van
Hiele asegura que dicha comunicación es imposible. Esta podría ser una
explicación a las quejas frecuentes de los estudiantes de geometría, los
cuales expresan no entender lo que está hablando el profesor.
El Modelo de Van Hiele, ha sido objeto de investigaciones respecto a
la existencia y aplicabilidad de los niveles descritos, Clements y Battista
(1992) que señalan la existencia de un nivel 0 o de pre-reconocimiento. En
cambio Gutiérrez y otros (1991), cuestionan la existencia del quinto nivel, ya
que el mismo no está al alcance de los alumnos en la educación
47
matemática escolar. En relación a esto Gutiérrez y Jaime (1996) destacan
que un análisis técnico de las características del quinto nivel, muestran una
inconsistencia de éste nivel con los cuatro anteriores. Por otra parte, su
presencia apenas aporta nada al modelo, desde el punto de vista práctico,
ya que sólo se encontraría al alcance de los matemáticos profesionales y de
algunos adelantados de las facultades de Matemática.
Respecto a esta consideración, dada la estructura y complejidad del
sistema educativo en sus diferentes niveles y modalidades, se deduce que
su real aplicabilidad está reducida a la mínima expresión, ya que los
currículos actuales dedican poco o nada al estudio de las geometrías no
euclideanas, más allá de los estudios de cuarto y quinto nivel.
La configuración de niveles presenta una serie de indicadores que
permite ubicar cognitivamente el razonamiento geométrico del alumno. En
tal sentido, autores como Pérez (2003) lo han denominado los descriptores característicos de dichos niveles. Estos descriptores
característicos permiten, previa indagación de su presencia, ubicar el nivel
de razonamiento geométrico que corresponda a cada individuo, de tal
manera que son una fuente de comparación para caracterizar en nivel de
razonamiento geométrico del alumno.
Los estudiantes se encuentran en el Nivel 1 de Visualización si
manejan objetos reales observados globalmente y como unidades,
identifican figuras o relaciones geométricas en: dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que rodean al
alumno, describen figuras geométricas por su aspecto físico, diferencian o
clasifican en base a semejanzas y diferencias físicas globales entre ellos,
crean formas usando papel cuadriculado, papel isométrico, geoplanos, etc.,
construyendo figuras con fósforos, palillos, plastilina, etc., utilizan
vocabulario geométrico para hablar de las figuras o describirlas,
acompañado de otros términos de uso común que sustituyen los
geométricos, trabajan con problemas que pueden ser resueltos
48
manipulativamente, realizan actividades de manipular, colorear, doblar,
cortar y modelar figuras.
Se encuentran en el Nivel 2 de Análisis, si los estudiantes identifican
y comprueban relaciones entre elementos de una figura, recuerdan y usan
vocabulario apropiado para los elementos y sus relaciones, comparan dos
figuras de acuerdo a las relaciones entre sus componentes, clasifican
figuras de acuerdo a ciertas propiedades, incluyendo una clasificación de
todas las cosas de una clase y de las que no están en ella, identifican y
dibujan figuras dando indicaciones de sus propiedades, descubren
propiedades de figuras específicas, empíricamente y generalizan
propiedades para esa clase de figura, describen una clase de figuras en
términos de sus propiedades, resuelven problemas geométricos por el
conocimiento y uso de propiedades de figuras o por intuición, formulan y
usan generalizaciones acerca de propiedades de figuras mediante
comprobaciones en uno o pocos casos.
En el Nivel 3 de Deducción Informal, los estudiantes relacionan
propiedades de una figura entre sí o con otras figuras, establecen un
mínimo número de propiedades para describir una figura, desarrollan y usan
definiciones para explicar el por qué de una clase de figura, utilizan
diagramas que permiten hacerse una idea del razonamiento, siguen
razonamientos geométricos buscando en ellos algunos pasos que falten,
descubren nuevas propiedades usando razonamientos deductivos, usan el
dibujo y cierta información para justificar conclusiones con relaciones
lógicas, suministran situaciones para dar más de una explicación o
aproximación, trabajan y discuten situaciones que presenten proposiciones
y sus inversas.
Los estudiantes en el Nivel 4 de Deducción Formal, establecen la
necesidad de los términos indefinidos, definiciones y suposiciones básicas,
reconocen características de una definición formal (condición necesaria y
suficiente) y equivalencias de definiciones, prueban en una axiomática el
marco de relaciones que se trataron informalmente en el nivel, prueban
49
relaciones entre un teorema y proposiciones relacionadas (recíproco,
inverso y contraejemplo), establecen interrelaciones entre una red de
teoremas, comparan y contrastan diferentes demostraciones de teoremas,
crean demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas, usando
frecuentemente un modelo para sustentar los argumentos, dan argumentos
deductivos formales pero no investigan los axiomas entre ellos mismos ni
comparan sistemas axiomáticos.
En el Nivel 5 de Rigor, los estudiantes trabajan en distintos sistemas
axiomáticos, estudian las geometrías no Euclídeas y pueden comparar los
diferentes sistemas y desarrollan la Geometría desde un punto de vista
totalmente abstracto.
El segundo componente del Modelo de Van Hiele lo constituye las fases de aprendizaje (ver Gráfico 6), las cuales se soportan en una
propiedad de la teoría que establece que la transición de un nivel al
siguiente no es un proceso natural; se da bajo la influencia de un programa
de enseñanza-aprendizaje (Van Hiele, 1986).
INFORMACIÓN
EXPLICITACIÓN
ORIENTACIÓN LIBRE
ORIENTACIÓN DIRIGIDA
FASES DE APRENDIZAJE
Programa de
Enseñanza-Aprendizaje
NivelesPensamiento Geométrico
INTEGRACIÓN
es un
para transitar
son
Gráfico 6. Fases de Aprendizaje
50
En este sentido, mientras que los niveles de razonamiento nos
orientan acerca de cómo secuenciar y organizar el currículo geométrico de
una forma global, el objetivo de las Fases de Aprendizaje es favorecer el
desplazamiento del alumno de un nivel de razonamiento al inmediatamente
superior mediante la organización adecuada de las actividades de
enseñanza-aprendizaje
La organización de las actividades de enseñanza aprendizaje
comprende una secuencia precisa de cinco fases o estados de aprendizaje,
(Van Hiele 1986), resumidos como sigue.
Información. Su finalidad es la de obtención de información
recíproca profesor-alumno. El propósito de la actividad a realizar es doble,
que el profesor identifique los conocimientos que los alumnos poseen del
tópico a tratar (diagnóstico) y que los alumnos conozcan los contenidos a
estudiar, los tipos de problemas que se vayan a resolver, los métodos y
materiales que utilizarán, el diálogo es fundamental y es una fase de
acercamiento reflexivo y emocional que busca generar la confianza
necesaria para promover la motivación y la entrega al proceso de enseñar y
de aprender
Orientación Dirigida. Los alumnos exploran el tópico a estudiar
empleando los materiales que el profesor secuencia cuidadosamente. Van
Hiele señala esta fase como fundamental, ya que en ella se construyen los
elementos básicos de la red de relaciones del nivel correspondiente y si las
actividades se seleccionan cuidadosamente, constituyen la base adecuada
del pensamiento del nivel superior. El propósito es guiar a los estudiantes a
través de la diferenciación de nuevas estructuras basadas en aquellas
observadas en la primera fase.
Explicitación. Su objetivo es que los estudiantes sean conscientes
de las características y propiedades aprendidas anteriormente y que
consoliden el vocabulario propio del nivel. En esta fase es fundamental el
diálogo entre los estudiantes, con intervenciones del profesor cuando sea
necesario. Este debate entre compañeros enriquecerá notablemente el
51
conocimiento de cada estudiante, pues los obliga a organizar sus ideas y
expresarlas con rigor, pone de relieve los métodos y resultados incorrectos y
afianza los correctos. El profesor es ahora cuando introduce todo el
lenguaje técnico. Van Hiele condiciona el entendimiento real al éxito de esta
fase.
Orientación Libre. En esta fase se debe producir la consolidación
del aprendizaje realizado en las fases anteriores. Los estudiantes deberán
utilizar los conocimientos adquiridos para resolver actividades y problemas
diferentes de los anteriores, y generalmente, más complejos. Las
actividades deben permitir resolver situaciones nuevas con los
conocimientos que adquirieron previamente. No deben orientarse a la
consecución de ningún objetivo básico de ese nivel, puesto que éstos ya se
deben haber obtenido en la segunda fase. Son adecuadas situaciones
abiertas, en las que el estudiante pueda explorar diversas posibilidades pero
siempre utilizando lo que aprendió anteriormente.
Integración. Los estudiantes revisan y resumen en esta fase lo que
han aprendido, con el objetivo de formarse una visión general del nuevo
conjunto de objetos y relaciones construidas. El profesor puede ayudar a
realizar esta síntesis, pero sin introducir nada nuevo.
Estas fases son fundamentales para conseguir un buen aprendizaje
de los contenidos y un buen desarrollo de las capacidades de razonamiento
por lo que no debe ser obviada ninguna de ellas, ni deben desordenarse.
De igual manera es preciso resaltar que la fase de explicitación no
debe entenderse como un período concreto de tiempo entre la orientación
dirigida y la orientación libre dedicado exclusivamente al diálogo, sino que
hay que entenderla más como una actitud por parte del profesor de incitar a
los alumnos a que dialoguen, que expliquen sus descubrimientos, las
formas de trabajo, sus dudas, sus errores y opiniones, de esta manera se
desarrolla considerablemente el proceso discursivo del alumno por un lado,
y se promueve el aprendizaje socializador de la matemática por la
interacción del alumno con sus compañeros de clase y el profesor.
52
Por otra parte, la Teoría de Van Hiele, presenta una serie de propiedades que sirven de guía para decidir el tipo de unidades de
aprendizaje que deber ser utilizadas para la enseñanza de los distintos
conceptos geométricos; éstas son la secuencialidad (es necesario haber
adquirido todas las destrezas correspondientes a los niveles anteriores para
que una persona trabaje bien en un nivel subsiguiente), la continuidad (el
paso de un nivel al siguiente se produce de forma continua y pausada), la
especificidad de lenguaje (cada nivel tiene un lenguaje propio, entendiendo
por ello no sólo las palabras o construcciones gramaticales empleadas, sino
también el significado que se les da), la globalidad o localidad (el nivel de
razonamiento es local, es decir, que si un individuo razona a cierto nivel en
un concepto, es posible que razone a otros niveles en otro concepto) y la
instrucción (la adquisición de los sucesivos niveles no es exclusivamente un
aspecto biológico, pues interviene en gran medida la instrucción recibida y
la experiencia personal).
La Teoría de Van Hiele se fundamenta en tres pilares: el
Estructuralismo, la Gestalt y la Didáctica de la Matemática. La base
estructuralista busca las interrelaciones (las estructuras) a través de las
cuales se produce el significado. A su vez, el significado es producido y
reproducido a través de varias prácticas, fenómenos y actividades que
sirven como sistemas de significación. Usiskin (1991). La psicología de la
Gestalt le provee un marco para la percepción e interpretación de dichas
estructuras, mediante sus leyes, a saber; ley de la pregnancia, ley de la
similitud o semejanza, ley de la buena continuación o buena dirección, ley
de la proximidad o cercanía, ley del destino común, y la ley del cierre o de
clausura; y la didáctica de las matemáticas le provee las herramientas para
propiciar la adquisición de conocimientos del espacio real a través de la
intuición geométrica en el salón de clase.
La cognición para Van Hiele (1986) procede, recursivamente de la
construcción de una percepción global, hasta la formación de una estructura
mental, su progresiva diferenciación y con su reestructuración final a una
53
nueva estructura mental. Según esto, el desarrollo mental se produce a
medida que el estudiante transforma gradualmente sus estructuras o
sustituye una estructura por otra (reestructuración). La trasformación ocurre
cuando las estructuras visuales originales son transformadas gradualmente
en estructuras abstractas.
Para Van Hiele, el aprendizaje es una diferenciación y
reestructuración progresiva de campos que produce estructuras mentales
nuevas y más complejas. Shaughnessy y Burger (1985).
La intuición es para Pierre Van Hiele, un mecanismo clave que
permite a los estudiantes visualizar campos diferentes (estructuras en su
terminología) los cuales permiten construir conceptos más complejos, en
este sentido, la intuición puede ser entendida como el resultado de la
percepción de una estructura, con las propiedades de adecuación,
intención y espontaneidad. (Usiskin, 1990)
El cultivo de la intuición debe enfocarse en el desarrollo de la
habilidad de los estudiantes para ver las estructuras como parte de otras
superiores o de otras más inclusivas.
La creación de estructuras mentales tiene dos actos de pensamiento
distintos. Primero, hay una identificación no diferenciada de la estructura
bajo observación. Esto se puede entender en geometría por ejemplo,
cuando se da la presentación del material concreto (de estudio), este evoca
estructuras visuales no diferenciadas, las cuales no son verdaderamente
matemáticas, ni producen una intuición matemáticamente real.
Después de esta primera identificación, hay un análisis que permite
abstraer y eliminar un determinado número de sus cualidades, lo cual lleva
a nuevas formas de identificación y de ahí a estructuras mentales nuevas.
Un segundo acto de pensamiento es la clasificación de estructuras
interrelacionadas, lo cual es considerado un nivel alto de pensamiento y
sostiene que toma lugar bajo la influencia de un programa de enseñanza-
aprendizaje.
54
El Pensamiento Geométrico, sus Procesos y sus Niveles
El término razonamiento normalmente se refiere a un conjunto de
actividades mentales consistentes en conectar unas ideas con otras de
acuerdo a ciertas reglas o también puede referirse al estudio de ese
proceso. En sentido amplio, se entiende por razonamiento la facultad
humana que permite resolver problemas.
El razonamiento para Ruiz (2006) es una operación lógica mediante
la cual, partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o
la falsedad de otro juicio distinto. Por lo general, los juicios en que se basa
un razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo menos,
postulados como hipótesis.
Esta cualidad hace ver el razonamiento como la capacidad de partir
de ciertas proposiciones o ideas previamente conocidas (premisas) y llegar
a alguna proposición nueva (conclusión) no conocida de modo explícito. En
la habilidad humana de argumentar, razonar y rebatir intervienen igualmente
la imaginación, las percepciones, los pensamientos y los sentimientos. De
esta manera el razonamiento permite al individuo una aprehensión
intelectual de la realidad, difiriendo de la apercepción sensorial y perceptiva,
ya que ésta proporciona únicamente una imagen limitada y parcial del
mundo. El razonamiento es ante todo un proceso de tipo funcional, presente
en la resolución de problemas y en todo tipo de actividad psicológica que
comporte un fin, proporcionando una visión coherente y ordenada de los
objetos y las relaciones existentes en el mundo.
Los procesos de razonamiento son considerados como una variedad
de acciones que conduce a los alumnos a comunicarse y explicar a otros,
tanto como a ellos mismos, lo que ellos ven, lo que ellos descubren y lo que
ellos piensan y concluyen. Para Hershkowitz (2001), las funciones
principales del razonamiento son entender, explicar y convencer.
Cuando nos referimos al razonamiento en matemática, Duval (2001)
lo refiere como un proceso holístico en el cual la demostración es sólo una
55
de sus tres funciones, siendo las otras dos la extensión del conocimiento a
través de la contextualización de las situaciones problemáticas y la
explicación, donde los procesos discursivos tienen un papel preponderante.
Por otra parte, este mismo autor cuanto se refiere al razonamiento en
geometría, destaca dos procesos de pensamiento, a saber, la visualización
y la construcción y establece que estas tendencias del razonamiento
geométrico giran entorno a la construcción de demostraciones, a la
geometría desde el contexto y a la geometría visual.
En los actuales momentos el razonamiento en geometría se enfoca
en tres tendencias: (a) las interacciones del razonamiento geométrico y
otros procesos de pensamiento, (b) la actividad de aprendizaje en
ambientes de geometría dinámica y (c) la geometría visual. (Hershkowits,
2001).
La historia de la geometría nos muestra de qué manera ha sucedido
su evolución en una dinámica soportada por la interacción entre procesos
de visualización, (ligados al pensamiento espacial), procesos de
construcción, (ligados al pensamiento deductivo) y aplicaciones que se
llevan a cabo con el objeto de resolver problemas de la vida cotidiana, las
ciencias o la misma matemática, modelar el mundo para interpretarlo,
ampliar los horizontes conceptuales con teorías construidas
axiomáticamente e interrelacionar campos diversos del conocimiento
buscando en ellos una estructura común, entre otras cosas, donde los
procesos discursivos se constituyen en el vínculo para tener acceso a este
vasto campo de desarrollo humano.
Las investigaciones realizadas por De Villiers (1999), Moreno (2002),
Duval (1998), Herskowitz y otros (1987), entre otros, han llevado a
reconocer que el aprendizaje de la geometría es un proceso complejo que
pone en contraste ciertos aspectos del desarrollo cognitivo: (a) los procesos
cognitivos de visualización y los procesos de justificación de carácter
informal o formal, (b) los procesos de dar significado a los objetos y
propiedades geométricas y los procesos de generalización y abstracción
56
propios del conocimiento matemático que dan lugar a la
descontextualización de dichos objetos y (c) los dominios empíricos de la
geometría y los dominios teóricos.
Según como se desarrollen estos aspectos se accederá, o no, al
conocimiento geométrico no sólo por su potencial en la resolución de
problemas de las ciencias naturales, la técnica o la vida cotidiana sino como
plataforma de lanzamiento hacia el desarrollo teórico del ámbito geométrico.
El análisis acerca del aprendizaje en geometría se centra en el
estudio de tres procesos diferenciados; por una parte los procesos de
visualización y su potencial heurístico en la resolución de problemas; por
otro lado los procesos discursivos que permiten la justificación de la
actividad geométrica y por último, el papel que juegan las construcciones
geométricas (demostración y manipulación de instrumentos) en el desarrollo
del conocimiento geométrico.
En este sentido, tenemos que el razonamiento geométrico involucra
el desarrollo de habilidades como la visualización, la construcción, la
inferencia, el razonamiento lógico y la sistematización de información.
Incluye además la capacidad del individuo de argumentar de manera sólida
y confiable las ideas, la capacidad de plantear, para problemas reales o
teóricos, los modelos geométricos que permitan llegar a soluciones que
brinde seguridad en la toma de decisiones, y además, incluye el manejo
adecuado del lenguaje geométrico y la simbología geométrica que le
permita comunicarse con claridad y precisión así como manejar
representaciones gráficas para comprender el mundo en que vive.
En base a estas consideraciones en la presente investigación el
pensamiento geométrico es entendido como el dominio de tres procesos
bien diferenciados como lo son: el proceso de visualización, donde el
alumno realiza representaciones espaciales para la ilustración de
proposiciones, maneja objetos reales observados globalmente y como
unidades, identifica, describe y crea figuras geométricas; el proceso de construcción, mediante el uso adecuado de instrumentos geométricos y de
57
herramientas matemáticas para relacionar los resultados observados con
los objetos matemáticos y el proceso discursivo, que incluye un uso
adecuado del lenguaje geométrico, que permita la extensión del
conocimiento a otras áreas, la demostración y la explicación ordenada y
lógica del conocimiento geométrico.
Esta conceptualización del pensamiento geométrico se apoya en que:
1. La esencia de la geometría está en el reflejo de determinados
aspectos formales o cuantitativos de la realidad y de las relaciones de los
objetos en nuestra conciencia.
2. El mundo de las abstracciones geométricas existe en tanto es un
un reflejo ideal simplificado pero verdadero de una problemática material.
3. Las características cuantitativas de muchos fenómenos sirven de
condición indispensable para revelar su condición cualitativa concreta.
4. Con los métodos y medios geométricos se pueden obtener
nuevos conocimientos sobre determinados aspectos de la realidad.
5. El sistema conceptual de la geometría tiene su génesis en la
práctica y su desarrollo está sujeto a correcciones por las necesidades de la
vida práctica.
6. A partir de la modelación matemática de un fenómeno
determinado es posible la aproximación sucesiva y refinada del
conocimiento sobre su esencia.
Estos procesos de visualización, construcción y discursivos se
entrelazan de tal manera que su integración constituyen la máxima
expresión del pensamiento geométrico.
La visualización compone un elemento natural y fundamental del
pensamiento geométrico, ya que promueve el descubrimiento de nuevas
relaciones entre objetos matemáticos y en la transmisión de conocimientos.
De ahí la importancia de potenciar la visualización y de entrenar en ella a
los alumnos.
La visualización integra los procesos por medio de los cuales se
obtienen conclusiones, a partir de las representaciones de los objetos bi o
58
tridimensionales y de las relaciones o transformaciones observadas en
construcciones y manipulaciones (Clements y Battista, 1992).
Zazkis y otros (1996) describen la visualización como el acto por el
cual un individuo establece una fuerte conexión entre una construcción
interna y algo cuyo acceso es adquirido a través de los sentidos.
Por su parte, Hershkowitz y otros (1996) entienden por visualización
la transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus
representaciones a algún tipo de representación visual y viceversa. Esto
incluye también la transferencia de un tipo de representación visual a otra.
De estas posiciones, se concluye que los procesos de visualización
se consideran que conforman la base de la actividad cognitiva en
geometría, por lo cual el alumno debe ir progresando y madurando la
forma de observar los objetos, desde percepciones visuales simples hasta
aquellas que le permiten explotar el potencial heurístico de la visualización.
Por su parte la construcción geométrica es entendida como el
encadenamiento de los procesos de visualización y los procesos
discursivos. Para los investigadores (Moreno, 2002; Laborde, 2000) las
profundas diferencias entre las dimensiones de la geometría como ciencia
del espacio y la forma, en la cual lo que vemos en una figura puede ser
tomado como garantía de certeza, y la geometría deductiva, en la cual
cualquier afirmación debe ser deducida de otras dadas, es motivo de
constantes reflexiones.
Los procesos de construcción involucran el uso de instrumentos del
dibujo, por una parte, y por otro lado, el andamiaje axiomático (axiomas,
lemas, teoremas, corolarios) que permite construir una deducción, una
demostración y en general las habilidades lógicas relacionadas con las
habilidades de razonamiento analítico, es decir, las necesarias para
desarrollar un argumento lógico.
El primer aspecto que involucra los procesos de construcción, lo
constituye la correcta manipulación de los instrumentos de dibujo que
permitan, entre otras cosas: (a) representar figuras y cuerpos geométricos,
59
con el objeto de observar el mismo desde distintos ángulos y utilizando
distintos procedimientos, apoyados en actividades como plegar y cortar
figuras, tomar distintas vistas, determinar sombras, entre otros; (b) la
reproducción exacta o en distintos tamaños a partir de modelos dados, de
figuras geométricas; y (c) la construcción de un cuerpo o figura sobre la
base de datos dados en forma oral, escrita o gráfica, que cumpla o no
determinadas propiedades.
Las construcciones geométricas elaboradas mediante el uso de
instrumentos de dibujo no sólo sirven para representar conceptos e
imágenes visuales internas, sino también son medios de estudio de
propiedades geométricas, sirviendo de base a la intuición y a procesos
inductivos y deductivos de razonamiento.
De esta manera los problemas que se soportan en construcciones
geométricas son un medio que, bajo ciertas condiciones, permitirá a los
alumnos desarrollar un trabajo geométrico para la obtención de resultados
y la formulación de propiedades, que en un proceso posterior de
elaboración se constituirán en conjeturas y servirán de insumos básicos
para la demostración geométrica.
Es claro que los alumnos no identifican las propiedades de las figuras
por el solo hecho de construirlas con instrumentos de dibujo, sino que, es
fundamental el diálogo con los demás alumnos y el docente, pues aquello
que un alumno puede reconocer al observar y construir el dibujo de una
figura no siempre es lo mismo que lo que el docente pretende que ese
alumno identifique, ya que ambos, docente y alumno, parten de un caudal
de conocimientos bien diferentes.
Una construcción geométrica sigue siendo una representación
limitada de un objeto matemático, limitada por el nivel de precisión de los
instrumentos técnicos y por el nivel de experticia de quien efectúa el dibujo.
La dificultad de la utilización de la construcción como campo de reflexión,
radica en la problemática que conlleva a la utilización correcta de los
instrumentos de dibujo.
60
Con la construcción geométrica se aspira asegurar el cumplimiento
de propiedades geométricas buscando superar las limitaciones de la
percepción necesariamente presentes en el dibujo y lograr una
generalización, asegurando la reproductibilidad del dibujo, tomando en
cuenta las propiedades fundamentales del mismo por medio de la utilización
de instrumentos técnicos como el compás y la regla.
Respecto a los procesos discursivos es necesario entender que la
geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano; a cada momento
escuchamos expresiones del tipo (a) una vida ejemplar muestra siempre
rectitud en las acciones, (b) por mucho tiempo llevaron vidas paralelas, (c)
los partidos de derecha no se han puesto de acuerdo y por ello les ganan
los de izquierda que si se alinean con el gobierno, (d) entre sus sueños y la
realidad, median años luz de distancia (e) los precios llevan una escalada
en espiral con un ángulo cercano a los 90º, que hace pronosticar una
hiperinflación, (f) en la esfera de influencia del poder, se encuentra la
primera dama, (g) la pendiente de la escalera está muy pronunciada, (h)
nuestro cuerpo no es totalmente simétrico, y así por el estilo, son
innumerables la expresiones de uso cotidiano que incluyen expresiones,
símbolos y referencias al conocimiento geométrico.
Hablamos de muchas cosas que poseen formas y dimensiones y
usamos términos geométricos para referirnos a ellos, si no los tuviéramos,
no podríamos comunicarnos y entendernos en el mundo de las formas.
También usamos el argot geométrico para hablar metafóricamente y
embellecer el arte de comunicar ideas abstractas, incluidos los sentimientos
y emociones.
El papel del lenguaje en el aprendizaje de las Matemáticas y la
relevancia otorgada a los procesos relativos a la comunicación se ven
reflejados en numerosas investigaciones como las de Godino (2001),
Nesher (2000), Duval (2001), entre otros.
De igual manera, a través de diferentes organismos y proyectos, se
ha establecido la relevancia del lenguaje, en el aprendizaje y enseñanza de
61
matemática en general y de la geometría en lo particular. En este sentido,
en el Informe PISA (2003), se establece el constructo competencia
matemática vinculado a la capacidad de los alumnos para analizar, razonar
y comunicarse eficazmente cuando formulan, resuelven e interpretan
problemas matemáticos en diferentes situaciones, incluyendo conceptos
matemáticos cuantitativos, espaciales, probabilísticos o de otro tipo.
Por su parte, en los estándares aprobados por la NCTM (2004) para
la enseñanza de las matemáticas, en el apartado de la comunicación se
puntualiza sobre los distintos roles que el lenguaje juega en el aprendizaje
de las matemáticas y se hace explícito que ayuda a los alumnos, mediante
su escritura, a clarificar su pensamiento y a profundizar su comprensión;
además, permite construir vínculos entre su experiencia matemática
informal y los símbolos y conceptos abstractos usados en matemáticas y por
último, facilita la conexión entre distintas representaciones (concreta,
gráfica, verbal, en contextos reales o figurados, etc.) de ideas matemáticas
y geométricas.
De igual manera, en los estándares sobre razonamiento y prueba se
manifiesta la necesidad de que los estudiantes, desde el inicio, tengan
experiencias que los ayuden a desarrollar procesos de comunicación para
expresar pensamientos claros y precisos y, que este desarrollo del
razonamiento lógico esté estrechamente relacionado con el desarrollo del
lenguaje que a su vez depende de las habilidades de los alumnos para
explicar sus razonamientos más allá de las simples respuestas. (NCTM,
2004).
Finalmente, es necesario establecer la existencia de niveles en el
pensamiento geométrico. Las investigaciones y desarrollos teóricos llevadas
a cabo por los esposos Van Hiele, los estudios y comprobaciones de
investigadores como Andonegui, Zambrano y otros, han demostrado que
efectivamente el pensamiento matemático (algebraico, aritmético,
geométrico, etc.), se desarrolla en el individuo en un ciclo creciente, donde
62
se presentan distintos niveles en función de las competencias que se
manejen.
El aprendizaje es entendido como un proceso que recursivamente
progresa a través de niveles discontinuos de pensamiento (saltos en la
curva de aprendizaje), que puede ser mejorado por un procedimiento
didáctico adecuado. Parte del hecho de que existen varios niveles de
pensamiento geométrico y que el paso de un nivel al siguiente debe ocurrir
a través de una secuencia de fases de instrucción. Tanto el aprendizaje
como la intuición se constituyen en la fuente del razonamiento.
Además, con una instrucción con abundantes elementos
contextualizados y físicos es posible orientar el ascenso y dominio de los
contenidos por parte de los alumnos.
De esta manera se concibe que el pensamiento geométrico de un
individuo se produce en una secuencia lógica de niveles o etapas, cada una
de los cuales es producto de una refinación y perfeccionamiento de la
anterior. Estas etapas implican un orden, que aunque es estricto, desde el
punto de vista teórico, en la práctica presenta discontinuidades que se dan
cuando el alumno evidencia conocimientos y procedimientos de un nivel
determinado, pero con aproximaciones a algunos procesos geométricos del
nivel inmediato superior.
Esto permite ratificar que el pensamiento geométrico de un alumno
en los niveles, se traslada de manera espiralada, donde no existen
compartimientos estancos, sino que al contrario, existe una movilidad
pausada y a veces imperceptible entre los diferentes niveles, pero
manteniendo un orden.
Teniendo definida esta movilidad, los niveles de pensamiento
geométrico permiten a través de la caracterización de los procesos de
visualización, construcción y discursivos, ubicar al alumno y además
enunciar las habilidades del nivel correspondiente y de otros que tengan
presencia en el alumno.
63
La Educación Matemática La Educación Matemática como disciplina científica, constituye uno
de los pilares teóricos de esta investigación. En su devenir histórico, sus
fundamentos se han consolidado como base teórica fundamental para los
procesos de enseñanza y aprendizaje. En una primera instancia por los
trabajos de los grandes matemáticos de la talla de Euclides, Arquímedes,
Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Cauchy, Hilbert y otros autores
que han colocado a la matemática como una ciencia y permitió en el pasado
siglo la fundamentación de la Educación Matemática como disciplina
científica.
La Educación Matemática como disciplina científica se encuentra en
un proceso constante de cambios, de definiciones, construcción y
consolidación. Existen diversas variables de tipo social, institucional,
psicológico, histórico que influyen sobre la Educación Matemática como
cuerpo teórico y práctico dotado de tanta complejidad.
Buena parte del escenario que vivimos en la Educación Matemática
de hoy, es producto del impacto que tuvo la denominada Reforma de las
Matemáticas Modernas realizada entre los años 1950 a 1970 en varias
partes del mundo. Una de las consecuencias más palpables de ésta fue la
debilidad que provocó en la enseñanza de la geometría, pues esta
disciplina ofrecía a las clases de matemáticas problemas sencillos que
podían provocar interés, placer, contacto con la realidad física y sobre todo
resaltar el aspecto lúdico de la matemática. La reforma con el tiempo fue
rechazada tanto por los educadores, los estudiantes, como, incluso los
mismos padres de familia. Sin embargo, las acciones e ideas que esta
reforma potenció fueron dominantes durante alrededor de treinta años.
La reforma a la larga provocó algunos resultados sociales y
profesionales relevantes: por un lado, se potenció una profesionalización de
la comunidad de educadores matemáticos, definiendo características,
organización, reunión y fronteras para la práctica de la educación (como
64
afirmación frente y a veces contra los matemáticos que fueron los grandes
conductores de la reforma); y, por otra parte, como rechazo a las posiciones
dominantes en la reforma, la búsqueda de nuevas ideas que fundamentaran
la nueva disciplina tanto desde la pedagogía como de la epistemología. Es
decir, gracias al fracaso de la reforma surgieron movimientos de
educadores, psicólogos, matemáticos, etc., que constituyeron un fuerte
impulso a la Educación Matemática como disciplina científica.
La Educación Matemática, se inscribe dentro de una época de
transición y de grandes exigencias teóricas y prácticas, donde la
información y el conocimiento con el impacto de las tecnologías en la vida
social e individual, se han convertido en factores decisivos para todas las
dimensiones de la vida humana. A la Educación Matemática como disciplina
científica se le abroga una responsabilidad que abarca lo social, cultural,
psicológico, pedagógico e histórico.
Así también, la Educación Matemática toma en consideración
aspectos de carácter social y cultural que envuelve el proceso de
enseñanza aprendizaje, es una manera de armonizar con el medio
ambiente los demás requerimientos de la educación de esta disciplina como
un todo, es decir considerar aspectos tales como: conceptos y métodos, el
currículo, los niveles educativos, el tipo de educación (formal o informal), el
apoyo bibliográfico, los organismos gremiales que agrupan a los docentes,
los recursos necesarios para el proceso educativo, los basamentos
filosóficos y ontológicos de la matemática, la experticia docente, las
características demográficas del alumno y otros.
A lo largo de su proceso de consolidación, han surgido diversas
posiciones sobre como definir la Educación Matemática. En este sentido
Steiner (1985) afirma:
…encontramos una variedad de definiciones diferentes, por ejemplo, el estudio de las relaciones entre matemática, individuo y sociedad, la reconstrucción de la matemática actual a nivel elemental, el desarrollo y evaluación de cursos matemáticos, el estudio del conocimiento matemático, sus tipos, representación y
65
crecimiento, el estudio del aprendizaje matemático de los niños, el estudio y desarrollo de las competencias de los profesores, el estudio de la comunicación e interacción en las clases, etc. (pp. 11)
Encontramos en esta consideración del autor, que la educación
matemática envuelve un conjunto de aspectos y acciones que tienden hacia
un esquema de carácter integral de la enseñanza y aprendizaje de la
matemática, en función de alcanzar objetivos tanto en el docente, alumnos,
adultos y niños, estructura física, modelos curriculares y otros.
Steiner (op Cit) considera que disciplinas como la psicología, la
sociología y la pedagogía, son fundamentales en la Educación Matemática.
Higginson (1980) le da una aproximación tetraédrica, considera que la
Educación Matemática integra 4 componentes, a saber, la filosofía, la
sociología, las matemáticas y la psicología. Esta última aproximación busca
responder a las preguntas correspondientes sobre el campo: qué enseñar,
por qué, a quién y dónde, cuándo y cómo.
En España la Educación Matemática se ha consolidado con el
enfoque ontosemiótico, desarrollado por Díaz Godino, colaboradores y
continuadores. Para los cuales la Educación Matemática es entendida
como el sistema social complejo y heterogéneo que incluye teoría,
desarrollo y práctica, relativa a la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.(Godino, 1999).
Según Godino (2003) la educación matemática considera a una serie
de disciplinas que le da una característica de sistema abierto, se nutre de
ellas para que de manera sinérgica interactúen para alcanzar el efecto
esperado en el alumno y se nutre permanentemente de los resultados tanto
negativos como positivos.
Este autor sugiere tres concepciones diferentes de la Educación
matemática. La tecnicista que se preocupa por los nuevos medios y
procedimientos de enseñanza y que implica una didáctica normativa en la
que caben la ingeniería didáctica y las técnicas empíricas. La pluridisciplinar
66
donde se considera la Educación Matemática como la intersección de una
gran variedad de disciplinas (psicología, epistemología, sociología, ciencia
cognitiva, lingüística, etcétera). Y finalmente la concepción fundamental, la
cual busca una teoría unificadora que tenga en cuenta la especificidad del
saber matemático y que se justifique con y utilice métodos específicos y
endógenos.
Por su parte Ruiz (2003) considera que la educación matemática se
puede estructurar mediante la consideración de dos categorías; (a) la
Educación Matemática Teórica (EMT), cuyos planteamientos están
referidos a la conceptualización de las actividades de esta disciplina desde
el punto de vista filosófico y epistemológico, las relaciones con otras
disciplinas, el impacto de la tecnología en la educación matemática y la
construcción de fundamentos teóricos y; (b) la Educación Matemática
Práctica (EMP), que centra su atención en el estudio de aquellas
actividades que permiten generar métodos e instrumentos para la
enseñanza y aprendizaje, tales como, diseños curriculares, metodologías,
diseños didácticos que atienden a una situación determinada, estrategias
para el uso de la tecnología y otros.
Esta estructuración de la Educación Matemática no puede
considerarse exclusiva en la actividad docente, es decir, el docente en
muchos casos puede desenvolverse en ambas categorías,
independientemente de la inclinación o preferencia hacia alguna de ellas
Otro aspecto que ha generado múltiples discusiones ha sido entender
la vital relación entre Matemáticas y Educación Matemática, por lo cual es
importante hacer una breve distinción acerca de las diferencias cualitativas
de estas dos disciplinas.
Las Matemáticas centran su atención, investigación y desarrollo hacia
los objetos abstractos, a diferencia de la Educación Matemática que dirige su
atención hacia las actividades, los resultados y las construcciones teóricas
realizadas por individuos, lo que la identifica como una ciencia social y que
delimita una clara diferencia cualitativa entre ellas, ya que, los factores
67
sociales que intervienen en la Educación Matemática son diversos y esto
hace que se establezca una relación con otras disciplinas científicas que
abordan el objeto social, fenómeno este que no se produce en las
Matemáticas.
Según esto, en las Matemáticas el contexto no es relevante, pero en la
Educación Matemática es esencial al momento, por ejemplo, de reportar los
resultados de investigaciones ya que las mismas hacen referencia a
individuos y sus contextos. Además, el impacto social de la Educación
Matemática es de una naturaleza diferente al que provoca las Matemática. Su
relación con la educación y todos los procesos formativos de una sociedad la
coloca fuertemente en el territorio de la política y los lineamientos presentes
en el desarrollo de las sociedades.
Otro aspecto que permite establecer diferencias entre estas dos
disciplinas es el grado de interdisciplinaridad o transdisciplinaridad. En la
Educación Matemática es mucho mayor que en las Matemática y en esta
última es posible integrar álgebra y geometría, topología y análisis, etc., pero
la distancia teórica entre estos campos es distinta a la que existe, por
ejemplo, entre psicología y matemática, lingüística y sociología.
Esto significa que la multidisciplinaria y la transdisciplinaria en la
Educación Matemática es un requisito teórico y práctico. Lo que no sucede
con las Matemáticas de la misma manera o con la misma intensidad.
Precisamente, por acercarse más a las ciencias sociales, hay una gran
cantidad de nociones y conceptos poco precisos en la Educación
Matemática. Más aún, es posible tener diferentes aproximaciones al
significado de estas nociones, objetos y conceptos. Mientras tanto en las
Matemáticas se tiene un alto nivel de precisión en los conceptos y objetos
utilizados dentro de sus teorías.
En otro sentido, también la investigación en Matemática y en
Educación Matemática ha sido fuente de controversia, así por ejemplo,
Godino (2000) señala:
68
…cuando adoptamos un modelo epistemológico apropiado sobre la actividad matemática y sus producciones culturales, la investigación sobre una parte importante de los problemas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas adquiere connotaciones propias de la investigación matemática, no en cuanto a la organización deductiva de los resultados matemáticos, sino en lo referente a los procesos de reinvención y descubrimiento que se ponen en juego en ambas disciplinas. Si atendemos a estos procesos, la Educación Matemática se relaciona estrechamente con la actividad matemática, pudiendo aportar descripciones y explicaciones del propio desarrollo de la matemática, concebida como una construcción humana. (pp. 204)
Sin embargo, es también importante subrayar las diferencias y los
elementos de definición propios que las separan para comprender mejor
cómo se complementan o cómo pueden participar dentro de una
perspectiva científica o académica común. Para Schoenfeld (2000) la
principal diferencia en cuanto a la investigación en Educación Matemática y
Matemáticas se reduce al hecho de que en la investigación sobre Educación
Matemática los descubrimientos son raramente definitivos; usualmente son
sugestivos.
En general, hay un consenso sobre la Educación Matemática como
disciplina científica, ya que tiene un objeto de estudio; la formación del
hombre en la cultura, temas de investigación, que abarcan áreas como el
desarrollo de la creatividad, desarrollo cognitivo, didáctica centrada en
procesos, efectividad de materiales instruccionales, análisis de textos,
formación y desempeño docente, epistemológica e historia de la
matemática, análisis de errores, actitudes y afectividad, uso de software, la
etnomatemática, la sociomatemática y el análisis ontosemiótico, y por
supuesto ha elaborado teorías, entre las cuales se pueden citar; la teoría de
los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos
(Godino y Batanero, 1998); la teoría de las funciones semióticas (Godino y
Recio, 1998) que pretende articular aspectos ontológicos, epistemológicos y
psicológicos presentes en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de
69
las matemáticas; la teoría de las trayectorias didácticas (Godino, 1999) que
se propone como modelización de los procesos de instrucción matemática,
la etnomatemática (término acuñado por Ubiratan D'Ambrosio) que
describe las prácticas matemáticas de grupos culturales identificables; el
enfoque socioepistemológico de Cantoral y Farfan (2003) el cual se ocupa
de problematizar el saber, desnaturalizar o desmatematizar el saber
matemático, socializar el saber y plantea una construcción social del saber.
Una de los aspectos resaltantes de la Educación Matemática, es el
énfasis en la investigación pues se concibe que la misma es un componente
vital para la práctica educativa ordinaria y se entiende que promueve el
éxito en los resultados de la formación matemática de un país.
El fuerte desarrollo de la investigación que se ha dado, ha generado
nuevos conceptos y métodos y la creación de importantes grupos y
organizaciones internacionales, como lo son el Comité Latinoamericano de
Educación Matemática CLAME, la Federación Iberoamericana de
Sociedades de Educación Matemática FIASEM, así como asociaciones de
carácter nacional como la Asociación Venezolana de Educación Matemática
ASOVEMAT, la Sociedad Argentina de Educación Matemática SOAREM; y
la organización periódica de encuentros científicos como el Congreso
Iberoamericano de Educación Matemática CIBEM.
Por último, es importante destacar que la Educación Matemática
como disciplina científica, enfoca su interés en estudiar áreas del
conocimiento matemático que por su conflictividad, considera fuente de
investigación, como es la enseñanza y aprendizaje de la Geometría.
Como reacción a la problemática que se presenta en esta disciplina
se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista didáctico,
científico, histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en
toda la matemática, y en especial la geometría, donde se estudien y se
generen propuestas teóricas y metodológicas sobre los procesos que
involucra el conocimiento de la geometría, en particular sobre el
pensamiento geométrico enfocándose en al estudio de aquellas porciones
70
de la matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del
hombre para explorar y representar racionalmente el espacio físico en que
vive, pues los seres humanos no están vinculados, en su relación con las
personas y con el mundo inmediato, de forma pasiva, sino que existe, por el
contrario, una permanente interacción recíproca y dialéctica que tiene en la
matemática y en el lenguaje geométrico su hilo conductor.
71
CAPITULO III
MARCO METODOLÓGICO
Este capítulo tiene como propósito describir la metodología que se
utilizó para desarrollar la investigación e incluye los siguientes aspectos: (a)
paradigma de estudio, (b) el método; (c) tipo de investigación; (d) diseño de
investigación; (e) unidades de análisis; (f) instrumentos y técnicas; (g)
procedimiento; (g) validez; (h) confiabilidad y (i) etapas de la investigación
Paradigma De Estudio
Existen una gran variedad de modalidades investigativas y cada una
se encuentra sustentada y respaldada teóricamente por una concepción
filosófica, estas concepciones son los denominados paradigmas que se
nutren de los elementos conceptuales de las escuelas filosóficas.
En la investigación, el paradigma constituye una concepción
intermedia entre los principios y conceptos teóricos propios de alguna
disciplina que fundamentalmente la investigación y los procedimientos de la
investigación.
Si bien el concepto de paradigmas admite pluralidad de significados
y diferentes usos, hay consenso al señalarlo como un conjunto de
creencias y actitudes, como una visión del mundo "compartida" por un grupo
de científicos que implica una metodología determinada (Alvira, citado por
Arnal y otros, 1994).
El paradigma es un esquema teórico, o una vía de percepción y
comprensión del mundo, que un grupo de científicos ha adoptado. Se
72
concibe la noción de paradigma como el cuerpo de creencias,
presupuestos, reglas y procedimientos que definen como hay que hacer
ciencia; son los modelos de acción para la búsqueda del conocimiento.
(Martínez, 1998)
Gran parte de la investigación que se realiza en las ciencias sociales
y en la educación deriva sus problemas de estudio de alguna construcción
teórica mayor cuyas definiciones, relaciones entre conceptos y métodos le
sirven como soporte científico para efectos de validar los resultados que
obtenga esa investigación. Estos paradigmas de investigación se pueden
enunciar como el positivista, el interpretativo y el sociocrítico.
Teniendo como eje central las preguntas de investigación y los
objetivos generales y específicos que la guiaron, se consideró factible y
necesario la aplicación de una metodología que combina el paradigma
cuantitativo y el paradigma cualitativo, lo que Pérez (1994) y Martínez
(1998), denominan el Paradigma Emergente, también llamado Sociocrítico.
El Paradigma Sociocrítico surge como respuesta a las tradiciones
positivistas e interpretativas y pretenden superar el reduccionismo de la
primera y el conservadurismo de la segunda, admitiendo la posibilidad de
una ciencia social que no sea ni puramente empírica ni solo interpretativa.
Para Pérez (2007) el paradigma sociocrítico incorpora el elemento
ideológico de manera explícita; esta orientación exige que el investigador
sea protagonista y de este modo incorpora procesos de autorreflexión
permanente sobre los procesos y situaciones investigadas. Tiene como
objetivo el análisis de las transformaciones sociales y dar respuesta a
determinados problemas generados por éstas lo que implica la generación
de propuestas de cambio, es decir, construir una teoría a partir de las
reflexiones de la praxis, como análisis crítico del hacer.
El paradigma sociocrítico introduce la ideología de forma explicita y la
autorreflexión crítica en los procesos del conocimiento. Tiene como finalidad
la transformación de la estructura de las relaciones sociales y dar respuesta
73
a determinados problemas generados por éstas. Sus principios, según
Popkewitz, (1988), son:
1. Conocer y comprender la realidad como praxis.
2. Unir teoría y practica (conocimiento, acción y valores).
3. Orientar el conocimiento a emancipar y liberar al hombre.
4. Implicar al docente a partir de la autorreflexión.
El desarrollo de esta investigación bajo el paradigma sociocrítico, se
sustenta en sus principios, ya que como lo plantea Pérez (1994), se
establece que:
1. Asume una visión global y dialéctica de la realidad educativa, pues
interpreta la educación como un fenómeno y una práctica social que no
puede ser entendida de manera aislada, dado que la interrelación con el
otro es fundamental.
2. Asume una visión democrática del conocimiento y de los
procesos implicados en su elaboración, para compartir responsabilidades en
la toma de decisiones, afianzándose la participación y el proceso de
socialización.
3. Subyace una visión particular de la teoría del conocimiento y de
de sus relaciones con la realidad y con la práctica, donde la
socioepistemologia emerge como fundamento.
4. La investigación es construida desde una realidad situacional,
social, educativa y práctica, organizándose de manera articulada en la
práctica y desde la práctica.
5. La investigación crítica está comprometida con la transformación
de la realidad desde una dinámica liberadora y emancipadora de los
individuos implicados en ella.
El Método
En el paradigma sociocrítico se distinguen tres métodos básicos de
investigación; la investigación acción, la investigación colaborativa y la
74
investigación participativa. Todas tienen una visión activa del sujeto dentro
de la sociedad, por lo cual ponderan la participación como elemento base.
Es decir, participación en la praxis para transformar la realidad, mediante un
proceso investigativo en el que la reflexión crítica sobre el comportamiento
de esa realidad determina su redireccionamiento, su circularidad.
En esta investigación se asume como método la investigación
colaborativa, ya que su valor educativo penetra en los ámbitos de la
innovación y del desarrollo profesional de sectores implicados, en especial
de los docentes, ya que cuando un profesor explora las prácticas educativas
de las que es responsable, reflexiona sobre ellas, identifica problemas,
establece y pone en marcha estrategias de acción, recoge evidencias y
analiza los efectos del cambio, está provocando mejoras no solo en las
prácticas educativas sino también en su formación como docente.
Para Pring (citado por Suárez, 2003), al participar en proyectos de
investigación en el aula los profesores mejoran su juicio profesional,
asumen responsabilidades complejas y adquieren el poder de crear
conocimientos curriculares y de guiar la acción educativa, dejando de ser
los eternos intermediarios entre el experto curricular y los estudiantes, para
convertirse en verdadero agente de innovación.
En la investigación colaborativa se destaca:
1. El énfasis en la perspectiva socio-crítica, en oposición a la orientación
básicamente interpretativa de la investigación-acción en general.
2. La incurrencia del clima social generado por los participantes y
caracterizado por la colaboración, autonomía, flexibilidad y lazos
establecidos entre ellos.
3. El reconocimiento de cada uno de los participantes (los estudiantes,
el docente y los observadores externos), como agentes particulares de
cambio y creadores de climas de realización humana.
La investigación colaborativa es una forma particular de elaboración
de conocimiento, en la que se observan los siguientes aspectos: se destaca
la importancia del tipo de clima social que construyen los integrantes del
75
grupo de trabajo, que les permita avanzar en la consecución de los objetivos
establecidos; la exigencia de una metodología rigurosa para enfrentarse a la
construcción de conocimiento; así como la forma o el estilo de construir,
asumir y aplicar el conocimiento.
La investigación colaborativa es más que una metodología didáctica,
es un estilo, una filosofía que permite a los docentes analizar la tarea
sustantiva que realizan y sobre todo compartirla. Es pues el estudio de la
cultura colaborativa, el enfoque para conocer la práctica y establecer un
proceso, construir un camino organizado hacia una formación de calidad en
el binomio docente-alumno. (Cano, s/f).
Tipo De Investigación
Dankhe (1986) (citado por Hernández, 1991), divide los tipos de
investigación en exploratorios, descriptivos, correlacionales y explicativos.
Esta clasificación es muy importante, debido a que según el tipo de estudio
de que se trate varía la estrategia de investigación.
El diseño, los datos que se recolectan, la manera de obtenerlos, el
muestreo y otros componentes del proceso de investigación son distintos
en estudios exploratorios, descriptivos, correlaciónales y explicativos. En la
práctica, cualquier estudio puede incluir elementos de más de una de estas
cuatro clases de investigación.
Los estudios exploratorios sirven para "preparar el terreno" y
ordinariamente anteceden a los otros tres tipos (Dankhe, op cit).
Los estudios descriptivos por lo general fundamentan las
investigaciones correlaciónales, las cuales a su vez proporcionan
información para llevar a cabo estudios explicativos que generan un sentido
de entendimiento y son altamente estructurados.
Los estudios explicativos van más allá de la descripción de
conceptos o fenómenos o del establecimiento de relaciones entre
conceptos; están dirigidos u responder a las causas de los eventos físicos o
76
sociales. Como su nombre lo indica, su interés se centra en explicar por qué
ocurre un fenómeno y en qué condiciones se da éste, o por qué dos o más
variables están relacionadas
En correspondencia al objetivo general de esta investigación, el cual
propone la generación de un marco teórico metodológico del pensamiento
geométrico del alumno, la misma se ubica en el tipo de investigación
explicativa, la cual parte de descripciones suficientemente exhaustivas de
una cierta realidad bajo estudio y de la necesidad de conocer por qué
ciertos hechos de esa realidad ocurren del modo descrito.
El objetivo central de estas investigaciones consiste en proveer
modelos teóricos explicativos, abstractos, universales y generales.
Diseño De Investigación
El diseño se refiere al plan o estrategia concebida para responder a
las preguntas de investigación, le señala al investigador lo que debe hacer
para alcanzar sus objetivos de estudio, contestar las interrogantes que se
ha planteado y analizar la certeza de las hipótesis formuladas en un
contexto en particular.
Existe un consenso generalizado según el cual, en atención al
diseño, la investigación se clasifica en: documental, experimental y de
campo.
El diseño documental se entiende como un proceso basado en la
búsqueda, recuperación, análisis, crítica e interpretación de datos
secundarios, es decir, los obtenidos y registrado por otro investigadores en
fuentes documentales de tipo impresas, audiovisuales o electrónicas, con el
propósito de aportar nuevos conocimientos.
Por su parte el diseño experimental consiste en someter a un objeto o
grupo de individuos a determinadas condiciones, estímulos o tratamiento
(variable independiente), para observar los efecto o reacciones que se
producen (variable dependiente). Es netamente explicativo, por cuanto su
77
propósito es demostrar que los cambios en la variable dependiente fueron
causados por la variable independiente, es decir, se pretende establecer
con precisión una relación causa-efecto.
El diseño de campo consiste en la recolección de datos directamente
de los sujetos investigados, o de la realidad donde ocurren los hechos
(datos primarios), sin manipular o controlar variable alguna, es decir, el
investigador obtiene la información pero no altera las condiciones
existentes. De allí su carácter de investigación no experimental.
En los diseños de campo también se emplean datos secundarios,
sobre todo los provenientes de fuentes bibliográficas, a partir de los cuales
se elabora el marco teórico. No obstante, son los datos primarios obtenidos
a través del diseño de campo, los esenciales para el logro de los objetivos y
la solución del problema planteado.
Sabino (2000), incluye en los diseños de campo la encuesta, el
panel, el estudios de caso y el ex post facto.
Dado que objetivo general de esta investigación propone la
generación de un marco teórico metodológico del pensamiento geométrico
del alumno, para determinar y caracterizar su nivel de pensamiento
geométrico en función de los procesos que involucra el conocimiento de la
Geometría, se adoptó el Diseño de Investigación de Campo, en la
modalidad Estudio de Caso Cualitativo, apoyado en una exhaustiva revisión
documental y una aproximación a un diseño experimental de pre-prueba y
post-prueba, con la intención de generar descriptores característicos de los
procesos de visualización y construcción como competencias geométricas
de los alumnos.
El Estudio de Caso Cualitativo como lo plantea Parra de Chòpite.
(1995), facilita la focalización de la investigación, no en productos, sino en el
proceso interrelacional que se desarrolla entre el individuo y el conocimiento
(geométrico en este caso) que posee.
78
Esta modalidad metodológica se constituye en una rica fuente de
datos cualitativos que posteriormente serán elaborados en un proceso
sistemático de descripción, análisis-inferencia, interpretación-explicación.
Además, como plantea Gutiérrez (1996), en el estudio de caso
cualitativo, la investigación hace énfasis en el significado (la interpretación
que hace el autor de su realidad), el contexto (aspectos que forman parte de
la vida social, cultural, histórica y física del actor), la perspectiva holística
(concepción del escenario, los participantes y las actividades como un todo),
la cultura (qué hace el actor, qué sabe el actor y qué cosa construye y
utiliza).
Unidades De Análisis
Para los efectos de esta investigación la unidad de análisis prevista
estuvo conformada por todos los alumnos de una sección de la asignatura
Geometría del Proyecto de Carrera de Educación Integral de la UNEG,
cohorte 2007-I.
Para seleccionar los sujetos en estudio se procedió a aplicar el Test
de entrada de Razonamiento Geométrico del Contenido Triángulos
(TRGCTe) a los 34 alumnos cursantes de la asignatura Geometría del
proyecto de carrera de Educación Integral de la UNEG.
El TRGCTe fue corregido atendiendo a las categorías ACERTADA
cuando la respuesta es correcta o se aproxima al resultado optimo,
ERRONEA cuando la respuesta es incorrecta o evidencia carencias
sustanciales con respecto al resultado optimo y RESPUESTA EN BLANCO
(cuando no realiza ningún calculo o desarrollo teórico). (ver Cuadro 5).
En función de mantener la confidencialidad de la fuente, la
identificación de los sujetos en estudios se realiza a través de una
nomenclatura que abrevia el nombre y el apellido. De esta manera se
asegura su anonimato.
79
Cuadro 5 Respuestas Test de entrada de Razonamiento Geométrico del Contenido Triángulos (TRGCTe)
ITEMS
NOMBRES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
AM. MA. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▼ ▲ ▼ ▲
AN. MA. ▼ ▼ ▲ ▼ ▲ ▼ ▲ ▼ ▼
BE. SU. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▼ ▼ ▲
BRA. KE. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲
CAM. AU. ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
CA. MOR. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▼
DO. NI. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▼ ▲
FE. MA. ▼ ▼ ▲ ▲ ▼
FER. LIA ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
FR. KA. ▼ ▼ ▼ ▲ ▼ ▲
GON. RU. ▼ ▼ ▼ ▼ ▼
GOM. JA. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
GU. AD. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
GE. JE. ▼ ▲ ▼ ▲ ▲ ▼
JE. JO. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲
LO LE. ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲
LA. CA. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▼ ▲ ▲
LE. LU. ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲
LO. NA. ▼ ▼ ▼ ▼
LU. MA. ▼ ▲ ▲ ▲ ▼ ▲ ▼
MA. AT. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
MER. JU. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲
MIJ MA. ▲ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
MO. MI. ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲
MO. GRE. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲
PAR. LU. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲
PA. MA. ▲ ▲ ▲ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
PI. OL. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲ ▲
RA. AM. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲
RA. VAL. ▼ ▼ ▼ ▼ ▲
RO. RO. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲
RO. PIE ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▲
ROM. OAT ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲
ZA. ME. ▼ ▼ ▼ ▲ ▲ ▼ ▲ ▼ ▲ ▲ ▼
Acertado (▼), Erróneo ( ▲), Respuesta en Blanco( )
80
Una vez analizados los resultados cuantitativos se deducen las
siguientes consideraciones:
1. El máximo número de ítems con respuesta acertada fue 6,
contestados por un total de 2 estudiantes lo que representa el 5,88%;
1. El 14,70% de los estudiantes respondió de manera acertada
solamente 4 ítems.
2. El 33,33% de los estudiantes respondió de manera acertada
solamente los cuatro primeros ítems.
3. El 38, 23% de los estudiantes respondió correctamente los primeros
cuatro ítems.
4. El 20, 58% de los estudiantes respondió correctamente los tres
primeros ítems.
5. El 100% de los estudiantes no respondieron correctamente todos los
ítems.
6. El 54% de los estudiantes no respondió el 68% de los ítems.
7. El 82% de los estudiantes dejó en blanco la respuesta de al menos 5
items.
En base a esta información se procedió a seleccionar de manera
intencional a seis (6) alumnos cuyos resultados en el test son muy similares
a los del grupo en general, cabe destacar que de los 34 alumnos de la
sección, 5 alumnos que representa el 14,70%, obtuvieron resultados que
los ubica en el Nivel II de la Teoría de Van Hiele y 29 alumnos que
representan el 85,29%, obtuvieron resultados que los ubica en el Nivel I.
Para ubicar los alumnos en estos niveles se tomaron en cuenta los
ítems acertados, clasificación de los ítems del test de entrada del
razonamiento geométrico del contenido triángulos (TRGCTe) en base a los
procesos geométricos que involucran y la ubicación de cada ítem del test de
de entrada del razonamiento geométrico del contenido triángulos (TRGCTe)
en los niveles de Van Hiele. (ver Cuadro 6)
81
Cuadro 6 Ítems Acertados/Nivel de Van Hiele
ITEMS ACERTADOS NIVEL DE VAN HIELE 1, 2 I
1, 2, 3, 4, , 10, 12 II 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10,12 III
TODOS IV
De manera intencional, fueron seleccionados 6 estudiantes como
sujetos en estudio, uno de los alumnos ubicados en el NIVEL II y cinco
alumnos ubicados en el NIVEL I. (ver Cuadro 13). Es de destacar que a
cada sujeto, en lo sucesivo, se le identificará con los seudónimos Pitágoras,
Thales, Euclides, Fermat, Ptolomeo y Arquímedes, con la finalidad de
resguardar su identidad, garantizar la confidencialidad de la fuente.
Este grupo de alumnos corresponde a lo que Martínez (2004),
denomina muestra intencional o basada en criterios, donde se elige una
serie de criterios que se consideran necesarios o altamente convenientes
para tener una unidad de análisis con las mayores ventajas para los fines
que persigue la investigación. Dentro de las diferentes opciones de
muestras intencionales, referidas por Patton (citado por Martínez, (op. Cit),
en esta investigación se consideran las unidades de análisis como muestra
intensiva, entendida como aquella que estudia casos muy ricos en
información, que manifiestan un fenómeno intensamente., pero no en una
forma extrema.
Instrumentos y Técnicas
En atención al método de investigación colaborativa y a las
características de esta investigación se utilizaron diversos instrumentos y
técnicas, aplicables en las diferentes etapas del trabajo de campo, las
cuales se detallan más adelante. Los instrumentos utilizados fueron
82
previamente validados por juicio de expertos, los cuales conforman el grupo
de investigadores de la UNEG pertenecientes a la Línea de Investigación en
Educación Matemática (LIEM).
Los instrumentos de recolección de información fueron diseñados de
tal manera que permiten ubicar a cada sujeto de estudio, no sólo en el nivel
de razonamiento respectivo, sino en el grado de adquisición del nivel donde
se ubica.
Para ello se tomó en cuenta la naturaleza de la tarea:
reconocimiento, construcción, explicación (análisis), demostración y
medidas, el tópico particular al que se refiere la tarea: triángulos y
generalidades, propiedades, semejanza y congruencia, teorema de
Pitágoras y, finalmente, una categorización de la etapa o grado de
adquisición del nivel (1 a 5), relativa a la naturaleza de la tarea y a los
distintos niveles de logro en su realización.
Se diseñaron cuatro instrumentos, los cuales se describen a
continuación:
Test de entrada sobre Razonamiento Geométrico en el Contenido Triángulos (TRGCTe) (Ver Anexo A) y Test de salida sobre Razonamiento Geométrico en el Contenido Triángulos (TRGCTs) (Ver Anexo B); conformado por catorce ítems cada uno sobre el
contenido programático triángulos y sus generalidades, organizados en
función de los procesos geométricos que involucra el conocimiento de la
geometría y la ubicación de cada uno de estos ítems en los niveles de
razonamiento de la teoría de Van Hiele, lo cual se ejecutó siguiendo el
siguiente procedimiento: 1. Clasificación de los ítems del test de razonamiento geométrico del
contenido triángulos (TRGCT) en base a los procesos geométricos que
involucran (ver Cuadro 7). Esto se fundamenta en la definición de
razonamiento geométrico que guía esta investigación, a saber, el dominio
por parte del alumno de tres procesos bien diferenciados como lo son: el proceso de visualización, el proceso de construcción, y el proceso
83
discursivo, que incluye un uso adecuado del lenguaje geométrico, el cual
permita la extensión del conocimiento a otras áreas, la demostración y la
explicación ordenada y lógica del conocimiento geométrico. Se analizaron y
clasificaron cada uno de los 14 ítems en función de los procesos
geométricos que evaluaban, de esta manera se pudo construir el
instrumento mediante ítems que agruparan los tres procesos ya descritos.
2. Ubicación de cada ítem del test de razonamiento geométrico del
contenido triángulos (TRGCT) en los niveles de razonamiento geométrico
según la teoría de Van Hiele (ver Cuadro 8), con la firme intención que
permita que cada nivel pueda estar representado en el instrumento con
similar equilibrio. Los ítems del TRGCT fueron ubicados según las
comparaciones realizadas con los descriptores característicos de cada nivel
de razonamiento de la teoría de Van Hiele, de esta manera el TRGCT
incluyó ítems que correspondían a todos lo niveles.
Cuadro 7 Clasificación de los ítems del Test de Razonamiento Geométrico del Contenido Triángulos (TRGCTe Y TRGCTs) en Base a los Procesos Geométricos que Involucran.
ITEMS PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN
PROCESOS DISCURSIVOS
1 SI NO NO 2 NO NO SI 3 SI NO SI 4 SI SI NO 5 SI SI NO 6 SI SI NO 7 SI SI SI 8 SI SI SI 9 SI SI SI 10 SI SI NO 11 SI SI SI 12 SI NO SI 13 SI SI NO 14 SI SI SI
84
Cuadro 8 Ubicación de Cada Item del Test de Razonamiento Geométrico del Contenido Triángulos (TRGCTe y TRGCTs) en los Niveles de Razonamiento Geométrico según la Teoría de Van Hiele
NIVEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
I √ √
II √ √ √ √
III √ √ √ √ √ √
IV √ √
(√ corresponde al nivel)
En base a esta ubicación, se concluye que el 14,28% de los ítems
corresponden al Nivel 1; 28,57% de los ítems corresponden al Nivel 2;
42,85% corresponden al nivel 3 y 14,28% corresponden al nivel 4, lo que
muestra una distribución regular de los ítems en función de los Niveles de
Van Hiele que representan.
Entrevista semiestructurada para determinar el nivel de razonamiento geométrico en cuanto a los procesos discursivos del alumno en el contenido triángulos (EPDCT) (ver Anexo C): esta
entrevista semiestructurada estuvo conformada por dos bloques, el primero
de ellos los datos de identificación del entrevistado y el segundo bloque,
conformado por siete preguntas de diferente redacción sobre el contenido
programático de la asignatura geometría, específicamente triángulos y sus
generalidades. Estas entrevistas fueron grabadas en audio y posteriormente
transcritas, y mediante un proceso de comparaciones constantes con los
descriptores característicos de cada nivel de razonamiento geométrico del
ITEMS
85
modelo de Van Hiele, se pudo evidenciar la presencia o ausencia de los
mismos. Es importante destacar que los instrumentos TRGCT y EPDCT se
complementan uno al otro, ya que la conceptualización del razonamiento
geométrico que se asume en la investigación corresponde a tres procesos
bien diferenciados como lo son: el proceso de visualización, donde el
alumno realiza representaciones espaciales para la ilustración de
proposiciones, maneja objetos reales observados globalmente y como
unidades, identifica, describe y crea figuras geométricas; el proceso de
construcción, mediante el uso adecuado de instrumentos geométricos y de
herramientas matemáticas para relacionar los resultados observados con
los objetos matemáticos y el proceso discursivo, que incluye un uso
adecuado del lenguaje geométrico, que permita la extensión del
conocimiento a otras áreas, la demostración y la explicación ordenada y
lógica del conocimiento geométrico.
El TRGCT permite registrar el dominio de los procesos de
visualización y de construcción y en un porcentaje menor, los procesos
discursivos (escritos), por lo que fue necesario diseñar la EPDCT como
complemento del primer instrumento, pues es necesario registrar todo lo
concerniente al vocabulario geométrico, la coherencia del discurso
matemático y en general el dominio de los procesos discursivos que
permitieron ubicar al alumno en el nivel de razonamiento de Van Hiele
respectivo.
Instrumento de Observación Fases de Aprendizaje del Modelo de Van Hiele (IOFA) (ver Anexo D). Permite registrar la aplicación por parte
del docente del método de fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele. El
mismo fue aplicado en varios momentos a lo largo del semestre, por parte
de observadores externos. Los resultados de la información que se
documentó con este instrumento, permitió posteriormente comentar o
concluir si la aplicación del método de fase de aprendizaje del modelo de
86
Van Hiele fue concisa y rigurosamente exacta por parte del docente
investigador. Presenta cinco grandes bloques de aspectos observables que
conforman las distintas etapas del método de fases de aprendizaje del
modelo de Van Hiele, a saber, información, orientación dirigida,
explicitación, orientación libre e integración. Las respuestas se agruparon en
las categorías siempre, frecuentemente y nunca. Además de agregarse una
pregunta abierta sobre las actuaciones del docente investigador durante la
ejecución del trabajo de aula.
A lo largo del desarrollo del trabajo investigativo se emplearon
diversas técnicas, como lo fueron el Análisis de Documentos; la Entrevista,
la cual consiste en proporcionar cuestionarios estructurados, cuyas
preguntas están predeterminadas, pero la secuencia, así como su
formulación pueden variar en función de cada sujeto entrevistado. Es decir,
el investigador realiza una serie de preguntas, generalmente abiertas al
principio de la entrevista, que definen el área a investigar, pero tiene libertad
para profundizar en alguna idea que pueda ser relevante, realizando nuevas
preguntas. (Taylor y Bogdan 1987); el Cuestionario y la Observación
Participativa, una técnica primaria muy usada a lo largo del desarrollo de
esta investigación, donde, según la concepción de Martínez (2004), el
investigador participa en las actividades, va tomando notas de campo
pormenorizadas, tipo diario o bitácoras, en el lugar de los hechos o tan
pronto como sea posible. Después, estas notas de campo (Ver Anexo D), se
revisaron periódicamente con el fin de completarlas (en caso de que no lo
estén) y, también, para reorientar la observación e investigación.
Procedimiento El trabajo de campo de la investigación se desarrolló en el semestre
lectivo 2007-I de la UNEG, en la asignatura Geometría, en el contenido
programático del tema Triángulos, el cual se desarrolló a lo largo de cuatro
87
semanas, con dos encuentros semanales de 1,5 y 3 horas de duración
respectivamente. Cada encuentro es denominado Sesión, por lo cual el
desarrollo del trabajo de aula con los alumnos se llevó a cabo en 8
Sesiones.
Este trabajo desarrollado en el aula, fue organizado en 4 momentos,
correspondiente a las distintas sesiones realizadas. En estos momentos del
trabajo de campo, se realizaron actividades concretas que incluyen la
aplicación de los instrumentos TRGCTe, TRGCTs, EPDCT y IOFA, el
desarrollo de una instrucción en base al método de fases de aprendizaje y
la elaboración de las notas de campo. (ver Cuadro 9)
Cuadro 9 Etapas del Trabajo de Campo
MOMENTOS
ACTIVIDADES CONCRETAS
Inicio del contenido triángulos. Semana 1. Sesión 1
- Aplicación del instrumento TRGCT a los alumnos sujeto en estudio. Pre test. - Aplicación de la entrevista EPDCT a los alumnos sujetos en estudio.
Desarrollo del contenido triángulos. Semana 1 a 4. Sesiones 1 a 8.
- El proceso de enseñanza aprendizaje es orientado por el docente mediante el método de Fases de Aprendizaje del Modelo de Van Hiele. - Aplicación al docente del instrumento IOFA A lo largo de este período de tiempo se llevó a cabo un registro diario de los logros, avances, y actuaciones de los alumnos sujetos en estudio. - El registro diario fue apoyado mediante notas de campo y filmaciones.
Finalización del contenido triángulos. Semana 4. Sesión 8.
- Aplicación del instrumento TRGCT a los alumnos sujetos en estudio. Post test. - Aplicación de la entrevista EPDCT a los alumnos sujetos en estudio.
Por otra parte, es importante destacar los contenidos desarrollados
del tema triángulos, según el programa oficial de la asignatura Geometría
del Proyecto de Carrera de Educación Integral de la UNEG (Ver Anexo F),
88
donde se puede evidenciar que los mismos abarcan aspectos que permiten
ubicarlos en los primeros cuatro niveles de la teoría de Van Hiele. (ver
Cuadro 10).
Cuadro 10 Contenido Triángulos
CONTENIDO TRIANGULOS 1) Triángulos. Generalidades. Definición. Elementos, Área y Perímetro.
2) Clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.
3) Construcciones Geométricas del Triángulo.
4) Rectas y puntos notables en el triángulo: mediana, mediatriz, altura y
bisectriz.
5) Relaciones métricas entre las rectas y puntos notables del triángulo.
6) Circunferencia de 9 puntos notables del triángulo.
7) Propiedades de los triángulos.
8) El triángulo rectángulo.
9) Teorema de Pitágoras. Generalidades. Aplicaciones.
10) Demostración de Teoremas sobre triángulos.
a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos
rectos.
b) La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un
ángulo recto.
c) La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro
ángulos rectos.
d) Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de dos
ángulos interiores no adyacentes.
11) Congruencia de Triángulos. Demostración de los criterios de congruencia
de triángulos.
12) Semejanza de triángulos. Demostración de:
a) Casos de semejanzas de triángulos.
b) Casos de semejanzas de triángulos rectángulos.
89
Un aspecto fundamental del trabajo de campo, lo constituyó la
planificación de la instrucción desarrollada en función del contenido, las
actividades del docente y las actividades del alumno, la cual se presenta en
el Cuadro 11.
Cuadro 11 Planificación de la Instrucción
SESION
CONTENIDO
ACTIVIDADES DEL
DOCENTE
ACTIVIDADES DEL ALUMNO
1
1.-) Triángulos. Generalidades. Definición. Elementos, Área y Perímetro. 2.-) Clasificación de los Triángulos según sus lados y sus ángulos. 3.-) Construcciones geométricas de triángulos. 4.-) Rectas y puntos notables en el triángulo: mediana, mediatriz, altura y bisectriz, ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro.
- Solicita los alumnos que identifique diferentes triángulos presentes en el entorno. - Inicia la discusión sobre los criterios de clasificación de los triángulos. - Dibuja mediante regla en el pizarrón, triángulos diversos y en distintas posiciones. Solicita a los alumnos que los clasifiquen según los criterios establecidos. -Define los puntos notables del triángulo. -Divide a los alumnos en grupos y solicita que dibujen cuatro triángulos diferentes y construyan mediante regla y compás el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro respectivamente. - Solicita a los alumnos que determinen en que tipo de triángulo coinciden los puntos notables del mismo.
-Ubicar y nombrar diferentes tipos de triángulo en el entorno. -Enuncia los criterios para clasificar triángulos. -Da el nombre a cada tipo de triángulo dibujado en el pizarrón. -Se organiza en pequeños grupos y determina mediante regla y compás, los puntos que resultan de la intersección de las alturas, bisectrices, mediatrices y medianas en diferentes tipos de triángulos. -Dibuja diferentes tipos de triángulos y por construcción determina en que tipo de triángulo coinciden los puntos notables del mismo.
2
5.-) Relaciones métricas entre las rectas y puntos notables del triángulo. 6.-) Circunferencia de los 9 puntos notables del triángulo.
-Dibuja en el pizarrón cuatro triángulos diferentes, con las rectas y puntos notables respectivamente. -Divide a los alumnos por grupos y entrega a cada uno de estos un material que contiene dos triángulos dibujados.
-Mediante la utilización de la regla, determina las relaciones métricas entre las rectas y puntos notables el triángulo una vez que a dibujado el triángulo dado por el profesor. -Construye mediante regla y compás, la circunferencia de los nueve puntos notables del triángulo, en el primero de los triángulos dados por el profesor. -Identifica y nombra cada uno de
90
los elementos notables del segundo triángulo facilitado por el profesor-.
3
7.-) Propiedades de los triángulos.
- Solicita a los alumnos que dibujen un triángulo cualquiera y midan con una regla las longitudes de sus lados. (A pesar de ser triángulos diferentes, los alumnos evidenciaran las propiedades de la adición y diferencia de los lados del triángulo) - Solicita a los alumnos que dibujen dos triángulos con dos lados respectivamente iguales y desigual el ángulo comprendido entre ellos. - Solicita a los alumnos que dibujen un triángulo isósceles y determinen la altura, la bisectriz y la mediana a partir del vértice opuesto al lado que entre los ángulos básales.
- Dibujar un triángulo y mediante la medición con regla, enunciará y comprobará las propiedades del triángulo a para la adición y diferencia de los lados del triángulo. - Dibuja dos triángulos según las especificaciones dadas. - Mediante el uso del transportador y la regla compara las medidas de los ángulos de los triángulos y la relación con las longitudes de los lados. - Mediante regla y compás dibuja un triángulo y isósceles y en el traza la bisectriz, la mediana y la altura, comprobando que esta s rectas son coincidentes en todos sus puntos.
4
8.-) El triángulo rectángulo.
- Expone las diferentes aplicaciones del triángulo rectángulo. - Solicita a los alumnos que dibujen un triángulo isorectángulo.
- Enumera las diferentes aplicaciones del triángulo rectángulo. - A partir de la definición de triángulo isorectángulo, dibuja este triángulo y establece sus características.
5
9.-) Teorema de Pitágoras.
- Expone la evolución histórica del Teorema de Pitágoras. - Enuncia el Teorema de Pitágoras. -Escribe en el pizarrón un enunciado incorrecto del Teorema de Pitágoras, con la ecuación c² = (a + b)² - Plantea diferentes triángulos para comprobar si son rectángulos según el Teorema de Pitágoras. - Dibuja en el pizarrón diferentes triángulos rectángulos donde se conocen solo dos de sus lados. -Presenta a los alumnos
- Dibuja un triángulo rectángulo cuyos lados sean 3cm, 4cm, y 5cm respectivamente. - Reconoce el error del planteamiento del Teorema de Pitágoras presentado por el profesor. - Reunido en grupos y mediante cálculos algebraicos, establece si los triángulos dados son rectángulos. - Utiliza el despeje de ecuaciones para hallar todos los lados de un triángulo rectángulo dado. - Reunido en grupo emplea el Teorema de Pitágoras como herramienta para resolver problemas de la vida real planteados por el profesor.
91
diferentes situaciones problemáticas de la vida real donde se justifica la utilización del Teorema de Pitágoras.
- Propone diferentes situaciones donde se evidencie los alcances del Teorema de Pitágoras.
6
10.-) Teorema sobre triángulos. a) La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale dos ángulos rectos.
b) La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto.
c) La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro ángulos rectos.
d) Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes.
- Exposición teórica sobre ¿qué es un teorema? - Explicación que permita diferenciar claramente teorema, lema y corolario. - Entregará a cada grupo un documento con diez enunciados correspondiente a teorema, lema y corolario. - Elabora en el pizarrón un esquema sobre los métodos de demostración más utilizados en Geometría. - Expone la utilidad de las construcciones geométricas auxiliares, como una herramienta útil en la demostración de teoremas en Geometría. - Plantea los cuatro teoremas básicos sobre triángulos y solicita su demostración.
- Dados diferentes teoremas, identificará las partes que lo componen. - Elige los enunciados que correspondan a lemas, teoremas y corolarios del material entregado, justificando cada selección. - Una vez observado los métodos de demostración de teoremas, establecerá diferencias entre los mismos. - Reunido en pequeños grupos, repasa los conceptos de paralelismo, ángulos formados en la intercepción de rectas paralelas cortadas por una secante, medida de ángulos. - Mediante el trabajo grupal y participación en el pizarrón demuestra los cuatro teoremas básicos sobre triángulos mediante el método de demostración directa, empleando construcciones auxiliares.
7
11.-) Casos de congruencia de triángulos. a) Primer caso “ Dos triángulos son congruentes si tienen un lado igual, y respectivamente iguales los ángulos adyacentes a ese lado” b) Segundo caso: “Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente iguales”.
-Formular los criterios de congruencia de triángulos. - Orientar la discusión.
- Representa mediante el trazado de diferentes tipos de triángulos los casos de congruencia de triángulos.- Ejemplificar casos de triángulos no congruentes. - Demuestra los teoremas sobre congruencia de triángulos.
8 12.-) Semejanza de triángulos. a) Casos de semejanzas
de triángulos. b) Casos de semejanzas
de triángulos rectángulos.
- Formular los casos de semejanza de triángulos. - Orientar la discusión.
- Representar mediante el trazado de diferentes tipos de triángulos, los casos de semejanza de triángulos. - Ejemplifica los casos de triángulos no semejantes. - Demuestra los teoremas sobre semejanza de triángulos.
92
Validez
El criterio de validez de un método o una técnica metodológica y de
las investigaciones realizadas con ellos, se juzga por el grado de coherencia
lógica interna de sus resultados y por la ausencia de contradicciones con
resultados de otras investigaciones o estudios.
En este sentido, la validez puede ser definida por el grado o nivel en que
los resultados de la investigación reflejan una imagen clara y representativa
de una realidad o situación dada. (Martínez, 2004).
De esta manera la validez exige por un lado la estimación de la
medida en que las conclusiones representan efectivamente la realidad
empírica y por otro lado, la estimación de si los constructos diseñados por
los investigadores representan o miden categorías reales de la experiencia
humana.
Esta investigación tiene un alto nivel de validez, garantizando que la
realidad observada, medida o aprecia es esa y no otra. Esto se conoce
como validez interna, que viene dado por el grado o nivel en que los
resultados de la investigación reflejen la imagen clara y representativa de la
realidad.
También se habla de validez externa, que consiste en averiguar hasta qué
punto las conclusiones de un estudio son aplicables a grupos similares.
De esta manera, en la presente investigación, para garantizar la
validez interna se tomaron en cuenta los siguientes aspectos:
1. Una definición detallada y precisa de los constructos pensamiento
geométrico, a través de los procesos de visualización, construcción y
discursivos y la integración armónica de estos, apoyado en teorías y
enfoques de profundo arraigo y validación en la investigación educativa.
2. Un análisis sobre la congruencia entre los resultados obtenidos y la
realidad observada, mediante la triangulación de observadores en la
aplicación del instrumento IOFA en tres momentos del trabajo de campo y
el desarrollo de entrevistas.
93
3. Fuentes alternas de obtención de la información, como las notas de
campo y las videograbaciones.
Para garantizar la validez externa se procuró por una parte, no
introducir elementos excepcionales (aquellos que en la práctica diaria no se
incluyen) en el escenario natural de clases y por otro lado, los constructos
como fueron conceptualizados, pueden ser aplicables en cualquier contexto
académico de condiciones similares a las existentes en la que se realizó el
estudio,
Confiabilidad
El concepto tradicional de confiabilidad implica que un estudio se
puede repetir con el mismo método sin alterar los resultados, es decir, es
una medida de replicabilidad de los resultados de la investigación y es claro,
que en las ciencias sociales, y por ende ciencias humanas, reproducir las
condiciones exactas en que un comportamiento y su estudio se llevaron a
cabo debe hacerse con mucho cuidado, dado su misma naturaleza.
Si debido a la evolución, dinámica y cambio de los seres humanos y al
entorno en que se hallan, su comportamiento no se puede repetir en forma
idéntica sin alterar su verdadera naturaleza, lo lógico es adaptar los
métodos y técnicas a su naturaleza. (Martínez, 2004). Se habla de confiabilidad externa cuando investigadores
independientes, al estudiar una realidad en tiempos o situaciones diferentes,
llegan a los mismos resultados y hay confiabilidad interna cuando varios
observadores, al estudiar la misma realidad, concuerdan en sus
conclusiones.
Fueron aplicadas las estrategias para promover la confiabilidad
externa propuestas por Martínez (1994), en base a lo cual se desarrolló un
grado importante de afinidad y pertenencia con los sujetos del estudio, para
identificar claramente a los informantes, de manera de reducir al mínimo el
riesgo del sesgo y los prejuicios, de igual manera, a través de las notas de
94
campo, se dejo constancia del contexto donde se recabaron los datos, y
realizó una descripción precisa de los métodos de recolección de la
información y de su análisis.
Dadas las características del diseño de investigación que sirve de
marco metodológico en esta investigación, la confiabilidad está orientada
hacia el nivel de concordancia interpretativa entre diferentes observadores
del mismo fenómeno, es decir, es sobre todo interna, intrajueces.
En este sentido, para potenciar la confiabilidad interna se aplicaron
algunas estrategias, citadas por Cruz (1994), como lo son:
1. Se evitó la manipulación de los datos.
2. Se promovió el intercambio de opiniones mediante la presencia de
varios investigadores.
3. Se contó con la ayuda de informantes para confirmar lo que ellos
han registrado y comparar con las observaciones del investigador principal.
4. Se analizaron y contrastaron los hallazgos de otros investigadores
en situaciones similares.
5. Se utilizaron medios técnicos para el registro automático de datos
(grabadora), con el fin de analizar minuciosamente los detalles de los
eventos en estudio.
Etapas de la Investigación
El desarrollo global de la investigación se realizó siguiendo los
lineamientos generales propuestos por Pérez (2007), donde se
establecieron cinco etapas, a saber, clarificación del área problemática,
planificación, trabajo de campo, análisis de datos e informes de
investigación y formulación. Cada etapa incluye una serie de actividades a
desarrollar que están descritas en el siguiente cuadro. (Ver Cuadro 12).
95
Cuadro 12
Etapas de la Investigación
ETAPAS
ACTIVIDADES
CLARIFICACIÓN
DEL ÁREA
PROBLEMÁTICA
Elección del tema.
Primera revisión bibliográfica.
Formulación del problema.
PLANIFICACIÓN
Revisión de la bibliografía.
Formulación de objetivos.
Definición del sistema conceptual.
Elección y estructuración de la metodología de
investigación.
Selección y reconstrucción de técnicas.
TRABAJO DE
CAMPO
Procedimientos y aplicación de las técnicas.
Recogida de datos.
ANÁLISIS DE
DATOS E
INFORMES DE
INVESTIGACIÓN
Análisis y valoración de resultados.
Recopilación y sistematización
FORMULACIÓN
Generación y fundamentación del enfoque, modelo o
teoría, en base a la caracterización, conceptualización
y validación.
96
CAPITULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS
Este capítulo tiene como propósito analizar e interpretar la
información obtenida a lo largo de la investigación en su etapa de trabajo de
campo. Se estructura de la siguiente manera: (a) caracterización y ubicación
inicial en los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele de los
sujetos de estudio en base al TRGCTe y la entrevista EPDCT, (b)
caracterización y ubicación final en los niveles de razonamiento geométrico
de Van Hiele de los sujetos de estudio en base al TRGCTs y la entrevista
EPDCT y (c) análisis del proceso didáctico.
Previo a realizar el análisis e interpretación de los datos, es
conveniente detallar algunos aspectos que fueron considerados para la
selección de los sujetos de estudio. De manera intencional, fueron
seleccionados 6 estudiantes como sujetos en estudio, dos ubicados en el
NIVEL II y cuatro alumnos ubicados en el NIVEL I. (ver Cuadro 13).
Cuadro 13 Resultados Test de entrada de Razonamiento Geométrico del Contenido Triángulos (TRGCTe) de los Alumnos Sujetos en Estudio
SEUDONIMO ITEMS ACERTADOS ITEMS ERRONEOS
ITEMS EN BLANCO
PITAGORAS 1,2,3,4 7, 8, 10 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14
THALES 1,2,3,4,10 7 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14
EUCLIDES 1, 2, 3, 6, 10, 14 4, 5, 7, 11, 12 8, 9, 13
FERMAT 1, 2, 3, 8 5, 6, 10, 13 4, 7, 9, 11, 12, 14
PTOLOMEO 1, 2, 3, 10 4, 5, 6, 9 7, 8, 11, 12, 13, 14
ARQUIMEDES 1, 2, 3, 4 7, 8, 9, 14 5,6, 10, 11, 12, 13
97
Ya que la definición de razonamiento geométrico que guía esta
investigación comprende el dominio de los procesos discursivos, y éstos
difícilmente se pueden determinar mediante un test escrito, a los alumnos
seleccionados se les aplicó una entrevista a través del instrumento
EPDCT, con la intención de evidenciar el uso y apropiación del vocabulario
geométrico que manifiestan, de tal manera de determinar, en concordancia
con los descriptores característicos, el nivel de razonamiento geométrico
donde se ubican según la teoría de Van Hiele.
En el anexo E, se presenta de manera detallada y precisa las
respuestas dadas por los sujetos en estudio a cada de las preguntas
formuladas en la entrevista, cuyo análisis se desarrollan en el apartado
sobre la caracterización del razonamiento geométrico de los sujetos en
estudio.
Caracterización y Ubicación en los Niveles de Razonamiento
Geométrico de Van Hiele de los Sujetos de Estudio en Base al Test TRGCTe y la Entrevista EPDCT
La información recabada mediante el TRGCTe y la entrevista
EPDCT, fue sometida al análisis y la comparación con los descriptores
característicos de cada nivel de razonamiento de la teoría de Van Hiele,
esto permitió ubicar los sujetos en estudio en el nivel respectivo, señalando
el grado de apropiación y las competencias geométricas que poseían. La
ubicación de cada sujeto en el nivel respectivo incluye la categoría de
CONSOLIDADO, cuando se evidencia el dominio de los tres procesos que
implican el razonamiento geométrico, a saber, procesos de visualización,
procesos de construcción y procesos discursivos, de igual manera la
categoría EN PROCESO, cuando se evidenció el dominio de uno o dos de
estos procesos.
98
A continuación se presenta caracterización del razonamiento
geométrico y la ubicación de cada sujeto en estudio en base al TRGCTe y la
entrevista (EPDCT).
SUJETO EN ESTUDIO: EUCLIDES
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas en
un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas).
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. El vocabulario geométrico para referirse a las figuras y
describirlas es muy escaso, además de confuso al expresar por ejemplo:
“lado obtuso”, “en una pirámide cada lado es un triángulo”. De igual manera,
identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones entre ellas, por
lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las figuras
mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
5. No aporta argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas
de las figuras.
6. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas y
desconoce los métodos de demostración.
SUJETO EN ESTUDIO: FERMAT
1. No logra identificar figuras geométricas en dibujos, en
conjuntos determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que
lo rodean.
2. Realiza parcialmente actividades de manipular y colorear
figuras geométricas en un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras
geométricas mezcladas).
99
3. No describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. Utiliza un vocabulario geométrico para hablar de las figuras y
describirlas, mediante términos de uso común que sustituyen los
geométricos.
5. No identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones
entre ellas, por lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las
figuras mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
6. No aporta argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas
de las figuras.
7. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas y
desconoce los métodos de demostración.
SUJETO EN ESTUDIO: PITAGORAS
1. Identifica y dibuja figuras geométricas dando indicaciones de
sus propiedades.
2. Resuelve problemas geométricos por el conocimiento y uso de
propiedades de figuras o por intuición.
3. Identifica y comprueba relaciones entre elementos de una figura.
4. Clasifica figuras de acuerdo a ciertas propiedades.
5. Utiliza términos por el conocidos y definidos correctamente, tales
como: “ángulo obtuso”, “ángulo agudo”, “cara de una pirámide”, “formula del
teorema de Pitágoras”, “lados y ángulos iguales”.
6. No aporta argumentos válidos para justificar relaciones lógicas.
7. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas y
desconoce los métodos de demostración.
SUJETO EN ESTUDIO: ARQUIMEDES.
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
100
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas en
un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas).
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. Incluye términos como “ángulos internos”, “polígono”, “afirmaciones
que no necesitan ser demostradas”, “razonamiento geométrico”. Aunque
utiliza estos términos, desconoce su significado exacto, solo se aproxima a
ellos.
5. No identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones
entre ellas, por lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las
figuras mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
6. Logra visualizar figuras geométricas en su entorno, lo cual se
evidencia cuando expresa “… si tomo estos tres listones de madera, al
unirlos puedo formar un triángulo …”.
7. No aporta argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas
de las figuras.
8. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas y
desconoce los métodos de demostración.
SUJETO EN ESTUDIO: PTOLOMEO
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas en
un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas) de manera acertada.
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. Utiliza un vocabulario geométrico para referirse a las figuras y
describirlas, mediante términos de uso común que sustituyen las
expresiones geométricas.
5. No identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones
101
entre ellas, por lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las
figuras mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
6. No aporta argumentos formales o informales para justificar las
relaciones lógicas de las figuras.
7. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas
y desconoce los métodos de demostración.
SUJETO EN ESTUDIO: THALES.
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas en
un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas).
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. El vocabulario utilizado va más allá del Nivel I, pues incluye
términos como “intercepción”, “ángulo mayor”, “teoremas de paralelas y
perpendiculares”, “numero π”, “cosas concretas más no exactas”. Aunque
utiliza estos términos, desconoce su significado exacto, solo se aproxima a
ellos.
5. No identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones
entre ellas, por lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las
figuras mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
6. Logra visualizar figuras geométricas en su entorno, lo cual se
evidencia cuando expresa “… si tomo dos hojas y hago el techo de una
casa, visto de frente, es un triángulo …”.
7. No aporta argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas
de las figuras.
8. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas
y desconoce los métodos de demostración.
102
Siguiendo el procedimiento establecido, a lo largo de cuatro semanas
se desarrolló el contenido triángulo siguiendo el Método de Fases de
Aprendizaje del Modelo de Van Hiele, al final de lo cual se aplicó a los
sujetos en estudio el TRGCTs (ver Cuadro 14), con la finalidad de ubicar los
alumnos en el nivel correspondiente, tomando en cuenta los ítems
acertados, clasificación de los ítems del TRGCT en base a los procesos
geométricos que involucran y la ubicación de cada ítem del TRGCT en los
niveles de Van Hiele.
Cuadro 14 Resultados del Test de salida de Razonamiento Geométrico del Contenido Triángulos (TRGCTs)
SEUDONIMO ITEMS ACERTADOS
ITEMS ERRONEOS
ITEMS EN BLANCO
THALES 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14 4, 5, 6 7, 8, 9
PTOLOMEO 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11,
14
4,12,13 6
EUCLIDES 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12,
13
4, 11 9, 14
FERMAT 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10,
12, 13
9 11, 14
PITÁGORAS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 8, 9, 11, 12, 13,
14
ARQUIMEDES 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10,
12, 13, 14
9, 11
Posterior a esto, se procedió a aplicar la entrevista EPDCT, pues con
el TRGCTs, no se puede determinar los procesos discursivos verbales que
posee el alumno. Estas entrevistas fueron grabadas en audio y
posteriormente transcritas, y mediante un proceso de comparaciones
constantes con los descriptores característicos de cada nivel de
103
razonamiento geométrico del modelo de Van Hiele, se pudo evidenciar la
presencia o ausencia de los mismos, para su posterior análisis en la
caracterización del pensamiento geométrico de los sujetos de estudio. (ver
Anexo F)
Caracterización y Ubicación en los Niveles de Razonamiento
Geométrico de Van Hiele de los Sujetos de Estudio en Base al TRGCTs y la Entrevista EPDCT
La información recabada mediante el TRGCTs y la entrevista
EPDCT, fue sometida al análisis y la comparación con los descriptores
característicos de cada nivel de razonamiento de la teoría de Van Hiele,
esto permitió ubicar los sujetos en estudio en el nivel respectivo señalando
el grado de apropiación y las competencias geométricas que poseían.
A continuación se presenta caracterización de la ubicación de cada
sujeto en estudio en base al TRGCTs y la entrevista EPDCT
SUJETO EN ESTUDIO: FERMAT.
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Manipula y colorea figuras geométricas en un dibujo compuesto
(donde existen diversas figuras geométricas mezcladas).
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. Utiliza un vocabulario geométrico para hablar de las figuras y
describirlas, mediante términos de uso común que sustituyen los
geométricos.
5. Identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones entre
ellas, por lo cual realiza generalizaciones de las propiedades de las figuras
mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
6. No aporta argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas
104
de las figuras.
7. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas y
desconoce los métodos de demostración.
8. Se evidencia debilidad en el dominio de l vocabulario geométrico
cuando expresa: “Si no estoy mal el triángulo obtusángulo es el que tiene
un ángulo con una inclinación más baja” ó “Lo que nosotros podemos hacer
cuando se demuestra un teorema es variar la demostración y ya existen
parámetros para demostrarlo y hay que utilizar formulas, construcciones”.
SUJETO EN ESTUDIO: ARQUIMEDES
1. Identifica y dibuja figuras geométricas dando indicaciones de sus
propiedades.
2. Resuelve problemas geométricos por el conocimiento y uso de
propiedades de figuras o por intuición.
3. Identifica y comprueba relaciones entre elementos de una figura.
4. Clasifica figuras de acuerdo a ciertas propiedades.
5. Utiliza términos por él conocidos y definidos correctamente, tales
como: “ángulo obtuso”, “ángulo agudo”, “cara de una pirámide”, “formula del
teorema de Pitágoras”, “lados y ángulos iguales”.
6. Aporta argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas de
las figuras Esto se evidencia cuando a la pregunta ¿Qué pasa si en un
triángulo dos ángulos son obtusos?, responde “No sería un triángulo pues
sumarían más de 180°”.
7. Conoce los aspectos relacionados con los teoremas cuando
expresa: “Un teorema es un postulado que necesita demostración y tiene
hipótesis y tesis. La hipótesis es lo que se supone y la tesis lo que hay que
demostrar. A la pregunta: ¿Conoces algún teorema?. Responde,”Bueno el
de Pitágoras”. Y a la pregunta: ¿Dónde se aplica?. Responde: “En
triángulos, en trigonometría”.
105
SUJETO EN ESTUDIO: PITAGORAS
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas en
un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas).
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. El vocabulario utilizado corresponde a un nivel superior, pues
incluye términos como “ángulos agudos y obtusos”, “pirámide”,
“afirmaciones que no necesitan ser demostradas”, “hipótesis y tesis”,
“teorema de Pitágoras”, conociendo su significado exacto.
5. Identifica propiedades de las figuras, así como las relaciones entre
ellas, por lo cual realiza generalizaciones de las propiedades de las figuras
mediante comprobaciones en uno o pocos casos. Esto se evidencia por
ejemplo, cuando se le pregunta: ¿Puede un triángulo obtusángulo tener dos
ángulos obtusos?. y responde: “No, sería ilógico, si tiene un ángulo obtuso,
por obligación los otros dos deben ser agudos para que la suma de 180°
que es lo que suman los ángulos internos de un triángulo”. Es decir, aporta
argumentos válidos para justificar las relaciones lógicas de las figuras.
6. Logra visualizar figuras geométricas en su entorno, lo cual se
evidencia cuando expresa “… si tomo estos tres listones de madera, al
unirlos puedo formar un triángulo …”.
7. Crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas y
conoce las partes de un teorema, esto se videncia cuando expresa sobre
los teoremas: “Es una proposición no tan evidente que necesita ser
demostrada y tiene la hipótesis que es lo que se tiene y la tesis que es lo
que se quiere demostrar.” . Al preguntársele: ¿Qué es un axioma?.
Responde: “Es algo tan evidente que no necesita ser demostrado, por
ejemplo, que hay infinitos puntos”.
106
SUJETO EN ESTUDIO: EUCLIDES
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas
en un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas).
3. Describe figuras geométricas por su aspecto físico.
4. El vocabulario geométrico es restringido, y esto se manifiesta
cuando a la pregunta: ¿Qué pasa si tiene dos ángulos obtusos?. Expresa:
“Bueno no puede ser, porque cuanto va a sumar, se sale de 180°”.
5. Identifica propiedades de las figuras, más no así las relaciones
entre ellas, por lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las
figuras mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
6. Aporta argumentos informales para justificar las relaciones lógicas de
las figuras.
7. No crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas.
SUJETO EN ESTUDIO: THOLOMEO
1. Identifica, maneja, describe y clasifica figuras geométricas en
dibujos, en conjuntos determinados, con orientaciones variadas y en objetos
físicos que lo rodean.
2. Clasifica, identifica y resuelve problemas geométricos en base
a las propiedades de las figuras.
3. Desarrolla y usa definiciones para explicar el porqué de una
clase de figuras. Por ejemplo, cuando se le pregunta ¿Puede un triángulo
tener dos ángulos obtusos?. Responde: No, porque debe tener un solo
ángulo obtuso, porque a menor distancia del segmento de recta, los ángulos
son mucho más pequeños, dos van disminuyendo y el otro va aumentando.
107
No puede ser porque sumaría más de 180° y los ángulos internos de un
triángulo es de 180°.
4. Suministra situaciones para dar más de una explicación o
aproximación.
5. Crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas,
usando un modelo para sustentar los argumentos. Reconoce lo que es un
teorema, sus elementos y el para qué se demuestra. Esto se videncia
cuando expresa que un teorema: “Nos permiten hacer demostraciones para
comprobar en una figura los elementos que la integran. Está formado por la
hipótesis que es lo que yo tengo, lo que yo puedo observar y la tesis que es
lo que yo deseo demostrar. Al preguntársele: ¿Qué diferencia un axioma de
un teorema?. Responde: “el axioma es una teoría demasiado evidente, por
ejemplo que la suma de un todo es mayor que cualquiera de sus partes.”
6. No compara y contrasta diferentes demostraciones de teoremas.
7. Utiliza términos geométricos con sentido y significado, por
ejemplo, “la hipotenusa que es el lado opuesto al ángulo recto”, “3 ángulos
que son la abertura de cada par de lados
SUJETO EN ESTUDIO: THALES
1. Identifica figuras geométricas en dibujos, en conjuntos
determinados, con orientaciones variadas y en objetos físicos que lo rodean.
2. Realiza actividades de manipular y colorear figuras geométricas en
un dibujo compuesto (donde existen diversas figuras geométricas
mezcladas).
3. Identifica propiedades de las figuras, más no así las relaciones
entre ellas, por lo cual no realiza generalizaciones de las propiedades de las
figuras mediante comprobaciones en uno o pocos casos.
4. Aporta argumentos informales para justificar las relaciones lógicas de
las figuras.
5. Crea demostraciones de un sencillo conjunto de axiomas,
108
usando un modelo para sustentar los argumentos. Reconoce lo que es un
teorema, sus elementos y el para qué se demuestra.
6. Desarrolla un discurso geométrico donde se entremezclan
expresiones geométricas y vocabulario de uso común, tales como circulo o
redondo, etc.
Análisis del Proceso Didáctico
El proceso de enseñanza aprendizaje fue orientado por el docente
mediante el método de Fases de Aprendizaje del Modelo de Van Hiele, para
lo cual se estructuró el desarrollo de las sesiones en función de las
diferentes fases, diseñadas de tal manera que abarcaran todos los aspectos
que establecen. (ver Cuadro 15 ).
Es importante destacar que a lo largo de las cuatro semanas (8
sesiones) durante las cuales se desarrolló el contenido de triángulos, se
aplicó al docente el instrumento IOFA, diseñado para verificar y registrar la
correcta aplicación de las Fases de Aprendizaje del Modelo de Van Hiele.
Esta actividad fue desarrollada en tres momentos diferentes y por tres
observadores diferentes.
A lo largo de este período de tiempo se llevó a cabo un registro diario
de los logros, avances, y actuaciones de los alumnos sujetos en estudio
mediante las notas de campo, constituidas por todos los registros
anecdóticos realizados de todas y cada una de las sesiones de trabajo. Se
constituyeron en una fuente valiosísima e inagotable de información diaria,
ya que permitieron observar los cambios actitudinales y geométricos que se
fueron dando en las diferentes sesiones de clase de los sujetos en estudio
en cuanto a los conocimientos geométricos que adquirían y en especial a
los procesos de integración grupal, la participación y las intervenciones,
donde se pudo apreciar los cambios significativos en el uso y manejo del
lenguaje geométrico, evidenciado en la participación y apropiación de
conocimientos geométricos.
109
Cuadro 15 Actividades de las Fases de Aprendizaje
FASES
ACTIVIDADES
INFORMACIÓN
El facilitador realiza preguntas a los alumnos sobre el tema Las preguntas realizadas permiten determinar los conceptos previos manejados por los alumnos sobre el tema a tratar El facilitador proporciona a los alumnos la dirección que tomará la instrucción, es decir, los alcances y objetivos. El facilitador enuncia los tipos de problemas a estudiar. El facilitador menciona los métodos a emplear durante la resolución de los problemas. El facilitador enumera los materiales a utilizar durante la sesión.
ORIENTACIÓN DIRIGIDA
El facilitador entrega materiales instruccionales a los alumnos en una secuencia lógica. El facilitador orienta a los alumnos sobre el uso de los materiales. El facilitador utiliza un lenguaje adecuado al nivel educativo y al tema a tratar. El facilitador promueve la manipulación correcta y adecuada de los materiales. El facilitador guía a los alumnos para que puedan diferenciar los contenidos previos de los nuevos.
EXPLICITACIÓN
El facilitador introduce el lenguaje técnico del tema de una manera clara. El facilitador promueve la discusión grupal de los alumnos sobre el tema. El facilitador interviene solo cuando es estrictamente necesario. El facilitador pone de relieve los aciertos y los errores que manifiestan los alumnos mientras discuten. El facilitador promueve en los alumnos la exposición de ideas organizadas y con el rigor matemático que lo amerite.
ORIENTACIÓN LIBRE
El facilitador presenta a los alumnos actividades y problemas diferentes y más complejos. Las actividades planteadas por el facilitador están formuladas de tal manera que puedan ser resueltas por los alumnos con los conocimientos que adquirieron. El facilitador presenta situaciones de la vida real. Las situaciones presentadas por el facilitador se enmarcan en el contexto del tema tratado y del entorno .
INTEGRACIÓN
El facilitador solicita a sus alumnos la elaboración de un resumen del tema tratado. El facilitador promueve en sus alumnos la discusión sobre los alcances e importancia del tema tratado. El facilitador no introduce nuevos conceptos o contenidos en la discusión del resumen y los alcances. El facilitador logra integrar los conceptos previos de sus alumnos con los recién adquiridos.
110
Al comparar los resultados obtenidos desde distintas fuentes de
información y técnicas aplicadas ,se evidencian que son altamente
coherentes, apoyados en las entrevistas que se realizaron, en los
cuestionarios aplicados, los registros de audio y video y la participación
como observadores de otros investigadores, permitieron afirmar que los
resultados obtenidos de la realidad del contexto son congruentes con la
descripción e interpretación de la realidad observada, en base a la
percepción y opinión de los sujetos de estudio.
La práctica geométrica tiene un alto valor formativo, no se plantea
que se deba enseñar a los alumnos sólo las definiciones clásicas de la
geometría, no se intenta que conozcan únicamente los teoremas más
importantes. Se busca promover el vínculo de los jóvenes con un modo
cultural diferente, y este modo incluye, entre otras, algunas de las siguientes
características:
1. Los objetos de la geometría ( puntos, figuras, cuerpos,
etc) no pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico,
conceptualizado. De aquí se deriva la necesidad de ayudar a los alumnos a
comprender que los objetos con los que trabaja la geometría son teóricos y
no reales, lo que nos lleva a emplear la visualización como un medio para
lograr esta comprensión.
2. Los dibujos trazados son representaciones de esos objetos
teóricos. Es decir, la marca que deja un lápiz cuando traza un triángulo no
hace más que representarlo. Los alumnos asignan a estos dibujos
numerosas propiedades o características que no tienen categoría de tales
para la geometría, como la posición en la hoja. Incluso los dibujos son
“leídos” por los alumnos de una cierta manera que no siempre es avalada
por las leyes y principios que rigen la geometría.
3. Muchos problemas geométricos pueden ser, en un
comienzo, explorados empíricamente, analizando diferentes dibujos que
resultan útiles cuando se recurre a mediciones. Estas experiencias
111
permitieron la obtención de resultados, la formulación de propiedades que
en algunos casos adquieren estatus de conjeturas. Pero surgen las
interrogantes ¿Cómo decidir la verdad o falsedad de una conjetura
planteada? ¿Cómo se va instalando la idea de que la decisión acerca de la
verdad o falsedad de una respuesta, de una nueva relación o de una
propiedad no se establece empíricamente, por intermedio de dibujos o de la
medición, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos.
4. En el trabajo geométrico, los enunciados, las relaciones y
propiedades son generales, y se establece un dominio de validez, es decir,
se explicitan las condiciones a partir de las cuales una colección de objetos
(por ejemplo, los triángulos rectángulos) cumplen una cierta propiedad o
relación. Apelando a un correcto uso del vocabulario geométrico se logra
socializar el conocimiento geométrico, de ahí que se plantea analizar si el
vocabulario y la formalidad constituyen una necesidad previa, simultánea o
posterior al trabajo geométrico.
5. La preocupación de los observadores y del investigador, se
concentra en plantearse cómo generar condiciones que permitan a los
alumnos involucrarse en la producción de conocimientos geométricos, no
sólo de aquellos que están presentes en los contenidos programáticos
(teorema de Pitágoras, suma de los ángulos interiores del triángulo, etc)
sino también de aquellos referidos al tipo de tarea que se despliega, a esa
racionalidad propia del trabajo geométrico, pocas veces explicitada y
reconocida como parte central del pensamiento geométrico. Desarrollar en
el alumno la capacidad para inferir, a partir de los datos y con el apoyo de
las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a
establecer el carácter necesario de los resultados de manera independiente
de la experimentación.
6. La caracterización del pensamiento geométrico permitirá
identificar las particularidades que debe tener una situación para enmarcarla
como problema geométrico, donde para poder resolverlo se ponen en juego
las propiedades de los objetos geométricos. El problema pone en
112
interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio físico
sino a un espacio conceptualizado.
7. La función que cumplen los dibujos y las representaciones
en la resolución del problema no es la de permitir alcanzar la respuesta por
simple constatación sensorial.
8. La validación de la respuesta dada al problema (es decir, la
decisión autónoma del alumno acerca de la verdad o falsedad de su
respuesta) no se establece empíricamente, sino que se apoya en las
propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a partir de
las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras producen nuevo
conocimiento sobre los mismos.
9. Bajo ciertas condiciones, las construcciones con los
instrumentos de dibujo permiten explorar, identificar, conjeturar y validar
propiedades de las figuras. Analizar los datos con los que se debe construir
un figura, determinar si la construcción es posible o no, establecer
relaciones entre los datos conocidos y el dibujo, etc, resultan una
experiencia útil en el camino hacia entender a una figura como el conjunto
de relaciones que la caracterizan y que pueden ser enunciadas en un texto.
10. La producción de argumentos deductivos se potencio en
base al conocimiento de algunas propiedades de las figuras por parte de los
alumnos y a partir de estas se obtuvieron respuestas a preguntas sobre los
contenidos geométricos, así como también argumentaciones de manera
sólida sobre las respuestas obtenidas.
113
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Este capítulo tiene como propósito presentar las conclusiones y
recomendaciones que se derivan de cada una de las diferentes etapas de la
investigación y, en especial, dar respuesta a las interrogantes y objetivos
formulados para el estudio realizado.
En este sentido tenemos las siguientes conclusiones:
1. Para la caracterización del razonamiento geométrico de los
sujetos en estudio, la información recabada en función de los procesos
geométricos evidenciados, permitió realizar una descripción e interpretación
detallada, por lo cual se demostró la ventaja que representa organizar las
competencias geométricas de los alumnos en función de los procesos de
visualización, construcción y discursivos
2. La visualización se constituye en un elemento natural y
fundamental del pensamiento geométrico, ya que promueve el
descubrimiento de nuevas relaciones entre objetos matemáticos y en la
transmisión de conocimientos. De ahí la importancia de potenciar la
visualización y de entrenar en ella a los alumnos. Los procesos de
visualización permiten potenciar y aprovechar las representaciones
espaciales para la ilustración de proposiciones, de igual manera manejar
objetos reales observados globalmente y como unidades, e identificar,
describir y crear figuras geométricas. Por lo cual la visualización debe ser
considerada desde la perspectiva global, particular y desde el punto de vista
de las transformaciones visuales.
3. Las construcciones geométricas agregan elementos conceptuales
114
que ayudan a los estudiantes a reconocer y conectar las diferentes
propiedades geométricas necesarias para obtener una figura correcta, y
posteriormente justificar por qué está correcta. Aquí radica la importancia de
la construcción mediante instrumentos de dibujo, como motor del
pensamiento deductivo, pues las propiedades explícitamente construidas se
convierten en premisas, siendo las conclusiones otras propiedades
verificadas mediante la construcción. El alumno puede descubrir en la
construcción geométrica propiedades que le permite descubrir que hay
alguna relación de implicación entre las propiedades que aplicó para
generar la figura y las que descubrió después.
4. Resulta esencial que en la comunicación del alumno y del
docente existan hilos conductores que permitan analizar los diversos
significados e interpretaciones de las palabras, frases y símbolos, de
manera que cada uno conozca claramente lo que el otro entiende y quiere
decir al utilizar determinadas expresiones geométricas. Este aspecto es
único y fundamental, cuando se lleva a cabo la planificación de las
actividades en el aula, ya que si el docente logra una comunicación efectiva
en términos geométricos, la movilidad del alumno en los niveles de
pensamiento geométrico se dará de manera más dinámica y eficaz. La
adquisición de los conceptos y el lenguaje se constituye en un proceso
dinámico y el trabajo en equipo y la socialización, estimula y promueve tal
dinamismo ya que permite que los alumnos ejerciten la comunicación de
sus ideas, forzándolos a externalizar las asociaciones mentales que hacen
entre los símbolos y sus significados, así como de los conceptos que usan o
elaboran. Los procesos discursivos, en este sentido, permiten potenciar el
hablar matemáticamente, en el sentido de utilizar el lenguaje matemático,
aplicándolo a variados contextos, pero teniendo en cuenta su propia
sintaxis. Es decir, cuando los alumnos comunican sus estrategias
geométricas, desarrollan aprendizaje geométrico; esta modalidad
comunicativa, favorece la competencia comunicativa y la mejora de las
115
capacidades geométricas en tanto que propicia la interacción, el intercambio
y la reflexión.
5. El pensamiento geométrico supone no solamente reconocer
visualmente una determinada forma y saber el nombre correcto; sino que
implica también, explorar conscientemente el espacio, comparar los
elementos observados, establecer relaciones entre ellos y expresar
verbalmente tanto las acciones realizadas como las propiedades
observadas, para de ese modo interiorizar el conocimiento; así como,
descubrir propiedades de las figuras y de las transformaciones, construir
modelos, elaborar conclusiones para llegar a formular leyes generales y
resolver problemas. Además, el individuo debe construir el propio esquema
mental del espacio, incorporando en él, progresivamente, todas las
nociones y propiedades descubiertas con su correspondiente vocabulario
geométrico.
6. El pensamiento geométrico, puede ser entendido como la
integración y el dominio del alumno de tres procesos bien diferenciados
como lo son: el proceso de visualización, donde el alumno realiza
representaciones espaciales para la ilustración de proposiciones, maneja
objetos reales observados globalmente y como unidades, identifica,
describe y crea figuras geométricas; el proceso de construcción, que
involucran el uso de instrumentos del dibujo, por una parte, y por otro lado,
el andamiaje axiomático (axiomas, lemas, teoremas, corolarios) que permite
construir una deducción, una demostración y en general las habilidades
lógicas relacionadas con las habilidades de razonamiento analítico, es
decir, las necesarias para desarrollar un argumento lógico y el proceso
discursivo, donde se promueve la producción de discursos (orales y
escritos) en los que los alumnos explican, justifican y describen el
procedimiento que han llevado a cabo para la resolución de problemas,
empleando el lenguaje geométrico correspondiente a su nivel de
pensamiento geométrico.
116
El modelo de Van Hiele como teoría educativa en Geometría,
involucra no solo basamento filosófico y psicológico sino que, a diferencia
de otras teorías, incluye una metodología instruccional para poner en
práctica la teoría.
Producto del análisis realizado a esta teoría y siendo una de las
principales actividades llevadas a cabo para desarrollar el trabajo de
campo, es necesario incluir en estas conclusiones los resultados de dicho
análisis, así tenemos:
1. Los planteamientos teóricos de los Van Hiele sobre la concepción
de razonamiento geométrico no se evidencian de manera explícita, de tal
manera que permita establecer las dimensiones e indicadores de este
constructo. La ausencia de una descripción detallada y precisa de los
procesos de pensamiento que involucra el aprendizaje de la geometría,
implica un vacío muy serio a la luz de las teorías que sustentan el proceso
de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
2. La Teoría de Van Hiele establece cinco niveles de razonamiento,
los cuales se solapan, en el sentido de la presencia de descriptores de
niveles diferentes en un mismo individuo. Esta situación genera ambigüedad
e inexactitud al momento de decretar la ubicación en un nivel determinado
de un individuo.
3. Los supuestos teóricos del modelo de Van Hiele contienen,
las condiciones generales sobre las cuales debe desarrollarse el proceso de
enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos en la escuela
primaria; sin embargo, los niveles de razonamiento geométricos que
proponen no incluyen las categorías que permitan determinar el grado de
apropiación de los conocimientos geométricos de un individuo en
concordancia con el nivel de razonamiento geométrico donde se ubica.
Cabe preguntarse ¿puede ser caracterizado el pensamiento de los
estudiantes como de un solo nivel?
4. La existencia de un nivel de rigor, en la realidad educativa del
117
currículum aporta muy poco en su desarrollo y organización, ya que el
mismo implica el estudio y desarrollo de las Geometrías No Euclideanas, las
cuales solo tienen aplicación en estudios avanzados. La existencia del
estudio de estas áreas es nulo en el sistema educativo de básico y medio a
nivel mundial.
Estas conclusiones, producto de la experiencia de investigación,
el análisis de los supuestos teóricos sobre el razonamiento geométrico y las
actividades de campo realizadas generan una serie de recomendaciones
metodologías y teóricas que permiten
1. A pesar de no estar como objetivo de la investigación, en la
puesta en práctica del trabajo de campo, se desarrolló un procedimiento de
elaboración de instrumentos que puede ser considerado como orientador
en investigaciones donde se pretenda determinar niveles de razonamiento
geométrico mediante Test o pruebas escritas. Este procedimiento incluye:
• Selección del número de ítem en función del tiempo de ejecución, el
contenido a evaluar, las características de los sujetos en estudio y los
objetivos de la investigación.
• Ubicación de cada ítem en el nivel de razonamiento respectivo.
• Determinación en cada ítem del proceso de razonamiento que
involucra (construcción, discursivo, visualización, etc.).
• Elaboración del test o prueba tomando en cuenta que los ítems que
conformarán el test deben incluir los diferentes niveles de la Teoría
de van Hiele y los distinto procesos que conforman el razonamiento
geométrico de manera equilibrada, es decir, sin que exista una
prevalencia de unos sobre otros.
2. Las notas de campo constituidas por todos los registros
anecdóticos realizados de todas y cada una de las sesiones de trabajo, se
constituyeron en una fuente valiosísima e inagotable de información diaria,
ya que permitieron observar los cambios actitudinales y geométricos que se
fueron dando en las diferentes sesiones de clase de los sujetos en estudio
en cuanto a los conocimientos geométricos que adquirían y en especial a
118
los procesos de integración grupal, la participación y las intervenciones,
donde se pudo apreciar los cambios significativos en el uso y manejo del
lenguaje geométrico. Debido a esto, se recomienda el uso de las notas de
campo, bitácoras o registros anecdóticos, en aquellas investigaciones que
incluyan el estudio de la evolución del pensamiento o razonamiento de
sujetos que están siendo intervenidos por alguna estrategia o metodología
de enseñanza-aprendizaje.
3. Se propone generar una herramienta teórico-metodológico para el
pensamiento geométrico basado en distintos grados o niveles, organizados
en categorías funcionales que consideren las habilidades, destrezas y
dominios geométricos que ha de poseer el individuo. Estas categorías
funcionales pueden establecerse atendiendo a los procesos de
visualización, construcción y discursivos, que involucran el conocimiento
geométrico. Esta estructura organizativa en grados o niveles y categorías
funcionales, permitirán definir claramente el grado de adquisición de cada
nivel, en función del dominio de estos procesos.
4. La fundamentación de este modelo teórico-metodológico sobre el
pensamiento geométrico radica en la dificultad para caracterizar de manera
precisa del nivel de razonamiento geométrico del alumno, así como, los
procesos desarrollados en cada nivel y el grado de adquisición del mismo.
Así pues, parece razonable establecer interpretaciones complementarias del
pensamiento geométrico, de tal manera que, en el significado que ya tiene,
al asignar un nivel de razonamiento en función de las habilidades y
destrezas geométricas de un estudiante, se evidencie la integración de los
procesos que encierra el pensamiento geométrico.
5. Es posible desarrollar desde el punto de vista teórico y práctico un
modelo teórico-metodológica que le permita al docente, llevar a cabo una
planificación de las actividades de enseñanza y aprendizaje de la geometría
en función del nivel de razonamiento geométrico de sus alumnos, para lo
cual es preciso ubicar de manera individual y grupal al individuo en los
distintos niveles de razonamiento geométrico, atendiendo al dominio de
119
éstos de los procesos que involucran el conocimiento de la geometría. De
esta manera serán beneficiados por un lado el docente, ya que podrá
individualizar su instrucción y dedicar sus esfuerzos en función de las
competencias de sus estudiantes, por otro lado los alumnos lograrán
avances significativos teniendo como punto de partida sus conocimientos y
habilidades de manera individual y grupal y en general se beneficiará el
sistema educativo como un todo, ya que la geometría permea en todos los
ámbitos de la educación y por transitividad, al ser beneficiado el alumno y el
docente su impacto positivo redundará en una mejor y significativa
experiencia educativa.
120
CAPITULO VI
EL MODELO DE APERCEPCIÓN GEOMETRICA (MAG) La problemática de la enseñanza y aprendizaje de la matemática en
general, y la geometría en particular, ha sido fuente de diversas
investigaciones y propuestas que han procurado revertir esta situación.
Apoyadas en informes de desempeño matemático y geométrico reconocidos
a nivel mundial, regional y local (Informe PISA, SINEA, CICE), se han
establecido una serie de estrategias, políticas e iniciativas, que han dado
un impulso sobresaliente a la investigación en Educación Matemática, con
énfasis en la Geometría.
En los capítulos anteriores se presentó una investigación que se
inició con las evidencias de una situación problemática en el área de la
geometría, donde la Teoría de Van Hiele y sus Niveles de Pensamiento
Geométrico son considerados un referente teórico-práctico para analizar el
pensamiento geométrico de los individuos. A raíz del análisis de las
investigaciones realizadas con esta teoría, con el estudio de su marco
conceptual y la puesta en práctica de la misma, se identificaron aspectos
relevantes y controversiales que condujeron a llevar a cabo una
investigación que permitió evidenciar y documentar, las implicaciones y
aspectos de interés investigativo de la teoría que soportan un modelo que
permita le ubicación en un nivel de pensamiento geométrico del individuo en
correspondencia con sus habilidades y destrezas.
Este capitulo tiene como propósito presentar el Modelo de
Apercepción Geométrica (MAG), fruto del análisis de los resultados de la
investigación, la documentación teórica y práctica del aprendizaje y
enseñanza de la geometría y el impulso aportado por el autor, como un
121
referente teórico para profundizar y generar interés investigativo en el
aprendizaje y enseñanza de la Geometría..
Este capitulo ha sido estructurado de la siguiente manera (a) la
geometría y su contexto de aplicación, (b) el modelo de apercepción
geométrica, (c) fundamentos del modelo de apercepción geométrica, (d) el
pensamiento geométrico,(e) procesos que involucran el conocimiento de la
geometría y (f) los niveles de pensamiento geométrico.
La Geometría y su Contexto de Aplicación
La Geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es
fácil encontrar contextos en que la Geometría no aparezca de forma directa
o indirecta. Actividades tan variadas como el deporte, la jardinería o la
arquitectura, por citar algunas, se sirven de la utilización, consciente o no,
de procedimientos geométricos.
En el campo de la Educación Matemática, el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la Geometría y su devenir histórico se ha enfocado en
promover aspectos como: (a) formar en los alumnos ideas sobre los objetos
geométricos del plano y del espacio, así como sobre las relaciones entre
ellos, para desarrollar la capacidad de comprender desde el punto de vista
de su contenido, las proposiciones acerca de las relaciones, las
aplicaciones y los objetos geométricos y además, aplicar tales
proposiciones en la resolución de tareas teóricas y prácticas, (b) desarrollar
en los alumnos conocimientos precisos acerca del procedimiento para la
resolución de ejercicios geométricos y habilidades en la representación de
los objetos geométricos del espacio tridimensional en un plano,
especialmente de ejercicios de construcción donde es fundamental los
instrumentos de dibujo, que le permitan adquirir las habilidades
fundamentales en la realización de esbozos y en la lectura de los dibujos
técnicos, y (c) la geometría como modelo concreto de trabajo con el cual
pueden desarrollarse procesos cognoscitivo superiores, tales como: el
122
análisis, la comparación e inferencia y, además, permite el ejercicio y
desarrollo de habilidades de observación, clasificación, etc.
La Geometría en su devenir histórico se ha enraizado de tal manera
en la sociedad que es innegable su vinculación con nuestra cotidianidad,
basta escuchar expresiones como: una vida ejemplar muestra siempre
rectitud en las acciones; por mucho tiempo llevaron vidas paralelas; el
gobierno tocó tangencialmente el tema de la normas de homologación; el
diseño del interior del auto aprovecha muy bien el espacio, etc., donde se
puede evidenciar como se han trasladado términos y expresiones
geométricas como punto, recta, plano, curva, ángulo, paralela, círculo,
cuadrado o perpendicular, a nuestro vocabulario cotidiano.
En la vida diaria está relacionada con problemas de medidas como
diseñar un jardín o una pieza de cerámica o un folleto, cubrir una superficie
o calcular el volumen de un cuerpo; con leer mapas y planos, o con dibujar
o construir un techo con determinada inclinación. A la vez, la Geometría
cumple un papel vinculante entre todas las ramas de la matemática, ya que
se constituye en un recurso de visualización para conceptos aritméticos,
algebraicos y de estadística, además, es un medio para desarrollar la
percepción espacial y la visualización
De manera especial la Geometría ayuda a estimular y ejercitar
habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas,
brindando oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar,
imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades ayudan al
alumno a aprender cómo descubrir relaciones geométricas por ellos
mismos y por ende, potenciar las capacidades para resolver problemas.
El Modelo de Apercepción Geométrica (MAG) Múltiples investigaciones y numerosas teorías sobre el aprendizaje y
la enseñanza, dan cuenta que el pensamiento geométrico se da a través de
niveles o etapas, lo que a su vez ha generado serios cuestionamientos
123
sobre la ubicación de los alumnos en cada nivel, ya que se esgrime que la
comprensión geométrica no se da necesariamente en un nivel determinado.
Lo antes expuesto permite sostener que es necesaria una
herramienta teórico-metodológica que le permita al docente, llevar a cabo
una planificación de las actividades de enseñanza y aprendizaje de la
geometría en función del nivel de razonamiento geométrico de sus alumnos,
para lo cual es preciso ubicar de manera individual y grupal al individuo en
los distintos niveles de razonamiento geométrico, atendiendo al dominio de
éstos de los procesos que involucran el conocimiento de la geometría.
A la luz de las conclusiones de esta investigación, en el modelo de
Van Hiele como teoría educativa en Geometría, la interpretación del
aprendizaje mediante la asignación de un nivel de razonamiento se basa
exclusivamente en describir habilidades de razonamiento, adscritas a ese
nivel, demostradas por un estudiante que está implicado en la resolución de
tareas de contenido geométrico.
En este sentido, mediante la aplicación del modelo de Van Hiele, se
dificulta la caracterización precisa del nivel de razonamiento geométrico del
alumno, así como, los procesos desarrollados en cada nivel y el grado de
adquisición del mismo. Así pues, parece razonable establecer
interpretaciones complementarias del pensamiento geométrico, de tal
manera que, en el significado que ya tiene, al asignar un nivel de
razonamiento en función de las habilidades y destrezas geométricas de un
estudiante, se evidencie la integración de los procesos que encierra el
pensamiento geométrico.
Se concibe de esta manera el Modelo de Apercepción Geométrica (MAG) como el conjunto de niveles del pensamiento geométrico de un
individuo en correspondencia con las habilidades geométricas expresadas
en los procesos que involucra el conocimiento de la geometría. (ver Figura
7). La apercepción es entendida como la capacidad del alumno de
interiorizar las propiedades geométricas observadas, lo que implica una
voluntad explícita de reflexionar sobre lo observado.
124
ENTORNO VISUAL
DESCRIPCIÓN INTUITIVA
TEORICO/
CLASIFICACION ANALITICA
DEMOSTRACIÓN Y TRANSFERENCIA
TEOREMA Y CONTEXTO
DEDUCCIÓN INFORMAL
RECONOCER Y CARACTERIZAR
FORMAS Y CONFIGURACIONES
MODELO DE APERCEPCION GEOMÉTRICA
Procesos devisualización
Procesos de
construcción
Procesosdiscursivos
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
Socio-Epistemologia
Enfoque HistóricoCultural del
Desarrollo Humano
EDUCACION MATEMATICA
REALISTA
Gráfico 7: Modelo de Apercepción Geométrica
FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS PSICOLÓGICOS PEDAGÓGICOS
125
El MAG se establece como una propuesta teórica para determinar en
los alumnos habilidades como la visualización, la construcción, la inferencia,
el razonamiento lógico y la sistematización de información, y establecer las
relaciones existentes entre punto, línea, superficie y volumen, para
determinar la congruencia y semejanza en figuras geométricas a partir de
situaciones problema. De igual manera, permite evidenciar y desarrollar en
los alumnos la capacidad de argumentar de manera sólida y confiable sus
ideas, fundamentados en conocimientos fiables y que fomenten el avance
en su desarrollo mental para alcanzar la madurez que requieren como
profesionales, además de desarrollar la capacidad de plantear, para
problemas reales o teóricos, los modelos geométricos que le permitan llegar
a soluciones que le brinde seguridad en la toma de decisiones y apropiarse
de un lenguaje y unos simbolismos propios que permitan al estudiante
comunicarse con claridad y precisión así como manejar representaciones
gráficas para comprender el mundo en que vive.
Se entiende que el pensamiento geométrico se produce a través de
una secuencia lógica de niveles o etapas, cada una de los cuales es
producto de una refinación y perfeccionamiento de la anterior. De esta
manera el pensamiento geométrico de un alumno en los niveles, se traslada
de manera espiralada, donde no existen compartimientos estancos, sino
que al contrario, existe una movilidad pausada y a veces imperceptible entre
los diferentes niveles, pero manteniendo un orden.
Cada uno de los niveles involucra los procesos de pensamiento
geométrico denominados visualización, construcción y discursivo, los cuales
se interrelacionan de tal manera que se establece el grado de apropiación
de un nivel determinado (EN PROGRESO y CONSOLIDADO), en función
del dominio de estos procesos por parte del alumno. Cada nivel de
pensamiento geométrico es denominado atendiendo a las categorías
(formas y configuraciones, reconocer y caracterizar, deducción formal y
teorema y contexto) que expresan las características cognitivas más
126
resaltantes, de esta manera se abordan las diferentes procesos cognitivos
que se activan al estructurarse el pensamiento geométrico del alumno.
Este MAG, tiene en la socioepistemología su fundamento
epistemológico, en el enfoque histórico cultural del desarrollo humano el
fundamento psicológico y en la educación matemática realista su
fundamento pedagógico.
La explicación y justificación de los componentes del MAG, a saber,
sus fundamentos, la concepción de pensamiento geométrico, los procesos
que involucra el conocimiento de la geometría y los niveles, se desarrollan
en las siguientes páginas.
Fundamentos del Modelo de Apercepción Geométrica El Modelo de Apercepción Geométrica se fundamenta en tres pilares:
(ver Gráfico 8 )
1. Desde el punto de vista epistemológico, se inscribe en la
la Socioepistemología desde los planteamientos de Ricardo Cantoral,
entendida como una aproximación teórica de naturaleza sistémica que
permite tratar los fenómenos de producción y de difusión del conocimiento
desde una perspectiva social.
2. Desde el punto de vista psicológico se inscribe en el Enfoque
Histórico Cultural del Desarrollo Humano de Lev Vigótsky el cual explica
como las personas, a través de la interacción social, pueden obtener un
desarrollo intelectual, amparado en los planteamientos de enseñanza y
desarrollo, la zona de desarrollo próximo y la unidad de lo afectivo y
cognitivo.
3. Desde el punto de vista pedagógico se sustenta en la
Educación Matemática Realista, representada por Hans Freundenthal, la
cual sostiene que la comprensión matemática (desde el punto de vista,
aritmético, algebraico, topológico, etc.) pasa por distintos niveles, donde los
127
contextos y los modelos poseen un papel relevante, en función de los
principios de actividad, realidad, reinvención, niveles, interacción y
entrelazamiento.
Una descripción y análisis de cada uno de estos fundamentos y su
correspondiente relación y entrelazamiento en el MAG, se presenta en las
siguientes páginas.
SOCIOEPISTEMOLOGÍA
Cantoral
ENFOQUE HISTÓRICOCULTURAL DEL
DESARROLLO HUMANOVigótsky
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
REALISTAFreundenthal
epistemológicos
psicológicos
pedagógicos
ActividadRealidad
ReinvensiónNiveles
InteracciónEntrelazamiento
principios
•El ser humano como constructor de sus sistemasconceptuales.•Práctica social como normativa de la actividad humana.• Articulación de nociones, procesos y términos.
•Enseñanza y Desarrollo•Zona de Desarrollo Próximo•Unidad de lo Cognitivo ylo Afectivo.
vertientes
supuestos
Gráfico 8. Fundamentos del Modelo de Apercepción Geométrica
Fundamento Epistemológico: Partiendo del hecho de que las actividades geométricas no son
neutras, externas al sujeto que aprende, sino que dependen del contexto
social donde se abordan, y es allí donde cobran vida y significado, el
128
Modelo de Apercepción Geométrica se inscribe en la orientación de la
Socioepistemología como aproximación teórica, la cual busca explicar
fenómenos didácticos producidos en el campo de las matemáticas a través
del examen del papel que juega la construcción social del conocimiento bajo
un enfoque sistémico. La socioepistemología somete a consideración, más
que a los conceptos, a las prácticas sociales asociadas a determinado
conocimiento. Este precisa de la incorporación de aspectos como la
comunicación, la búsqueda de consensos, la construcción de lenguajes o el
diseño de herramientas para el estudio de dichos fenómenos.
El conocimiento no existe independientemente de los actores
sociales, sino que es construido por el sujeto que aprende y cambia en
dicho proceso. Desde esta perspectiva, aprender deja de ser
exclusivamente conocer una definición o teorema o saberlo aplicar para la
resolución de un problema; interesa más bien la manera en que el
conocimiento, construido por cada sujeto, vive y es transferido en las
interacciones sociales.
El acercamiento socioepistemológico como aproximación teórica
aborda los cuatro componentes fundamentales en la construcción del
conocimiento; su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los
planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza.
(Cantoral y Farfan, 2003).
Desde este marco teórico se realizan estudios en distintas
direcciones como lo refieren Cantoral y Farfán (op. cit), donde se destacan
estudios sobre currículo, en los que se busca determinar cuáles deben ser
los contenidos por enseñar, considerando la evolución de la matemática y
las necesidades sociales que el sistema educativo espera cubrir con la
escuela; sobre la instrucción, es decir de las actividades que acompañan al
aprendizaje, se busca la mejora de los métodos de enseñanza, los
problemas que se enmarcan en torno a la transmisión oral del conocimiento,
los procesos cognitivos, la motivación y creación de actitudes positivas. Se
pone cierta atención sobre recursos, específicamente sobre aquellos que
129
refuerzan el proceso de enseñanza, los materiales educativos, las
calculadoras y computadoras, y la manera en que los medios audiovisuales
se habrían de introducir en las aulas.
Así mismo se realizan investigaciones que tratan de la vida del
conocimiento en la escuela. Se busca determinar la influencia que el
sistema escolar ejerce en los aprendizajes; se determinan las matemáticas
que se aprende en y fuera de la escuela y se trata del papel de los medios
de comunicación, los entornos familiares con los grupos de estudiantes. Se
quiere también investigar sobre el sistema escolar para saber el rumbo y
sentido de las decisiones políticas o sociales que modifican al
funcionamiento del sistema educativo.
La socioepistemología (del latín socialis y el griego επιστήµη,
episteme, "conocimiento" o "saber", y λόγος, logos, "razonamiento" o
"discurso"), también conocida como epistemología de las prácticas o
filosofía de las experiencias, es una rama de la epistemología que estudia la
construcción social del conocimiento. En este trabajo se asume la definición
de Ricardo Cantoral, según la cual, la socioepistemología es una
aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar los
fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una
perspectiva social, al incorporar al estudio de las interacciones entre
epistemología del conocimiento, con su dimensión sociocultural, los
procesos cognitivos que le son asociados y los mecanismos de
institucionalización vía su enseñanza.
La socioepistemología considera que los sistemas conceptuales
construidos por el individuo corresponden a tres vertientes; la primera trata
sobre la naturaleza misma del saber y establece que hablar del saber no se
limita a definir la relación que éste guarda con los objetos matemáticos,
sino a posicionar al ser humano (en sus distintas dimensiones) en el acto
mismo de construcción de sus sistemas conceptuales; la segunda vertiente
se ocupa de la práctica social como normativa de la actividad humana y
como base de la construcción de nuestros sistemas conceptuales, donde la
130
práctica social no se limita a caracterizar lo que el ser humano hace, sino a
problematizar las causas del por qué lo hace, y la tercera vertiente, el plano
teórico, se ocupa de caracterizar las articulaciones, con una fuerte evidencia
empírica, de nociones, procesos y términos del modelo.
El Modelo de Apercepción Geométrica se sustenta
epistemológicamente en la socioepistemología, ya que lo importante no es
solamente el contenido geométrico sino la intencionalidad que tiene en un
contexto social determinado, los motivos que promovieron su génesis y el
desarrollo del uso de las herramientas asociadas. De igual manera, las
prácticas geométricas tienen un carácter situado, ya que las mismas sólo
cobran sentido dentro de un contexto; y como elemento fundamental del
MAG, el proceso discursivo en la construcción social del conocimiento
se promueve a través de las interacciones y relaciones con los procesos de
visualización y construcción.
Fundamento Psicológico
En consonancia con la socioepistemología, como fundamento
psicológico del Modelo de Apercepción Geométrica, se asume el Enfoque
Histórico Cultural del Desarrollo Humano desarrollado por Lev Vigostsky y
sus seguidores, destacándose A. Leontiev y A. Luria, ya que los
planteamientos sobre el aprendizaje y el desarrollo, la zona de desarrollo
próximo y la interrelación de lo cognitivo y lo afectivo, se aproximan y se
integran de una manera armónica con los principios de la
socioepistemología.
Quizás el tema más sobresaliente en Vigostky es su énfasis en las
cualidades únicas de nuestra especie, el modo en que, como seres
humanos, cambiamos y nos realizamos en los distintos contextos de
nuestra historia y cultura, fundamentadas en las dimensiones culturalmente
elaboradas e históricamente creadas de la vida humana, que se hallan
ausentes de la organización social de los animales. Para Vigostky la
131
interacción entre aprendizaje y desarrollo es crucial, por lo cual es preciso
hacer referencia a algunas posiciones teóricas respecto a esta relación.
La primera de ellas se centra en la suposición de que los procesos de
desarrollo del niño son independientes del aprendizaje, donde éste último se
considera un proceso puramente externo que no está complicado de modo
activo con el desarrollo, simplemente utiliza sus logros en lugar de
proporcionar un incentivo o modificar el curso del mismo. Según esta
posición, se parte de la suposición de que procesos tales como la
deducción y la comprensión, la evolución de nociones acerca del mundo, la
interpretación de la causalidad física y el dominio de formas lógicas de
pensamiento y lógica abstracta se producen por sí solos, sin influencia
alguna del aprendizaje. Además, presuponen que el desarrollo es siempre
un requisito previo para el aprendizaje y que si las funciones mentales
(operaciones intelectuales) en un niño no han madurado lo suficientemente
como para poder aprender un tema determinado, toda instrucción resultará
inútil.
La segunda posición teórica sostiene que el aprendizaje es
desarrollo, y esta identidad es la esencia de un grupo de teorías que se
basan en el concepto de reflejo y establecen el dominio de los reflejos
condicionados, por lo cual, el proceso de aprendizaje está completa e
inseparablemente unido al proceso de desarrollo, siendo este concebido
como la elaboración y sustitución de respuesta innatas, por lo cual se
reduce básicamente a la acumulación de todas las respuestas posibles.
Una diferencia sustancial entre estas dos posiciones teóricas, se
establece en sus supuestos acerca de la relación temporal entre los
procesos evolutivos y de aprendizaje, para los primeros los ciclos evolutivos
preceden los ciclos de aprendizaje; que la maduración precede al
aprendizaje y que la instrucción debe ir a remolque del crecimiento mental.
Por su parte, los teóricos de la segunda posición establecen que ambos
procesos se dan simultáneamente.
132
Una tercera posición teórica respecto a la relación entre aprendizaje y
desarrollo, trata de anular los extremos de las anteriores afirmaciones
combinándolas entre sí. De esta manera se concibe que el desarrollo se
basa en dos procesos inherentemente distintos pero relacionados entre sí,
que se influyen mutuamente. Por un lado está la maduración, que depende
directamente del desarrollo del sistema nervioso; por el otro, el aprendizaje,
que, a su vez, es también un proceso evolutivo, por lo cual el proceso de
maduración prepara y posibilita un proceso específico de aprendizaje, y el
proceso de aprendizaje estimula y hace avanzar el proceso de maduración.
Para Vigostky, citado por Mora (2005), la enseñanza produce
desarrollo pero teniendo en cuenta aquellas funciones (o estructuras) que
están madurando, no para quedarse o adaptarse al nivel de desarrollo
alcanzado, sino para elevarlo hacia niveles superiores, constituyendo este
proceso de maduración de las funciones psíquicas superiores, el momento
óptimo para el aprendizaje. En este sentido, establece que toda enseñanza
desarrolladora se fundamenta en las leyes que dirigen el proceso de
aprendizaje. De esta manera, la instrucción escolar y el aprendizaje van por
delante del desarrollo cognoscitivo del niño.
A través del concepto de Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), postulada por Vigostky, resume, desde el punto de vista de la instrucción,
los principios básicos de su teoría cognoscitiva: la transformación de un
proceso interpersonal (social) en intrapersonal; los estadios de
internalización; y el papel de los discípulos experimentados. Para Vigostky,
la ZDP, es la distancia entre el nivel real de desarrollo (del niño),
determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema,
y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de
un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro
compañero más capaz.
Si nos preguntamos qué es el nivel real de desarrollo o qué es lo que
revela la resolución independiente de un problema, la respuesta más común
es que el nivel de desarrollo real del niño define funciones que ya han
133
madurado, es decir, los productos finales del desarrollo. Si un niño es capaz
de realizar esto o aquello de modo independiente, significa que las
funciones para tales cosas han madurado en él. Entonces, ¿qué es lo que
define la zona de desarrollo próximo, determinada por los problemas que los
niños no pueden resolver por sí solos, sino únicamente con la ayuda de
alguien?. Dicha zona define aquellas funciones que todavía no han
madurado, pero que se hallan en proceso de maduración, funciones que en
un mañana próximo alcanzarán su madurez y que ahora se encuentran en
estado embrionario.
La ZDP proporciona a los psicólogos y educadores un instrumento
mediante el cual pueden comprender el curso interno del desarrollo, pues se
toma en cuenta no solo los ciclos y procesos de maduración que ya se han
completado, sino también aquellos que se hallan en estado de formación,
que están comenzando a madurar y a desarrollarse.
En el Modelo de Apercepción Geométrica el diálogo es fundamental,
estando en concordancia con los planteamientos de Vigostky, el cual
considera el aprendizaje como un proceso profundamente social, donde se
resaltan los distintos papeles que desempeña el lenguaje en la instrucción y
en el desarrollo cognoscitivo mediato. De igual manera, la enseñanza
representa el medio a través del cual progresa el desarrollo, esto es, el
contenido socialmente elaborado del conocimiento humano (fundamentado
en los procesos discursivos) y la estrategia cognoscitiva necesaria para su
internalización son evocados por los estudiantes de acuerdo con sus niveles
evolutivos reales. De esta manera se explica como las personas a través
de la interacción social pueden desarrollarse intelectualmente, siendo la
sociedad un punto importante en el aprendizaje del ser humano ya que
somos seres sociables y comunicativos; describiendo el desarrollo como el
modo de internalizar elementos culturales como el lenguaje, propio del ser
humano que no pertenece a una sola persona sino a la comunidad o
sociedad a la cual pertenecemos. Por lo tanto la cultura practicada por
nuestra sociedad pasa a nosotros mediante el lenguaje.
134
El aprendizaje no es considerado como una actividad individual,
sino más bien social. Las discusiones en grupo y el poder de la
argumentación en la discrepancia entre individuos que poseen distintos
grados de conocimiento sobre un tema estimulan y favorecen el
aprendizaje.
Otro de los aportes fundamentales del EHC, lo constituye el
planteamiento de la unidad de lo cognitivo y lo afectivo, por la cual toda
acción cognitiva durante el proceso de aprendizaje se vincula con lo afectivo
y viceversa. (Mora, 2005),
Según esto, la unidad plena de lo cognitivo y lo afectivo en la
formación psicológica, tiene por un lado en la motivación un ente orientador
de la conducta a través de estrategias de actuación elaboradas
cognitivamente en planes y proyectos de acción donde la reflexión del
sujeto juega un papel esencial y por otra parte, en la medida en que la
ejecución del sujeto expresa en sus aspectos cognitivos e instrumentales un
carácter motivado, es decir las operaciones cognitivas del sujeto tienen un
componente motivacional de base que no sólo las orienta sino que también
las sostiene aún en condiciones difíciles de ejecución. González (1997).
De esta manera es claro que la personalidad que caracteriza la
conducta el hombre, no puede explicarse al margen de la indisoluble unidad
de lo cognitivo y lo afectivo.
El Enfoque Histórico Cultural del Desarrollo Humano, iniciado por
Vigostky, ha tenido en sus seguidores una fuente permanente de
investigación, sobre las implicaciones actuales de sus nociones, abarcando
aspectos referidos al juego, a la génesis de los conceptos científicos o la
relación del lenguaje y el pensamiento. Existe un acuerdo generalizado
sobre los supuestos que se han ido adaptando a los planteamientos
iniciales de Vigostky, que algunos autores denominan principios, pero en
atención a la evolución histórica de este enfoque y a los constantes
resultados de investigaciones, son considerados aquí, como supuestos
institucionalizados en la comunidad científica. Estos son:
135
1. El conocimiento se construye socialmente, lo que implica respecto a
los planes educativos, que estos deben incluir sistemáticamente la
interacción social, afianzándose los procesos discursivos y el diálogo
desarrollador.
2. La posibilidad de aprender con apoyo de los demás, no se agota en
la infancia, con lo cual la zona de desarrollo próximo es fundamental.
3. Dado que el conocimiento es construido a partir de la
experiencia, es conveniente explorarlas, potenciarlas e introducirlas en los
procesos educativos.
4. La enseñanza debe situarse en ambientes reales, en situaciones
significativas, aprovechando al máximo el contexto para generar una
enseñanza contextualizada.
5. El dialogo entendido como intercambio activo entre locutores
locutores es básico en el aprendizaje; desde esta perspectiva, el estudio
colaborativo intragrupal e intergrupal debe fomentarse; proporcionando a
los alumnos situaciones didácticas que promuevan la participación en
discusiones de alto nivel sobre el contenido de la asignatura.
6. El aprendizaje es un proceso activo, se experimenta, se
comenten errores, se buscan soluciones a través de la indagación, la
exploración, la investigación y la solución de problemas.
Es propicio establecer que la formación de la inteligencia y el
desarrollo de los procesos psicológicos superiores no pueden
comprenderse al margen de la vida social. De ahí la importancia, entre otros
factores, del lenguaje y el uso de herramientas, y de ahí, también, la
interacción entre aprendizaje y desarrollo infantil, todo esto vinculado a
través de una concepción de educación que se cimiente en una visión
realista del proceso de enseñanza.
Fundamentos Pedagógicos:
El movimiento denominado “matemática moderna” que se desarrolló
entre los años 1950 y 1970, generó diversas reacciones en la educación y la
136
didáctica de la matemática. Hans Freundenthal (1905-1990), matemático y
educador de origen alemán, como reacción a este movimiento y al enfoque
mecanicista de la enseñanza de la matemática que imperaba en la década
de los años 70, funda la corriente conocida como Educación Matemática
Realista (EMR).
Siendo miembro fundamental de Grupo Internacional de Psicología y
Educación Matemática (PME) y la Comisión Internacional para el Estudio y
el Mejoramiento de la Enseñanza de las Matemáticas (CIEAEM),
Freundenthal da inicio a una cruzada en contra de algunos postulados y
prácticas pedagógicas y didácticas que se desarrollaban en ese momento,
como lo eran la teoría de los objetivos operacionales; los tests
estructurados de evaluación; la investigación educativa estandarizada; la
aplicación directa del estructuralismo y el constructivismo Piagetiano al aula;
la separación entre investigación educativa, desarrollo curricular y práctica
docente; y la matemática "moderna" en la escuela. (Gorgorió y otros, 2000).
Las ideas centrales de la Educación Matemática Realista, están en
concordancia con los planteamientos generales de la socioepistemología y
el enfoque histórico cultural del desarrollo humano, ya que las mismas se
circunscriben a pensar la matemática como una actividad humana,
de modo tal, que debe existir una matemática para todos, al alcance de
todos y propiciada por la interrelación con el otro.
De igual manera en la Educación Matemática Realista, se interpreta y
acepta que el desarrollo de la comprensión matemática (desde el punto de
vista, aritmético, algebraico, topológico, etc.) pasa por distintos niveles
donde los contextos y los modelos poseen un papel relevante y que ese
desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico denominado reinvención
guiada en un ambiente de heterogeneidad cognitiva. Esta reinvención
guiada de la matemática requiere de la fenomenología didáctica como
metodología de investigación, esto es, la búsqueda de contextos y
situaciones que generen la necesidad de ser organizados
matemáticamente, siendo las dos fuentes principales de esta búsqueda la
137
historia de la matemática y las invenciones y producciones matemáticas
espontáneas de los estudiantes.
Con base en lo anterior , la Educación Matemática Realista se
constituye en el tercer pilar fundamental del Modelo de Apercepción
Geométrica, ya que sus principios se encuentran profundamente
relacionados con la concepción del pensamiento geométrico y de la
estructura de niveles que se aplican en el MAG.
Algunos principios de la Educación Matemática Realista tienen su
origen en el punto de vista del aprendizaje y otros están más estrechamente
ligados con la perspectiva de la enseñanza. Según Alagia y otros (2005),
los principios son:
1. Principio de Actividad: sostiene que la matemática es
accesible a todas las personas y la mejor forma de aprenderla es
haciéndola. La matemática posee un valor educativo en la medida en que
permite comprender y participar de los modos en que esta disciplina
organiza distintas esferas de nuestro entorno social y natural. Dado que la
educación encierra tanto el logro de los objetivos de la instrucción formal
como el desarrollo de actitudes de toda clase: morales, sociales,
emocionales, religiosas y cognitivas, para lograr del ser humano un hombre
culto y formado, se propicia una matemática para todos, reconociendo que
no todos los estudiantes han de llegar a ser matemáticos, y que para una
mayoría la matemática a utilizar será la que les ayude a resolver los
problemas de la cotidianidad.
2. Principio de Realidad: la meta global de la educación matemática
es que los estudiantes utilicen su comprensión y herramientas matemáticas
para resolver problemas, esto implica que deben aprender las matemáticas
de modo que sean útiles. Este principio establece que si la matemática
surge como matematización (organización) de la realidad, el aprendizaje
matemático debe originarse también de la realidad. No se pretende
exclusivamente matematizar la realidad para orientar el aprendizaje del
alumno, es decir, no se trata de utilizar la realidad perceptible o
138
experimentada como única fuente de actividades en el aula de matemática,
hacerlo limitaría seriamente las oportunidades para que los alumnos
aprendieran a matematizar. Lo que se sugiere es desarrollar en el aula una
experiencia de enseñanza aprendizaje, donde haya espacio para preguntas,
para que los alumnos contribuyan a las discusiones, no solo acerca de sus
estrategias y soluciones, sino también en lo que respecta a la interpretación
de las situaciones problemáticas mismas y donde la socialización con sus
iguales sea el eje central del aprendizaje.
3. Principio de Reinvención: la reinvención guiada es entendida por
Freundenthal (1991) como un balance sutil entre la libertad de inventar y la
fuerza de guiar. Es decir, la conjugación de los roles y responsabilidades del
docente y del alumno, donde la educación matemática ofrece a los alumnos
la oportunidad, guiada por el maestro, de reinventar la matemática (no
crean, ni descubre, sino que reinventan modelos, conceptos, operaciones y
estrategias matemáticas con un proceso similar al que usan los
matemáticos al inventarlas). En este sentido, el docente asume el papel de
mediador entre los alumnos y las situaciones problemáticas en juego, entre
los alumnos entre sí, y entre las producciones informales de los alumnos y
las herramientas formales, de la matemática como disciplina. Esto le
permitirá conocer las comprensiones y habilidades de los mismos, para
organizar la actividad en el aula y dar lugar a esta reinvención y a los
cambios de nivel, aspecto este, que esta en concordancia con los usos del
Modelo de Apercepción Geométrica propuesto. 4. Principio de Niveles: establece que los alumnos pasan por
distintos niveles de comprensión, denominados (a) situacional, donde el
conocimiento de la situación y las estrategias es utilizado en el contexto de
la situación misma apoyándose en los conocimientos informales, el sentido
común y la experiencia; (b) referencial, donde aparecen los modelos
gráficos, materiales y las descripciones, conceptos y procedimientos que
esquematizan el problema, referidos a la situación particular; (c) general, el cual se desarrolla a través de la exploración, reflexión y generalización de
139
lo aparecido en el nivel anterior pero propiciando una focalización
matemática sobre las estrategias, que supera la referencia al contexto y; (d) formal, donde se trabaja con los procedimientos y notaciones
convencionales, y están ligados al uso de estrategias, modelos y lenguajes
de distinta categoría cognitiva, sin constituir una jerarquía estrictamente
ordenada. (Freundental, 1991; Gravemeijer, 2002).
Estos niveles son dinámicos y un alumno puede funcionar en diferentes
niveles de comprensión para contenidos distintos o partes de un mismo
contenido, lo que se denomina globalidad o localidad.
5. Principio de Interacción: el aprendizaje de las matemáticas es
considerado como una actividad social. La educación debe ofrecer a los
estudiantes oportunidades para darse a conocer unos a otros sus
estrategias e inventos. Al escuchar lo que otros averiguan y comentar estos
hallazgos, los estudiantes toman ideas para mejorar sus estrategias. Más
aún, la interacción suscita reflexión, lo que permite a los estudiantes
alcanzar un nivel más elevado de comprensión. La enseñanza a clases
completas desempeña un importante, sin embargo, esto no significa que la
clase entera avanza colectivamente y que todos los estudiantes siguen el
mismo camino y alcanzan igual nivel de desarrollo al mismo tiempo. Por el
contrario, dentro de la EMR se considera a los niños como individuos, cada
uno de los cuales sigue una senda individual de aprendizaje. Aunque, hay
una fuerte preferencia por mantener junta la clase como unidad de
organización, pero adaptando las actividades de enseñanza y aprendizaje, a
los diferentes niveles de habilidad de los estudiantes, dando a estos,
problemas susceptibles de ser resueltos en diferentes niveles de
comprensión
6. Principio de Entrelazamiento: para resolver problemas
contextualizados potencialmente significativos, en general, se debe aplicar
una amplia variedad de herramientas y razonamientos matemáticos, lo que
implica la coherencia al currículo. Este principio tiene que ver no sólo con la
140
relación mutua entre los diferentes contenidos de las matemáticas; también
se lo encuentra en los distintos elementos de un mismo contenido.
Estos principios de la Educación Matemática Realista, que
fundamentan desde el punto de vista didáctico y pedagógico, el Modelo de
Apercepción Geométrica, se interrelacionan a través de la concepción de
pensamiento geométrico, que subyace en el modelo teórico propuesto.
El Pensamiento Geométrico El pensamiento ha sido considerado como una actividad mental no
rutinaria que requiere un esfuerzo para enfrentar un problema, conocerlo y
resolverlo. También es entendido como la capacidad de anticipar las
consecuencias de la conducta sin realizarla. (Quintana, 2008).
Es una experiencia interna que posee una serie de características
particulares, que lo diferencian de otros procesos, como por ejemplo, que no
necesita de la presencia de las cosas para que éstas existan (la
abstracción), pero la más importante es su función de resolver problemas y
razonar.
Los estudios de la psicología cognitiva, representada por Piaget y
Vigostky, se centran en los procesos de pensamiento, la elaboración de
información de ideas, llamando a estas elaboraciones, percepciones y su
procesamiento cogniciones, ha basado fundamentalmente sus
investigaciones en tres aspectos: el razonamiento deductivo, el
razonamiento inductivo y la solución de problemas, aunque, no son vistos
de manera aislada, ya que, el pensamiento opera en forma dual inductivo-
deductivo, cuando se resuelven problemas.
El pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer
afirmaciones sobre casos particulares, movilizándose de lo general a lo
particular, con el objeto de inferir una conclusión a partir de una o varias
premisas.
141
El pensamiento inductivo, por su parte, es aquel proceso en el que
se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general, justo lo
contrario que con la deducción. La base de la inducción es la suposición de
que si algo es cierto en algunas ocasiones, también lo será en situaciones
similares aunque no se hayan observado. Tanto la predicción (tomar
decisiones o planear situaciones, basadas en acontecimientos futuros
predecibles) como la causalidad (la necesidad de atribuir causas a los
fenómenos que ocurren) son consideradas operaciones inductivas,
realizadas frecuentemente por el individuo en su vida diaria. (González,
1990).
La solución de problemas, es concebida de diferentes maneras,
Labarrere (1987) los describe como una actividad cognoscitiva en la que
van ocurriendo transformaciones y en la que el alumno modela el contenido
del texto en función de un lenguaje más comprensible. El término resolución
de problemas ha sido usado con diversos significados, que van desde
trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer matemática profesionalmente.
Campistrous y Rizo (1996) plantean que un problema es toda situación en
la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a
transformarlo, pero consideran como requisitos indispensables para dicha
evolución, el desconocimiento por el alumno de la situación problemática y
la motivación del mismo.
La definición anterior adquiere un extraordinario valor al considerar el
problema no solo en el plano externo, o sea, la formulación de la tarea, sino
sobre la base de la transformación en el plano interno de la solución del
problema a partir del contenido (situación), condiciones (datos) y exigencia
(pregunta). Un problema es un obstáculo que se interpone de una u otra
forma ante nosotros, impidiéndonos ver lo que hay detrás. Lo cierto es que
no hay consenso entre los psicólogos sobre lo que es exactamente un
problema, y por tanto difícilmente puede haberlo en lo que supone una
conducta de solución de problemas, lo que ha generado un sin número de
modelos o propuestas didácticas que proponen algoritmos para resolver
142
problemas, como los planteamientos de Polya, Schoenfeld, Mason, Burton y
Stacey, entre otros.
Los procesos de pensamiento en los alumnos han recibido una gran
contribución para su desarrollo de la Matemática en general, y de los
contenidos geométricos en particular, hasta el punto que se ha acuñado el
término pensar matemáticamente, cuyo significado varia según quien la
estudie. Así tenemos, que para los que estudian la Matemática como
ciencia es un estilo que requiere de formas abstractas del pensamiento y
para los que la reciben en su instrucción, es una herramienta para resolver
problemas o situaciones de la vida. Todo ello en un entorno social donde la
sociedad da la connotación de la ciencia.
Para autores como Schoenfeld (1992), se puede aprender a pensar
matemáticamente, lo cual implica desarrollar un punto de vista matemático,
valorando el proceso de matematización y de abstracción, teniendo
predilección por su aplicación y, desarrollar las competencias para el uso
de los instrumentos al servicio del propósito de la dualidad entre la
estructura de entendimiento y el sentido de cómo hacer matemáticas. Esto
nos lleva a considerar que el pensamiento matemático es aquel que se
potencia a través de los conocimientos, habilidades y capacidades
matemáticas que sirven para enfrentar y resolver problemas de la vida y
que, por tanto, debe ser lo más flexible, creativo, divergente, productivo y
verdadero, como la propia realidad objetiva.
Cada rama de la Matemática le imprime estilos de pensamiento muy
propios a ese pensamiento matemático. Por las insuficiencias que aún
persisten, por las potencialidades que aporta, por constituir un problema
global y por las necesidades de nuestro contexto, el pensamiento
geométrico debe constituir hoy un centro de atención en la escuela y en la
investigación en educación matemática.
En este sentido, en el Modelo de Apercepción Geométrica, el
pensamiento geométrico, es una forma de pensamiento matemático, que
se basa en el conocimiento de un modelo del espacio físico tridimensional.
143
Este pensamiento, como reflejo generalizado y mediato del espacio
físico tridimensional tiene por un lado una fuerte base sensoperceptual que
se inicia desde las primeras relaciones del niño con el medio y que se
sistematiza y se generaliza a lo largo del estudio de los contenidos
geométricos en la escuela, y por otro lado cuando el individuo comienza a
interiorizar; es decir, cuando desarrolla la capacidad de internalizar las
propiedades geométricas observadas, y con ello comienza el conocimiento
geométrico (apercepción). Dicha actividad del pensamiento en el MAG,
requiere de una voluntad explícita de reflexionar sobre lo observado y ahí
comienza el papel de la escuela para que el individuo trate de concienciar
sus experiencias y poner en marcha su pensamiento geométrico, esto
provoca su reflexión.
El pensamiento geométrico en el marco de MAG, supone no
solamente reconocer visualmente una determinada forma y saber el nombre
correcto; sino que implica también, explorar conscientemente el espacio,
comparar los elementos observados, establecer relaciones entre ellos y
expresar verbalmente tanto las acciones realizadas como las propiedades
observadas, para de ese modo interiorizar el conocimiento; así como,
descubrir propiedades de las figuras y de las transformaciones, construir
modelos, elaborar conclusiones para llegar a formular leyes generales y
resolver problemas. Además, el individuo debe construir el propio esquema
mental del espacio, incorporando en él, progresivamente, todas las
nociones y propiedades descubiertas con su correspondiente vocabulario
geométrico.
De estas consideraciones se establece que en el Modelo de
Apercepción Geométrica, el pensamiento geométrico, es entendido como
la integración y el dominio del alumno de tres procesos bien diferenciados
como lo son: el proceso de visualización, donde el alumno realiza
representaciones espaciales para la ilustración de proposiciones, maneja
objetos reales observados globalmente y como unidades, identifica,
describe y crea figuras geométricas, fundamentado en los niveles de
144
percepción propuestos por Duval (1998) y en las habilidades relacionadas
con la visualización de Bressan y otros (2000); el proceso de construcción, que involucran el uso de instrumentos del dibujo, por una
parte, y por otro lado, el andamiaje axiomático (axiomas, lemas, teoremas,
corolarios) que permite construir una deducción, una demostración y en
general las habilidades lógicas relacionadas con las habilidades de
razonamiento analítico, es decir, las necesarias para desarrollar un
argumento lógico y el proceso discursivo, donde se promueve la
producción de discursos (orales y escritos) en los que los alumnos explican,
justifican y describen el procedimiento que han llevado a cabo para la
resolución de problemas, empleando el lenguaje geométrico
correspondiente a su nivel de pensamiento geométrico. (ver Gráfico 9).
PROCESOS DE
CONSTRUCCIÓN
PROCESOS
DISCURSIVOS
PROCESOS DE
VISUALIZACIÓN
PE N S A M IE N T O
G E O M É T R IC O
Gráfico 9. El Pensamiento Geométrico
Estos tres procesos de pensamiento geométrico se constituyen en los
ejes fundamentales del Modelo de Apercepción Geométrica, ya que los
145
mismos están presentes en todos los niveles del pensamiento geométrico
de un individuo y permean cada uno de ellos.
Procesos que Involucra el Conocimiento de la Geometría El Modelo de Apercepción Geométrico (MAG) se define como el
conjunto de niveles del pensamiento geométrico de un individuo en
correspondencia con las habilidades geométricas expresadas en los
procesos que involucra el conocimiento de esa rama de las Matemáticas.
Estos procesos son los de visualización, de construcción y el
discursivo. Veamos con detenimiento cada uno de ellos.
Procesos de Visualización La visualización es entendida como la actividad de razonamiento o
proceso cognitivo que usa elementos visuales o espaciales, tanto mentales
como físicos, para resolver problemas o probar propiedades. (Gutiérrez,
1998)
De acuerdo con esto, visualizar implica poder representar lo mental a
través de formas visuales externas (dibujos, planos, gráficas, etc.) así como
también, ser capaz de representar en la mente objetos visuales reales o no
(representaciones internas). En Geometría, se pretende que aquellas ideas,
conceptos y métodos matemáticos ricos en contenidos visuales,
representables intuitiva o geométricamente sean aprovechados para
presentar y manejar dichos conceptos y métodos; y además manifestarlos
para resolver problemas del campo de estudio.
En el Modelo de Apercepción Geométrica, los procesos de
visualización se refieren a las actividades que realiza el alumno, que le
permiten realizar representaciones espaciales para la ilustración de
proposiciones, manejar objetos reales observados globalmente y como
unidades, identificar, describir y crear figuras geométricas. Los procesos de
visualización en el MAG se fundamentan en los niveles de percepción
146
propuestos por Duval (1998) y en las habilidades relacionadas con la
visualización de Bressan y otros (2006). (ver Gráfico 10 )
PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
ALUMNONIVELES DE
PERCEPCIÓN DE DUVAL (1998)
HABILIDADESDE BRESSAN
Y OTROS (2006)
permiten
•Representaciones espaciales.•Manejar objetos reales.•Identificar, describiry crear figuras Geométricas.
realizar
•Nivel Glogal•Nivel de Percepción de Elementos Constitutivos.•Nivel Operativo
•Coordinación visomotora•Percepción figura-fondo•Constancia perceptual•Percepción posicional•Relaciones espaciales•Discriminación visual•Memoria visual.
sonson
Se fundamenta
en en
Gráfico 10. Procesos de Visualización
Los niveles de percepción de Duval, incluyen (a) El nivel global
de percepción visual: considerado el más elemental donde se da
percepción global de las imágenes, asociándose figuras a objetos físicos y
destacándose la forma integral de la imagen. Contextualizando este nivel al
conocimiento geométrico, la percepción global actúa para reconocer formas
aproximadas que se asocian con nombres de figuras geométricas. En esta
percepción predominan aspectos no matemáticos como la posición (boca
arriba, boca abajo) o el tipo de trazo (grueso, delgado). Por esta razón, este
nivel debe dar paso, en la enseñanza de la geometría, lo más pronto
posible, a una mirada matemática de las figuras que active la mente hacia la
búsqueda de objetos geométricos y sus relaciones; (b) El nivel de
percepción de elementos constitutivos, donde no solamente se percibe la
forma global, sino que también la imagen como constituida por elementos
de una misma dimensión o dimensiones inferiores, así, una imagen
tridimensional se verá como formada por figuras tridimensionales o
bidimensionales, una imagen bidimensional se verá como formada por
147
figuras bidimensionales, unidimensionales (segmentos) o de dimensión cero
(puntos) y; (c) El nivel operativo de percepción visual, permite operar sobre
las figuras, realizando verdaderas transformaciones visuales, ya no se trata
únicamente de la percepción de características de una configuración, sino
de una manipulación mental de las subconfiguraciones, para obtener otra
disposición significativa y útil. A partir de una configuración se reorganizan
los elementos constitutivos de una figura, que se mueven como piezas de
un rompecabezas, para lograr otra configuración relevante para la solución
de un problema.
Las habilidades relacionadas con la visualización de Bressan y otros (2006), se condensan en siete aspectos que incluyen: (a)
Coordinación visomotora, entendida como la habilidad para coordinar la
visión con el movimiento del cuerpo, expresado en actos como unir puntos
en un orden dado o anticipando un dibujo o completar un trazado sin
levantar el lápiz y sin pasar dos veces por el mismo lugar; (b) Percepción
figura-fondo, donde se pone de manifiesto la habilidad de descubrir e
identificar figuras dentro de una figura compuesta o entre figuras
sobrepuestas; (c) Constancia perceptual o constancia de forma tamaño y
posición, entendida como la habilidad para reconocer que un objeto posee
propiedades invariantes tales como el tamaño, textura, forma o posición a
pesar deque su imagen cambia al mirárselo desde distintos puntos de vistas
al cambiar de posición el observador; (d) Percepción de la posición en el
espacio, donde se evidencia la habilidad de invertir, desplazar y rotar figuras
cambiando la posición de ciertos detalles, mediante lo cual se dibujan
imágenes de figuras por desplazamientos, rotaciones y simetrías; (e)
Percepción de relaciones espaciales entre objetos, entendida como la
habilidad para ver dos o más objetos, pinturas y/o imágenes mentales
simultáneamente en relación con uno mismo y entre sí; (f) Discriminación
visual, entendida como la habilidad de distinguir similitudes y diferencias
entre objetos, dibujos o imágenes mentales entre sí; y (g) Memoria visual, la
cual consiste en la habilidad de recordar con exactitud un objeto que no
148
permanece a la vista y relacionar sus características con otros objetos
presentes o no.
La visualización como proceso organizado en niveles y habilidades
de percepción, se potencia y se consolida a través del lenguaje oral y
escrito, por lo cual los procesos discursivos se constituyen en
fundamentales en el conocimiento de la geometría, pues los mismos
permiten traducir las visualizaciónes a un lenguaje universal y
estandarizado.
Procesos Discursivos En atención a estas consideraciones, los procesos discursivos en el
MAG son entendidos como la competencia del alumno para leer, interpretar
y comunicar con significado y sentido, en forma oral y escrita, contenidos
geométricos usando el vocabulario y los símbolos de la geometría en
forma adecuada. (ver Gráfico 11 ).
COMPETENCIA DEL ALUMNO
LEER INTERPRETAR COMUNICAR
para
ORAL Y ESCRITO
LENGUAJE NATURAL YSIMBOLICO
de forma
utilizando
se entiende
Gráfico 11. Procesos Discursivos
Los procesos discursivos se soportan en las habilidades de
comunicación de Dickson y otros (1991), las cuales son: escuchar, localizar,
leer e interpretar información geométrica presentada en diferentes formatos;
asimismo, también lo son el denominar, definir y comunicar información
149
geométrica en forma clara y ordenada, utilizando el lenguaje natural y el
simbólico apropiado.
Para desarrollar estas habilidades de comunicación se sugiere una
serie de actividades como el seguir instrucciones, elegir las respuestas más
adecuadas de ente varias alternativas, completar oraciones, resolver
crucigramas con vocabulario y símbolos geométricos; crear símbolos y
compararlos con los convencionales, asignar significado a los símbolos
convencionales, utilizar diccionarios y textos para contrastar significados,
relacionar palabras con definiciones o símbolos con significados, hallar
equivalencias entre palabras, símbolos y definiciones, analizar distintas
definiciones de un mismo símbolo, elemento o concepto, describir objetos,
propiedades y relaciones entre objetos. Además, fundamentar oralmente y
por escrito, en forma clara y concisa, un razonamiento o procedimiento.
Los procesos discursivos, en este sentido, permiten potenciar lo que
Nesher (2000), denomina hablar matemáticamente, en el sentido de utilizar
el lenguaje matemático, aplicándolo a variados contextos, pero teniendo en
cuenta su propia sintaxis. Es decir, cuando los alumnos producen este tipo
de argumentos, generan aprendizaje matemático; en particular cuando los
alumnos comunican sus estrategias geométricas, desarrollan aprendizaje
geométrico; esta modalidad comunicativa, favorece la competencia
comunicativa y la mejora de las capacidades geométricas en tanto que
propicia la interacción, el intercambio y la reflexión.
En el Modelo de Apercepción Geométrica, los procesos discursivos
promueven la producción de discursos (orales y escritos) en los que los
alumnos explican, justifican y describen el procedimiento que han llevado a
cabo para la resolución de problemas, empleando el lenguaje geométrico
correspondiente a su nivel de pensamiento geométrico. El análisis de los
discursos escritos y el papel de la comunicación, en el MAG asume una
relevancia especial, debido a que se desarrolla en un contexto donde la
producción de discursos escritos juega un rol fundamental ya que adquiere
150
una dimensión comunicativa real e imprescindible en las interacciones
profesor - alumno y alumno - alumno.
Resulta esencial que en la comunicación del alumno y del docente,
existan hilos conductores que permitan analizar los diversos significados e
interpretaciones de las palabras, frases y símbolos, de manera que cada
uno conozca claramente lo que el otro entiende y quiere decir al utilizar
determinadas expresiones geométricas. Este aspecto es único y
fundamental, cuando se lleva a cabo la planificación de las actividades en el
aula, ya que si el docente logra una comunicación efectiva en términos
geométricos, la movilidad del alumno en los niveles de pensamiento
geométrico se dará de manera más dinámica y eficaz.
La adquisición de los conceptos y el lenguaje se constituye en un
proceso dinámico y el trabajo en equipo y la socialización, estimula y
promueve tal dinamismo ya que permite que los alumnos ejerciten la
comunicación de sus ideas, forzándolos a externalizar las asociaciones
mentales que hacen entre los símbolos y sus significados, así como de los
conceptos que usan o elaboran.
Esta verbalización hace posible que el docente observe en los
estudiantes las ideas inmaduras o erróneas y de esta manera reorganice la
orientación de la enseñanza. Por ello resulta muy necesario que el profesor
interprete el vocabulario y las expresiones lingüísticas que usan sus
alumnos y que al mismo tiempo se ocupe de mejorarlos y rigorizarlos,
dándoles mejores herramientas para expresar sus pensamientos.
Los procesos discursivos se constituyen en un factor primordial para
el alumno al transmitir de forma oral o escrita sus conocimientos
geométricos, además, para construir figuras geométricas utilizando los
instrumentos de precisión y la producción y construcción de
demostraciones y argumentos sustentados en los principios de la
geometría, lo que se denomina los procesos de construcción geométrica.
151
Procesos de Construcción Es preciso destacar que en el MAG, una construcción geométrica se
diferencia entonces de un simple dibujo, legitimando de cierta manera las
conclusiones que pueden sacarse de ella, pues las propiedades presentes
no son resultado del azar, sino que son construidas de manera explícita, o
son un resultado necesario de esa actividad. Más allá de la concreción de
los trabajos realizados sobre el papel, o en la pantalla de un computador,
estos rebasan el marco de lo concreto e invaden terrenos teóricos. Es
decir, las herramientas para producir los dibujos y sus reglas de uso
corresponden a axiomas y teoremas de un mismo sistema teórico que no
siempre está explícito, ya que, siempre es posible hallar un teorema que
valide una construcción geométrica y establezca las relaciones entre los
elementos de la figura.
De lo anterior se desprende el segundo aspecto que conforma los
procesos de construcción del MAG, a saber, las habilidades lógicas
relacionadas con las habilidades de razonamiento analítico, las cuales se
evidencias en los procesos de abstraer conceptos y relaciones, generar y
justificar conjeturas y formular contraejemplos. Para potenciar la
construcción de argumentos lógicos, se deben promover en los alumnos
una serie de actividades que ayuden a reforzar el razonamiento lógico,
desde sus dos perspectivas, la inducción y la deducción. Estas actividades
pueden agruparse, como sigue; (a) dadas determinadas propiedades de un
objeto, inferir, de qué objeto geométrico se trata, (b) clasificar objetos
geométricos por sus atributos y propiedades, (c) extraer reglas y
generalizaciones, a partir de varis ejemplos, y (d) definir una figura en base
a la identificación de un conjunto mínimo de sus propiedades.
Axiomas, teoremas y definiciones no son argumentos que sustenten
una tesis o una opinión sino eslabones de una cadena, articulados
estratégicamente para llevar de la hipótesis a la tesis. Para usar un teorema
152
se requiere que éste se ajuste a las proposiciones ya articuladas y se
ensamble con las afirmaciones a las que se tiene previsto alcanzar.
PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN
INSTRUMENTOS DE DIBUJO
HABILIDADES DE RAZONAMIENTO ANALITICO
para
•Reproducción exacta o en distintos tamaños.•Construir en basea propiedades.•Representar figuras ycuerpos geométricos.
•Abstracción de conceptosy relaciones.•Generar y justificar conjeturas•Formular contraejemplos.
involucran
el desarrollouso
a través de
Gráfico 12. Procesos de Construcción.
Hay un profundo cambio en la percepción de los objetos cuando nos
movemos de la geometría de la evidencia visual (de los objetos construidos
con instrumentos de dibujo) a la geometría de los objetos y relaciones
involucrados en un sistema deductivo (generados a partir del razonamiento
analítico).
Pero la existencia de este cambio conceptual no implica que el
conocimiento anterior de los alumnos no sea útil cuando se enfrentan a la
tarea de demostrar. Tampoco esto implica que los procesos de resolución
de una prueba sean puramente deductivos. En el amplio espectro entre
estos dos extremos se ubica el espacio de la exploración y la creatividad,
fuente permanente de investigación e interés del trabajo de la geometría
escolar.
153
Niveles de Pensamiento Geométrico Las investigaciones y desarrollos teóricos llevadas a cabo por los
esposos Van Hiele, los estudios y comprobaciones de investigadores como
Andonegui, Zambrano y otros, han demostrado que efectivamente el
pensamiento matemático (algebraico, aritmético, geométrico, etc.), se
desarrolla en el individuo en un ciclo creciente, donde se presentan distintos
niveles en función de las competencias que se manejen.
Además, con una instrucción con abundantes elementos
contextualizados y físicos es posible orientar el ascenso y dominio de los
contenidos por parte de los alumnos.
En este sentido, en el Modelo de Apercepción Geométrica, el
pensamiento geométrico se produce en niveles, cada uno de los cuales
posee una serie de descriptores característicos por contenido, que
permitirán la ubicación precisa de un alumno en función de las
competencias y dominio de los proceso de visualización, construcción y
discursivos que supone el conocimiento de la geometría. (ver Gráfico 13)
ENTORNOVISUAL
DESCRIPCIÓNINTUITIVA
TEÓRICO/CLASIFICACIÓN
ANALÍTICA
DEMOSTRACIÓNY
TRANSFERENCIA
formas
configuraciones
caracterizar
deducción informal
teorema contexto
Gráfico 13. Niveles de Pensamiento Geométrico
154
En este sentido, la descripción y análisis de los niveles de
pensamiento geométrico que constituyen el Modelo de Apercepción
Geométrica, se presenta a continuación.
Nivel I: ENTORNO VISUAL: en este primer nivel, la
percepción (entendida como la organización, interpretación, análisis e
integración de los estímulos, captados por nuestros órganos sensoriales y
procesados por nuestro cerebro) es la fuente del razonamiento, ya que la
forma y apariencia de los objetos, sin tomar en cuenta sus características
geométricas determinan su identificación y reproducción. En este nivel no se
produce la clasificación y ordenación con base en propiedades, se limita a la
identificación por comparación. La manipulación de instrumentos de
precisión se reduce a tratar de reproducir el objeto en base a su aspecto
físico. El lenguaje geométrico se circunscribe a los conceptos primitivos de
la geometría (punto, recta, plano, circulo) o sus derivaciones (redondo,
derecho, etc).
Nivel II: DESCRIPCIÓN INTUITIVA: en este nivel, aunado a la
percepción, entra en juego las propiedades características de los objetos,
figuras y cuerpos. Estas propiedades se relación con la forma, la extensión,
la posición relativa y las característica de las mismas, como lo son su
estructura dimensional, si delimitan o describen superficies, si delimitan y
describen volúmenes. El alumno organiza las figuras en base a sus
propiedades y es capaz de establecer comparaciones que generan
clasificaciones de las figuras en atención a elementos comunes. La
identificación de propiedades de las figuras, promueve una manipulación
más efectiva de instrumentos de precisión, por lo cual no es imprescindible
la presencia visual del objeto a reproducir, ya que con la información que
aportan estas propiedades se construye la representación en el plano de la
figura. El lenguaje geométrico es considerado fundamental para lograr
descripciones rigurosas de las propiedades de las figuras, además de ser
155
fundamental a la hora de realizar las construcciones geométricas sin la
presencia visual de las figuras.
Nivel III: TEÓRICO/CLASIFICACIÓN ANALITICA: En este nivel, los
estudiantes pueden formar definiciones abstractas, distinguiendo entre la
necesidad y la suficiencia del conjunto de condiciones para un concepto.
Pueden clasificar figuras jerárquicamente y dar argumentos informales para
justificar esas clasificaciones. Pueden descubrir propiedades de clases de
figuras por deducción informal. Como las figuras pueden aparecer como
conjuntos de propiedades de diversas maneras, las definiciones pueden ser
vistas no como descripciones, sino como un método de organización lógica.
En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son
propiedades de tipos de figuras. Los instrumentos de dibujo son
fundamentales en este nivel, ya que las construcciones geométricas
conforman el eje central de la clasificación. El lenguaje geométrico adquiere
formalismo y rigor, pero aún se desconoce la simbología y los métodos de
demostración e inferencia.
Nivel IV: DEMOSTRACIÓN Y TRANSFERENCIA. En este nivel se
comprende el significado de la deducción como herramienta fundamental
del razonamiento lógico y como una manera de establecer una teoría
geométrica. Los axiomas, postulados, lemas, corolarios, definiciones,
teoremas y demostraciones son entendidos, lo que le permite al alumno
poder construir demostraciones, percibir la posibilidad del desarrollo de una
prueba de varias maneras, entender la interacción de condiciones
necesarias y suficientes y distinguir entre una afirmación y su recíproca, así
como, poder diferenciar las formas de demostración en geometría y decidir
cual de ellas es más eficaz para realizar una demostración determinada. La
capacidad para llegar a entender y ejemplificar las llamadas geometrías no
euclideanas, como lo son, la geometría circular, elíptica, afín, de incidencia,
fractal, entre otras. Los instrumentos de dibujo se constituyen en meras
referencias y como elementos de ayuda en la demostración. De igual
manera puede transferir los contenidos geométricos a otros contextos y
156
áreas del conocimiento, donde la geometría se convierte en una
herramienta para visualizar y entender los fenómenos físicos. El lenguaje
Geométrico es estructuralmente técnico, basado en la simbología y la
nomenclatura teórica.
Esta caracterización de los niveles de pensamiento geométrico y la
descripción detallada de las competencias del alumno en los procesos de
visualización, construcción y discursivos, le permitirá por un lado al docente
determinar las competencias de sus alumnos de manera individual y grupal
con lo cual, podrá potenciar los procesos geométricos que considere deben
ser reforzados o consolidados. Por el lado del alumno, se establecerán
puentes de comunicación con el docente, ya que será tomado en cuenta de
manera individual y sus conocimientos serán valorados y orientados
independientemente del grupo, pero a la vez integrado en un todo, que
estrechará sus relaciones con sus pares que se encuentre en su mismo
nivel y aquellos que estén en posiciones distintas.
El dominio de los procesos de visualización, construcción y
discursivo, presentes en cada nivel del Modelo de Apercepción Geométrica,
permite una ubicación precisa del alumno en un nivel determinado, pero con
el grado de apropiación correspondiente, a saber, EN PROGRESO o
CONSOLIDADO.
Como ya se indicó, el movimiento o ascenso en los niveles se
produce de forma espiralada, continua y pausada, por lo cual es necesario
haber adquirido todas las destrezas correspondientes a los niveles
anteriores para que el alumno trabaje bien en un nivel subsiguiente. De
igual manera, cada nivel tiene asignado un lenguaje geométrico oral y
escrito determinado, entendiendo por ello no sólo las palabras o
construcciones gramaticales empleadas, sino también, el significado como
fruto de la interpretación.
De igual manera, la adquisición de los sucesivos niveles no es
exclusivamente un aspecto ligado al desarrollo, pues interviene en gran
medida la instrucción recibida y la experiencia personal, por lo cual en el
157
proceso de enseñanza aprendizaje se debe aprovechar los beneficios de las
múltiples estrategias y medios instruccionales que puedan utilizarse, con
especial énfasis en aspectos lúdicos y contextualizados a la hora de diseñar
las diferentes actividades de aprendizaje.
Siendo que el nivel de pensamiento geométrico varía de un contenido
a otro, un alumno puede estar ubicado en el Nivel 3 (Teórico/Clasificación
Analítica) en el contenido Triángulo, pero puede estar en el Nivel 1 (Entorno
Visual) en el contenido Circunferencia y Círculo), es necesario profundizar
en el análisis y desarrollo de los descriptores característicos de cada nivel
por contenido geométrico. De esta manera, se seleccionan los contenidos
geométricos por bloque, presentes en el currículo educativo, y se
desarrollan de tal manera que se genere una batería de indicadores para
cada uno de ellos. Estos contenidos geométricos por bloques, se agruparían
por ejemplo, de la siguiente manera: Conceptos Primitivos (recta, punto y
plano), Triángulos, Cuadriláteros, Razones y Proporciones, etc.
158
Consideraciones Finales
El mapa conceptual que se reproduce al final de este apartado,
permite visualizar y entender el Modelo de Apercepción Geométrica, como
una propuesta teórico-metodológica para entender, interpretar y analizar el
pensamiento geométrico de los alumnos. (ver Gráfico 14)
Está fundamentado en la concepción de que el pensamiento
geométrico se desarrolla en una serie de niveles organizados
jerárquicamente, donde la movilidad en los mismos se produce siguiendo
una dirección espiralada, por lo cual los niveles no son considerados
compartimientos estancos. La ubicación del alumno en un nivel de
pensamiento determinado está en función del desarrollo situado de los
procesos de visualización, construcción y discursivo, que involucra el
conocimiento de la geometría.
El Modelo de Apercepción Geométrica surge a partir de la reflexión
teórica sobre la práctica educativa que permitió modelar la realidad concreta
de la Teoría de Van Hiele, donde se evidenció que ésta no permite explicar
ciertos aspectos fenoménicos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Geometría. En este sentido, siendo esta teoría muy conocida y estudiada,
adolece de elementos de control de los procesos geométricos que
desarrolla el alumno, lo que se traduce en una ausencia muy sentida de
descriptores característicos de cada nivel de razonamiento, así como el
grado de apropiación del nivel respectivo y una escala valorativa de su
desempeño geométrico.
Por otra parte, la actividad del autor como docente-investigador en el
aula de clases, y la experiencia ganada en el desempeño como profesor de
Geometría y como facilitador de diversos cursos y evaluador de microclases
y actividades en los llamados laboratorios de matemática, permitió llevar
adelante la comprensión reflexiva de la enseñanza y aprendizaje de la
geometría, permitió potenciar el vínculo de lo teórico con lo práctico y
generar en el autor la indagación y creación de nuevos constructos, como la
159
apercepción geométrica como elemento integrador de los procesos de
visualización, construcción y discursivo del pensamiento geométrico, para
comprender con significado esta realidad y orientar el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la geometría, en tanto contribuye desde la
práctica con nuevos aportes teóricos. Esta es una relación hermenéutica
que deviene del proceso de acción-reflexión-acción, en tanto fortalece el par
dialéctico teoría-práctica.
La educación en su conjunto y la práctica educativa con sus
particularidades está soportada en los planos social, histórico, cultural y
político. En el Modelo de Apercepción Geométrica la práctica educativa está
construida en todos los planos; en lo histórico, la investigación además de
retomar algunos de los aportes de lo Van Hiele en su forma lógica, incluye
el tratamiento de la práctica educativa desde 1959; en lo social se
fundamenta en la socioepistemología y en el enfoque histórico cultural del
desarrollo humano; en lo cultural amplía y enriquece los marcos
referenciales de los sujetos involucrados, en tanto crea una referencia para
la enseñanza-aprendizaje de la geometría y en lo político, por fortalecer el
liderazgo del alumno al tratarlo como sujeto responsable y evaluador de su
desempeño geométrico.
En general, con el MAG se ofrece un modelo teórico-práctico para la
didáctica de la Geometría, creando un nuevo marco referencial conceptual
con significado y sentido, que explique en alguna medida las
contradicciones existentes entre la dinámica que presenta la práctica
educativa, entendiendo que de todas las ramas de la matemática, es la
geometría la de mayor interés por sus particularidades para un niño,
adolescente o adulto. Los beneficiados con este producto de la conjugación
de la teoría y la práctica en Geometría, están representados por la
comunidad científica en Educación Matemática y por supuesto, los actores
fundamentales del acto educativo como lo son los alumnos.
160
MODELO DE APERCEPCIÓN GEOMÉTRICA
SOCIOEPISTEMOLOGÍA
Cantoral
ENFOQUE HISTÓRICOCULTURAL DEL
DESARROLLO HUMANOVigótsky
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
REALISTAFreundenthal
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
PROCESOS DECONSTRUCCIÓN
PROCESOS DISCURSIVOS
Niveles de PercepciónDe Duval
Habilidadesde BressanY otros
InstrumentosDe dibujo
Habilidades deRazonamiento
Analítico
Leer Interpretar Comunicar
se fundamenta en se concibe que
involucra
NIVELES
DEMOSTRACIÓN YTRANSFERENCIA
TEÓRICO/CLASIFICACIÓN
ANALÍTICA
DESCRIPCIÓNINTUITIVA
ENTORNOVISUAL
la
el
la
se produce encon base en atendiendo a
involucra el uso
implica desarrollar
competenciapara
Lenguaje Natural y Simbólico
utilizando
denominados con un movimiento
Gráfico 14. Mapa Conceptual del Modelo de Apercepción Geométrica
161
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169
ANEXO A
TEST SOBRE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EN EL CONTENIDO TRIANGULOS
(TRGCTe)
170
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERECTORADO ACADEMICO
TEST SOBRE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EN EL CONTENIDO TRIANGULOS
TRGCTe El presente test, pretende establecer en que nivel de
razonamiento geométrico de la teoría de Van Hiele, se pueden ubicar los
alumnos sujetos en estudio. El razonamiento geométrico, será entendido
como el dominio de tres procesos bien diferenciados como lo son: el proceso de visualización, donde el alumno realiza representaciones
espaciales para la ilustración de proposiciones, maneja objetos reales
observados globalmente y como unidades, identifica, describe y crea figuras
geométricas; el proceso de construcción, mediante el uso adecuado de
instrumentos geométricos y de herramientas matemáticas para relacionar
los resultados observados con los objetos matemáticos y el proceso discursivo, que incluye un uso adecuado del lenguaje geométrico, que
permita la extensión del conocimiento a otras áreas, la demostración y la
explicación ordenada y lógica del conocimiento geométrico.
La manera como se presentan los distintos items, se ajustan a los
contenidos programáticos de la asignatura Geometría del VI semestre de la
carrera de Educación Integral de la Universidad Nacional Experimental de
Guayana.
PRESENTACIÓN
Estimado Estudiante:
En esta investigación se ha elegido este grupo para un estudio, por
lo cual te agradecemos tu colaboración respondiendo al instrumento que se
te presenta, con la mayor seriedad y responsabilidad. Las respuestas
emitidas no serán consideradas en la evaluación de la asignatura.
171
DATOS DE IDENTIFICACIÓN
NOMBRES Y
APELLIDOS:________________________________________
EDAD: _____ SEMESTRE QUE CURSA: ___________
CURSA POR PRIMERA VEZ LA MATERIA: SI ____ NO ____
INSTRUCCIONES:
- Lee cuidadosamente cada una de las preguntas, si tienes alguna
duda consulta con tu profesor.
- Responde en forma clara.
- Elabora todos los cálculos y procedimientos en las hojas que se te
suministran y entrégalas junto con el presente instrumento.
- No te comuniques con tus compañeros.
- Trata de responder todas las preguntas.
1.-) En la siguiente composición geométrica, colorea los triángulos presentes en ella.
2.-) Defina triángulo: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ 3.-) ¿Cómo se clasifican los triángulos atendiendo a sus lados y a sus ángulos? __________________________________________________________________________________________________________________________
172
4.-) Atendiendo a los lados ¿qué clase de triángulos son los siguientes?
_______________ _________________ _____________ 5.-) Escriba los nombres de los siguientes elementos del triángulo, en el cual se cumple que: ___ ___ ___ ___ ___ __ __ __ AC = CD ; AD ⊥ BG ; GD ⊥ AF y GE = ED. __
a) AE: ____________________ __
b) GB: _____________________
c) Punto Q: _________________
d) Punto P: _________________
6.-) Escriba los nombres de los siguientes elementos del triángulo, en el cual se cumple que ___ ___ __ ___ __ __ __ __ AD = DB ; AE = EC ; ER ⊥ AC ; NR ⊥ AB ; ∠ a = ∠ b ; ∠ c = ∠ d __
a) ER: ___________________ __
b) AS: ___________________
c) Punto Q: ________________
d) Punto R: ________________
173
7.-) ¿En que clase de triángulos (según sus lados) coinciden el baricentro, el
ortocentro, el incentro y el circuncentro? Dibujuelo.
__________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ 8.-) Demuestre el siguiente teorema: “La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°”. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9.-) Si la medida del ángulo ∠1 = 30 ° y ∠ EBC es recto, calcule: (a) la medida del ángulo ∠ ABC y (b) La medida de la suma de los ángulos ∠ BAC y ∠ACB (Justifique su respuesta ). __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________
174
10.-) Responder con Falso o Verdadero a los siguientes enunciados: (Justifique los que usted considere Falsos).
a) En un triángulo, un lado es mayor que la suma de los otros dos lados y menor que la diferencia. ________________
b) Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados respectivamente iguales. ________________
c) Dos triángulos son congruentes si superpuestos coinciden. ___________________
d) Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. _________________
e) En un triángulo a mayor lado se opone menor ángulo y viceversa. ______________
11.-) En la figura siguiente se cumple ___ ___ __ __ AB = AD y DC = BC. Demostrar:
a) ∆ ABC = ∆ ADC b) ∆ ADE = ∆ABE ___ ___ c) BE = ED d) AC ⊥ BD
a) ∠a = ∠b ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________ 12.-) ¿Cuándo se dice que dos triángulos son semejantes? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
175
13.-) Contestar Verdadero o Falso los siguientes enunciados: (Justifique los que considere Falsos).
a) Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados
un triángulo congruente al primero. _____
b) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente
congruentes. ___
c) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes. _
d) Si los ángulos de dos triángulos son respectivamente congruentes ¿serán congruentes también en sus lados? ___ 14.-) La sombra de un árbol, cuya altura no se conoce, mide 15 mts, y la sombra de una vara vertical de 6 mts de alto mide 2 mts. Las medidas fueron tomadas a la misma hora, estando el árbol y la vara muy próximos uno del otro. ¿Qué altura tiene el árbol?
176
ANEXO B
TEST SOBRE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EN EL CONTENIDO TRIANGULOS
(TRGCTs)
177
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERECTORADO ACADEMICO
TEST SOBRE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EN EL CONTENIDO TRIANGULOS
TRGCTs El presente test, pretende establecer en que nivel de
razonamiento geométrico de la teoría de Van Hiele, se pueden ubicar los
alumnos sujetos en estudio. El razonamiento geométrico, será entendido
como el dominio de tres procesos bien diferenciados como lo son: el proceso de visualización, donde el alumno realiza representaciones
espaciales para la ilustración de proposiciones, maneja objetos reales
observados globalmente y como unidades, identifica, describe y crea figuras
geométricas; el proceso de construcción, mediante el uso adecuado de
instrumentos geométricos y de herramientas matemáticas para relacionar
los resultados observados con los objetos matemáticos y el proceso discursivo, que incluye un uso adecuado del lenguaje geométrico, que
permita la extensión del conocimiento a otras áreas, la demostración y la
explicación ordenada y lógica del conocimiento geométrico.
La manera como se presentan los distintos items, se ajustan a los
contenidos programáticos de la asignatura Geometría del VI semestre de la
carrera de Educación Integral de la Universidad Nacional Experimental de
Guayana.
PRESENTACIÓN
Estimado Estudiante:
En esta investigación se ha elegido este grupo para un estudio, por
lo cual te agradecemos tu colaboración respondiendo al instrumento que se
te presenta, con la mayor seriedad y responsabilidad. Las respuestas
emitidas no serán consideradas en la evaluación de la asignatura.
178
DATOS DE IDENTIFICACIÓN NOMBRES Y
APELLIDOS:________________________________________
EDAD: _____ SEMESTRE QUE CURSA: ___________
CURSA POR PRIMERA VEZ LA MATERIA: SI ____ NO ____
INSTRUCCIONES:
- Lee cuidadosamente cada una de las preguntas, si tienes alguna
duda consulta con tu profesor.
- Responde en forma clara.
- Elabora todos los cálculos y procedimientos en las hojas que se te
suministran y entrégalas junto con el presente instrumento.
- No te comuniques con tus compañeros.
- Trata de responder todas las preguntas.
1.-) En la siguiente composición geométrica, colorea los triángulos rectángulos presentes en ella.
2.-) Para que una figura geométrica sea un triángulo, que elementos geométricos debe tener? ____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________
179
3.-) ¿Según sus lados y ángulos, nombra los tipos de triángulos? __________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4.-) Atendiendo a los ángulos ¿qué clase de triángulos son los siguientes?
_________________ _________________ ____________ 5.-) Escriba los nombres de los siguientes elementos del triángulo, en el cual se cumple que: ___ ___ ___ ___ ___ __ __ __ AC = CD ; AD ⊥ BG ; GD ⊥ AF y GE = ED. __
e) AE: ____________________ __
f) GB: _____________________
g) Punto Q: _________________
h) Punto P: _________________
180
6.-) Escriba los nombres de los siguientes elementos del triángulo, en el cual se cumple que ___ ___ __ ___ __ __ __ __ AD = DB ; AE = EC ; ER ⊥ AC ; NR ⊥ AB ; ∠ a = ∠ b ; ∠ c = ∠ d __
e) ER: ___________________ __
f) AS: ___________________
g) Punto Q: ________________
h) Punto R: ________________
7.-) Defina el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro?
Dibujelos.
__________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________ 8.-) Demuestre el siguiente teorema: “La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360°”. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
181
9.-) Si la medida del ángulo ∠1 = 30 ° y ∠ EBC es recto, calcule: (a) la medida del ángulo ∠ ABC y (b) La medida de la suma de los ángulos ∠ BAC y ∠ACB (Justifique su respuesta ). __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ 10.-) Responder con Falso o Verdadero a los siguientes enunciados: (Justifique los que usted considere Falsos).
f) En un triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la diferencia. ________________
g) Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados respectivamente semejantes. ________________
h) Dos triángulos no son congruentes si superpuestos coinciden. ___________________
i) Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos lados y un ángulo . _________________
j) En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. ______________
11.-) En la figura siguiente se cumple ___ ___ ___ __ AB = AD y DC = BC. Demostrar:
a) ∆ ABC = ∆ ADC b) ∆ ADE = ∆ABE ___ ___ c) BE = ED d) AC ⊥ BD
d) ∠a = ∠b
182
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 12.-) ¿Cuáles son los criterios de semejanza de triángulos? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 13.-) Contestar Verdadero o Falso los siguientes enunciados: (Justifique los que considere Falsos).
a) Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados
un triángulo congruente al primero. _____
e) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes. ___
f) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes y el lado comprendido entre ellos __ _
d) Si los lados de dos triángulos son respectivamente congruentes ¿serán congruentes también en sus ángulos? ___ 14.-) La sombra de un árbol, cuya altura no se conoce, mide 15 mts, y la sombra de una vara vertical de 6 mts de alto mide 2 mts. Las medidas fueron tomadas a la misma hora, estando el árbol y la vara muy próximos uno del otro. ¿Qué altura tiene el árbol?
183
ANEXO C
ENTREVISTA SEMIESTRUCTURADA PARA DETERMINAR NIVEL DE
RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EN CUANTO A LOS PROCESOS DISCURSIVOS
(EPDCT)
184
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERECTORADO ACADEMICO
ENTREVISTA SEMIESTRUCTURADA PARA DETERMINAR EL NIVEL DE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EN CUANTO A LOS PROCESOS DISCURSIVOS EN EL CONTENIDO TRIANGULOS
EPDCT
La presente entrevista se fundamenta en la Teoría de Van Hiele y
pretende establecer en cual nivel de razonamiento geométrico de dicha
teoría, se pueden ubicar los alumnos sujetos de este estudio.
El razonamiento geométrico, será entendido como el dominio de tres
procesos como lo son: (a) procesos de visualización, donde el alumno
realiza representaciones en el plano y en el espacio; identifica y señala
figuras y cuerpos geométricos para la ilustración de las proposiciones, (b)
procesos de construcción, mediante el manejo de herramientas para
relacionar los resultados observados con los objetos matemáticos y (c)
procesos discursivos, orales o escritos, donde se evidencia el dominio de
contenidos matemáticos, la simbología matemática, las demostraciones y la
explicación.
PRESENTACIÓN En esta investigación, se ha elegido el grupo de estudiantes al cual
usted pertenece para un estudio, por lo cual le agradecemos su
colaboración respondiendo al instrumento que se te presenta, con la mayor
seriedad y responsabilidad. Las respuestas emitidas no serán consideradas
en la evaluación de la asignatura.
DATOS DE IDENTIFICACIÓN: NOMBRES Y APELLIDOS:______________________________________
EDAD: _____
SEMESTRE QUE CURSA: ________
CURSA POR PRIMERA VEZ LA MATERIA: SI ____ NO ____
185
1.-) ¿Qué elementos considera usted que debe tener una figura geométrica para que se le pueda considerar un triángulo. ¿Porqué?. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.-) Cuando hablamos de triángulo obtusángulo. ¿ A qué nos referimos ?. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3.-) Observe su entorno y describa con detalles, el triángulo que puede identificar más rápidamente. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4.-) En geometría y en general en matemática se utiliza la demostración de teoremas, le pregunto:
a) Conoce usted lo que es un teorema y sus elementos?. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Cómo se demuestra un teorema. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
186
c) Para qué se demuestra un teorema. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.-) Si dos triángulos son congruentes ¿necesariamente son semejantes?. ¿Porqué?. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6.-) ¿Los triángulos semejantes son necesariamente congruentes.? Explique. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7.-) Qué me puede decir del Teorema de Pitágoras ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
187
ANEXO D
INSTRUMENTO DE OBSERVACION FASES DE APRENDIZAJE
(IOFA)
188
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPRIMENTAL DE GUAYANA
VICERECTORADO ACADEMICO INSTRUMENTO DE OBSERVACIÓN FASES DE APRENDIZAJE
DATOS DE IDENTIFICACIÓN Evaluador: ________________________________
INSTRUCCIONES
A continuación se presentan cinco grandes bloques de aspectos observables que conforman las distintas etapas del método de fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele. Sírvase marcar con una equis (X) la opción que más se ajuste a lo observado por usted, de la siguiente manera: SIEMPRE (S), FRECUENTEMENTE (F) ò NUNCA (N) PRIMERA FASE: INFORMACIÓN ASPECTO S F N El facilitador realiza preguntas a los alumnos sobre el tema a tratar.
Las preguntas realizadas por el facilitador permiten determinar los conceptos previos manejados por los alumnos sobre el tema a tratar
El facilitador proporciona a los alumnos la dirección que tomará la instrucción, es decir, los alcances y objetivos.
El facilitador enuncia los tipos de problemas a estudiar. El facilitador menciona los métodos a emplear durante la resolución de los problemas.
El facilitador enumera los materiales a utilizar durante la sesión.
SEGUNDA FASE: ORIENTACIÓN DIRIGIDA ASPECTO S F N El facilitador entrega materiales instruccionales a los alumnos en una secuencia lógica.
El facilitador orienta a los alumnos sobre el uso de los materiales.
El facilitador utiliza un lenguaje adecuado al nivel educativo y al tema a tratar.
El facilitador promueve la manipulación correcta y adecuada de los materiales.
El facilitador guía a los alumnos para que puedan diferenciar los contenidos previos de los nuevos.
189
TERCERA FASE: EXPLICITACIÓN ASPECTO S F N El facilitador introduce el lenguaje técnico del tema de una manera clara.
El facilitador promueve la discusión grupal de los alumnos sobre el tema.
El facilitador interviene solo cuando es estrictamente necesario.
El facilitador pone de relieve los aciertos y los errores que manifiestan los alumnos mientras discuten.
El facilitador promueve en los alumnos la exposición de ideas organizadas y con el rigor matemático que lo amerite.
CUARTA FASE: ORIENTACIÓN LIBRE ASPECTO S F N El facilitador presenta a los alumnos actividades y problemas diferentes y más complejos.
Las actividades planteadas por el facilitador están planteadas de tal manera que puedan ser resueltas por los alumnos con los conocimientos que adquirieron.
El facilitador presenta situaciones de la vida real. Las situaciones presentadas por el facilitador se enmarcan en el contexto del tema tratado y del entorno.
QUINTA FASE: INTEGRACION ASPECTO S F N El facilitador solicita a sus alumnos la elaboración de un resumen del tema tratado.
El facilitador promueve en sus alumnos la discusión sobre los alcances e importancia del tema tratado.
El facilitador no introduce nuevos conceptos o contenidos en la discusión del resumen y los alcances.
El facilitador logra integrar los conceptos previos de sus alumnos con los recién adquiridos.
Estimado observador, si desea realizar algún comentario sobre las actuaciones del facilitador en función del método de fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele, expréselo en las siguientes líneas.
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ANEXO E RESPUESTAS A LA ENTREVISTA EPDCT
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ANEXO H
PROGRAMA INSTRUCCIONAL DE LA ASIGNATURA GEOMETRÍA DE LA
CARRERA DE EDUCACIÓN INTEGRAL DE LA UNEG
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PROGRAMA DE ASIGNATURA / UNIDAD CURRÍCULAR POR
COMPETENCIAS
I. DATOS DE IDENTIFICACIÓN
Proyecto de Carrera:
EDUCACIÓN INTEGRAL
Programa de Estudio: TSU
Licenciado
X Ingeniero
Unidad Curricular: GEOMETRÍA
Semestre
Código
UC
Horas Semanales
4,5
Horas Semestre
72
VI 3 Horas Teóricas
Horas Prácticas
Componente de Formación: General Básica Especializada X
Práctica Profesional Pasantía Autodesarrollo Orientación Área de Adscripción:
Carácter de la Asignatura: Obligatoria X Electiva
Requisitos para Cursar la Asignatura (Prelaciones): MATEMÁTICA I
MATEMATICA II
II. DISEÑO DE LA UNIDAD CURRICULAR
1. PROPÓSITO: REFORZAR Y FORMALIZAR LOS CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS QUE SE IMPARTEN EN LA PRIMERA Y SEGUNADA ETAPA DE EDUICACIÓN BÁSICA Y ANALIZAR LA PROBLEMARTICA DE LA ENSEÑANZA DE ESTA DISCIPLINA.
199
2. COMPETENCIAS GENERALES • CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN, ANÁLISIS Y SÍNTESIS
GEOMÉTRICO. • CAPACIDAD DE APLICAR LOS CONOCIMIENTOS
GEOMÉTRICOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN CONTEXTO.
• CAPACIDAD DE COMUNICACIÓN ORAL Y ESCRITA. • CAPACIDAD PARA ACTUAR EN SITUACIÓNES
PROBLEMÁTICAS QUE REQUIERA LA APLÑICACIÓN DE LA GEOMETRÍA PARA SU SOLUCIÓN.
• HABILIDADES PARA BUSCAR, PROCESAR Y ANALIZAR INFORMACIÓN PROCEDENTES DE FUENTES DIVERSAS.
• CAPACIDAD PARA EL TRABAJO EN EQUIPO. • CAPACIDAD PARA LA TOMA DE DECISIONES
3. TEMA (S)
1. CONJUNTO DE PUNTOS EN EL PLANO COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Ilustrar los conceptos no definidos de punto, recta y plano. • Establecer relaciones entre puntos y conjuntos de puntos en el plano. • Efectuar operaciones de adición, sustracción, multiplicación y
división de segmentos de recta en el plano. CONTENIDO DE LOS SABERES (Conocer, hacer, convivir y ser):
CONOCER HACER SER Conceptos primitivos Definición de segmento Relaciones entre puntos y rectas: perpendicularidad y paralelismo. Operaciones básicas entre segmentos.
Construcciones geométricas sobre rectas paralelas, perpendiculares, coplanares. Sumar, restar, multiplicar y dividir segmentos. Manejo de vocabulario geométrico.
Actitud crítica Seguridad al hablar en términos geométricos.
2. OPERACIONES ENTRE ÁNGULOS EN EL PLANO
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Clasificar ángulos según sus medidas. • Mediante regla y compás construir ángulos de diferentes medidas • Operaciones entre ángulos. • ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.
CONTENIDO DE LOS SABERES (Conocer, hacer, convivir y ser):
CONOCER HACER SER
200
Clasificación de los ángulos por su medida. Suma, resta y multiplicación de ángulos. Ángulos formados entre dos paralelas y una secante a estas.
Mediante regla y compás trazar diferentes tipos de ángulos. Realizar operaciones básicas entre ángulos. Resolver problemas que involucren los ángulos formados entre dos paralelas y una secante a estas. Manejo de lenguaje geométrico.
Capacidad de organización. Trabajo en equipo.
3. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Definir circunferencia y círculo y sus puntos y rectas notables. • Establecer la posición relativa entre una circunferencia y una recta y
entre dos circunferencias. CONTENIDO DE LOS SABERES (Conocer, hacer, convivir y ser):
CONOCER HACER SER Definición de circunferencia y círculo. Puntos y rectas notables de la circunferencia. Relaciones entre rectas y circunferencias.
Mediante regla y compás trazar diferentes tipos de circunferencias... Resolver problemas que involucren los ángulos de la circunferencia. Manejo de lenguaje geométrico.
Capacidad de organización. Trabajo en equipo.
4. TRIÁNGULOS, CUADRILATEROS Y POLÍGONOS REGULARES COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Clasificar triángulos por la medida de sus ángulos y la longitud de sus lados.
• Estudiar la congruencia y semejanza de triángulos. • Aplicar el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. • Clasificar cuadriláteros y polígonos regulares. .
CONTENIDO DE LOS SABERES (Conocer, hacer, convivir y ser):
CONOCER HACER SER Clasificación de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.
Mediante regla y compás trazar diferentes tipos de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Resolver problemas en
Capacidad de organización. Trabajo en equipo. Actitud crítica
201
Criterios de congruencia y semejanza de triángulos.
contexto mediante el Teorema de Pitágoras Manejo de lenguaje geométrico.
5. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Identificar sólidos geométricos y sus elementos. • Relacionar caras, aristas y vértices de sólidos limitados por
superficies planas. • Generar sólidos de revolución.
CONTENIDO DE LOS SABERES (Conocer, hacer, convivir y ser):
CONOCER HACER SER Sólidos geométricos y sus elementos. Definición de arista, vértices y caras. Sólidos de revolución.
Mediante regla y compás trazar diferentes tipos de sólidos geométricos y construir los mismos con materiales reciclables. Construir modelos de sólidos de revolución en 3D. Manejo de lenguaje geométrico.
Capacidad de organización. Trabajo en equipo. Actitud crítica
6. ÁREAS Y VOLUMENES
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Calcular áreas de figuras planas. • Calcular volúmenes de sólidos geométricos.
CONTENIDO DE LOS SABERES (Conocer, hacer, convivir y ser):
CONOCER HACER SER Formulas de áreas de figuras planas. Formulas de volúmenes de sólidos geométrico.
Resolver problemas en contexto sobre áreas y volúmenes de figuras planas y sólidos geométricos. Manejo de lenguaje geométrico.
Capacidad de organización. Trabajo en equipo. Actitud crítica
4. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
• Trabajo grupal. • Exposición magistral. • Solución de problemas. • Aprendizaje colaborativo.
202
5. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
• Coevaluación • Autoevaluación • Construcciones geométricas • Prueba escrita • Exposición.
5.1. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Originalidad • Integración con las otras áreas de conocimiento. • Claridad descriptiva y narrativa. • Uso del vocabulario geométrico. • Organización y presentación de los trabajos. • Claridad y orden expositivo. • Integración grupal. • Uso adecuado de los medios utilizados para la exposición del grupo
(dramatizaciones, montajes audiovisuales, videos y otros)
6. BIBLIOGRAFÍA Y OTRAS REFERENCIAS RECOMENDADAS
• BALDOR, A. Geometría y trigonometría. 1970 • HEMMERLING, E.: Geometría Elemental, México, Editorial Limusa, 1999 • KINDLE, J.: Geometría analítica plana y del espacio, México, Editorial Mc
Graw-Hill, 1991 • LUQUE, A.: Elementos de Geometría Euclidiana, México, Editorial
Limusa, 1999 • MOISE, E. y DOWNS, F.: Geometría Moderna, México, Editorial Addison-
Wesley Iberoamericana, 198 • RICH, B.: Geometría (incluye geometría plana, analítica, transformacional y
de sólidos), México, Editorial McGraw-Hill, 199 • THOMPSON, J.E.: Geometría. Manual para autodidactos, México,
Editorial Limusa, 1999 • VELASCO, G.: Tratado de Geometría, México, Editorial Limusa, 1983.
203
CURRICULUM VITAE AUTOR
A) DATOS PERSONALES Nombre y Apellido: MOISES ALBERTO ZAMBRANO MARQUEZ
C.I: 10.160.466
Nacionalidad: Venezolano
Estado Civil: Casado
Dirección de habitación: Urb. Prashanty. Casa 14 . Avda. Atlántico Puerto
Ordaz Estado Bolívar
Contacto: 02869520658 0416-6877712 e-mail: [email protected] B) ESTUDIOS REALIZADOS 1. Universidad Institución: Universidad Católica del Táchira. UCAT Año de graduación 1.992 Título obtenido Licenciado en Educación Mención Informática y Matemática
204
2. Cursos de Postgrado
Institución: Universidad Nacional Experimental de Guayana
Año de graduación 2005 Título obtenido Magíster en Educación. Mención Enseñanza de la Matemática.
3. Doctorado Institución: Universidad Interamericana de Educación a
Distancia de Panamá (UNIEDPA) Año de graduación 2.010 Nombre de la tesis Modelo de Apercepción Geométrica como
elemento integrador de los procesos de visualización, construcción y discursivos del pensamiento geométrico.
C) EXPERIENCIA LABORAL Docente a Dedicación Exclusiva Categoría Asociado de la Universidad
Nacional Experimental de Guayana, desde el 04-04-1994. Adscrito a l
Departamento de Ciencia y Tecnología en el Área de Matemática. Laborando como docente en
las asignaturas Matemática I, II y III de la carrera de Ingeniería Industrial;
las Asignaturas Matemática I y II, Geometría, Solución de Problemas e Historia
de la Matemática en la carrera de Educación Integral. Presidente del Instituto de
Previsión Social del profesor de la UNEG IPSPUNEG en el período 1998-2005. D) PARTICIPACIÓN EN EVENTOS Ponente y conferencista en eventos nacionales en Educación Matemática, tales
como ASOVAC Táchira, ASOVAC Bolívar, Congreso Venezolano de
Educación Matemática COVEM, Jornadas de Investigación de la UNEG, Jornadas
de Investigación del Área de Matemática UNEG, Congreso de Educación
Matemática
205
de las Regiones Nor Orienta, Insular y Guayana. Ponente en congresos internacionales en Educación Matemática: MATECOMPU
(La Habana, Cuba), Sociedad Argentina de Educación Matemática SOAREM
(Buenos Aires, Argentina), Conferencia Iberoamericana de Educación Matemática
CIBEM (Puerto Montt, Chile) y Congreso Internacional de Educación
Matemática (Queretaro, México). E) INVESTIGACIÓN Docente investigador perteneciente a la Línea de Investigación en
Educación Matemática de la UNEG, Miembro de la Asociación Venezolana de
Educación Matemática ASOVEMAT. Publicaciones en las revistas arbitradas e
indexadas Kaleidoscopio y Copérnico. Trabajo de investigación centrado en el
pensamiento geométrico y los cuentos infantiles como potenciadotes del
conocimiento matemático.
206
CURRICULUM VITAE TUTORA
A) DATOS PERSONALES Nombre y Apellido: DARLY DEL VALLE RINCONES DÍAZ
C.I: 4.909.758
Nacionalidad: Venezolana
Estado Civil: Casada
Dirección de habitación: UD 323, Sector Villa Icabarú, Conjunto Residencial
los Corales 1, Nº 14, Manzana 73, Puerto Ordaz,
Edo. Bolívar.
Contacto: 02869945124- 04165861312 e-mail: [email protected] B) ESTUDIOS REALIZADOS 1. Universidad Institución: Instituto Universitario Pedagógico de Caracas Año de graduación 1.980 Título obtenido Profesora de Castellano y Literatura
2. Cursos de Postgrado
207
Institución: University of Toledo, Ohio, USA Año de graduación 1.986 Título obtenido Magister en Educación. Mención Orientación.
3. Doctorado Institución: Universidad Interamericana de Educación a
Distancia de Panamá (UNIEDPA) Año de graduación 2.002 Nombre de la tesis Androergología: Paradigma de Formación
Universitaria (No publicada)
Certificado de estudios postdoctorales en Ciencias de la Educación, UNEG-AELAC 2 Agosto 2008.
4. Otros cursos
1. Procesos básicos del pensamiento. UNEG- Febrero 2000. 2. Líneas de Investigación UNEG – Julio 2001. 3. Taller de perfiles por competencia. Sep. 2005. 4. Gerencia pública eficiente. Nov. 2005. 5. Implementación exitosa de ISO 9000 en Educación. Junio 2006. 6. Estrategias didácticas bajo el enfoque constructivista. Dic 2006. 7. I Encuentro Interinstitucional de Experiencias en Formación
y Actualización Docente del Profesor Universitario. Abril 2008. 8. Implementación de sistemas de formación por competencias en
instituciones de educación superior. Marzo 2009. 9. Estrategias andragógicas de aprendizaje para el desarrollo del
pensamiento crítico. Julio 2009. 10. Formación de asesores de trabajos especiales de grado.. UCAB. Nov
2009. 11. Epistemología de las matemáticas. UNEG. Nov 2009.
A NIVEL POSTDOCTORAL:
1. Reformas educativas en el umbral del tercer milenio. Febrero 2001 2. Pensamiento pedagógico de Paulo Freire. Junio 2001 3. La formación del profesional: Razón o emoción. Abril 2001. 4. Educación para la paz y los derechos humanos. Nov 2001 5. La Andragogía en el contexto de la globalización. Dic. 2001 6. Mitos y verdades de la investigación acción. Marzo 2002. 7. Un modelo alternativo en educación superior: Desarrollo humano profesional
y transdisciplinariedad. Dic 2003. 8. Desarrollo de la conciencia moral y ética:teoría y práctica. Nov. 2004. 9. Reforma y transformación curricular en la universidad contemporánea. Abril
2007.
208
10. Evaluación de las competencias en el nivel de educación superior. Marzo 2008.
11. La enseñanza en la educación superior como puente de vida. Mayo 2008. 12. Lógica de la formación universitaria: Historia y verdad en el conocimiento
social. Agosto 2008 C) Cargos desempeñados 1. Institución: Universidad Nacional Experimental de Guayana.
Profesor Asociado, Dedicación Exclusiva. 2 Fecha Julio, 1988 –Julio de 2009. 3 Nombre de los cargos:
• Jefe del Departamento de Educación, Humanidades y Artes, Julio 2007- julio 2009. • Coordinadora de la Carrera de Educación Integral, octubre 2004- junio 2007. • Tutor del Programa Proyectos Institucionales. Semestres 97 II y 98 I • Docente del proyecto de carrera Educación Integral. Semestre 97 II y 98 I • Coordinadora del Programa Proyectos Institucionales. 1996-1997 • Docente del Programa Proyectos Institucionales. 1993 -1999 • Responsable del componente de M.T.E. del Curso Introductorio. 1992-1993 • Docente de Curso Introductorio 1988-1992 y semestres 98 II, 99 I y 99 II.
D)Becas, Premios y Distinciones
• Programa Promoción al Investigador, nivel candidato, 2006. Nº 9224 • Orden al Mérito en el Trabajo, Segunda Clase, 2007 • Programa Promoción al Investigador, nivel 1, 2008. Nº 9224 • Reconocimiento JUNAPUV. San Cristóbal. Edo. Táchira Marzo 2009.
Disciplina Buraco. • Reconocimiento por Participación en Comité Organizador de las IV
Jornadas del DEHA. Marzo 2009. • Reconocimiento como jefe del Departamento de Educación,
Humanidades y Artes. 2007-2009.
D) Formación de Recursos Humanos a.1. Título de la tesis: Estudio comparativo de un programa de actividades
correctivas de ortografía en los alumnos de sexto grado de la E.B. Nuevo Mundo”, elaborado por las Tecnólogos
a.2. Nombre del Estudiante: Noris Vásquez de T., Nieves Palma y María Mata. a.3. Título obtenido: Licenciada en Educación Integral a.4. Institución: U.N.E.G. a.5. Fecha: 1997.
209
b.1. Título de la tesis: La evaluación cualitativa y su aplicación en el proceso de enseñanza del proyecto de carrera de Educación Integral de la Universidad Nacional Experimental de Guayana
b.2. Nombre del Estudiante: Avendaño, Italo b.3. Título obtenido: Magíster en Educación Superior b.4. Institución: UGMA b.5. Fecha: 2001. c.1. Título de la tesis: Seguimiento y medición de la generación de competencias
en el Modelo Androergológico de Formación de Emprendedores. Caso de estudio: Estudiantes UNEG Administración y Contaduría Puerto Ordaz
c.2. Nombre del Estudiante: Paredes, María c.3. Título obtenido: Magíster en Procesos de Aprendizaje c.4. Institución: UNEG c.5. Fecha: 2006. F) Sociedades científicas y profesionales 1. ASOVAC Año: 1998 – Actual G) Asistencia a Congresos Autor(es): Darly Rincones Título del trabajo: Experiencias universitarias en la formación de competencias de emprendedurismo. Caso UNEG Nombre del evento: V Jornadas de Investigación UNEG Fecha: Junio, 2008 Ciudad: Ciudad Guayana País: Venezuela Autor(es): Darly Rincones, Aixa Viera, Maria Paredes Título del trabajo: La generación de competencias de emprendedurismo por internalización de conocimientos y la complejidad inherente a su demostración: Caso de estudio. Nombre del evento: 4to Seminario Bienal Internacional COMPLEJIDAD 2008 Fecha: Enero, 2008 Ciudad: La Habana Pais: Cuba Autor(es): Darly Rincones Título del trabajo: Aplicación de Instrumentos para la Generación de Competencias de Emprendedurismo. Nombre del evento: XXII Jornadas Científicas, Tecnológicas y Educativas de Guayana. Fecha: Mayo, 2007 Ciudad: Ciudad Bolívar.
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Pais: Venezuela. Autor(es): Darly Rincones Título del trabajo: Avances realizados en el seguimiento al proceso de formación del modelo androergológico de formación de emprendedores (MAFE) Nombre del evento: IV Jornadas de Investigación Institucional Fecha: Octubre, 2006 Ciudad: Ciudad Guayana Pais: Venezuela Autor(es): Darly Rincones Título del trabajo: Androergología: paradigma de formación universitaria. Nombre del evento: 5to. Encuentro Internacional de Educación y pensamiento Fecha: Marzo, 2004 Ciudad: San Juan Pais: Puerto Rico G) Publicación 1. LIBRO Autores: Darly Rincones, Aixa Viera, Ariene Pérez Título: Androerglogía. Una nueva herramienta educativa para el desarrollo endógeno. Casa Editora: Fondo Editorial UNEG, IBSN 978-980-6864-08-05. Depósito Legal: Lf933200737048: Dirección electrónica: http://www.editorialuneg.edu.ve Ciudad: Ciudad Guayana Año: 2007 2 REVISTAS: Autor: Darly Rincones Título del trabajo: Seguimiento al proceso de evaluación del modelo androergológico de formación de emprendedores (MAFE) Volumen: Año 4, Nº 6. (En prensa) Año publicación: 2007 Dirección electronica de la publicación: http://copernico.uneg.edu.ve/ Tipo de publicación: Revista nacional registrada en índice internacional reconocido Nombre de la Revista: Copérnico Autores: Darly Rincones, Aixa Viera, Ariene Pérez Título del trabajo: La geohistoria del Municipio socioproductivo Caroní del Estado Bolivar, Venezuela Volumen: 3 Nº 5 Páginas (Desde - Hasta): 67-76 Año publicación: 2006 Dirección electronica de la publicación: http://copernico.uneg.edu.ve/ Tipo de publicación: Revista nacional registrada en índice internacional reconocido
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Nombre de la Revista: Copérnico Autor: Darly Rincones Título del trabajo: La androergología: una nueva disciplina de la educación Volumen: 1-2 Páginas (Desde - Hasta): 124-134 Año publicación: 2005 Dirección electrónica de la publicación: http://kaleidoscopio.uneg.edu.ve/ Tipo de publicación: Revista nacional registrada en índice internacional reconocido Nombre de la Revista: Kaleidoscopio Autores: Ariene Pérez, Darly Rincones y Aixa Viera Título del trabajo: La androergología y la mediación neurolingüistica en la formación de competencias microempresariales Volumen: 8 Año: 2005 Tipo de publicación: Revista extranjera registrada en índice Internacional reconocido. Nombre de la Revista: Revista UNIVERSIDAD Y EMPRESA DE LA UNIVERSIDAD DEL ROSARIO
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